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第3章 动能的变化与机械功
第3章 动能的变化与机械功
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PP
∥0
B
0
P
∫0
t2
研究功与功率
1．理解功的概念，明确功是标量，知道W＝Fscos θ的适用范围，会用功的公式进行计算．(重点)
2．理解正功、负功的概念． 3．理解功率的概念和计算公式．(重点＋难点)
一、怎样计算力跟位移成夹角α时的功
1．当恒力F的方向与位移s的方向成某一角度α时，力F对物体所做的功W＝Fscos α，即力对物体所做的功，等于力F的大小、位移大小、力与位移方向间夹角的余弦这三者的乘积．
2．功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号为J．
3．功是标量，只有大小，没有方向，其运算法则遵循代数运算．
1．下面所示的三种情景中，人是否对物体做功？
提示：甲图中有力没有位移，人不做功；乙图中在力的方向上没有位移，人也不做功；丙图中在力的方向上有位移，人做功．
二、正功、负功的含义
1．当0≤α< 时，力F对物体做正功，由动能定理可知，物体的动能增加．
2．当α＝时，力F对物体不做功，物体的动能不变．
3．当<α≤π时，力F对物体做负功，或者说物体克服力F做功，物体的动能减少．
4．功是能量变化的量度．
1．(1)总功就是所有外力做功的代数和．( )
(2)功有正负，说明功是矢量，因此总功是所有外力做功的矢量和．( )
(3)总功等于合外力的功．( )
提示：(1)√ (2)× (3)√
三、研究功率
1．功率
(1)定义：功W跟完成这些功所用时间t的比值叫做功率．
(2)公式：P＝．
(3)单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W，且1 W＝1 J/s．
(4)功率是标量，只有大小，没有方向，其运算法则遵循代数运算．
(5)物理意义：表示力对物体做功快慢的物理量．
2．马车的运输能力远小于货车的运输能力，用什么方法比较它们的做功快慢？
提示：可认为马车与货车运输相同质量的物体，完成相同的任务(即做功相等)，比较完成任务所用的时间，就可比较出做功的快慢．
2．研究力、速度跟功率之间的关系
(1)一个力对物体做功的功率，等于这个力与物体在力的方向上的速度的乘积，即P＝Fv．
(2)对P＝Fv来说，式中v若取瞬时速度，则按上式计算出的P即为瞬时功率；若v取平均速度，则计算出的P即为平均功率．
2．(1)平均功率不可能等于瞬时功率．( )
(2)额定功率就是实际功率．( )
(3)公式P＝Fv只能用来计算瞬时功率．( )
提示：(1)× (2)× (3)×
对功的理解
1．做功具有两个必不可少的决定因素
(1)作用在物体上的外力；
(2)物体在力的方向上的位移．
力对物体是否做了功，只与这两个因素有关，而与其他因素(如物体的运动性质、运动速度、物体的质量等)均无关系．
2．功是过程量：功是力在空间上的积累效应，它总是与一个过程相联系．因此，功是一个过程量．利用公式W＝F·scos α计算功时，一定要明确是哪个力在哪一过程中对物体做的功．
下面列举的情况中所做的功不为零的是( )
A．举重运动员举着杠铃在头上方停留3 s，在这3 s内运动员对杠铃做的功
B．木块在粗糙水平面上滑动，支持力对木块做的功
C．一个人用力推一个笨重的物体，但没推动，人的推力对物体做的功
D．自由落体运动中，重力对物体做的功
[解题探究] (1)物体受力时，力对物体一定做功吗？
(2)物体发生一段位移，一定有力对物体做功吗？
[解析] 举重运动员举着杠铃在头上方停留3 s的时间内，运动员对杠铃施加了竖直向上的支持力，但杠铃在支持力方向上没有位移，所以运动员对杠铃没有做功．木块滑动过程中，在支持力方向上没有位移，故支持力对木块没有做功．推而不动，只有力而没有位移，人的推力不做功．重力竖直向下，物体的位移也竖直向下，故重力对物体做了功，选项D正确．
