2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题03 平面向量
2020年江苏高考核心考点
1.平面向量基本定理的应用
平面向量基本定理表明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的“唯一性”可建立方程组求解.
2.平面向量的坐标运算
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，则b＝λa.
(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
3.平面数量积的基本运算
(1)向量的数量积考查常见思路：基底法、坐标法(建系)、投影等．常用的知识：极化恒等式、向量共线定理、平面向量基本定理、鸡爪定理等．
(2)基底法：题目中有角，有边长的；坐标法：有特殊角的；有特殊图形的；有线段长，根据对称性建系，线段中点为原点．
专项突破
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1.（江苏省南通市2020届四校联盟）如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA＝2，OC＝4，AC＝5，则 ．
【答案】
【解析】以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，
设O（m，n），B（a，0），D（0，b），则C（a，b），
∵OA＝2，OC＝4，AC＝5，
∴，整理可得：am+bn．
又（a﹣m，﹣n），（﹣m，b﹣n），
∴m（m﹣a）+n（n﹣b）＝m2+n2﹣（am+bn）＝4,故答案为：．
2.（江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷）已知正方形ABCD的边长为2，以C为圆心的圆与直线BD相切．若点M是圆C上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】取AD中点E，由极化恒等式，得
，
故当ME最大时，有最小值，MEmax＝CE＋＝，
∴min＝1﹣＝．
3.（江苏省南通市海安市2020届高三下学期3月月考）已知，是夹角为60°的两个单位向量，，(kR)，且＝8，则k的值为 ．
【答案】
【解析】由＝8得，所以，得k=.
4.（南京市高淳区高级中学2020届高三模拟考试）如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是__________.
【答案】18
【解析】，，
，
,故答案为：18.
5.（江苏省张家港市2020届高三阶段性调研测试）已知正方形的边长为4，是的中点，动点在正方形的内部或其边界移动，并且满足，则的最小值是______．
【答案】
【解析】如图所示，由，则.
动点在以为直径的半圆上，取的中点.
所以
又动点在以为直径的半圆上，设圆心为，半径为1.
所以的最小值为.
所以,故答案为：
6.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）图（1）是第七届国际数学教育大会(ICME—7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图(2)），其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，则的值是 ．
【答案】
【解析】由题意sin∠A6A7O＝，
∴．
7.（江苏省南通市2020届四校联盟）在所在的平面上有一点，满足，则=____
【答案】
【解析】；；；
，，三点共线，如图所示：；
,故答案为：．
8.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在△ABC中，BC为定长，＝．若△ABC的面积的最大值为2，则边BC的长为 ．
【答案】2
【解析】向量法：设M是BC的三等分点，由＝
得,△ABC的面积的最大值,故答案为：2．
9.（南京市高淳区高级中学2020届高三模拟考试）在中，，，，是的外心，若，则的值为__________.
【答案】
【解析】，.
建系，则，，.
的中垂线为，设圆心，
则，
解得，点.
由，得，
，解得，,故答案为：.
10.（2019—2020学年度扬州市第二学期阶段性检测）在中，，，若对任意的实数，恒成立，则面积的最大值是 ．
【答案】
【解析】设，则，所以，
因为，，，故.
11.（2019—2020学年度镇江市九校2020届高三年级3月模拟考试）在边长为4的菱形ABCD中，A=60°，点P在菱形ABCD所在的平面内．若PA=3，PC=，则= ．
【答案】-1
【解析】建立以AC为x轴，BD为y轴的直角坐标系，,
若PA=3，PC=,则，两式相加得，
则.
12.（江苏省常熟市2020届高三3月“线上教育”学习情况调查）已知平面四边形中，，则________．
【答案】4
【解析】平面四边形中，
则
即，解得，即；所以.
13.（2019～2020学年度如皋高三年级第二学期期初调研测试）已知中，，平面上一点满足，则 ．
【答案】-3
【解析】==
=
==-6+4-1=-3.
14．（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是 ．
【答案】3
【解析】
，解得＝3．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（江苏省扬州市2020届第二学期高三数学阶段性学情调研）
设向量(其中)
（1）若,求实数的值;
（2）若,求函数的值.
【解析】（1）∵,
∴,
又,
∴.
（2）∵,
∴,
∴.
又x∈[0,π]且,
∴即.
16.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝(cos，sin)，＝(cos(＋)，sin(＋))，其中0＜＜．
（1）求的值；
（2）若＝(1，1)，且∥，求的值．
【解析】（1）因为向量，，
所以 ．
（2）因为，所以．
因为∥，所以．
于是，
从而，即．
因为，所以，于是，即．
17.（ 南京二十九中2020届高三年级第二学期阶段测试）已知向量，．
(1)若，，且，求实数的值；
(2)若，求的最大值
【解析】(1)当，时，，又，
所以，
若，则，即，解得．
(2)因为，，所以，
因为，所以，则，
所以，
故当或时，的最大值为6．
18.（苏州市2020届高考模拟考试）已知向量＝(sinx，)，＝(cosx，﹣1)．
（1）当∥时，求tan2x的值；
（2）设函数，且(0，)，求的最大值以及对应的x的值．
【解析】（1）因为，所以，。因此.
