2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题04 函数与导数
2020年江苏高考核心考点
1.函数零点的问题
对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.
2.利用导数研究含参不等式恒成立问题
含参函数的不等式恒成立问题一般处理策略：方法一：分离参数：将参数分离处理，此法是首选．但是在分离的过程中，若涉及到除以某一因式，要进行讨论。
方法二：运用函数的思想，构造一个函数研究这个函数的最大值或者最小值，在某些情况下有可能涉及二次求导。
3.利用导数研究不等式问题
利用导数证明不等式的常规解题策略：(1) 构造差函数h(x)＝f(x)－g(x)，根据差函数的导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；(2) 根据条件，寻找目标函数．一般思路为充分利用条件将求和问题转化为对应项之间的大小关系，或利用放缩、等量代换等手段将多元函数转化为一元函数．
专项突破
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）已知函数是定义在R上的奇函数，且周期为2，当x(0，1]时，，则的值为 ．
2.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 ．
3.（江苏省南通市海安市2020届高三下学期3月月考）已知关于x的方程|x|（x﹣a）＝1在（﹣2，+∞）上有三个相异实根，则实数a的取值范围是 ．
4.（南京市高淳区高级中学2020届高三模拟考试）已知函数f（x）＝mlnx图象与函数g（x）＝图象在交点处切线方程相同，则m的值为 ．
5.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））若函数(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是 ．
6.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）在平面直角坐标系xOy中，曲线在点P(，)处的切线与x轴相交于点A，其中e为自然对数的底数．若点B(，0)，△PAB?的面积为3，则的值是 ．
7.(扬州2020届高三年级第二学期阶段测试)已知函数 若函数在R上有零点，则实数的取值范围为 ．
8.（南通市通州区2020届高三年级第二学期联考数学试卷）已知函数，曲线上总存在两点M(，)，N(，)使曲线在M、N两点处的切线互相平行，则＋的取值范围为 ．
9.（江苏省如皋中学2020届高三创新班数学试卷）若，是函数，的两个极值点，且，则的取值范围为__________．
10.（2020年度泰州中学第二学期高三质量测试卷）已知关于x的方程|x|(x?a)=1在(?2,+∞)上有三个相异实根，则实数a的取值范围是______．
11.（南京二十九中2020届高三年级第二学期阶段测试）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围是__________．
12.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）函数(e为自然对数的底数，bR)，若函数恰有4个零点，则实数b的取值范围为 ．
13.（江苏省南通市2020届四校联盟）若函数f（x）＝x3﹣ax+|x﹣2|，x＞0存在零点，则实数a的取值范围为 ．
14．（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）设函数，若存在实数m，使得关于x的方程 有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（江苏省南通市2020届四校联盟）已知函数f（x）x3﹣2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．
（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．
（南通市通州区2020届高三年级第二学期联考数学试卷)已知函数
（1）当时，设，且函数在R上单调递增.
①求实数的取值范围；
②设当实数取最小值时，求函数的极小值.
(2) 当时，证明：函数有两个零点.
17.（ 南京二十九中2020届高三年级第二学期阶段测试）已知函数，其中为自然对数的底数，．
（1）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；
（2）已知，，若对任意都成立，求的最大值；
（3）设，若存在，使得成立，求的取值范围．
18.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））已知函数(mR)的导函数为．
（1）若函数存在极值，求m的取值范围；
（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意mR，若关于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整数k的取值集合．
19.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试） 已知函数，，aR．函数的导函数在[，4]上存在零点．
（1）求实数a的取值范围.
（2）若存在实数a，当x[0，b]时，函数在x＝0时取得最大值，求正实数b的最大值；
（3）若直线l与曲线和都相切，且l在y轴上的截距为﹣12，求实数a的值．
20.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）若函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”．
（1）设函数(kR)．①当k＝1时，求函数的极值；②若函数存在“F点”，求k的值；
（2）已知函数(a，b，cR，a≠0)存在两个不相等的“F点”，，且，求a的取值范围．
2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题04 函数与导数
2020年江苏高考核心考点
1.函数零点的问题
对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.
