2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题01 三角函数与解三角形
2020年江苏高考核心考点
1.考查三角函数的图象与性质，三角恒等变形时，要注意三看：角、名、形：
（1）角：观察角之间的关系，如α＝(α＋β)－β等，通过观察角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分与组合，从而正确使用公式。
（2）名：观察三角函数的名称之间的关系，如sinα，cosα，tanα的关系，常常要用到同角关系、诱导公式。通过观察函数名称之间的关系，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”等。
（3）形：观察已知与未知的表达式之间的关系，主要是公式的变形应用。分析表达式的结构特征，寻求变形的方向，迅速准确地使用公式。
2.考查解三角形问题，将几何问题转化为代数问题，利用正、余弦定理解决平面几何问题的一般思路：
（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解。
（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题。
3.解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大。
专项突破
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1.（江苏省南通市2020届四校联盟）若函数()的图象关于直线对称，则＝ ．
2.（江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷）已知tan＝2，则cos()的值为 ．
3.（2020届金陵中学，丹阳中学高三年级第二学期期初联考）在锐角△ABC中，已知sinC＝4cosAcosB，则tanAtanB的最大值为 ．
4.（江苏省淮阴区2020届高三数学第二学期期初模拟）若sin（），则cos（）＝ ．。
5.（江苏省常熟市2020届高三3月“线上教育”学习情况调查）已知(0，)，且，则＝ ．
6.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）在△ABC中，已知B＝2A，AC＝BC，则A的值是 ．
7.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）若将函数的图象沿x轴向右平移(＞0)个单位后所得的图象与的图象关于x轴对称，则的最小值为 ．
8.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））已知，(，)，则＝ ．
9.（江苏省海安中学高三3月数学模拟考试数学试卷）若cosα＝2cos（α），则tan（α）＝ ．
10.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是 ．
11.（南京二十九中2020届高三年级第二学期阶段测试）在中，若，，，则实数__________．
12.（2020年江苏沭阳高级中学高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））函数f（x）＝4cosωxsin(ωx-）+（ω＞0）的最大值与最小正周期相同，则f（x）在[﹣1，1]上的单调递增区间为 ．
13.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在△ABC中，BC为定长，＝．若△ABC的面积的最大值为2，则边BC的长为 ．
14．（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝OC，则△ABC面积的最大值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（江苏省南通市2020届四校联盟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．
（1）若c＝2a，求的值；
（2）若C－B＝，求sinA的值．
16.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝bcosC＋csinB．
（1）求B的值；
（2）设∠BAC的平分线AD与边BC交于点D，已知AD＝，cosA＝，求b的值．
17.（江苏省海安中学高三3月数学模拟考试数学试卷）已知△ABC内接于单位圆，且（1+tanA）（1+tanB）＝2，
（1）求角C
（2）求△ABC面积的最大值．
18.（江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期期初检测）已知a，b，c分别是△ABC三个角A，B，C所对的边，且满足acos B+bcosA
（1）求证：A＝C；
（2）若b＝2，且?1，求sinB的值．
19.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求A；
（2）已知a＝，B＝，求△ABC的面积．
20.(江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试)某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2：1的两部分（点D，E分别在边AB，AC上）；再取DE的中点M，建造直道AM?（如图）．设AD＝x，DE＝，AM＝（单位：百米）．
（1）分别求，关于x的函数关系式；
（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．
2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题01 三角函数与解三角形
2020年江苏高考核心考点
1.考查三角函数的图象与性质，三角恒等变形时，要注意三看：角、名、形：
（1）角：观察角之间的关系，如α＝(α＋β)－β等，通过观察角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分与组合，从而正确使用公式。
（2）名：观察三角函数的名称之间的关系，如sinα，cosα，tanα的关系，常常要用到同角关系、诱导公式。通过观察函数名称之间的关系，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”等。
（3）形：观察已知与未知的表达式之间的关系，主要是公式的变形应用。分析表达式的结构特征，寻求变形的方向，迅速准确地使用公式。
2.考查解三角形问题，将几何问题转化为代数问题，利用正、余弦定理解决平面几何问题的一般思路：
（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解。
（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题。
3.解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大。
专项突破
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1.（江苏省南通市2020届四校联盟）若函数()的图象关于直线对称，则＝ ．
【答案】
【解析】由题意：，，得.
