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第5章 万有引力与航天
第5章 万有引力与航天
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万有引力定律与天文学的新发现
1．能够应用万有引力定律分析研究人们观测到的天体运动的一些精彩事例．
2．会用万有引力定律计算天体的质量．(重点＋难点)
一、笔尖下发现的行星
历史上天文学家曾经根据万有引力定律计算太阳系中天王星的运动轨道，由于计算值与实际情况有较大偏差，促使天文学家经过进一步的研究发现了海王星．这颗星的发现进一步证明了万有引力定律的正确性，而且也显示了万有引力定律对天文学研究的重大意义．
二、哈雷彗星的预报
英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算出了哈雷彗星的椭圆轨道，并发现它的周期约为76年．哈雷彗星的准确预报再一次证明了万有引力定律的正确性．
三、把天体的质量“称”出来
1．地球质量的计算
利用地球表面的物体：若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝G，则M＝，只要知道g、R的值，就可计算出地球的质量．
2．太阳质量的计算
利用某一行星：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝，由此可得太阳质量M＝，由此式可知只要测出行星绕太阳运动的周期和轨道半径就可以计算出太阳的质量．
根据月球绕地球做圆周运动的规律应用万有引力定律求出的天体的质量是地球的还是月球的？月球的质量怎么求？
提示：求出的是地球的质量，利用G＝mr求出的质量M＝为中心天体的质量，做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉．要想求月球的质量，要考虑绕月球做圆周运动的卫星的运动规律．
天体质量的计算方法
1．研究天体运动的公式
行星绕恒星运动(或卫星绕行星运动)所需的向心力是由行星与恒星间(或卫星与行星间)的万有引力提供的，则F＝G＝m＝mω2r＝mr＝ma向．
其中是万有引力提供的向心力，
m是圆周运动所需的向心力．
2．计算被环绕天体质量的几种方法
应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量．下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法．
已知条件 求解方法
已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r 由＝mr得M＝
已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v 由＝m得M＝
已知卫星运行的线速度v和运行周期T 由＝mv和＝m得M＝
已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g 由mg＝G得M＝
若计算出天体的质量后，可利用ρ＝估算天体的密度，常用两种方法：
(1)由天体表面的重力加速度g和半径R求此天体的密度．
由mg＝G和M＝ρ·πR3，得ρ＝．
(2)若天体的某个卫星的轨道半径为r，周期为T，则由G＝mr和M＝ρ·πR3，得ρ＝．当天体的卫星绕天体表面运行时，其轨道半径r等于天体的半径R，则天体密度为ρ＝．
过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的．该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A． B．1
C．5 D．10
[解析] 行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝mr，则＝·＝×≈1，选项B正确．
[答案] B
eq \a\vs4\al()
求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根据天体表面的物体所受重力等于万有引力，即mg＝G，求得M＝；另一种方法是根据万有引力等于向心力，即G＝mr，求得M＝．当然，无论哪种方法只能求出中心天体的质量．
1．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G．地球的密度为( )
A．· B．·
C． D．·
解析：选B．物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋mR＝G，则ρ＝＝．故选项B正确，选项A、C、D错误．
万有引力定律的应用
1．应用万有引力定律解题的两条思路
(1)万有引力提供天体运动的向心力
GMm/r2＝mv2/r＝m4π2r/T2＝mω2r；
(2)黄金代换
在天体表面上，天体对物体的万有引力近似等于物体的重力，即GMm/R2＝mg，从而得出GM＝gR2．
2．几个常用公式
(1)由G＝m可得：v＝，r越大，v越小．
(2)由G＝mω2r可得：ω＝，r越大，ω越小．
(3)由G＝mr可得：T＝2π，r越大，T越大．
(4)由G＝ma可得：a＝，r越大，a越小．
(5)辅助公式：ρ＝；V＝πR3．
3．需注意的几个问题
(1)G＝ma中的a是向心加速度，根据问题的条件可分别选用：a＝，a＝ω2r，a＝r．
(2)由于G和M(地球质量)这两个参数往往不易记住，而g和R容易记住．所以粗略计算时，一般都采用代换GM＝gR2．
(3)应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件．如地球公转一周是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9．8 m/s2等．
(多选)假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是( )
A．地球的向心力变为缩小前的一半
B．地球的向心力变为缩小前的
C．地球绕太阳公转周期与缩小前的相同
D．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半
[思路点拨] 解此题的关键要注意“天体直径”“天体间距”都发生变化的前提．
