习题课 机械能守恒定律的应用
公式推论
1．动能：Ek＝mv2．
2．势能：Ep＝mgh．
3．重力做功和重力势能的关系：WG＝－ΔEp．
4．机械能守恒公式
(1)Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2．(2)ΔEk＝－ΔEp．
(3)ΔEA＝－ΔEB．
单物体机械能守恒问题
如图所示，质量为m的物体以某一初速度v0从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力．若物体通过最低点B的速度为3，求：
(1)物体在A点时的速度大小；
(2)物体离开C点后还能上升的高度．
[解析] (1)物体从A点运动到B点只有重力做功，设最低点B为零势能参考平面，由机械能守恒定律得mv＋mgh＝mv2，而h＝3R，v＝3，解得v0＝．
(2)物体由B点运动到C点再到最高点的过程，满足机械能守恒，设物体离开C点后还能上升h′，由机械能守恒定律得mv2＝mg(R＋h′)，v＝3，解得h′＝3．5R．
[答案] (1) (2)3．5R
1．如图所示，让摆球从图中A位置由静止开始下摆，正好摆到最低点B位置时线被拉断，设摆线长l＝1．6 m，O点离地高H＝5．8 m，不计绳断时的机械能损失，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)摆球刚到达B点时的速度大小；
(2)落地时摆球的速度大小．
解析：(1)摆球由A到B的过程中只有重力做功，故机械能守恒．根据机械能守恒定律得
mg(1－sin 30°)l＝mv
则vB＝＝＝ m/s＝4 m/s．
(2)设摆球落地点为题图中的D点，则摆球由B到D过程中只有重力做功，机械能守恒．根据机械能守恒定律得
mv＝mg(H－l)＋mv
则vD＝eq \r(v＋2g（H－l）)＝ m/s
＝10 m/s．
答案：(1)4 m/s (2)10 m/s
多物体组成的系统机械能守恒
如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为M的钩码相连．已知M＝2m，让绳拉直后使钩码从静止开始下降h(小于桌高)的距离，木块仍没离开桌面，则钩码的速度为多少？
[解析] M、m做初速度为零的匀加速直线运动，在运动过程中，只有重力做功，系统的机械能守恒．
法一：用ΔEk增＝ΔEp减求解．
在钩码下降h的过程中，系统增加的动能为
ΔEk增＝(M＋m)v2
系统减少的重力势能为ΔEp减＝Mgh
由ΔEk增＝ΔEp减得(M＋m)v2＝Mgh
解得v＝＝．
法二：用E初＝E末求解．
设M开始时离桌面的距离为x，取桌面所在的水平面为零势能参考平面，则系统的初机械能为E初＝－Mgx
系统的末机械能为E末＝－Mg(x＋h)＋(M＋m)v2
由E初＝E末得－Mgx＝－Mg(x＋h)＋(M＋m)v2
解得v＝．
法三：用ΔEA增＝ΔEB减求解．
在M下降的过程中，m增加的机械能为ΔEm增＝mv2
M减少的机械能为ΔEM减＝Mgh－Mv2
由ΔEm增＝ΔEM减得mv2＝Mgh－Mv2
解得v＝．
[答案]
2．
质量均为m的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为0．8 m，如图所示，若摩擦力均不计，从静止开始放手让它们运动，取g＝10 m/s2．求：
(1)物体A着地时的速度；
(2)物体A着地后物体B能沿斜面继续上滑的最大距离．(斜面足够长)
解析：(1)在A下落的过程中，A、B组成的系统只有重力和系统内轻绳上弹力做功，系统机械能守恒，取地面为零
势能面，则mgh＝mghsin 30°＋(2m)v2
代入数值解得v＝2 m/s．
(2)A着地后，B沿斜面上滑过程中只有重力做功，B的机械能守恒，沿斜面的速度减为零时，上滑的距离最大，则mghsin 30°＋mv2＝mg(h＋sm)sin 30°
代入数值解得sm＝0．4 m．
答案：(1)2 m/s (2)0．4 m
功能关系的分析
物体以60 J的初动能从A点竖直上抛，上升到某高度时动能损失30 J．而机械能损失10 J．设空气阻力大小恒定，求落回A点时动能应为多少？
[解析] 物体损失的动能等于物体克服外力做的功(包括克服重力做功和克服空气阻力做功)，损失的动能
ΔEk＝mgh＋fh＝(mg＋f)h ①
损失的机械能等于克服空气阻力做的功，ΔE＝fh ②
得＝＝常数，与h无关
由题知此常数＝，则物体上升到最高点时动能减少了60 J，损失的机械能为20 J，故物体从开始上抛到落回原处的过程中机械能总共损失40 J．因此它落回A点时的动能为20 J．
[答案] 20 J
3．(多选)
如图所示，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度，沿斜面向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小g．若物块上升的最大高度为H，则此过程中，物块的( )
A．动能损失了2mgH B．动能损失了mgH
C．机械能损失了mgH D．机械能损失了mgH
解析：选AC．运动过程中有摩擦力做功，考虑动能定理和功能关系．物块以大小为g的加速度沿斜面向上做匀减速运动，运动过程中F合＝mg，由受力分析知摩擦力f＝mg，当上升高度为H时，位移s＝2H，由动能定理得ΔEk＝－2mgH；由功能关系知ΔE＝Wf＝－mgs＝－mgH，选项A、C正确．
