习题课 天体运动与万有引力
一、概念公式推论
1．开普勒三定律
(1)开普勒第一定律(又叫轨道定律)：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
(2)开普勒第二定律(又叫面积定律)：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等．如图所示，阴影部分为相等时间内所扫过的面积，两面积相等．
(3)开普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．若用a表示椭圆轨道的半长轴，T表示行星的公转周期，则可用公式表示为：＝k．
2．万有引力公式：
F＝G[G＝6．67×10－11 m3/(kg·s2)]．
3．“黄金代换”公式：GM＝gR2．
4．万有引力充当向心力公式：
＝m＝mω2r＝m·r＝ma．
5．天体质量的估算
(1)已知环绕天体的周期T、轨道半径r可得中心天体质量．＝mr?M＝．
(2)已知中心天体半径R及表面重力加速度g可得中心天体质量．
＝mg?M＝．
6．天体密度的估算
(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度
由mg＝G和M＝ρ·πR3，得ρ＝，其中g为天体表面的重力加速度，R为天体半径．
(2)利用天体的卫星来求天体的自身密度
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程G＝mr，M＝ρ·πR3，
得ρ＝＝＝．
(3)当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝．
二、天体运动的分析技巧
1．建立模型：不论是自然天体(如地球、月球等)还是人造天体(如卫星、飞船等)，只要它们是在绕某一中心天体做圆周运动，就可以将其简化为质点的匀速圆周运动模型．
2．列方程求解：根据中心天体对环绕天体的万有引力提供向心力，列出合适的向心力表达式进行求解．
F向＝F万＝ma＝G＝m＝mrω2＝mr．
卫星的运动规律及其应用
若两颗人造地球卫星的周期之比为T1∶T2＝2∶1，则它们的轨道半径之比R1∶R2＝ ，向心加速度之比a1∶a2＝ ．
[解析] 由＝m··R得＝eq \f(\r(3,T),\r(3,T))＝
由＝ma得＝eq \f(R,R)＝eq \f(\r(3,T),\r(3,T))＝．
[答案] ∶1 ∶4
“赤道物体”与“同步卫星”“近地卫星”的比较
有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运动，卫星c是地球同步卫星，卫星d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则有( )
A．卫星a的向心加速度等于重力加速度g
B．卫星c在4 h内转过的圆心角是
C．在相同时间内卫星b转过的弧长最长
D．卫星d的运动周期有可能是23 h
[解析] 地球赤道上静止的物体随地球自转的向心加速度小于重力加速度g，选项A错误；同步卫星c在4 h内转过的圆心角φ＝×4＝，选项B错误；相同时间内转过的弧长s由线速度v决定，卫星b的线速度最大，因此相同时间内卫星b转过的弧长最长，选项C正确；卫星d的轨道比同步卫星c的高，周期比同步卫星c的大，则其周期一定大于24 h，选项D错误．
[答案] C
eq \a\vs4\al()
(1)赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度和周期，如同一圆盘上不同半径的两个点，由v＝ωr和a＝ω2r可分别判断线速度，向心加速度的关系．
(2)不同轨道上的卫星向心力来源相同，即万有引力提供向心力，由＝ma＝m＝mω2r＝mr可分别得到a＝、v＝ 、ω＝ 及T＝2π ，故可以看出，轨道半径越大，a、v、ω越小，T越大．
如图所示，赤道上随地球自转的物体A、赤道上空的近地卫星B、地球的同步卫星C，它们的运动都可视为匀速圆周运动，比较三个物体的运动情况，以下判断正确的是( )
A．三者的周期关系为TA>TB>TC
B．三者向心加速度的大小关系为aA>aB>aC
C．三者角速度的大小关系为ωA>ωC>ωB
D．三者线速度的大小关系为vA
解析：选D．卫星C为同步卫星，周期与A物体周期相等，故A错误；A、C比较，角速度相等，由a＝ω2r可知，aA
1．(多选)关于开普勒第三定律中的公式＝k，下列说法中正确的是( )
A．k值对所有的天体都相同
B．该公式适用于围绕太阳运行的所有行星
C．该公式也适用于围绕地球运行的所有卫星
D．以上说法都不对
解析：选BC．开普勒第三定律公式＝k中的k只与中心天体有关，对于不同的中心天体，k不同，A错．此公式虽由行星运动规律总结所得，但它也适用于其他天体的运动，包括卫星绕地球的运动，B、C对，D错．
2．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面的压力恰好为零，则天体自转周期为( )
A． B．
C． D．
解析：选D．物体对天体表面的压力为零时，所做圆周运动的向心力由万有引力提供，即G＝mR
解得天体质量M＝
又由于M＝ρV＝ρ
则＝ρ
解得T＝ ，选项D正确．
3．
(多选)如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2．若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )
A．动能大
B．向心加速度大
C．运行周期长
D．角速度小
解析：选CD．飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F引＝F向，所以＝ma向＝＝＝mrω2，即a向＝，Ek＝mv2＝，T＝ ，ω＝ (或用公式T＝求解)．因为r1Ek2，a向1>a向2，T1ω2，选项C、D正确．
4．(多选)地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所需的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星所需的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所需的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3．假设这三个物体的质量相等，则( )
A．F1>F2>F3 B．a2>a3>a1
C．v1＝v2>v3 D．ω1＝ω3<ω2
解析：选BD．地球同步卫星绕行的角速度与地球自转的角速度相同，即ω1＝ω3；由G＝mω2r得ω＝ ，因r2ω3．故在地球表面附近做圆周运动的人造卫星的角速度ω2与ω1和ω3的关系为ω1＝ω3<ω2，故D正确．地球赤道上的物体与地球同步卫星的角速度相同，但r3>r1，由向心力公式F＝mω2r得F3>F1；地球表面附近的人造卫星与地球同步卫星的向心力等于其万有引力，则有F2>F3．则三者向心力的关系为F2>F3>F1，故A错误．地球表面附近人造卫星的向心加速度近似等于地球表面的重力加速度，即a2＝g；地球同步卫星的向心加速度a3a1．则三者向心加速度的关系为a2>a3>a1，故B正确．地球表面附近的人造卫星的绕行速度等于第一宇宙速度，由v＝ ，得v2>v3；由v＝ωr得v3>v1．则三者的关系为v2>v3>v1，故C错误．
5．某星球“一天”的时间T＝6 h，用弹簧测力计在星球的“赤道”上比在“两极”处测同一物体的重力时读数小10%，设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体会自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时？
解析：设该物体在星球的“赤道”上时重力为G1，在“两极”处时重力为G2，在“赤道”上G－G1＝mω2R ①
在“两极”处G＝G2 ②
依题意得G2－G1＝0．1G2 ③
设该星球自转的角速度增大到ωx时，赤道上的物体自动飘起来，这里的自动飘起来是指星球表面与物体间没有相互作用力，物体受到的万有引力全部提供其随星球自转所需的向心力，则有G＝mωR ④
由于ωx＝，ω＝ ⑤
由①～⑤得Tx＝ h≈1．9 h
即赤道上的物体自动飘起来时，这时星球的“一天”是1．9 h．
答案：见解析
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第5章 万有引力与航天
理论储备·基础回顾
条分缕析·夯基固本
典题分类讲练结合
分类讲解·举一反三
