从托勒密到开普勒 万有引力定律是怎样发现的
1．了解人类对天体运动认识的发展史，理解开普勒三大定律．(重点) 2．了解万有引力定律得出的思路和过程． 3．理解万有引力及万有引力定律的含义并会推导．(重点)
一、托勒密集古代天文学研究之大成
公元150年，托勒密构筑了宇宙“地心体系”的九重天模型，他的这个模型能够预报相当长时间内的行星位置、日食和月食的发生等．
二、哥白尼迎来了科学的春天
1．波兰天文学家哥白尼认为太阳是宇宙的中心．地球和其他行星都绕太阳做匀速圆周运动的学说，又称“日心地动说”或“日心体系”．
2．哥白尼运用他的模型，不仅算出了每颗行星绕太阳运行的周期，而且第一次算出了每颗行星到太阳的距离．
三、开普勒提出行星运动三定律
1．第一定律(轨道定律)：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于所有椭圆的一个公共焦点上．
2．第二定律(面积定律)：对于每一颗行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
3．第三定律(周期定律)：所有行星轨道半长轴的立方与公转周期的平方的比值都相等，用公式表示为＝k．式中k是与行星无关的常量．
开普勒三定律同样适用于卫星绕行星的运动，只是比值k的大小有所不同．
(1)围绕太阳运动的行星的速率是一成不变的．( )
(2)开普勒定律仅适用于行星绕太阳的运动．( )
(3)行星轨道的半长轴越长，行星的周期越长．( )
提示：(1)× (2)× (3)√
四、发现万有引力的过程
1．关于行星运动原因的猜想
(1)英国的吉尔伯特猜想行星是靠太阳发出的磁力维持绕日运动的；
(2)法国数学家笛卡儿提出漩涡假设；
(3)法国天文学家布利奥首先提出平方反比假设．
2．站在巨人肩上的牛顿
(1)三大困难
①困难之一：无数学工具解决曲线运动问题．
②困难之二：缺乏理论工具计算天体各部分对行星产生的力的总效果．
③困难之三：众多天体的引力相互干扰的问题无法解决．
(2)牛顿利用微积分知识，运用质点的概念，把庞大天体的质量集中于球心，提出了万有引力定律．
五、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比．
2．公式：F＝G，式中质量的单位用kg，距离的单位用m，力的单位用N，G为引力常量，通常取G＝6．67×10－11 N·m2/kg2．
1．假设将一质量为m的物体放入地心，根据公式F＝G．可知，由于r＝0，所以地球与此物体之间的万有引力F→∞，请分析此结论是否正确？
提示：不正确．因为r→0时，万有引力公式F＝G已经不再适用．
3．卡文迪许实验
英国物理学家卡文迪许利用扭秤测出了引力常量．
由于卡文迪许测出引力常量G，才使得万有引力定律有了真正的实用价值．知道G的值后，利用万有引力定律便可计算天体的质量．
2．卡文迪许实验装置测出了非常微小的引力，从而算出了引力常量G．你认为该装置的巧妙体现在哪些方面？
提示：扭秤装置把微小力转变成力矩来反映(一次放大)，扭转角度又通过光标的移动来反映(二次放大)，让两个球m′同时吸引两个球m(三次放大)，从而为确定物体间微小的万有引力提供了较精确的实验，开创了弱力测量的新时代．
对开普勒三定律的理解
1．第一定律(轨道定律)
所有行星都沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳则位于所有椭圆的一个公共焦点上．否定了行星圆形轨道的说法，建立了正确的轨道理论，给出了太阳准确的位置．
2．第二定律(面积定律)
揭示了某个行星运行速度的大小与到太阳距离的关系．行星靠近太阳时速度大，远离太阳时速度小．近日点速度最大，远日点速度最小．
3．第三定律(周期定律)
第三定律反映了行星公转周期跟轨道半长轴之间的关系．椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越大；反之，其公转周期越小．在右图中，半长轴是AB间距的一半，T是公转周期．其中常数k与行星无关，只与太阳有关．
(多选)下列关于开普勒对于行星运动规律认识的说法中，正确的是( )
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C．所有行星的轨道的半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同
D．所有行星都是在靠近太阳时速度变大
[解析] 由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，所以A正确，B错误．由开普勒第三定律知所有行星的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，故C错误．根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上靠近太阳运动时，速度越来越大，D正确．
[答案] AD
eq \a\vs4\al()
(1)开普勒三定律是对行星绕太阳运动的总结，实践表明开普勒三定律也适用于其他天体的运动，如月球绕地球的运动，卫星(或人造卫星)绕行星的运动．
(2)开普勒第二定律与开普勒第三定律的区别：前者揭示的是同一行星在距太阳不同距离时的运动快慢的规律，后者揭示的是不同行星运动快慢的规律．
1．(多选)哈雷彗星绕太阳运动的轨道是比较扁的椭圆，下列说法中正确的是( )
A．彗星在近日点的速率大于在远日点的速率
B．彗星在近日点的角速度大于在远日点的角速度
C．彗星在近日点的向心加速度大于在远日点的向心加速度
D．若彗星周期为76年，则它的公转轨道的半长轴是地球公转半径的76倍
解析：选ABC．根据开普勒第二定律，为使相等时间内扫过的面积相等，则应保证近日点与远日点相比在相同时间内走过的弧长要大．因此在近日点彗星的线速度(即速率)、角速度都较大，故A、B正确．而向心加速度a＝，在近日点，v大，R小，因此a大，故C正确．根据开普勒第三定律＝k，则eq \f(a,a)＝eq \f(T,T)＝762，即a1＝a2，故D错误．
对万有引力定律的理解
1．万有引力定律的适用条件
(1)F＝G适用于计算两个质点间的相互作用．
(2)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，可用公式计算，其中r是两个球体球心的距离．
(3)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，其中r为球心到质点间的距离．
(4)两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体中心间的距离．
(5)当两物体间的距离趋近于零时，万有引力仍然存在，只是公式F＝G不再适用．
2．万有引力的四个特性
内容
普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上
宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
如图所示，操场两边放着半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2的篮球和足球，二者直线间距为r，则两球间的万有引力大小为( )
A．G B．Geq \f(m1m2,r)
C．G D．G
[解题探究] (1)万有引力定律的数学表达式是什么？
(2)万有引力定律的适用条件是什么？
(3)对足球和篮球而言，能看做质点吗？它们之间的距离为多少？
[解析] 操场两边的篮球和足球可以视为两个质点，这两个质点间的距离为两球心间的距离，即r＝r1＋r＋r2，由万有引力公式F＝G可知，两球间的万有引力大小为F＝G．故选项D正确．
[答案] D
eq \a\vs4\al()
应用万有引力定律的三点注意
(1)求两个质点间的万有引力．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可看成质点，这时公式中的r表示两质点间的距离．
(2)求两个质量分布均匀的球体间的万有引力．这时公式中的r为两个球心间的距离．
(3)当被研究物体不能看成质点，也不是均匀球体时，可以把两个物体假想分割成无数个质点，先求出一个物体上每个质点与另一个物体上所有质点间的万有引力，然后求合力．
2．有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为的球体，如图所示，求剩下部分对m的万有引力F为多大(引力常量为G)?
解析：设想将被挖部分重新补回，则完整球体对质点m的万有引力为F1，可以看做是剩余部分对质点的万有引力F与被挖小球对质点的万有引力F2的合力，即
F1＝F＋F2
设被挖小球的质量为M′，其球心到质点间的距离为r′，由题意知M′＝ r′＝
由万有引力定律得F1＝G＝G，
F2＝G＝G
故F＝F1－F2＝．
答案：
[随堂检测]
1．关于开普勒第三定律的公式 ＝k，下列说法中正确的是( )
A．公式只适用于绕太阳做椭圆轨道运行的行星
B．公式适用于所有围绕星球运行的行星(或卫星)
C．式中的k值，对所有行星(或卫星)都相等
D．式中的k值，对围绕不同星球运行的行星(或卫星)都相同
解析：选B．开普勒运动定律不仅适用于椭圆运动，也适用于圆周运动，不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动．式中的k是与中心星体的质量有关的．
2．关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看成质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看成质点的两物体间的引力才能用F＝G计算
C．由F＝知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且等于6．67×10－11 N·m2/kg2
解析：选C．任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错；两个质量均匀的球体间的万有引力也能用F＝来计算，B错；物体间的万有引力与它们距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C对；引力常量G是由卡文迪许精确测出的，D错．
3．某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F，为使此物体受到的引力减小到，应把此物体置于距地面的高度为(R指地球半径)( )
A．R B．2R
C．4R D．8R
解析：选A．在地球表面时有F＝G，当物体受到的引力减小到时有＝G，解得h＝R．
4．宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B．
C． D．
解析：选B．飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即G＝mg，得g＝，选项B正确．
5．“嫦娥五号”按计划将于2017年在南海发射，设卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T．已知月球半径为R，引力常量为G．求：
(1)月球的质量M；
(2)月球表面的重力加速度g；
(3)月球的密度ρ．
解析：(1)万有引力提供“嫦娥五号”做圆周运动的向心力，则有
G＝m(R＋h)
得M＝．
(2)在月球表面，万有引力等于重力，则有G＝mg，得g＝．
(3)由ρ＝，V＝πR3，得ρ＝．
答案：(1) (2) (3)
[课时作业][学生用书P119(单独成册)]
一、单项选择题
1．关于万有引力定律和引力常量的发现，下面说法中正确的是( )
A．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由伽利略测定的
B．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
C．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由胡克测定的
D．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
解析：选D．根据物理学史可知，牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测定了引力常量，故D正确．
2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
解析：选C．由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误．火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误．根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C正确．对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D错误．
3．关于公式 ＝k，下列理解正确的是( )
A．k是一个与行星有关的量
B．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为a地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为a月，周期为T月，则eq \f(a,T)＝eq \f(a,T)
C．T表示行星运动的自转周期
D．T表示行星运动的公转周期
解析：选D．公式＝k中的k为一常数，与中心天体有关，与行星无关，所以选项A错误．地球是太阳的行星，月球是地球的卫星，比例常数不同，所以选项B错误．公式中的T应表示绕中心天体公转的周期，而不是自转周期，所以选项C错误，D正确．