[答案] D
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．功是矢量，正负表示其方向
B．功是标量，正负表示是外力对物体做功，还是物体克服外力做功
C．力对物体做正功还是做负功取决于力和位移的方向关系
D．力对物体做的功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量
解析：选BCD．功是标量，正、负号不表示功的大小，也不表示功的方向，比较功的大小要看绝对值，功的存在总是与某一过程相对应，故选项B、C、D正确，A错误．
功的正、负的理解及判断
1．对功的正负的理解
(1)功是标量，其正负既不表示大小，也不表示方向，只表示是动力做功还是阻力做功．比较功的大小时，要看功的绝对值，绝对值大的做功多，绝对值小的做功少．例如，－10 J的功要比5 J的功多．
(2)一个力对物体做负功，也可以说物体克服这个力做功(取绝对值)．例如，滑动摩擦力对物体做的功为－10 J，也可以说物体克服摩擦力做的功为10 J．
2．功的正负的物理意义
动力学角度 能量角度
正功 若某个力对物体做正功，则这个力对物体来说是动力 若力对物体做正功，则外界向物体提供能量，即受力物体获得了能量
负功 若某个力对物体做负功，则这个力对物体来说是阻力 若物体克服外力做功，则物体要消耗自身的能量，即物体失去了能量
3．功的正、负的判定
(1)根据力和位移的夹角判断．
例如(如图所示)，物体a由斜面顶端静止滑下，a受到的重力G对物体做正功，因为重力G与位移L之间的夹角小于90°．
(2)根据运动物体的速度方向和受力方向的夹角判断．
例如(如图所示)，人造地球卫星在椭圆轨道上运行，在由a点运动到b点的过程中，万有引力做负功．因为万有引力的方向和速度方向的夹角大于90°．
在图中，A、B两物体叠放在一起，A被不可伸长的水平细绳系于左墙上，B在拉力F作用下向右匀速运动．在此过程中，A、B间的摩擦力的做功情况是( )
A．对A、B都做负功
B．对A不做功，对B做负功
C．对A做正功，对B做负功
D．对A、B都不做功
[解题探究] (1)判断力对物体做正功、负功的依据是什么？
(2)当B向右匀速运动时，A、B两物体所受摩擦力的方向与位移方向有什么关系？
[解析] 因为A的位移为零，所以A、B间的摩擦力对A不做功；B相对A向右运动，B所受的A、B间的摩擦力向左，A、B间的摩擦力对B做负功，故选项B正确．
[答案] B
eq \a\vs4\al()
(1)判断功的正负的关键是紧紧抓住力与位移或力与速度的方向关系，若两方向之间的夹角90°<α≤180°，则力做负功；α＝90°，不做功；0°≤α<90°，做正功．
(2)摩擦力可以对物体做正功、负功，也可以不做功．
(3)作用力和反作用力做功也没有一定关系，可能都做正功或都做负功；可能一个做正功，一个做负功；还可能一个做功，一个不做功．
2．下列关于功的正、负的说法正确的是( )
A．功的正、负表示功的大小，负功一定比正功小
B．功的负号表示力与位移的方向相反
C．功的负号表示功的方向与力的方向相反
D．功的正、负只表示动力做功还是阻力做功
解析：选D．功的正、负不表示大小，“－10 J”并不比“3 J”小，所以选项A错误．功是标量，只有大小，没有方向，功的负号表示做功的力一定是阻力，但力与位移方向不一定相反，所以选项B、C错误．功的正、负表示做功的力是动力还是阻力，所以选项D正确．
恒力做功的计算
1．对W＝Fscos α的理解
(1)W＝Fscos α仅适用于计算恒力的功，不能直接用于求变力做功．
(2)F表示力的大小，s表示力的作用点相对于地面的位移的大小(s也常常被说是物体相对于地面的位移大小)，α表示力和位移方向间的夹角．
(3)公式可以表达为W＝F·scos α，意义是功等于沿力F方向的分位移与力的乘积；公式也可以表达为W＝Fcos α·s，意义是功等于位移与沿位移方向的分力的乘积．