2.利用导数研究含参不等式恒成立问题
含参函数的不等式恒成立问题一般处理策略：方法一：分离参数：将参数分离处理，此法是首选．但是在分离的过程中，若涉及到除以某一因式，要进行讨论。
方法二：运用函数的思想，构造一个函数研究这个函数的最大值或者最小值，在某些情况下有可能涉及二次求导。
3.利用导数研究不等式问题
利用导数证明不等式的常规解题策略：(1) 构造差函数h(x)＝f(x)－g(x)，根据差函数的导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；(2) 根据条件，寻找目标函数．一般思路为充分利用条件将求和问题转化为对应项之间的大小关系，或利用放缩、等量代换等手段将多元函数转化为一元函数．
专项突破
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）已知函数是定义在R上的奇函数，且周期为2，当x(0，1]时，，则的值为 ．
【答案】0
【解析】当x(0，1]时，，∴，
∵函数是定义在R上的奇函数，∴，
∵函数周期为2，∴，解得a＝﹣3，∴，
∴．
2.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 ．
【答案】
【解析】，＝1时有最小值1，此时M(1，﹣2)，
故切线方程为：，即．
3.（江苏省南通市海安市2020届高三下学期3月月考）已知关于x的方程|x|（x﹣a）＝1在（﹣2，+∞）上有三个相异实根，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】关于x的方程|x|（x﹣a）＝1，
显然x＝0方程不成立，
可得a＝x，
设f（x）＝x，
则f（x），
画出f（x）的图象，
可得当a＜﹣2时，y＝a和y＝f（x）的图象有3个交点，
即关于x的方程|x|（x﹣a）＝1在（﹣2，+∞）上有三个相异实根，
故答案为：（，﹣2）．
4.（南京市高淳区高级中学2020届高三模拟考试）已知函数f（x）＝mlnx图象与函数g（x）＝图象在交点处切线方程相同，则m的值为 ．
【答案】e
【解析】设函数f（x）和g（x）的交点为（x0，y0），则
由f（x）＝mlnx，得，
∴f（x）在（x0，y0）处的切线方程的斜率，
同理，函数g（x）在（x0，y0）处的切线方程的斜率，
∵f（x）和g（x）在交点处切线方程相同，
∴k1＝k2，即①，
又y0＝f（x0）＝mlnx0②，③，
由①②③解得，m＝e．
5.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））若函数(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是 ．
【答案】(1，)
【解析】由题意知：与的图像在(1，)上恰有两个交点
考查临界情形：与切于，
．
6.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）在平面直角坐标系xOy中，曲线在点P(，)处的切线与x轴相交于点A，其中e为自然对数的底数．若点B(，0)，△PAB?的面积为3，则的值是 ．
【答案】
【解析】∵，∴，则切线方程为，令y＝0，
求得，∴，解得．
7.(扬州2020届高三年级第二学期阶段测试)已知函数 若函数在R上有零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】＝0时，
，得：，
＝0，得：，
所以，，
令，则＞0，所以，为增函数,因为函数在R上有零点，所以
的取值范围为.
8.（南通市通州区2020届高三年级第二学期联考数学试卷）已知函数，曲线上总存在两点M(，)，N(，)使曲线在M、N两点处的切线互相平行，则＋的取值范围为 ．
【答案】
【解析】，因为曲线在M、N两点处的切线互相平行，
所以即，即，当时成立，由于，所以，
令，根据单调性得，所以.
9.（江苏省如皋中学2020届高三创新班数学试卷）若，是函数，的两个极值点，且，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】，令得，由 得
， 所以，而得
所以，令，
恒成立，在单调减，
且，所以的取值范围为.
10.（2020年度泰州中学第二学期高三质量测试卷）已知关于x的方程|x|(x?a)=1在(?2,+∞)上有三个相异实根，则实数a的取值范围是______．
【答案】（）
【解析】由题意，，，
当时：是单调增函数，所以有一个实根，此时
当时：增，减，所以的范围（）.
