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第4章 能量守恒与可持续发展
第4章 能量守恒与可持续发展
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研究机械能守恒定律
1．知道机械能守恒的条件，掌握机械能守恒定律．(重点) 2．学会验证机械能守恒的实验方法．
3．从理论分析和理论推导机械能守恒定律．(难点) 4．应用机械能守恒定律解决基本问题．
一、什么是机械能
1．定义：物体的动能与势能之和称为机械能．
2．表达式：E＝Ek＋Ep．
二、研究机械能守恒定律
1．重力势能可以转化为动能：打桩机重锤在下落过程中，重力对重锤做正功，重锤的重力势能减少．在这个过程中，重锤的速度增加了，表示重锤的动能增加了．这说明，重锤原来具有的重力势能转化成了动能．
2．动能也可以转化为重力势能：原来具有一定速度的物体，由于惯性在空中竖直上升或沿光滑斜面上升，这时重力做负功，物体的速度减小，表示物体的动能减小了．但这时物体的高度增加，表示它的重力势能增加了．这说明，物体原来具有的动能转化成了重力势能．
3．弹性势能与动能之间也能相互转化：不仅重力势能可以与动能相互转化，弹性势能也可以与动能相互转化．被压缩的弹簧具有弹性势能，当弹簧恢复原来形状时，就把跟它接触的物体弹出去．这一过程中，弹力做功，弹簧的弹性势能减小，而物体得到一定的速度，动能增加．
4．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．即
E＝Ek＋Ep＝恒量．
(2)适用条件：只有重力做功或系统内弹力做功．
(3)表达式：ΔEk＝ΔEp或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2．
如图所示为游乐场中的高架滑车(也叫“疯狂的老鼠”)，滑车从最高点自由滑下，随高度的降低，滑车运动得越来越快，游客感到疯狂和刺激．
滑车在下滑过程中，动能和势能是怎样转化的？总的机械能遵循怎样的规律呢？
提示：滑车在下滑过程中，重力做功，重力势能减小，动能增大，重力势能转化为动能；当滑车上升时，滑车克服重力做功，重力势能增加，动能减小．可见，在运动中，滑车的重力势能和动能相互转化，总的机械能会保持一个定值不变．
对机械能守恒定律的理解
1．对机械能守恒条件的理解
(1)从能量转化的角度看，只有系统内动能和势能相互转化，无其他形式能量之间(如内能)的转化
(2)从系统做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现在：
①只有重力(和弹簧弹力)做功，如所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)，机械能守恒．
②只有重力和系统内的弹力做功，如图所示．
在图甲中，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如果不计空气阻力，只有重力做功，小球的机械能守恒．
在图乙中，A、B间，B与地面间摩擦不计，A从B上自由下滑过程中，只有重力和A、B间弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒．但对B来说，A对B的弹力做功，但这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒．
在图丙中，不计空气阻力，球在摆动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒，但对球来说，机械能不守恒．
2．机械能守恒定律的表达式及举例
表达方式 说明 注意点 举例 方程
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2 初状态Ⅰ的机械能等于末状态Ⅱ的机械能 需选择一合适的参考面 mgh1＋mv＝mg·2R＋mv
ΔEk＝－ΔEp 物体减少的势能等于增加的动能 从初状态Ⅰ到末状态Ⅱ的过程中 mv－mv＝mgh1－mgh2
ΔEa＝－ΔEb 将一个系统分为两部分，一部分增加的机械能等于另一部分减少的机械能 (1)单就某一部分机械能不守恒(2)从状态Ⅰ到状态Ⅱ的过程中 eq \b\lc\((\a\vs4\al\co1(\f(1,2)m2v－))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)·m2v))－m2gh＝－ m1v－eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)m1v))