2．几个力的总功的求法
(1)先由W＝F·scos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3…然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…．
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合scos α计算总功，此时α为F合的方向与s的方向间的夹角．
如图所示，一个质量m＝2 kg的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的力F＝10 N的作用，在水平地面上移动的距离l＝2 m，物体与地面间的滑动摩擦力Ff＝4．2 N，求外力对物体所做的总功．(cos 37°＝0．8，sin 37°＝0．6)
[解题探究] (1)总功的常用计算方法是什么？
(2)物体运动过程中有几个力做功？
[解析] 法一：先求各力所做的功，再求总功．
拉力F对物体所做的功为
W1＝Flcos 37°＝10×2×0．8 J＝16 J
摩擦力Ff对物体所做的功为
W2＝Fflcos 180°＝4．2×2×(－1) J＝－8．4 J
由于重力、支持力对物体不做功，故外力对物体所做的总功W等于W1和W2的代数和，即W＝W1＋W2＝7．6 J．
法二：先求合力，再求总功．
物体水平方向上受到的合力为
F合＝Fcos 37°－Ff＝10×0．8 N－4．2 N＝3．8 N
所以W＝F合l＝3．8×2 J＝7．6 J．
[答案] 7．6 J
eq \a\vs4\al()
求合力做功的两种方法选用依据
(1)物体处于平衡状态或在某一方向上受力平衡时，选用先求合力再求功的方法较简单；
(2)已知物体受的力中有的不做功，有的做功，且方便求得各力做的功(如重力做的功)时，选择W＝W1＋W2＋…＋Wn计算较简单．
3．(1)用起重机把质量为200 kg的物体匀速提高了5 m，钢绳的拉力做了多少功？重力做了多少功？克服重力做了多少功？这些力的总功是多少？(g＝10 m/s2)
(2)若物体匀加速上升，加速度a＝2 m/s2，绳的拉力做了多少功？物体所受各力的总功是多少？
解析：(1)物体匀速提升，由平衡条件：
F＝G＝2．0×103 N
钢绳的拉力做功：
WF＝Fh＝2．0×103×5 J＝1．0×104 J．
重力做功：WG＝－mgh＝－2．0×103×5 J
＝－1．0×104 J．
物体克服重力做功1．0×104 J．
这些力所做的总功是：W总＝WF＋WG＝0
即：这些力所做的总功是0．
(2)根据牛顿第二定律F′－mg＝ma
所以F′＝mg＋ma＝2 400 N
WF′＝F′h＝2 400×5 J＝1．2×104 J．
各力做的总功也等于合外力做的功：
W总＝mah＝2．0×103 J．
答案：(1)1．0×104 J －1．0×104 J 1．0×104 J 0
(2)1．2×104 J 2×103 J
对功率的理解及应用
1．功率的物理意义：功率表示做功的快慢，不表示做功的多少．可以和加速度的概念进行类比，例如速度大的物体加速度不一定大．
2．功率的标量性：功率是标量，只有大小，没有方向．
3．对公式P＝和P＝F·v的理解
(1)P＝是功率的定义式，物理学中有许多物理量是用“比值”来定义的，如前面学习的速度、加速度．若t较长，则P为平均功率；只有在t趋近于零时，P才视为瞬时功率，可见P＝只能计算平均功率．
(2)公式P＝F·v是功率的另一种计算方法，v可以是平均速度，也可以是瞬时速度，因此P＝F·v既可以计算平均功率，也可以计算瞬时功率．
4．实际功率和额定功率
额定功率是指动力机械长时间正常工作时输出的最大功率，是动力机器的重要的性能指标．一个动力机器的额定功率是一定的，通常都在铭牌上标明．机器工作时必须受额定功率的限制．
实际功率是机器工作时实际的输出功率，也就是发动机产生的牵引力做功的功率，实际功率可以小于、也可以等于额定功率，甚至短时间可以大于额定功率，但实际功率大于额定功率容易损坏机器．