4．地球与物体间的万有引力可以认为在数值上等于物体的重力，那么在6 400 km的高空，物体的重力与它在地面上的重力之比为( )
A．2∶1 B．1∶2
C．1∶4 D．1∶1
解析：选C．根据万有引力定律F∝，地球半径R地＝6 400 km，物体在6 400 km高空，距离加倍，引力减小到原来的．
5．两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA∶TB＝1∶8，则轨道半长轴之比等于( )
A．4 B．
C．2 D．
解析：选B．根据开普勒第三定律有eq \f(R,T)＝eq \f(R,T)，则＝ eq \r(3,\f(T,T)) ＝ ＝ ＝，故选B．
6．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4．7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1．4小时，引力常量G＝6．67×10－11m3/(kg·s2)，由此估算该行星的平均密度约为( )
A．1．8×103 kg/m3 B．5．6×103 kg/m3
C．1．1×104 kg/m3 D．2．9×104 kg/m3
解析：选D．近地卫星绕地球做圆周运动时，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，即：G＝mR，由密度、质量和体积关系M＝ρ·πR3，解两式得：ρ＝≈5．6×103 kg/m3．由已知条件可知该行星密度是地球密度的倍，即ρ′＝5．6×103× kg/m3≈2．98×104 kg/m3，选项D正确．
二、多项选择题
7．对于引力常量G的理解，下列说法中正确的是( )
A．G是一个比值，在数值上等于质量均为1 kg的两个质点相距1 m时的引力大小
B．G的数值是为了方便而人为规定的
C．G的测定使万有引力定律公式更具有实际意义
D．G的测定从某种意义上也能够说明万有引力定律公式的正确性
解析：选ACD．根据万有引力定律公式F＝G可知，G＝，当r＝1 m，m1＝m2＝1 kg时，G＝F，故A正确．G是一个有单位的物理量，单位是m3/(kg·s2)，G的数值不是人为规定的，而是在牛顿发现万有引力定律一百多年后，由卡文迪许利用扭秤实验测出的，故B错误，C、D正确．
8．如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R．下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
解析：选BC．应用万有引力公式及力的合成规律分析．地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为r，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为，选项C正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D错误．
9．英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全由钻石构成．若已知引力常量，还需知道哪些信息才可以计算该行星的质量( )
A．该行星表面的重力加速度及绕行星运行的卫星的轨道半径
B．该行星的自转周期与行星的半径
C．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及运行半径
D．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及公转线速度
解析：选CD．设该行星表面某一物体的质量为m，由G＝mg得，M＝，R为该行星的半径，所以选项A错误；卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得：G＝m＝mrω2＝mr，若已知卫星的轨道半径r和卫星的运行周期T、角速度ω或线速度v，可求得中心天体的质量为M＝＝＝，所以选项B错误，选项C正确；又v＝，即r＝，则M＝，选项D正确．
10．在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道均可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2．7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
解析：选AD．设太阳质量为M，月球质量为m，海水质量为m′，太阳到地球距离为r1，月球到地球距离为r2，由题意＝2．7×107，＝400，由万有引力公式，太阳对海水的引力F1＝eq \f(GMm′,r)，月球对海水的引力F2＝eq \f(Gmm′,r)，则＝eq \f(Mr,mr)＝＝，故A选项正确，B选项错误；月球到地球上不同区域的海水距离不同，所以引力大小有差异，C选项错误，D选项正确．
三、非选择题
11．已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动，轨道半径为r，r＝4R，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．已知引力常量为G．求：
(1)月球的质量．
(2)飞船在轨道Ⅰ上的运行速率．
(3)飞船在轨道Ⅲ上绕月运行一周所需的时间．
解析：(1)设月球的质量为M，对月球表面上质量为m′的物体有G＝m′g0
得M＝．
(2)设飞船的质量为m，对于圆形轨道Ⅰ的飞船运动有G＝meq \f(v,4R)解得飞船在轨道Ⅰ运动的速率为v1＝ ．
(3)设飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为T有mg0＝mR
解得T＝2π ．
答案：(1) (2) (3)2π
12．
如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以的加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为启动前压力的．已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度．(g为地面附近的重力加速度)
解析：火箭上升过程中，物体受竖直向下的重力和向上的支持力，设高度为h时，重力加速度为g′．
由牛顿第二定律得mg－mg′＝m×
解得g′＝g ①
由万有引力定律知G＝mg ②
G＝mg′ ③
由①②③联立得h＝．
答案：
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第5章 万有引力与航天
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