如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b，a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧，从静止开始释放b后，求a可能达到的最大高度为多少？
[思路点拨] b球落地之前，a和b组成的系统机械能守恒．b落地后，a单独上升的过程中，a球的机械能守恒．
[解析] 在b落地前，a、b组成的系统机械能守恒，且a、b两物体速度大小相等，设速度为v．
法一：根据“守恒观点”
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，取地面处重力势能为零，则初状态系统的机械能为3mgh，末状态的机械能为
mgh＋mv2＋·3mv2，根据机械能守恒定律有
3mgh＝mgh＋mv2＋·3mv2
解得v＝．
法二：根据“转化观点”
系统减少的重力势能转化为系统的动能，即
ΔEp＝－ΔEk，则有3mgh－mgh＝mv2＋·3mv2
解得v＝．
法三：根据“转移观点”
由题意可知，b球减少的机械能等于a球增加的机械能，即ΔEa＝－ΔEb，则有
3mgh－×3mv2＝mgh＋mv2
解得v＝．
b球落地时，a球高度为h，之后a球向上做竖直上抛运动，过程中机械能守恒，mv2＝mgΔh?Δh＝＝，所以a可能达到的最大高度为1．5h．
[答案] 1．5h
eq \a\vs4\al()
应用机械能守恒定律列方程的两条基本思路：
(1)守恒观点
始态机械能等于终态机械能，即：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2．
(2)转化或转移观点
①动能(或势能)的减少量等于势能(或动能)的增加量，即：Ek1－Ek2＝Ep2－Ep1．
②一个物体机械能的减少(或增加)量等于其他物体机械能的增加(或减少)量，即：EA1－EA2＝EB2－EB1．
1．
如图所示，质量m＝50 kg 的跳水运动员从距水面高h＝10 m的跳台上以v0＝5 m/s的速度斜向上起跳，最终落入水中，若忽略运动员的身高，取g＝10 m/s2．求：
(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为参考平面)．
(2)运动员起跳时的动能．
(3)运动员入水时的速度大小．
解析：(1)以水面为零重力势能参考平面，则运动员在跳台上时具有的重力势能为Ep＝mgh＝5 000 J．
(2)运动员起跳时的速度为v0＝5 m/s，则运动员起跳时的动能为Ek＝mv＝625 J．
(3)运动员从起跳到入水过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒，则mgh＋mv＝mv2，即v＝15 m/s．
答案：(1)5 000 J (2)625 J (3)15 m/s
机械能守恒中的“轻杆”模型
质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定轴O，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置时，求：
(1)若已知运动过程中Q的速度大小是P的2倍，小球P的速度大小．
(2)在此过程中小球P机械能的变化量．
[解析] (1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，Q球的速度为2v．由机械能守恒定律得2mg·L－mg·L＝mv2＋2m(2v)2
解得v＝．
(2)小球P机械能增加量为
ΔE＝mg·L＋mv2＝mgL．
[答案] (1) (2)增加mgL
eq \a\vs4\al()
(1)建模背景：轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型．
(2)模型特点
①杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，若杆对物体做功，单个物体机械能不守恒．
②对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．