对公式P＝F·v中速度v的理解要注意以下几点
(1)物体的速度可能是恒定的，也可能是变化的；(2)物体的速度大小、方向都发生变化时，仍可以求力的功率．如在平抛运动中，尽管物体的速度大小、方向都不断发生变化，但重力的大小及方向都不变，而物体的竖直分速度vy＝gt，因此，平抛物体经时间t时，重力的功率P＝mgvy＝mg·gt＝mg2t．
5．机车启动的两种方式
(1)恒定功率启动
①过程分析
v↑?F＝↓?a＝↓?a＝0，速度最大且匀速．
②v－t图像如图所示：
(2)恒定加速度启动
①过程分析：a＝不变?F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1?P额一定，v↑?F＝↓，a＝↓?a＝0，速度最大且匀速．
②v－t图像：如图所示．
命题视角1 对平均功率和瞬时功率的理解
如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为0．5．(已知：sin 37°＝0．6，cos 37°＝0．8，g取10 m/s2)求：
(1)前2 s内重力的平均功率；
(2)2 s末重力的瞬时功率．
[思路点拨] 解答本题时应注意以下两个方面：
(1)求平均功率用公式P＝．
(2)求瞬时功率用公式P＝Fv．其中v为F方向上的分速度．
[解析] (1)木块所受的合外力为：
F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝mg(sin θ－μcos θ)
＝2×10×(0．6－0．5×0．8) N＝4 N，
物体的加速度为：a＝＝ m/s2＝2 m/s2．
前2 s内木块的位移：
s＝at2＝×2×22 m＝4 m．
所以，重力在前2 s内做的功为：
W＝mgsin θ·s＝2×10×0．6×4 J＝48 J．
重力在前2 s内的平均功率为：
＝＝ W＝24 W．
(2)木块在2 s末的速度：v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s．
重力在2 s末的瞬时功率：
P＝mgsin θ·v＝2×10×0．6×4 W＝48 W．
[答案] (1)24 W (2)48 W
eq \a\vs4\al()
(1)求平均功率时需明确是哪段时间内的平均功率，可由公式P＝F或P＝来求．
(2)求瞬时功率则需明确是哪一时刻或哪一位置，再确定该时刻或该位置的速度，应用公式P＝Fv求解．还应注意F与v之间的夹角．
4．上例中前2 s内合外力对物体做的总功是多少？合外力的平均功率是多大？
解析：由上例解析知
F合＝ma＝4 N，W合＝F合·s＝4×4 J＝16 J
＝＝ W＝8 W．
答案：16 J 8 W
命题视角2 图像在功率问题中的应用
一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小f恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是( )
[解析] 由P－t图像知：0～t1内汽车以恒定功率P1行驶，t1～t2内汽车以恒定功率P2行驶．设汽车所受牵引力为F，则由P＝Fv得，当v增加时，F减小，由a＝知a减小，又因速度不可能突变，所以选项B、C、D错误，选项A正确．
[答案] A
5．(多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用．力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则( )
A．3t0时刻的瞬时功率为eq \f(5Ft0,m)
B．3t0时刻的瞬时功率为eq \f(15Ft0,m)
C．在t＝0到t＝3t0这段时间内，水平力的平均功率为eq \f(23Ft0,4m)
D．在t＝0到t＝3t0这段时间内，水平力的平均功率为eq \f(25Ft0,6m)