[解析] 地球的向心力F＝G，其中，太阳的质量为M＝ρπR3，地球的质量为m＝ρ′πR′3．若天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，则地球的向心力F′＝G＝·G，选项B正确；由G＝mr得地球绕太阳公转的周期为T＝2π，所以T′＝T，选项C正确．
[答案] BC
2．(多选)为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1．随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2，则( )
A．X星球的质量为M＝eq \f(4π2r,GT)
B．X星球表面的重力加速度为gX＝eq \f(4π2r1,T)
C．登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为＝
D．登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1eq \r(\f(r,r))
解析：选AD．由万有引力提供向心力可得：G＝m，得M＝，T＝，可知A、D正确；由G＝m得v＝，知C错误；由于轨道r1不是X星的近地轨道，故B错误．
多星模型
由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
(1)A星体所受合力大小FA；
(2)B星体所受合力大小FB；
(3)C星体的轨道半径RC；
(4)三星体做圆周运动的周期T．
[解析] (1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为
FBA＝G＝G＝FCA，方向如图所示，则合力大小为FA＝2G．
(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为
FAB＝G＝G，
FCB＝G＝G，方向如图所示．
由FBx＝FABcos 60°＋FCB＝2G，FBy＝FABsin 60°＝G，可得FB＝eq \r(F＋F)＝G．
(3)通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，则RC＝ ，可得RC＝a．
(或由对称性可知OB＝OC＝RC，cos ∠OBD＝＝＝，得RC＝a)
(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝G＝mRC，可得T＝π ．
[答案] (1)2G (2)G (3)a
(4)π
eq \a\vs4\al()
(1)模型特点：宇宙中，由于天体之间的相互作用而呈现出诸如双星、三星、四星等组成的系统，在这些天体系统中，只考虑系统内各天体之间的万有引力作用，不考虑系统外天体对它们的万有引力作用．
(2)解题规律
求解这类问题时应把握两个关键点：
①求出某一天体所受系统内各个天体对其万有引力的合力，根据牛顿第二定律列方程；
②根据几何关系找出系统内各天体做圆周运动的半径．
[随堂检测]
1．下列说法正确的是( )
A．海王星和冥王星是人们依据实验观察而直接发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的
C．天王星的运动轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D．以上说法均不正确
解析：选C．海王星的发现是因为在1781年发现的天王星的运行轨道，总是与万有引力定律计算出来的有一定的偏离，经过计算、预测、观察发现了海王星，冥王星的发现是基于同样的原理．所以天王星的轨道偏离是因为受其他行星引力的作用，C正确．
2．天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期．由此可推算出( )
A．行星的质量 B．行星的半径
C．恒星的质量 D．恒星的半径
解析：选C．由G＝mr可知，M＝，可求出恒星的质量．
3．如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是( )
A．a2>a3>a1 B．a2>a1>a3
C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1
解析：选D．空间站和月球绕地球运动的周期相同，由a＝r知，a2>a1；对地球同步卫星和月球，由万有引力定律和牛顿第二定律得G＝ma，可知a3>a2，故选项D正确．
4．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的( )
A．轨道半径约为卡戎的
B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的7倍
D．向心力大小约为卡戎的7倍
解析：选A．本题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为m1、r1、v1，卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为m2、r2、v2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星提供做圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B、D均错；由G＝m1ω2r1＝m2ω2r2(L为两星间的距离)，因此＝＝，＝＝＝，故A对，C错．
5．宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L．若抛出时初速度增大到原来的2倍．则抛出点与落地点之间的距离为L．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G．求该星球的质量M．
解析：设抛出点的高度为h，由平抛运动的特点可得：
2＝，
设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动规律得：
h＝gt2
由万有引力定律与牛顿第二定律得
mg＝G
联立以上各式得M＝．
答案：
[课时作业][学生用书P121(单独成册)]
一、单项选择题
1．发现海王星的天文学家是( )
A．哈雷、吉尔伯特
B．开普勒、哥白尼
C．勒维烈、亚当斯
D．牛顿、第谷