2．
如图所示，有一轻质杆OA可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端A点和中点B各固定一个质量为m的小球，杆长为L．开始时，杆静止在水平位置，求释放杆后，当杆转到竖直位置时vA＝2vB，则A、B两小球的速度各是多少？
解析：把A、B两小球和杆看成一个系统，杆对A、B两小球的弹力为系统的内力，对系统而言，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒．
以A球在最低点所处的水平面为零势能参考平面，则
初状态：系统动能Ek1＝0，重力势能Ep1＝2mgL
末状态(即杆转到竖直位置)：系统动能Ek2＝mv＋mv，重力势能Ep2＝mgL
由机械能守恒定律得
2mgL＝mgL＋mv＋mv ①
其中vA＝2vB ②
联立①②式解得vA＝ ＝2 ，vB＝ ．
答案：2
验证机械能守恒
1．实验原理：在只有重力作用的自由落体运动中，物体的重力势能和动能可以互相转化，但总机械能守恒．
法一：若某一时刻物体下落的瞬时速度为v，下落高度为h，则应有mgh＝mv2，借助打点计时器，测出重物某时刻的下落高度h和该时刻的瞬时速度v，即可验证机械能是否守恒．
法二：任意找两点A、B，分别测出两点的速度大小vA、vB以及两点之间的距离d．若物体的机械能守恒，应有ΔEp＝－ΔEk．
测定第n点的瞬时速度的方法是：测出第n点的前、后相邻的两段相等时间T内下落的距离sn和sn＋1，由公式vn＝，或由vn＝算出．
2．实验数据处理
(1)公式法：本实验中不需要测出物体的质量m，只需要验证ΔEp＝ΔEk，mgh＝mv2，即v2＝gh即可．
(2)图像法：我们可以以v2为纵轴，以h为横轴，建立平面直角坐标系，将实验得到的描于坐标平面内，然后来描合这些点，应该得到一条过原点的直线，这是本实验中另一处理数据的方法．
3．实验注意事项
(1)打点计时器安装时，必须使两纸带限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦阻力．
(2)实验时，需保持提纸带的手不动，待接通电源，让打点计时器工作正常后才松开纸带让重物下落，以保证第一个点是一个清晰的小点．
(3)选用纸带时应尽量挑第一、二点间距接近2 mm的纸带．
(4)测量下落高度时，都必须从起始点算起，不能搞错，为了减小测量值h时的相对误差，选取的各个计数点要离起始点远一些，纸带也不宜过长，有效长度可在60 cm～80 cm以内．
(5)因不需要知道动能和势能的具体数值，所以不需要测量重物的质量．
用落体法验证机械能守恒定律的实验中：
(1)运用公式 ＝mgh对实验条件的要求是 ，为此目的，所选择的纸带第1、2两点间的距离应接近 ．
(2)若实验中所用重锤的质量m＝1 kg，打点纸带如图所示，打点时间间隔为0．02 s，则记录B点时，重锤速度vB＝ ，重锤动能Ek＝ ，从开始下落起至B点重锤的重力势能减少量是 ，由此可得出的结论是 ．
(3)根据纸带算出相关各点的速度v，量出下落距离h，则以为纵轴，以h为横轴画出的图像应是下图中的哪个( )
[解析] (1)物体从静止开始自由下落时，在0．02 s内的位移应为h＝gt2＝×9．8×(0．02)2 m≈2 mm．
(2)vB＝eq \f(,2T)＝ m/s＝0．59 m/s，此时重锤的动能为：Ek＝mv＝×1×(0．59)2 J≈0．17 J，物体的重力势能减小量为：
ΔEp＝mgh＝1×9．8×17．6×10－3 J≈0．17 J．
(3)由机械能守恒定律可知，mgh＝mv2，即验证机械能守恒定律成立，只需验证 ＝gh即可．如以纵坐标为，横坐标为h，则图像应为过原点，且斜率为g的直线，故选项C正确．可见用图像处理实验数据更形象直观．在－h图像中，只要斜率k＝g，即表明机械能守恒．
[答案] (1)打第一个点时重物的初速度为零 2 mm
(2)0．59 m/s 0．17 J 0．17 J 机械能守恒 (3)C
3．某次“验证机械能守恒定律”的实验中，用6 V、50 Hz的打点计时器打出的一条无漏点的纸带如图所示，O点为重锤下落的起点，选取的计数点为A、B、C、D，各计数点到O点的长度已在图上标出，单位为毫米，重力加速度取9．8 m/s2，若重锤质量为1 kg．
(1)打点计时器打出B点时，重锤下落的速度vB＝ m/s，重锤的动能EkB＝ J．
