第2节 运动的合成与分解
1．知道什么是合运动，什么是分运动．知道合运动和分运动是同时发生的，并且互不影响．
2．知道什么是运动的合成，什么是运动的分解．理解运动的合成与分解遵循平行四边形定则 ．(重点＋难点)
3．会用作图法和直角三角形知识解有关位移、速度的合成与分解问题．(难点)
一、位移和速度的合成与分解
1．合运动与分运动
小船渡河时，同时参与了垂直于河岸的运动和顺流而下的运动，这两个运动叫分运动，实际的运动叫合运动．
2．位移的合成与分解
(1)位移的合成：由分位移求合位移的过程．
(2)位移的分解：由合位移求分位移的过程．
3．速度的合成与分解：与位移的合成与分解是对应的，都遵循平行四边形定则．
二、运动的合成与分解的应用
1．运动的合成：已知分运动求合运动．
2．运动的分解：已知合运动求分运动．
小船在静水中速度是v，今小船要过河，渡河时小船朝对岸垂直航行，若航行至河中央时，水流速度增大，则渡河时间将怎样变化？
提示：不变化．因为沿河方向的速度对垂直方向的运动没有影响．
合运动与分运动
1．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动与分运动经历的时间一定相等，即同时开始，同时进行，同时停止．求运动时间时可选择便于分析的一个分运动来求．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，分运动各自独立进行，不受其他分运动的影响．
(3)等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即等效性．也就是说，合运动的位移x合、速度v合、加速度a合分别等于对应各分运动的位移x分、速度v分、加速度a分的矢量和．
(4)同体性：各分运动与合运动都是同一物体参与的运动．
(1)只有同一物体的两个分运动才能合成．
(2)只有同时进行的两个分运动才能合成．
(3)物体实际运动的方向就是合速度的方向．
2．运动合成与分解的原则与方法
(1)等效性原则．
(2)解题方便的原则
关于运动的分解，有正交分解和任意分解等不同的分解方式，无论哪一种分解方式，只要分运动被确定，然后分别作出加速度、速度、位移的平行四边形，剩下的问题就是利用数学知识解三角形，获得问题的解．
3．(1)合运动性质的判断
(2)合运动轨迹的判断
看合运动的加速度与速度的方向关系，如下：
两种情况
(3)互成角度的两个直线运动的合成：
分运动 合运动
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 沿合加速度方向的匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀加速直线运动(其初速度v1和v2的矢量和为v，加速度a1和a2的矢量和为a) v和a在同一条直线上时物体做匀变速直线运动
v和a不在同一条直线上时物体做匀变速曲线运动
(1)加速度恒定的运动一定是匀变速运动，但不一定是匀变速直线运动．
(2)两个直线运动的合运动不一定是直线运动．
(多选)如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t图像如图乙所示．在猴子沿杆运动的同时，人举着杆沿水平地面运动，其x－t图像如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法中正确的是( )
A．猴子的运动轨迹为直线
B．猴子在2 s内做匀变速曲线运动
C．t＝0时猴子的速度大小为8 m/s
D．t＝2 s时猴子的加速度大小为4 m/s2
[解析] 猴子在竖直方向的运动为初速度vy＝8 m/s、加速度a＝－4 m/s2的匀减速直线运动，在水平方向的运动为速度vx＝－4 m/s的匀速直线运动，其初速度大小为v＝ m/s＝4 m/s，方向与合外力方向不在同一条直线上，故猴子做匀变速曲线运动，故选项B正确，选项A、C错误；t＝2 s时，ay＝－4 m/s2，ax＝0，则合加速度大小为4 m/s2，选项D正确．
[答案] BD
eq \a\vs4\al()
判断合运动是直线运动，还是曲线运动，关键是看合速度与合加速度是否在一条直线上，而判断合运动是否为匀变速运动，关键是看物体的合加速度或合外力是否恒定不变．
小船渡河问题分析
设河的宽度为d，船在静水中的速度为v船，水流的速度为v水，下面从两个角度分析船渡河问题．
1．渡河时间t
(1)渡河时间t的大小取决于河岸的宽度d及船沿垂直河岸方向上的速度的大小．
(2)若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，由图可知，此时t短＝，船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝．
2．渡河位移最短问题
求解渡河位移最短问题，分为两种情况：
(1)若v水
甲 乙
