2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题02 立体几何
2020年江苏高考核心考点
1.线线与线面的平行与垂直：
线线与线面的平行与垂直一定要熟练掌握它们的判定定理和性质定理。利用几何方法证明垂直与平行问题是立体几何的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线线垂直(平行)、线面垂直(平行)、面面垂直(平行)这三者之间的互化关系，借助辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系，从而将问题解决。
2.平面与平面的平行与垂直：
熟练掌握平面与平面的平行与垂直的判定定理和性质定理，注意判定定理和性质定理的条件。
3.多面体的表面积与体积：
求多面体的表面积与体积常用方法：1、公式法：可以运用规则的几何体；2、割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或者把几何体补成熟悉的几何体。3、等积法：通过转换顶点，换成底面积或者高易求的几何体。
专项突破
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1.（江苏省南通市2020届四校联盟）在正四棱锥S﹣ABCD中，点O是底面中心，SO＝2，侧棱SA＝2，则该棱锥的体积为 ．
2.（江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为 cm3．
3.（2020届天一中学高三年级第二学期期初调研测试）某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为 时，可使得所用材料最省．
4.（2019～2020学年度如皋高三年级第二学期期初调研测试）已知正四棱柱中，为上底面中心．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，则 ．
5.（江苏省张家港市2020届高三阶段性调研测试）在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，，则该三棱锥的体积为_______．
6.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）如图，在体积为V的圆柱O1O2中，以线段O1O2上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V1，V2，则的值是 ．
7.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在△ABC中，AB＝，AC＝，∠BAC＝90°，则△ABC绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为 ．
8.（2020年南师附中高考模拟数学试卷）设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若m∥α，m∥β，则α∥β； ②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
③若m∥α，m∥n，则n∥α； ④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．
其中的正确命题序号是 ．
9.（2019—2020学年度扬州中学第二学期阶段性检测改编）将一个底面半径为4，高为2的圆锥锻造成一个球体，则球体的表面积为 ．
10.（江苏省海安中学高三3月数学模拟考试数学试卷）现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4．若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为 ．
11.（2019—2020学年度镇江市九校2020届高三年级3月模拟考试）如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为 ．
12.（江苏省常熟市2020届高三3月“线上教育”学习情况调查）四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，则四棱锥的侧面积是_________．
13.（2020年江苏沭阳高级中学高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为 ．
14．（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））如图在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB＝1，BC＝2．分别以A，D为圆心，1为半经作圆弧EB，EC，将两圆弧EB，EC及边BC所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（江苏省南通市2020届四校联盟）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．
（1）求证：AC1∥平面PBD；
（2）求证：BD⊥A1P．
16.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在如图，三棱锥P—ABC中，点D，E分别为AB，BC的中点，且平面PDE⊥平面ABC．
（1）求证：AC∥平面PDE；
（3）若PD＝AC＝2，PE＝，求证：平面PBC⊥平面ABC．
17.（江苏省如皋中学高三3月数学模拟考试数学试卷）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面为平行四边形，面，三角形为正三角形．
（1）若为中点，证明：；
（2）若，证明：面．
18.（2020年江苏沭阳高级中学高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））如图，在四棱锥P﹣ABCD中．
（1）若AD⊥平面PAB，PB⊥PD，求证：平面PBD⊥平面PAD；
（2）若AD∥BC，E为PA的中点，当BE∥平面PCD时，求的值．
19.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．
（1）证明：AP∥平面EBD?；
（2）证明：BE⊥PC．
20.(江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，点P，Q分别为AB1，CC1的中点．求证：