(2)从开始下落算起，打点计时器打B点时，重锤的重力势能减小量为 J．
(3)根据纸带提供的数据，在误差允许的范围内，重锤从静止开始到打出B点的过程中，得到的结论是 ．
解析：(1)打点时间间隔为T＝ s＝0．02 s，则vB＝＝1．175 m/s；重锤的动能为
EkB＝mv＝×1×(1．175)2 J＝0．690 3 J．
(2)从开始下落算起，打点计时器打B点时重力势能的减少量为ΔEp＝mgh＝1×9．8×70．5×10－3J＝0．690 9 J．
(3)在误差允许的范围内，减小的重力势能等于增加的动能．
答案：(1)1．175 0．690 3 (2)0．690 9
(3)在误差允许的范围内，减小的重力势能等于增加的动能
[随堂检测]
1．下列几种情况中，系统的机械能守恒的是( )
A．图甲中一颗弹丸在碗内做速率不变的螺旋运动
B．图乙中运动员在蹦床上越跳越高
C．图丙中小车上放一木块，小车的左侧由弹簧与墙壁相连．小车在左右振动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)
D．图丙中如果小车振动时，木块相对于小车有滑动
解析：选C．弹丸在碗内做速率不变的螺旋运动时，除重力做功外，还会有其它力做功，系统机械能不守恒，故A错误；运动员越跳越高，表明她不断做功，机械能不守恒，故B错误；由于一对静摩擦力做的总功为零，故系统中只有弹簧弹力做功，故系统机械能守恒，故C正确；滑动摩擦力做功，系统机械能不守恒，故D错误．
2．(多选)
如图所示，一物体在直立弹簧的上方h处下落，然后又被弹回，若不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．物体在任何时刻的机械能都跟初始时刻的机械能相等
B．物体和弹簧组成的系统任何两时刻机械能相等
C．在重力和弹簧的弹力相等时，物体的速度最大
D．物体在把弹簧压缩到最短时，它的机械能最小
解析：选BCD．物体与弹簧接触前，自由下落，其机械能守恒，但与弹簧接触后，弹簧弹力对物体做功，物体机械能不守恒，物体与弹簧组成的系统机械能守恒，选项A说法错误，选项B说法正确；物体与弹簧接触后加速下落，弹簧弹力不断增大，物体下落的加速度不断减小，当弹簧弹力等于物体重力时，加速度减为零，速度达到最大，选项C说法正确；根据能量守恒可知，弹簧被压缩至最短时，弹簧的弹性势能最大，物体的机械能最小，选项D说法正确．
3．(多选)如图所示是用自由落体法验证机械能守恒定律时得到的一条纸带，有关尺寸在图中已注明．我们选中n点来验证机械能守恒定律．下面举出一些计算n点速度的方法，其中正确的是( )
A．n点是第n个点，则vn＝gnT
B．n点是第n个点，则vn＝g(n－1)T
C．vn＝
D．vn＝
解析：选CD．n点的瞬时速度等于sn与sn＋1段的平均速度．
4．
如图所示，小球的质量为m，自光滑的斜槽的顶端无初速度滑下，沿虚线轨迹落地，不计空气阻力，则小球着地瞬间的动能和重力势能分别是(选取斜槽末端切线所在平面为参考平面)( )
A．mg(h＋H)，－mgh B．mg(h＋H)，mgh
C．mgH，0 D．mgH，－mgH
解析：选A．选取斜槽末端切线所在平面为零势能参考平面，小球初始状态的重力势能为Ep1＝mgH，落地时的重力势能为Ep2＝－mgh，小球下落过程机械能守恒，则有mgH＝Ek＋(－mgh)，即Ek＝mg(h＋H)，选项A正确，其他选项均错误．
5．游乐场的过山车的运动过程可以抽象为下图所示模型．弧形轨道下端与圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端A点静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开．
(1)试分析A点离地面的高度h至少要多大，小球才可以顺利通过圆轨道最高点(已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力)．
(2)小球刚过圆轨道最低点时，对轨道的压力是多大？
解析：(1)由机械能守恒定律得：mgh＝mg2R＋mv2
在圆轨道最高处：mg＝meq \f(v,R)
v＝v0
解得h＝R．
(2)到最低点的速度设为v1
由机械能守恒定律得
mg·2．5R＝mv
又N－mg＝meq \f(v,R)
解得N＝6mg
由牛顿第三定律可得，小球对轨道的压力为6mg．
答案：(1)R (2)6mg