解析：选BD．由运动学公式可得2t0时刻物体的速度v1＝·2t0＝，3t0时刻物体的速度v＝v1＋t0＝，所以3t0时刻的瞬时功率P＝3F0v＝eq \f(15Ft0,m)，选项B正确，选项A错误；在t＝0到t＝3t0由运动学公式可求得s1＝(2t0)2＝eq \f(2F0t,m)，s2＝v1t0＋t＝eq \f(7F0t,2m)，这段时间内水平力做的功为W＝F0s1＋3F0s2＝eq \f(25Ft,2m)，水平力的平均功率P＝＝eq \f(25Ft0,6m)，选项D正确，选项C错误．
[随堂检测]
1．如图所示，用同样的力F拉同一物体，在甲(光滑水平面)、乙(粗糙水平面)、丙(光滑斜面)、丁(粗糙斜面)上通过同样的距离，则拉力F的做功情况是( )
A．甲中做功最少 B．丁中做功最多
C．做功一样多 D．无法比较
解析：选C．功是力和在力的方向上的位移的乘积，四种情况下力和在力的方向上的位移都相同，所以四种情况做功一样多．或由W＝Fscos α计算，也可判断出四种情况做功一样多．
2．(多选)
如图所示，在匀加速运动的车厢内一个人用力向前推车厢，若人与车厢始终保持相对静止，则以下结论中正确的是( )
A．人对车厢的推力不做功
B．人对车厢的摩擦力做负功
C．人对车厢的作用力不做功
D．人对车厢的作用力做负功
解析：选BD．在水平方向上，人对车厢的作用力有两个：对车厢向前的推力和对车厢地板向后的摩擦力．车厢的运动方向向右，所以人对车厢的推力做正功，人对车厢的摩擦力做负功，故选项A错误，B正确；由于人随车厢向前做匀加速运动，故车厢对人的总的作用力(即车厢对人的推力和摩擦力的合力)向前，人对车厢的总的作用力向后，所以人对车厢所做的总功为负功，故选项C错误，D正确．
3．关于功率公式P＝和P＝Fv的说法正确的是( )
A．由P＝可知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率
B．由P＝Fv只能求某一时刻的瞬时功率
C．由P＝Fv知，汽车的功率和它的速度成正比
D．由P＝Fv知，当汽车的发动机功率一定时，牵引力与速度成反比
解析：选D．P＝计算的是时间t内的平均功率，P＝Fv既可计算瞬时功率，也可计算平均功率，但由于涉及三个量，只有在一个量确定不变时，才能判断另外两个量之间的关系，故D正确．
4．汽车发动机的额定功率为P，汽车的质量为m，若汽车在水平路面从静止开始以恒定的加速度a做匀加速直线运动，受到的阻力恒为f，则这一过程能持续的时间为( )
A． B．
C． D．
解析：选D．汽车以恒定的加速度a匀加速运动，汽车的牵引力为F＝f＋ma，随着速度不断增加，牵引力不变，则功率不断增大，达到额定功率时，匀加速运动结束，此时汽车的速度为v＝，又知v＝at，那么，汽车匀加速运动的时间为t＝＝，选项D正确．
5．(选做题)一辆汽车质量为2×103 kg，最大功率为3×104 W，在水平路面由静止开始做直线运动，最大速度为v2，运动中汽车所受阻力恒定．发动机的最大牵引力为6×103 N，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数的关系如图所示．试求：
(1)根据图线ABC判断汽车做什么运动？
(2)v2的大小；
(3)整个运动中的最大加速度；
(4)当汽车的速度为10 m/s时发动机的功率为多大？
解析：(1)图线AB表示牵引力F不变，阻力f不变，汽车做匀加速直线运动，图线BC的斜率表示汽车的功率P，P不变，则汽车做加速度减小的加速运动，直至达最大速度v2，此后汽车做匀速直线运动．
(2)汽车速度为v2，牵引力为F1＝2×103 N，
v2＝＝ m/s＝15 m/s．
(3)汽车做匀加速直线运动时的加速度最大，
阻力f＝＝ N＝2 000 N
a＝＝ m/s2＝2 m/s2．
(4)与B点对应的速度为
v1＝＝ m/s＝5 m/s
当汽车的速度为10 m/s时处于图线BC段，故此时的功率为最大功率，Pm＝3×104 W．