(2)若v水>v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是：如图乙所示，按水流速度和船在静水中的速度大小的比例，先从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，v船为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线为船位移最小时的合运动的方向．这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移x短＝，过河时间t＝．
(1)求渡河的最短位移时，要先弄清v船与v水的大小关系，不要盲目地认为渡河的最短位移一定等于河岸的宽度．
(2)渡河时间与水流速度大小无关，仅与河宽以及船沿垂直河岸方向上的速度大小有关，而当船头与河岸垂直时渡河时间最短．
已知某船在静水中的速度为v1＝4 m/s，现让该船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行，则
(1)欲使船以最短时间渡河，航向怎样？最短时间是多少？船发生的位移有多大？
(2)欲使船以最小位移渡河，航向又怎样？渡河所用时间是多少？
(3)若水流速度为v?2＝5 m/s，船在静水中的速度为v1＝4 m/s 不变，船能否垂直河岸渡河？
[解题探究] (1)什么情况下船以最短时间渡河？
(2)什么情况下船以最短位移渡河？
[解析] (1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸向对岸渡河时，所用时间最短，则最短时间为t＝＝ s＝25 s．
如图甲所示，当船到达对岸时，船沿河流方向也发生了位移，由直角三角形的几何知识，可得船的位移为l＝，由题意可得x＝v2t＝3×25 m＝75 m，代入得l＝125 m．
(2)分析可知，当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1＝4 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸．如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v1cos θ＝v2，cos θ＝＝，θ＝arccos，故船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成的夹角为arccos，所用的时间为t?＝＝ s＝ s．
(3)当水流速度v2＝5 m/s大于船在静水中的速度v1＝4 m/s时，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河．
[答案] 见解析
1．有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( )
A． B．
C． D．
解析：选B．设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝，回程渡河所用时间t2＝eq \f(d,\r(v－v2)) ．由题知＝k，联立以上各式得v0＝ ．选项B正确，选项A、C、D错误．
“关联”速度问题
如图所示，水平面上的小车向左运动，系在车后的轻绳绕过定滑轮，拉着质量为m的物体上升．若小车以v1的速度做匀速直线运动，当车后的绳与水平方向的夹角为θ时，物体的速度为v2，绳对物体的拉力为FT，则下列关系式正确的是( )
A．v2＝v1 B．v2＝
C．FT＝mg D．FT>mg
[解题探究] (1)小车向左运动产生的效果：一是滑轮左侧的绳子变______；二是绳子绕滑轮发生了______．v1如何分解？
(2)由于绳长不变，v2大小应等于v1的哪个分量？
[解析] 如图所示，将小车的速度v1向垂直轻绳和沿轻绳方向分解，则沿轻绳方向分解的速度v′＝v1cos θ，故物体的速度v2＝v1cos θ，A、B错；由于角θ逐渐减小，cos θ变大，故v2逐渐变大，物体加速向上，处于超重状态，FT>mg，C错，D对．
[答案] D
eq \a\vs4\al()
1．“关联”速度
在运动过程中，绳、杆等有长度的物体，其两端点的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，我们称之为“关联”速度．如图所示．
2．规律
(1)物体的实际运动是合运动，分速度的方向要按实际运动效果确定．
(2)沿绳(或杆)方向的分速度大小相等．
3．速度分解的方法(求解方法)
为了解题方便，通常将物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，根据沿绳(或杆)方向的分速度大小相等列方程求解．
2．如图所示，人在岸上以恒定速度v拉船，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为( )