2.（江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷）已知tan＝2，则cos()的值为 ．
【答案】
【解析】cos()＝
＝．
3.（2020届金陵中学，丹阳中学高三年级第二学期期初联考）在锐角△ABC中，已知sinC＝4cosAcosB，则tanAtanB的最大值为 ．
【答案】4
【解析】在锐角中，tanA>0，tanB>0,由已知sinC＝4cosAcosB得sinAcosB+cosAsinB＝4cosAcosB，两边同除以cosAcosB得tanA+tanB=42，得tanAtanB4，则tanAtanB的最大值为4.
4.（江苏省淮阴区2020届高三数学第二学期期初模拟）若sin（），则cos（）＝ ．。
【答案】
【解析】sin（）cos[（α）]＝cos（α），即cos（α），
则cos（）＝21＝21，
5.（江苏省常熟市2020届高三3月“线上教育”学习情况调查）已知(0，)，且，则＝ ．
【答案】
【解析】，
由，得，
∴＝0，∵(0，)，∴(，)，
∴，．
6.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）在△ABC中，已知B＝2A，AC＝BC，则A的值是 ．
【答案】
【解析】∵AC＝BC，∴，即sinB＝sinA，
∵B＝2A，∴sin2A＝sinA，则2sinAcosA＝sinA，
∵sinA≠0，∴，A(0，π)，则A＝．
7.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）若将函数的图象沿x轴向右平移(＞0)个单位后所得的图象与的图象关于x轴对称，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
8.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））已知，(，)，则＝ ．
【答案】
【解析】∵，
∴，
则，．
9.（江苏省海安中学高三3月数学模拟考试数学试卷）若cosα＝2cos（α），则tan（α）＝ ．
【答案】
【解析】∵cosα＝2cos（α），∴cos（α）＝2cos（α），
∴cos（α）cossin（α）sin2cos（α）cos2sin（α）sin，
化为：cos（α）cos3sin（α）sin，
∴tan（α），
∵1，解得1．
∴tan（α），
10.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是 ．
【答案】3
【解析】
，解得＝3．
11.（南京二十九中2020届高三年级第二学期阶段测试）在中，若，，，则实数__________．
【答案】
【解析】在中，，由余弦定理得，①
因为，即，所以，
由正弦定理得，所以，
整理得，②
由①②可得，所以，解得，
所以，
又，所以．
12.（2020年江苏沭阳高级中学高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））函数f（x）＝4cosωxsin(ωx-）+（ω＞0）的最大值与最小正周期相同，则f（x）在[﹣1，1]上的单调递增区间为 ．
【答案】
【解析】f（x）＝4cosωx（sinωx﹣cosωx）+
＝2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+
＝sin2ωx﹣cos2ωx
＝2sin（2ωx﹣），
则函数的最大值为2，周期T＝＝，
∵f（x）的最大值与最小正周期相同，
∴＝2，得ω＝，
则f（x）＝2sin（πx），
当﹣1≤x≤1时，﹣≤πx≤，
则当﹣≤πx≤时，得﹣≤x≤，
即函数f（x）在[﹣1，1]上的单调递增区间为[﹣，] .