答案：(1)见解析 (2)15 m/s (3)2 m/s2
(4)3×104 W
[课时作业][学生用书P105(单独成册)]
一、单项选择题
1．下列关于力做功的说法中正确的是( )
A．人用力F＝300 N将足球踢出，而球在空中飞行40 m，人对足球做功1 200 J
B．人用力推物体，但物体未被推动，人对物体做功为零
C．物体竖直上升时，重力不做功
D．只有恒力才能做功，变力不能做功
解析：选B．人踢足球的力只存在于球飞出的瞬间，而球在空中飞行40 m的过程，不受人踢足球的力，A错；物体没有被推动，位移为零，人对物体做功为零，B对；物体竖直上升时，重力做负功，C错；任何力都有可能做功，D错．
2．如图所示，一小孩和一大人匀速推动相同的木箱，在相同的路面走同样的位移(推箱的速度如图中所注)，比较此过程中两人分别对木箱做功的多少，下列说法正确的是( )
A．大人做的功多
B．小孩做的功多
C．大人和小孩做的功一样多
D．条件不足，无法判断
解析：选C．木箱匀速运动，所以推力等于摩擦力，即F＝μmg，根据功的计算公式，推力所做的功W＝Fscos α＝μmgscos α，所以大人和小孩做的功一样多，C正确．
3．如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下列说法正确的是( )
A．摩擦力对皮带不做功
B．P物体克服摩擦力做功
C．摩擦力对P做正功
D．合力对P做正功
解析：选C．物体匀速运动，受到沿斜面向上的静摩擦力，f与v同向，做正功，选项C正确．
4．关于P＝和P＝Fv，下列说法中正确的是( )
A．两式中的P一定是指作用在物体上的合力的功率
B．某一个力做的功越多，则这个力的功率一定越大
C．只有F为恒力时，P＝Fv才适用
D．当v是平均速度时，P是与该平均速度对应的平均功率
解析：选D．功率可以是指某一个力做功的快慢，也可以指合外力做功的快慢，选项A错误；做功多，做功不一定快，选项B错误；关系式P＝Fv对于变力的功率也适用，选项C错误；关系式P＝Fv中的速度v若是平均速度，则功率就是与之对应的平均功率，选项D正确．
5．汽车在平直公路上行驶，前一段时间内发动机的功率为P1，后一段时间内的功率为P2．已知在两段时间内发动机做的功相等，则在全部时间内发动机的平均功率为( )
A． B．
C． D．
解析：选D．设两段时间内发动机所做的总功为2W，则所用时间t＝＋，所以平均功率为P＝＝．
6．
质量为m的物体沿底面长度为L、倾角不同的a、b、c三个斜面顶端滑下，如图所示．物体和斜面间的动摩擦因数相同，a、b、c三个斜面与水平面的夹角关系是θ1>θ2>θ3．物体从a、b、c三个斜面顶端滑到底端的过程中，摩擦力做功分别是W1、W2和W3，则它们的关系是( )
A．W1>W2>W3
B．W1＝W3>W2
C．W1D．W1＝W2＝W3
解析：选D．以斜面a为研究对象，当物体在斜面a上运动时W1＝－F1s＝－μmgcos θ1·＝－μmgL
同理得W2＝－μmgL，W3＝－μmgL
因此选项D正确．
二、多项选择题
7．如图所示，物体在水平桌面上，当对它施加如图甲所示的拉力F，使它由静止发生位移s；当对它施加如图乙所示的推力F，使它由静止发生位移s．F与水平方向的夹角均为α，则关于做功的下述说法中正确的是( )
A．图乙中F做功多
B．图甲、乙中F做功相同
C．图乙中克服摩擦力做功多
D．图甲、乙中克服摩擦力做功相同
解析：选BC．力F做功WF＝Fscos α，两图中F做功相同，选项A错误，选项B正确；由于摩擦力f甲＝μ(mg－Fsin α)，f乙＝μ(mg＋Fsin α)，所以克服摩擦力做功W甲＝f甲s＝μ(mg－Fsin α)s，W乙＝f乙s＝μ(mg＋Fsin α)s，选项C正确，选项D错误．
8．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的有用功率达到最大值P，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升为止，物体上升的高度为h，则整个过程中，下列说法正确的是( )