A．vcos θ B．
C．v D．vsin θ
解析：选B．
船的速度产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v＝v船cos θ，故v船＝，所以选项B正确．
[随堂检测]
1．(多选)关于运动的合成与分解，以下说法中正确的是( )
A．由两个分运动求合运动，合运动是唯一确定的
B．由合运动分解为两个分运动，可以有不同的分解方法
C．只有物体做曲线运动时，才能将这个运动分解为两个分运动
D．任何形式的运动，都可以用几个分运动代替
解析：选ABD．从运动合成与分解的法则——平行四边形定则出发思考，明确运动分解的意义、方法，可做出正确的判断，答案为A、B、D．
2．(多选)如图所示，某同学在研究运动的合成时做了下述运动：用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直尺水平，同时，用右手沿直尺向右移动笔尖．若该同学左手的运动为匀速运动，右手相对于直尺的运动为初速度为零的匀加速运动，则关于笔尖的实际运动，下列说法中正确的是( )
A．笔尖做匀速直线运动
B．笔尖做匀变速直线运动
C．笔尖做匀变速曲线运动
D．笔尖的速度方向与水平方向的夹角逐渐变小
解析：选CD．笔尖同时参与了直尺竖直向上的匀速运动和水平向右初速度为零的匀加速运动，合运动为匀变速曲线运动，所以A、B选项错误，C选项正确；由于水平速度增大，所以合速度的方向与水平方向夹角逐渐变小，故D选项正确．
3．(多选)一物体运动规律是x＝3t2 m，y＝4t2 m，则下列说法中正确的是( )
A．物体在x轴和y轴方向上都是初速度为零的匀加速直线运动
B．物体的合运动是初速度为零、加速度为5 m/s2的匀加速直线运动
C．物体的合运动是初速度为零、加速度为10 m/s2的匀加速直线运动
D．物体的合运动是加速度为5 m/s2的曲线运动
解析：选AC．根据匀加速直线运动的位移公式s＝v0t＋at2可知，物体在x轴和y轴方向上都是初速度为零的匀加速直线运动，选项A正确；物体在x、y方向上的加速度分别为ax＝6 m/s2，ay＝8 m/s2，根据平行四边形定则知，物体的合加速度为a＝eq \r(a＋a)＝10 m/s2，v0＝0，选项B、D错误，选项C正确．
4．已知河水自西向东流动，流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2> v1，用小箭头表示船头的指向及小船在不同时刻的位置，虚线表示小船过河的路径，则图中可能的是( )
解析：选C.若静水速的方向垂直河岸，水流速自西向东，根据平行四边形定则，则合速度的方向偏向下游，渡河的轨迹为倾斜的直线，A错误，C正确；静水速斜向下游，根据平行四边形定则知，合速度的方向不可能与静水速的方向重合， B错误；根据平行四边形定则知，合速度的方向夹在静水速和水流速之间，不可能垂直河岸，D错误．
5．河宽d＝60 m，水流速度v1＝6 m/s，小船在静水中的速度v2＝3 m/s．问：
(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河？最短时间是多少？
(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河？最短的航程是多少？
解析：(1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间
t＝＝ s＝20 s．
(2)设航程最短时，船头应偏向上游与河岸成θ角，
则cos θ＝＝＝，θ＝60°
最短航程s＝＝ m＝120 m
小船的船头与上游河岸成60°角时，渡河的航程最短为120 m．
答案：(1)船头应垂直河岸渡河 20 s
(2)船头与上游河岸成60°角 120 m
[课时作业][学生用书P87(单独成册)]
一、单项选择题
1．好莱坞电影以惊险刺激的镜头赢得了众多影迷的喜爱，男演员从高速匀速行驶的列车上飞身跃下的镜头更是屡见不鲜．如果不计空气阻力，在地面上从垂直列车运动方向看，演员落地过程中，相对于地面的运动轨迹可能是( )
解析：选C．演员从高速匀速行驶的列车上飞身跃下时，速度是水平的，只受重力作用，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，这两个运动的合运动一定是匀变速曲线运动．所以在地面上从垂直列车运动方向看，演员落地过程中，轨迹曲线必然在合外力与水平速度方向之间，男演员从高速匀速行驶的列车上飞身跃下过程，只受重力，方向竖直向下，其初速度水平，故其轨迹向下弯曲．
2．某人横渡一河岸，船划行速度和水流速度一定，此人过河最短时间为T1；若此船用最短的位移过河，则所需时间为T2，若船速大于水速，则船速与水速之比为( )
A.eq \f(T2,\r(T－T)) B.