[课时作业][学生用书P113(单独成册)]
一、单项选择题
1．关于机械能是否守恒，下列说法中正确的是( )
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做圆周运动的物体机械能一定守恒
C．做变速运动的物体机械能可能守恒
D．合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒
解析：选C．做匀速直线运动的物体与做圆周运动的物体，如果还受到摩擦力的作用，则机械能不守恒，选项A、B错误；做变速运动的物体，如一切不计空气阻力的抛体运动，机械能都守恒，选项C正确；合外力做功不为零，机械能可能守恒，如自由落体运动，选项D错误．
2．
如图所示，某同学利用橡皮条将模型飞机弹出，在弹出过程中，下列说法不正确的是( )
A．橡皮条收缩，弹力对飞机做功
B．模型飞机的动能增加
C．橡皮条的弹性势能减少
D．模型飞机的重力势能减小，转化为飞机的动能
解析：选D．在飞机弹出过程中，橡皮条对飞机做正功，弹性势能减少，模型飞机的动能增加．
3．
如图是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲器结构图，图中①和②为楔块，③和④为垫板，楔块与弹簧盒、垫板间均有摩擦，在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中( )
A．缓冲器的机械能守恒
B．摩擦力做功消耗机械能
C．垫板的动能全部转化为内能
D．弹簧的弹性势能全部转化为动能
解析：选B．由于车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中存在克服摩擦力做功，所以缓冲器的机械能减少，选项A错误、B正确；弹簧压缩的过程中，垫板的动能转化为内能和弹簧的弹性势能，选项C、D错误．
4．在物体自由下落过程中，下列说法正确的是( )
A．动能增大，势能减小，机械能增大
B．动能减小，势能增大，机械能不变
C．动能增大，势能减小，机械能不变
D．动能不变，势能减小，机械能减小
解析：选C．在自由下落过程中，只有重力做功，物体的机械能守恒，重力势能不断减小，动能不断增大，选项C正确．
5．运动会中的投掷链球、铅球、铁饼和标枪等体育比赛项目都是把物体斜向上抛出的运动，如图所示，若不计空气阻力，这些物体从被抛出到落地的过程中( )
A．物体的机械能先减小后增大
B．物体的机械能先增大后减小
C．物体的动能先增大后减小，重力势能先减小后增大
D．物体的动能先减小后增大，重力势能先增大后减小
解析：选D．若不计空气阻力，这些物体被抛出后只有重力做功，故机械能均守恒，A、B均错误；因物体均被斜向上抛出，在整个运动过程中重力先做负功再做正功，因此重力势能先增大后减小，而动能先减小后增大，D正确，C错误．
6．
如图所示，质量为m的物体，以速度v离开高为H的桌子，当它落到距地面高为h的A点时，在不计空气阻力的情况下，下列判断正确的是( )
A．若取桌面为零势能面，物体在A点具有的机械能是mv2＋mgH
B．若取桌面为零势能面，物体在A点具有的机械能是mv2－mg(H－h)
C．物体在A点具有的动能是mv2＋mg(H－h)
D．物体在A点具有的动能大小与零势能面的选取有关，因此是不确定的
解析：选C．以桌面为零势能面时，物体最初机械能只有动能E1＝mv2，由于运动过程中只有重力做功，机械能守恒，故A点的机械能为mv2，选项A、B错误；由动能定理知物体在A点的动能为EkA＝mv2＋mg(H－h)，故选项C正确，D错误．
二、多项选择题
7．
如图所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦转动．现使轻杆从水平状态无初速度释放，发现杆绕O沿顺时针方向转动，则杆从释放起转动90°的过程中( )
A．B球的重力势能减少，动能增加
B．A球的重力势能增加，动能减少
C．A球的重力势能和动能都增加了
D．A球和B球的总机械能是守恒的
解析：选ACD．杆绕水平轴O顺时针转动，故mB>mA，则系统的总势能减少，减少的势能转化为A、B的动能．对于A、B来说，杆的弹力和重力对其做功，使得B球的重力势能减少，动能增加；A球的动能、重力势能都增加；但对系统来说杆做的功为0，故系统的机械能守恒．故选项A、C、D正确，选项B错误．