A．钢绳的最大拉力为
B．钢绳的最大拉力为
C．重物的最大速度v2＝
D．重物匀加速运动的加速度为－g
解析：选BCD．由F－mg＝ma和P＝Fv可知，重物匀加速上升过程中钢绳拉力大于重力且不变，达到最大功率P以后，随着v的增大，钢绳拉力F变小，当F＝mg时重物达到最大速度v2，故v2＝，最大拉力F＝mg＋ma＝，A错误，B、C正确．由－mg＝ma得a＝－g，D正确．
9．质量为m的汽车由静止开始以加速度a做匀加速运动，经过时间t，汽车达到额定功率，则下列说法正确的是( )
A．at是汽车额定功率下的速度最大值
B．at不是汽车额定功率下速度最大值
C．汽车的额定功率是ma2t
D．题中所给条件求不出汽车的额定功率
解析：选BD．汽车在额定功率下的最大速度是a＝0时，vm＝＝，故A项错误，B项正确；汽车的功率是牵引力的功率，不是合力的功率，故C项错误；由F－f＝ma，F＝f＋ma，因f不知，则F不知，故求不出汽车的额定功率，故D项正确．
10．如图所示，用恒定的拉力F拉置于光滑水平面上的质量为m的物体，由静止开始运动时间t，拉力F斜向上与水平面夹角为θ＝60°．如果要使拉力做的功变为原来的4倍，在其他条件不变的情况下，可以将( )
A．拉力变为2F
B．时间变为2t
C．物体质量变为
D．拉力大小不变，但方向改为与水平面平行
解析：选ABD．由s＝at2＝·t2，
W＝Fscos 60°＝t2，
当F′＝2F时，W′＝4W；
当时间变为2t时，W′＝4W；
当m′＝m时，W′＝2W；
当θ＝0°时，W′＝4W；
由此可知，C错，A、B、D对．
三、非选择题
11．
如图所示，质量m＝2 kg的物体静止在水平地面上，受到与水平面成θ＝37°，大小F＝10 N的拉力作用，物体移动了s＝2 m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0．3，g取10 m/s2，求：
(1)拉力F所做的功W1；
(2)摩擦力f所做的功W2；
(3)重力G所做的功W3；
(4)弹力N所做的功W4；
(5)合力F合所做的功W．
解析：
对物体进行受力分析，如图所示．
(1)W1＝Fscos θ＝10×2×0．8 J＝16 J．
(2)N＝G－Fsin θ
＝20 N－10×0．6 N＝14 N
f＝μN＝0．3×14 N＝4．2 N
W2＝fscos 180°＝－4．2×2 J＝－8．4 J．
(3)W3＝Gscos 90°＝0．
(4)W4＝Nscos 90°＝0．
(5)W＝W1＋W2＋W3＋W4＝7．6 J
或由合力求总功
F合＝Fcos θ－f＝10×0．8 N－4．2 N＝3．8 N
F合与s方向相同，则W＝F合s＝3．8×2 J＝7．6 J．
答案：(1)16 J (2)－8．4 J (3)0 (4)0 (5)7．6 J
12．汽车的质量为2．0 t，汽车发动机的额定功率为60 kW，在平直的公路上行驶的最大速度为108 km/h，试讨论：
(1)若汽车由静止开始以加速度a＝1．5 m/s2启动，能维持多长时间？
(2)若接着以额定功率运行，再经t1＝15 s到达最大速度，那么汽车启动过程中发动机共做了多少功？
解析：(1)以额定功率运行且牵引力等于阻力时，速度达到最大
阻力f＝＝ N＝2．0×103 N
设匀加速阶段的牵引力为F，由F－f＝ma得
F＝f＋ma＝5．0×103 N
匀加速阶段的末速度为v＝＝12 m/s
能维持的时间为t＝＝ s＝8 s．
(2)匀加速阶段的位移s＝at2＝48 m，发动机做的功W1＝Fs＝5．0×103×48 J＝2．4×105 J
t1内发动机做的功W2＝Pt1＝60×103×15 J＝9×105 J
所以发动机共做功W＝W1＋W2＝1．14×106 J．
答案：(1)8 s (2)1．14×106 J
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