（1）PQ∥平面ABC；
（2）PQ⊥平面ABB1A1．
2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题02 立体几何
2020年江苏高考核心考点
1.线线与线面的平行与垂直：
线线与线面的平行与垂直一定要熟练掌握它们的判定定理和性质定理。利用几何方法证明垂直与平行问题是立体几何的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线线垂直(平行)、线面垂直(平行)、面面垂直(平行)这三者之间的互化关系，借助辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系，从而将问题解决。
2.平面与平面的平行与垂直：
熟练掌握平面与平面的平行与垂直的判定定理和性质定理，注意判定定理和性质定理的条件。
3.多面体的表面积与体积：
求多面体的表面积与体积常用方法：1、公式法：可以运用规则的几何体；2、割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或者把几何体补成熟悉的几何体。3、等积法：通过转换顶点，换成底面积或者高易求的几何体。
专项突破
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1.（江苏省南通市2020届四校联盟）在正四棱锥S﹣ABCD中，点O是底面中心，SO＝2，侧棱SA＝2，则该棱锥的体积为 ．
【答案】
【解析】∵在正四棱锥S﹣ABCD中，侧棱SA＝2，高SO＝2，
∴底面中心到顶点的距离AO2
因此，底面正方形的边长ABAO＝4，底面积S＝AB2＝16
该棱锥的体积为VSABCD?SO16×2．
2.（江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为 cm3．
【答案】
【解析】设圆锥底面半径为r，圆锥高为h，
则，得r＝2，故h＝＝．
∴V＝＝．
3.（2020届天一中学高三年级第二学期期初调研测试）某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为 时，可使得所用材料最省．
【答案】
【解析】设圆柱的高为h，底面半径为r．
由题意，128π＝πr2?h，∴S＝2πr2+2πr?h＝2πr2++
≥，当r＝4时取等号，此时h＝8．
∴它的底面半径和高的比值为．
4.（2019～2020学年度如皋高三年级第二学期期初调研测试）已知正四棱柱中，为上底面中心．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，则 ．
【答案】
【解析】正四棱锥的斜高为，则.
5.（江苏省张家港市2020届高三阶段性调研测试）在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，，则该三棱锥的体积为_______．
【答案】
【解析】由条件，且
所以平面.
在中，得
在中，取的中点，连接，则，且.
所以 ， ,故答案为：.
6.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）如图，在体积为V的圆柱O1O2中，以线段O1O2上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V1，V2，则的值是 ．
【答案】
【解析】由，得．
7.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在△ABC中，AB＝，AC＝，∠BAC＝90°，则△ABC绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为 ．
【答案】
【解析】该几何体是由底面半径为2，母线长分别为，的两个圆锥拼成的图形，
故表面积＝．
8.（2020年南师附中高考模拟数学试卷）设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若m∥α，m∥β，则α∥β； ②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
③若m∥α，m∥n，则n∥α； ④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．
其中的正确命题序号是 ．
【答案】②④
【解析】由m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，知：
在①中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①错误；
在②中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故②正确；
在③中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n?α，故③错误；
在④中，若m⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．
故答案为：②④．
9.（2019—2020学年度扬州中学第二学期阶段性检测改编）将一个底面半径为4，高为2的圆锥锻造成一个球体，则球体的表面积为 ．
【答案】16
【解析】圆锥的体积为V＝，
球的体积为：＝，解得球的半径R＝2，
所以，球的表面积为S＝.
10.（江苏省海安中学高三3月数学模拟考试数学试卷）现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4．若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为 ．
【答案】
【解析】该球的半径为R,得R=1，则该球的表面积为
11.（2019—2020学年度镇江市九校2020届高三年级3月模拟考试）如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为 ．
【答案】
【解析】此四棱锥的高为，则此四棱锥的体积为.
12.（江苏省常熟市2020届高三3月“线上教育”学习情况调查）四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，则四棱锥的侧面积是_________．
【答案】
【解析】如图：由已知平面，又平面，
则，又，且，
所以平面，又平面，
所以，即是直角三角形，
同理也是直角三角形，且和的面积相同，
四棱锥的侧面积：.
故答案为：.