1．2015年3月15日世界跳水系列赛北京站顺利结束，“梦之队”包揽十金，假如质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速直线运动，设水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是(g为当地的重力加速度)( )
A．他的动能减少了Fh
B．他的重力势能增加了mgh
C．他的机械能减少了(F－mg)h
D．他的机械能减少了Fh
解析：选D．运动员动能的减少等于克服合外力做的功，为(F－mg)h，A选项错；他的重力势能减少了mgh，B选项错；机械能的减少等于克服阻力做的功，为Fh，C选项错，D选项对．
2．质量为m的物体，以初速度v0由固定的光滑斜面的底端沿斜面向上滑动，在滑动过程中，当高度为h时，以经过底端的水平面为参考面，该物体具有的机械能为( )
A．mv B．mv＋mgh
C．mgh D．mv－mgh
解析：选A．由机械能守恒定律可知，物体在高h处时的机械能与在斜面底端时机械能相等，为mv，A选项对．
3．(多选)
内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙．现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点(如图所示)，由静止释放后( )
A．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D．乙球从右向左滑回时，一定能回到凹槽的最低点
解析：选AD．由于甲、乙组成的系统机械能守恒，所以下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能，乙球从右向左滑回时，可以回到其出发点，即凹槽最低点，故A、D正确，B错误．如果甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点，则机械能增加，故C错误．
4．(多选)
如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长．圆环从A处由静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，AC＝h．圆环在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A．弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g．则圆环( )
A．下滑过程中，加速度一直减小
B．下滑过程中，克服摩擦力做的功为mv2
C．在C处，弹簧的弹性势能为mv2－mgh
D．上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度
解析：选BD．圆环下落时，先加速，在B位置时速度最大，加速度减小至0．从B到C圆环减速，加速度增大，方向向上，选项A错误．圆环下滑时，设克服摩擦力做功为Wf，弹簧的最大弹性势能为ΔEp，由A到C的过程中，根据功能关系有mgh＝ΔEp＋Wf．由C到A的过程中，有mv2＋ΔEp＝Wf＋mgh．联立解得Wf＝mv2，ΔEp＝mgh－mv2．选项B正确，选项C错误．设圆环在B位置时，弹簧弹性势能为ΔE′p，根据能量守恒，A到B的过程有mv＋ΔE′p＋W′f＝mgh′，B到A的过程有mv′＋ΔE′p＝mgh′＋W′f，比较两式得v′B>vB，选项D正确．
5．
如图所示，物体A和B系在跨过光滑定滑轮的细绳两端，物体A的质量mA＝1．5 kg，物体B的质量mB＝1 kg．开始时把A托起来，使B刚好与地面接触，此时物体A离地面高度为h＝1 m，放手让A从静止开始下落，g取10 m/s2，求：(不计空气阻力)
(1)当A着地时，A的速度多大？
(2)物体A落地后，B还能上升多高？
解析：(1)系统重力势能的减少量为ΔEp＝(mA－mB)gh
系统动能的增加量为ΔEk＝(mA＋mB)v2
系统的机械能是守恒的，故(mA－mB)gh＝(mA＋mB)v2
解得v＝2 m/s．
(2)A落地后，B以2 m/s的初速度竖直向上运动，设B能上升的最大高度为H，由机械能守恒定律得
mBgH＝mBv2，解得H＝0．2 m．
答案：(1)2 m/s (2)0．2 m
6．
如图所示，水平放置的传送带与一光滑曲面相接(间隙很小)，一小滑块质量为m＝0．1 kg，从离传送带h＝0．2 m 高处由静止滑下，传送带水平部分长s＝1．8 m，滑块与传送带间的动摩擦因数μ＝0．1(g取10 m/s2)．
(1)把传送带固定不动，问滑块能否滑离传送带？产生的热量为多少？
(2)若传送带以速度v2＝1 m/s逆时针匀速运动，滑块能否滑离传送带？产生多少热量？
解析：(1)假设传送带足够长，对整个过程运用动能定理mgh－μmgsc＝0
要使滑块停下来，传送带至少长sc＝＝2．0 m
s产生的热量Q1＝μmgΔs1＝μmgs＝0．18 J．
(2)传送带逆时针转动，且s滑块在斜面上下滑的过程中，由机械能守恒定律得
mgh＝mv
刚到达传送带时，v0＝＝2 m/s
由μmg＝ma得，滑块在传送带上运动的加速度
a＝μg＝1 m/s2
由s＝v0t2－at得，在传送带上的滑动时间
t2＝(2－) s＝ s
所以传送带上任一点通过的路程为
s2＝v2t2＝ m
总共产生的热量为
Q2＝μmgΔs2＝μmg(s＋s2)≈0．32 J．
答案：(1)能 0．18 J (2)能 0．32 J
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第4章 能量守恒与可持续发展
理论储备·基础回顾
条分缕析·夯基固本
A
2R
C
R
典题分类讲练结合
分类讲解·举一反三