13.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在△ABC中，BC为定长，＝．若△ABC的面积的最大值为2，则边BC的长为 ．
【答案】2
【解析】令在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
其中C是AD中点，E是BD中点，则，
∴＝可转化为，
根据三角形中线公式得，
，，
即，，消BD2得，
，作AF⊥BC于点F，设CF＝x，则BF＝，AF＝h，
可转化为，
化简得，当时，取最大值，即h的最大值为a，
∴，解得a＝2，即BC的长为2．
14．（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝OC，则△ABC面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】设
B，O，E共线，则，解得，从而O为CD中点，故，
在△BOD中，BD＝2，，易知O的轨迹为阿圆，其半径，
故．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（江苏省南通市2020届四校联盟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．
（1）若c＝2a，求的值；
（2）若C－B＝，求sinA的值．
【解析】（1）解法1：
在△ABC中，因为cosB＝，所以＝．
因为c＝2a，所以＝，即＝，所以＝．
又由正弦定理得＝，所以＝．
解法2：
因为cosB＝，B∈(0，π)，所以sinB＝＝．
因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，
所以sinC＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC，即－sinC＝2cosC．又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝，
所以＝．
（2）因为cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝.
又0＜B＜π，所以sinB＝＝，
所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝．
因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，
所以sinA＝sin(－2B)＝sincos2B－cossin2B＝．
16.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝bcosC＋csinB．
（1）求B的值；
（2）设∠BAC的平分线AD与边BC交于点D，已知AD＝，cosA＝，求b的值．
【解析】（1）由正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB
Sin[π﹣(B＋C)]＝sinBcosC＋sinCsinB
sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCsinB
sinBcosC＋sinCcosB＝sinBcosC＋sinCsinB
sinCcosB＝sinCsinB
∵B、C(0，)，sinB＞0，sinC＞0，∴cosB＝sinB，tanB＝1，
由B(0，)，得B＝．
（2）记A＝2
∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD＝∠CAD＝
∵cosA＝，A(0，)， ∴sinA＝＝
sinC＝sin(A＋B)＝
∵cosA＝，(0，)，
∴sin＝，cos＝
∴sin∠ADC＝sin(B＋)＝
在△ADC中，由正弦定理得：，
∴.
17.（江苏省海安中学高三3月数学模拟考试数学试卷）已知△ABC内接于单位圆，且（1+tanA）（1+tanB）＝2，
（1）求角C
（2）求△ABC面积的最大值．
【解析】（1）∵（1+tanA）（1+tanB）＝2
∴tanA+tanB＝1﹣tanA?tanB，
∴tanC＝﹣tan（A+B）1，
∴C
（2）∵△ABC得外接圆为单位圆，
∴其半径R＝1
由正弦定理可得c＝2RsinC，
由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcosC，
代入数据可得2＝a2+b2ab
≥2abab＝（2）ab，
∴ab，
∴△ABC得面积SabsinC，
∴△ABC面积的最大值为：
18.（江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期期初检测）已知a，b，c分别是△ABC三个角A，B，C所对的边，且满足acos B+bcosA
（1）求证：A＝C；
（2）若b＝2，且?1，求sinB的值．
【解析】（1）因为acos B+bcosA
由正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA，
所以sin（A+B），即sinC，
又sinC＞0，所以cosA＝cosC，又A，C∈（0，π），故A＝C．
（2）由（1）得a＝c，
又?1，所以accosB＝1，
又由余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accosB，所以a2+c2＝6，
即a＝c，所以cosB，
又sinB＞0，所以sinB，
故答案为：．
19.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求A；
（2）已知a＝，B＝，求△ABC的面积．
【解析】（1）由正弦定理：，得：
B为△ABC内角，故sinB＞0，所以，
若，则，与矛盾，故，
因此，又A为△ABC内角，所以；
（2）由正弦定理得：，
故．
20.(江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试)某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2：1的两部分（点D，E分别在边AB，AC上）；再取DE的中点M，建造直道AM?（如图）．设AD＝x，DE＝，AM＝（单位：百米）．
（1）分别求，关于x的函数关系式；
（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．
【解析】（1）因为，△ABC是边长为3的等边三角形，又AD x，
所以，所以．
由，得．
在中，由余弦定理，得
．
所以，直道DE长度y1关于x的函数关系式为．
在和中，由余弦定理，得
①
②
因为M为DE的中点，所以．
由①+②，得，
所以， 所以．
所以，直道AM长度y2关于x的函数关系式为
．
（2）由（1）得，两条直道的长度之和为
（当且仅当即时取）．
答：当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米．