13.（2020年江苏沭阳高级中学高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，作AO⊥BC，交BC于O，
AO＝＝，
由题意得正三棱柱底面边长EF＝6，高为h＝，
∴所得正三棱柱的体积为：
V＝S△DEF?h=＝27．
14．（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））如图在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB＝1，BC＝2．分别以A，D为圆心，1为半经作圆弧EB，EC，将两圆弧EB，EC及边BC所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为 ．
【答案】
【解析】
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（江苏省南通市2020届四校联盟）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．
（1）求证：AC1∥平面PBD；
（2）求证：BD⊥A1P．
【解析】（1）连结AC交BD于O点，连结OP，
因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，所以O点是AC的中点，所以AO＝OC．
又因为点P是侧棱C1C的中点，所以CP＝PC1，
在△ACC1中，，所以AC1∥OP，
又因为OP?面PBD，AC1?面PBD，
所以AC1∥平面PBD．
（2）连结A1C1．因为ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，
所以侧棱C1C垂直于底面ABCD，又BD?平面ABCD，
所以CC1⊥BD，
因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又AC∩CC1＝C，AC?面AC1，CC1?面AC1，所以BD⊥面AC1，
又因为P∈CC1，CC1?面ACC1A1，所以P∈面ACC1A1，
因为A1∈面ACC1A1，所以A1P?面AC1，
所以BD⊥A1P．
16.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在如图，三棱锥P—ABC中，点D，E分别为AB，BC的中点，且平面PDE⊥平面ABC．
（1）求证：AC∥平面PDE；
（3）若PD＝AC＝2，PE＝，求证：平面PBC⊥平面ABC．
【解析】（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE∥AC，
∵AC平面PDE，DE平面PDE，
∴AC∥平面PDE
（2）∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴
在△PDE中，，
∴PE⊥DE
∵平面PDE⊥平面ABC，平面PDE平面ABC＝DE，PE平面PDE
∴PE⊥平面ABC
∵PE平面PBC
∴平面PBC⊥平面ABC.
17.（江苏省如皋中学高三3月数学模拟考试数学试卷）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面为平行四边形，面，三角形为正三角形．
（1）若为中点，证明：；
（2）若，证明：面．
【解析】⑴取PA的中点G，连接GD,GE.
在中，因为E,G分别为PB,PA中点，
所以//且
因为底面ABCD为平行四边形，所以DC//AB，
F为DC的中点，所以
所以GE//DF且GE=DF，
所以四边形GEDF为平行四边形, 所以//
因为平面，平面，
所以EF// 平面PAD
⑵取AD的中点H,连接PH.
因为侧面PAD为正三角形，所以
因为平面平面，平面，
平面平面, 所以平面
因为平面，所以，
因为，所以,
因为，平面，
所以平面 因为平面，所以平面平面
18.（2020年江苏沭阳高级中学高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））如图，在四棱锥P﹣ABCD中．
（1）若AD⊥平面PAB，PB⊥PD，求证：平面PBD⊥平面PAD；
（2）若AD∥BC，E为PA的中点，当BE∥平面PCD时，求的值．
【解析】（1）证明：∵AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，
∴PB⊥AD，∵PB⊥PD，AD∩PD＝D，
∴PB⊥平面PAD，
∵PB?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAD．
（2）取PD中点F，连结EF，CF，
∵E为PA的中点，∴EF∥AD，且2EF＝AD，
∵AD∥BC，∴EF∥BC，∴四边形EFCB是平面图形，
∵BE∥平面PCD，CF?平面PCD，∴BE∥CF，
∴四边形EFCB是平行四边形，∴EF＝BC，
∴＝2．
19.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．
（1）证明：AP∥平面EBD；
（2）证明：BE⊥PC．
【解析】（1）连结AC交BD于点O，连结OE
因为四边形ABCD为平行四边形
∴O为AC中点，
又E为PC中点，
故AP∥OE，
又AP平面EBD，OE平面EBD
所以AP∥平面EBD?；
（2）∵△PCD为正三角形，E为PC中点
所以PC⊥DE
因为平面PCD⊥平面ABCD，
平面PCD平面ABCD＝CD，
又BD平面ABCD，BD⊥CD
∴BD⊥平面PCD
又PC平面PCD，故PC⊥BD
又BDDE＝D，BD平面BDE，DE平面BDE
故PC⊥平面BDE
又BE平面BDE，
所以BE⊥PC．
20.(江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，点P，Q分别为AB1，CC1的中点．求证：
（1）PQ∥平面ABC；
（2）PQ⊥平面ABB1A1．
【解析】（1）取的中点，连结．
在△中，因为分别为中点，
所以，且． 直三棱柱ABCA1B1C1中，，．因为为棱的中点，所以，且．
于是，．
所以四边形为平行四边形，从而． 又因为，，所以．
（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，．又，所以．因为，为中点，所以．
由（1）知，所以，．
又因为，，，所以．