C.eq \f(T1,\r(T－T)) D.
解析：选A．设船在静水中速度为v1，水流速度为v2，河宽为d，则过河最短时间T1＝；过河位移最短时，所用时间T2＝eq \f(d,\r(v－v))，联立以上两式得＝eq \f(T2,\r(T－T)) ．
3．塔式起重机模型如图甲所示，小车P沿吊臂向末端M水平匀速运动，同时将物体Q从地面竖直向上匀加速吊起．图乙中能大致反映Q的运动轨迹的是( )
解析：选B．物体Q从地面竖直向上匀加速吊起的同时，随着小车向右匀速直线运动，实际运动是两个运动的合运动．物体Q参与两个分运动，水平方向向右做匀速直线运动，竖直方向向上做匀加速直线运动；水平分运动无加速度，竖直分运动加速度向上，故物体合运动的加速度向上，轨迹向上弯曲，故A、C、D错误，B正确．
4．如图所示，甲、乙两同学从河中 O点出发，分别沿直线游到 A点和 B点后，立即沿原路线返回到 O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且 OA＝OB．若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间 t甲、t乙的大小关系为( )
A． t甲C． t甲>t乙 D．无法确定
解析：选C．设水流的速度为v水，两人在静水中的速度为v人，从题意可知v人>v水，设OA＝OB＝L，对甲同学t甲＝＋＝eq \f(2v人L,v－v)，对乙同学来说，要想垂直到达B点，其速度方向要指向上游，并且来回时间相等，即t乙＝ eq \f(2L,\r(v－v))，则＝eq \f(v人,\r(v－v))，即t甲>t乙，C正确．
二、多项选择题
5．一个质点同时参与互成一定角度(不在同一直线)的匀速直线运动和匀变速直线运动，该质点的运动特征是( )
A．速度不变 B．运动中的加速度不变
C．轨迹是直线 D．轨迹是曲线
解析：选BD．合运动的加速度等于两个分运动的加速度矢量和，即合运动的加速度是恒定加速度a，而合运动的加速度与合运动的速度不在同一条直线上，故合运动一定是曲线运动．所以B、D正确．
6．雨滴由静止开始下落，遇到水平吹来的风，下述说法正确的是( )
A．风速越大，雨滴下落时间越长
B．风速越大，雨滴着地时速度越大
C．雨滴下落时间与风速无关
D．雨滴着地速度与风速无关
解析：选BC．雨滴竖直向下的下落运动和在风力作用下的水平运动是雨滴同时参与的两个分运动，雨滴下落的时间由竖直分运动决定，两分运动彼此独立，互不影响，雨滴下落的时间与风速无关，选项A错误，选项C正确；雨滴着地时的速度与竖直分速度和水平风速有关，风速越大，雨滴着地时的速度越大，选项B正确，选项D错误．
7．关于轮船渡河，下列说法正确的是( )
A．水流的速度越大，渡河的时间越长
B．欲使渡河时间最短，船头的指向应垂直河岸
C．欲使轮船垂直驶达对岸，则船的速度与水流速度的合速度应垂直河岸
D．轮船相对水的速度越大，渡河的时间一定越短
解析：选BC．轮船渡河时间t＝，其中v⊥为轮船速度在垂直河岸方向的分速度，可见当船头垂直河岸时，渡河时间最短．渡河时间与水流速度无关，A、D错误，B正确；欲使轮船垂直驶达对岸，则船的合速度方向应垂直河岸，C正确．
8．
如图所示，物体A和B的质量均为m，且分别用轻绳连接跨过定滑轮(不计绳与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦)．当用水平变力F拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中( )
A．物体A也做匀速直线运动
B．绳子的拉力始终大于物体A所受的重力
C．物体A的速率小于物体B的速率
D．地面对物体B的支持力逐渐增大