解析：选C．海王星是勒维烈与亚当斯根据万有引力定律，通过计算各自独立地发现的，故C正确．
2．科学家们推测，太阳系还有一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定( )
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的半径等于地球的半径
C．这颗行星的密度等于地球的密度
D．这颗行星上同样存在着生命
解析：选A．因为只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等．因为G＝m，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其密度．
3．近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)( )
A．ρ＝kT B．ρ＝
C．ρ＝kT2 D．ρ＝
解析：选D．火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动时，＝mR，又M＝πR3·ρ，可得：ρ＝＝，故只有D正确．
4．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v．假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N．已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A． B．
C． D．
解析：选B．设卫星的质量为m′
由万有引力提供向心力，得G＝m′ ①
m′＝m′g ②
由已知条件：m的重力为N得
N＝mg ③
由③得g＝，代入②得：R＝
代入①得M＝，故A、C、D三项均错误，B项正确．
5．月球与地球质量之比约为1∶80．有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为( )
A．1∶6 400 B．1∶80
C．80∶1 D．6 400∶1
解析：选C．双星系统中的向心力大小相等，角速度相同．据此可得Meq \f(v,r1)＝meq \f(v,r2)，Mω2r1＝mω2r2，联立得＝＝，故C项正确．
6．质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )
A．线速度v＝
B．角速度ω＝
C．运行周期T＝2π
D．向心加速度a＝
解析：选A．由＝m＝mω2R＝mR＝mg＝ma得v＝，A对；ω＝，B错；T＝2π，C错；a＝，D错．
7．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为( )
A． B．
C． D．
解析：选B．设飞船的质量为m，它做圆周运动的半径为行星半径R，则G＝mR，所以行星的质量M＝，行星的平均密度ρ＝＝＝，B项正确．
二、多项选择题
8．科学家在研究地月组成的系统时，从地球向月球发射激光，测得激光往返时间为t．若还已知万有引力常量G，月球绕地球旋转(可看成匀速圆周运动)的周期T，光速c(地球到月球的距离远大于它们的半径)．则由以上物理量可以求出( )
A．月球到地球的距离 B．地球的质量
C．月球受地球的引力 D．月球的质量
解析：选AB．根据激光往返时间为t和激光的速度可求出月球到地球的距离，A正确；又因知道月球绕地球旋转的周期T，根据G＝mr可求出地球的质量M＝，B正确；我们只能计算中心天体的质量，D不对；因不知月球的质量，无法计算月球受地球的引力，C也不对．
9．一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则( )
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
解析：选ACD．行星绕恒星转一圈，运行的距离等于圆的周长，即2πr＝vT得r＝，故C正确；a＝rω2＝r＝，故D正确；由G＝mr得M＝，故A正确；行星绕恒星的运动与其自身质量无关，行星的质量由已知条件求不出来，故B错误．
三、非选择题
10．
1881年，科学家佐利设计了一个测量地球质量的方法：首先，在长臂天平的两盘放入质量同为m的砝码，天平处于平衡状态；然后，在左盘正下方放入一质量为M的大球，且球心与砝码有一很小的距离d；接着又在右盘中加质量为Δm的砝码，使天平又恢复平衡状态．试导出地球质量M0的估算式 ．(地球半径为R)
解析：设大球M对m的引力为F，由天平再次平衡得mg＋F＝mg＋Δmg，
即G＝Δmg ①
地球对大球的引力等于大球的重力，有G＝Mg ②
由①②解得地球的质量M0＝．
答案：
11．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一物体，经过时间t物体落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一物体，需经过时间5t物体落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′的大小；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地．
解析：(1)由竖直上抛运动规律可知地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为：t＝
在该星球表面竖直上抛的物体落回原地所用时间为：
5t＝，所以g′＝g＝2 m/s2．
(2)星球表面物体所受重力等于其所受星体的万有引力，则有：
mg＝G，所以M＝
可解得M星∶M地＝1∶80．
答案：(1)2 m/s2 (2)1∶80
12．在登月计划中，要测算地月之间的距离．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，在地面附近，物体受到地球的万有引力近似等于物体在地面上的重力，又知月球绕地球运动的周期为T，引力常量为G，则：
(1)地球的质量为多少？
(2)地月之间的距离为多少？
解析：(1)设地球质量为M，对地面附近的任何物体m′，
有＝m′g
所以M＝．
(2)设地月之间的距离为r，月球的质量为m，则
＝m·r得r＝＝．
答案：(1) (2)
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