（2）
=。因此f(x)最大值为，此时,k∈N.
19.（连云港市市2020届高考模拟考试） 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D为△ABC内一点，满足BD＝CD＝2，且
（1）求的值；
（2）求边BC的长。
【解析】（1）设，，，
由，
所以，即，
又为三角形的内角，所以，
在中，，所以，同理，
所以，
（2）在中，，
同理， 由（1）可得，解得.
20.（2020年江苏沭阳高级中学高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））在平面直角坐标系xOy中，设向量.
（1）若，求tan2的值；
（2）若，且，求的值．
【解析】（1）若，则sin（θ+）+2sinθ＝0，即sinθ+cosθ+2sinθ＝0，
即sinθ＝cosθ，则tanθ＝﹣，则tan2θ＝＝﹣．
（2）若，则2sinθsin（θ+）﹣1＝0，即（sinθ+cosθ）?2sinθ﹣1＝0，得sin2θ+cosθsinθ﹣1＝0，即cosθsinθ﹣cos2θ＝0，即cosθ（sinθ﹣cosθ）＝0，
∵，∴cosθ≠0，则sinθ﹣cosθ＝0，则sinθ＝cosθ，即tanθ＝，即θ＝．
2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题03 平面向量
2020年江苏高考核心考点
1.平面向量基本定理的应用
平面向量基本定理表明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的“唯一性”可建立方程组求解.
2.平面向量的坐标运算
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，则b＝λa.
(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
3.平面数量积的基本运算
(1)向量的数量积考查常见思路：基底法、坐标法(建系)、投影等．常用的知识：极化恒等式、向量共线定理、平面向量基本定理、鸡爪定理等．
(2)基底法：题目中有角，有边长的；坐标法：有特殊角的；有特殊图形的；有线段长，根据对称性建系，线段中点为原点．
专项突破
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1.（江苏省南通市2020届四校联盟）如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA＝2，OC＝4，AC＝5，则 ．
2.（江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷）已知正方形ABCD的边长为2，以C为圆心的圆与直线BD相切．若点M是圆C上的动点，则的最小值为 ．
3.（江苏省南通市海安市2020届高三下学期3月月考）已知，是夹角为60°的两个单位向量，，(kR)，且＝8，则k的值为 ．
4.（南京市高淳区高级中学2020届高三模拟考试）如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是__________.
5.（江苏省张家港市2020届高三阶段性调研测试）已知正方形的边长为4，是的中点，动点在正方形的内部或其边界移动，并且满足，则的最小值是______．
6.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）图（1）是第七届国际数学教育大会(ICME—7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图(2)），其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，则的值是 ．
7.（江苏省南通市2020届四校联盟）在所在的平面上有一点，满足，则= ．
8.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在△ABC中，BC为定长，＝．若△ABC的面积的最大值为2，则边BC的长为 ．
9.（南京市高淳区高级中学2020届高三模拟考试）在中，，，，是的外心，若，则的值为__________.
10.（2019—2020学年度扬州市第二学期阶段性检测）在中，，，若对任意的实数，恒成立，则面积的最大值是 ．
11.（2019—2020学年度镇江市九校2020届高三年级3月模拟考试）在边长为4的菱形ABCD中，A=60°，点P在菱形ABCD所在的平面内．若PA=3，PC=，则= ．
12.（江苏省常熟市2020届高三3月“线上教育”学习情况调查）已知平面四边形中，，则________．
13.（2019～2020学年度如皋高三年级第二学期期初调研测试）已知中，，平面上一点满足，则 ．
14．（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（江苏省扬州市2020届第二学期高三数学阶段性学情调研）
设向量(其中)
（1）若,求实数的值;
（2）若,求函数的值.
16.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝(cos，sin)，＝(cos(＋)，sin(＋))，其中0＜＜．
（1）求的值；
（2）若＝(1，1)，且∥，求的值．
17.（ 南京二十九中2020届高三年级第二学期阶段测试）已知向量，．
(1)若，，且，求实数的值；
(2)若，求的最大值
18.（苏州市2020届高考模拟考试）已知向量＝(sinx，)，＝(cosx，﹣1)．
（1）当∥时，求tan2x的值；
（2）设函数，且(0，)，求的最大值以及对应的x的值．
19.（连云港市市2020届高考模拟考试） 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D为△ABC内一点，满足BD＝CD＝2，且
（1）求的值；
（2）求边BC的长。
20.（2020年江苏沭阳高级中学高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））在平面直角坐标系xOy中，设向量.
（1）若，求tan2的值；
（2）若，且，求的值．