8．节日燃放礼花弹时，要先将礼花弹放入竖直的炮筒中，然后点燃发射部分，通过火药剧烈燃烧产生高压燃气，将礼花弹由筒底射向空中．若礼花弹在由筒底发射至筒口的过程中，克服重力做功为W1，克服炮筒阻力及空气阻力做功为W2，高压燃气对礼花弹做功为W3，则礼花弹在筒中的运动过程中(设它的质量不变)( )
A．动能变化量为W3－W2－W1
B．动能变化量为W1＋W2＋W3
C．机械能增加量为W3－W2－W1
D．机械能增加量为W3－W2
解析：选AD．动能变化量取决于合外力做的功，即重力、阻力、推动力做功的代数和，所以动能变化量为W3－W2－W1，A项正确，B项错误；机械能增加量取决于除重力外的其他力做的功，所以机械能增加量为W3－W2，C项错误，D项正确．
9．
如图所示，上表面有一段光滑圆弧的质量为M的小车A置于光滑水平面上，在一质量为m的物体B自圆弧上端自由滑下的同时释放A，则 ( )
A．在B下滑过程中，B的机械能守恒
B．轨道对B的支持力对B不做功
C．在B下滑的过程中，A和地球组成的系统机械能增加
D．A、B和地球组成的系统机械能守恒
解析：选CD．由于A不固定，所以在B下滑的过程中A向左运动，轨道对B的支持力与B的运动方向不再垂直，轨道支持力对B做负功，B的机械能减少，故A、B均错误．B对A的压力做正功，所以A的机械能增加，故C正确．对于A、B及地球组成的整体，在运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，故D正确．
三、非选择题
10．甲同学准备做“验证机械能守恒定律”实验，乙同学准备做“探究加速度与力、质量的关系”实验．
(1)图中A、B、C、D、E表示部分实验器材，甲同学需在图中选用的器材有 ；乙同学需在图中选用的器材有 ．(用字母表示)
(2)乙同学在实验室选齐所需器材后，经正确操作获得如图所示的两条纸带①和②．纸带 的加速度大(填“①”或“②”)，其加速度大小为 ．
解析：(1)要采用落体法做“验证机械能守恒定律”实验，需要下落的重物A和打点计时器B；要做“探究加速度与力、质量的关系”实验，需要研究对象小车D，拉动小车的钩码E及打点计时器B．
(2)纸带①的加速度大小为
a1＝
＝ m/s2
＝2．5 m/s2
纸带②的加速度大小为
a2＝
＝ m/s2
＝1．25 m/s2
因此纸带①的加速度大，大小为2．5 m/s2．
答案：(1)AB BDE
(2)① 2．5 m/s2(2．3～2．7 m/s2均可)
11．
如图所示，在大型露天游乐场中翻滚过山车的质量为1 t，从轨道一侧的顶点A处由静止释放，到达底部B处后又冲上环形轨道，使乘客头朝下通过C点，再沿环形轨道到达底部B处，最后冲上轨道另一侧的顶端D处，已知D与A在同一水平面上．A、B间的高度差为20 m，圆环半径为5 m，如果不考虑车与轨道间的摩擦和空气阻力，g取10 m/s2．试求：
(1)过山车通过B点时的动能．
(2)过山车通过C点时的速度．
(3)过山车通过D点时的机械能．(取过B点的水平面为零势能面)
解析：(1)过山车由A点运动到B点的过程中，由机械能守恒定律ΔEk增＝ΔEp减可得过山车在B点时的动能
mv－0＝mghAB
EkB＝mv＝mghAB＝103×10×20 J＝2×105 J．
(2)同理可得，过山车从A点运动到C点时有
mv－0＝mghAC
解得vC＝＝ m/s＝10 m/s．
(3)由机械能守恒定律可知，过山车在D点时的机械能就等于在A点时的机械能，取过B点的水平面为零势能面，则有ED＝EA＝mghAB＝103×10×20 J＝2×105 J．
答案：(1)2×105 J (2)10 m/s (3)2×105 J
12．如图所示，质量m＝70 kg的运动员以10 m/s的速度，从高h＝10 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，AB段光滑．(取g＝10 m/s2)
(1)求运动员到达最低点B时的速度大小；
(2)若运动员继续沿右边斜坡向上运动，在向上运动的过程中克服阻力做功3 500 J，求他能到达的高度．
解析：(1)根据机械能守恒定律得：
mv＋mgh＝mv
解得vB＝10 m/s．
(2)据动能定理得：
－mgH－W阻＝0－mv
解得：H＝10 m
运动员能到达的高度为10 m．
答案：(1)10 m/s (2)10 m
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