解析：选BCD．绳子与物体B相连的绳端参与了两种运动：沿绳子向右下方的分运动v1和垂直于绳向上摆动的分运动v2，物体B的运动速度v为合运动速度，如图甲所示，可知v1＝vcos θ，由于v不变，在物体B向右运动时θ角减小，cos θ变大，即v1变大，所以物体A的上升速率vA＝v1也随之变大，物体A加速上升，有向上的加速度，由牛顿第二定律可知，T－mAg＝mAa>0，T>mAg，A错误，B、C正确；再取物体B为研究对象，如图乙所示，由平衡条件可知N＋T′sin θ＝mBg，当物体B向右运动到无穷远处时，T′sin θ减小到零，则N＝mBg，故N逐渐增大，D正确．
9．小河宽为d，河水中各点的水流速度与各点到较近河岸边的距离成正比，v水＝kx，k＝，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为v0，则下列说法中正确的是( )
A．小船渡河时的轨迹为直线
B．小船渡河时的轨迹为曲线
C．小船到达距河对岸处，船的渡河速度为v0
D．小船到达距河对岸处，船的渡河速度为v0
解析：选BC．由题意可知，小船在垂直于河岸方向上做匀速直线运动；由于水的速度与水到岸边的距离有关，所以小船在沿河方向做变速运动，所以小船的轨迹为曲线，B正确，A错误．小船到达距河对岸处时，小船沿河岸方向的速度为v0，其合速度为v0，所以C正确．小船到达距河对岸处时，小船到另一河岸的距离为 ，所以其合速度为v0，D错误．
三、非选择题
10．2015年全国山地自行车冠军赛(第一站)于3月25日～26日在安徽黄山举行．若某一路段车手正在骑自行车以4 m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速也是4 m/s，则车手感觉的风速多大？方向如何？
解析：
以人为参考系，气流水平方向上有向西的4 m/s的速度，向南有4 m/s的速度，所以合速度为4 m/s，方向为西南方向，如图所示．
由图可知骑车的人感觉到风速方向为东北方向的东北风．
答案：4 m/s 东北风
11．质量m＝2 kg的物体在光滑平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图像如图所示．求：
(1)物体受到的合力和初速度．
(2)t＝8 s时物体的速度．
(3)t＝4 s时物体的位移．
解析：(1)物体在x轴方向有ax＝0，y轴方向有ay＝ m/s2，由牛顿第二定律得F合＝may＝1 N，方向沿y轴正方向；由图知v0x＝3 m/s，v0y＝0，所以物体的初速度v0＝3 m/s，方向沿x轴正方向．
(2)当t＝8 s时，vx＝3 m/s，vy＝ayt＝4 m/s，所以v＝eq \r(v＋v)＝5 m/s，
设速度与x轴的夹角为θ，则tan θ＝＝，
则θ＝arctan．
(3)当t＝4 s时，x＝v0xt＝12 m，y＝ayt2＝4 m，
物体的位移s＝＝4 m，
设位移与x轴的夹角为α，则tan α＝＝，
则α＝arctan．
答案：见解析
12．如图所示，起重机将重物吊运到高处的过程中经过A、B两点，重物的质量m＝500 kg，A、B间的水平距离d＝10 m．重物自A点起，沿水平方向做vx＝1．0 m/s的匀速运动，同时沿竖直方向做初速度为零、加速度a＝0．2 m/s2的匀加速运动，忽略吊绳的质量及空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)重物由A运动到B的时间；
(2)重物经过B点时速度的大小；
(3)由A到B的位移大小．
解析：(1)重物在水平方向做匀速运动，从A到B的时间t＝＝10 s．
(2)重物在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以过B点时的竖直分速度vy＝at＝2 m/s
过B点时的合速度v＝eq \r(v＋v)＝ m/s．
(3)重物的水平位移x＝d＝10 m
竖直位移y＝at2＝10 m
A到B的位移xAB＝ ＝10 m．
答案：(1)10 s (2) m/s (3)10 m
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第一章 抛体运动
第一章 抛体运动
预习导学新知探究
梳理知识·夯实基础
多维课堂,师生动
突破疑难·讲练提升