11.（南京二十九中2020届高三年级第二学期阶段测试）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围是__________．
【答案】[0,1]
【解析】因为函数在上单调递减，
所以，即，
所以函数的值域为，
因为对任意的，总存在使得成立，
故的值域是值域的子集，
对，，
当时，，符合题意；
当时，函数在单调递增，所以，
所以解得，又，所以，综上，实数a的取值范围是．
12.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）函数(e为自然对数的底数，bR)，若函数恰有4个零点，则实数b的取值范围为 ．
【答案】
【解析】∵，∴，
当x＜0，＜0，则在(，0)上单调递减，
当x＞0，＞0，则在(0，)上单调递增，
∴的最小值为，
容易知道当，函数没有零点；
当，函数有且仅有两个零点；
要使函数恰有4个零点，必须，即b＞1
此时恰有2个零点，令这两个零点为，，规定＜0＜，
则＝或，＝或，易知＝有两个不相等的实根，则＝必须满足有且仅有两个不相等的实根，故，
即，因为函数在(，)上单调递减，∴，即，解得，
综上所述，．
13.（江苏省南通市2020届四校联盟）若函数f（x）＝x3﹣ax+|x﹣2|，x＞0存在零点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】a≥2
【解析】∵函数f（x）＝x3﹣ax+|x﹣2|，x＞0存在零点，
∴当0＜x＜2时，f（x）＝x3﹣ax﹣x+2，
令f（x）＝0，则a＝x21，
再令g（x）＝x21，
∵g′（x）＝2x，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
∴当x＝1时，g（x）＝x21取到极小值g（1）＝2（也是最小值），
∴a≥2；①
∴当x≥2时，f（x）＝x3﹣ax+x﹣2，
令f（x）＝0，则a＝x21，
y＝x21在区间[2，+∞）上单调递增，
∴ymin＝4，
∴a≥4；②，综合①②知，a≥2；
14．（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）设函数，若存在实数m，使得关于x的方程 有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
【答案】(，1)
【解析】当时，，此时，此时函数 在(0，4)单调递减，在(4，8)单调递增，方程最多2个不相等的实根，舍；
当a＜2时，根据函数图像从左到右方程4个不相等的实根，依次为，，，，即＜＜＜，
由图可知，故，且，，
从而，
令，显然t＞，
，要使该式在t＞时有最小值，则对称轴t＝4＞，解得a＜1．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（江苏省南通市2020届四校联盟）已知函数f（x）x3﹣2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．
（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．
【解析】（1）f'（x）＝x2﹣4x+3，则f′（x）＝（x﹣2）2﹣1≥﹣1，
即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[﹣1，+∞）；
（2）由（1）可知，k≥-1，
解得﹣1≤k＜0或k≥1，由﹣1≤x2﹣4x+3＜0或x2﹣4x+3≥1
得：x∈（﹣∞，2]∪（1，3）∪[2，+∞）
（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2，
则切线方程是：y﹣（23x1）＝（4x1+3）（x﹣x1），
化简得：y＝（4x1+3）x+（2），
而过B（x2，y2）的切线方程是y＝（4x1+3）x+（2），
由于两切线是同一直线，
则有：4x1+34x1+3，得x1+x2＝4，
又由22，
即（x1﹣x2）（x1x2）+2（x1﹣x2）（x1+x2）＝0
（x1x2）+4＝0，即x1（x1+x2）12＝0
即（4﹣x2）×412＝0，4x2+4＝0
得x2＝2，但当x2＝2时，由x1+x2＝4得x1＝2，这与x1≠x2矛盾．
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．
（南通市通州区2020届高三年级第二学期联考数学试卷)已知函数
（1）当时，设，且函数在R上单调递增.
①求实数的取值范围；
②设当实数取最小值时，求函数的极小值.
(2) 当时，证明：函数有两个零点.
【解析】（1）①,得
由题意知在上恒成立， 在R上恒成立。
令则
令，得令得
在上单调递增，在单调递减，
即实数的取值范围是
②当实数取最小值时，.
，
令解得或
当或时，当时，
在上单调递增，在（-3,1）上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，极小值为
（2）当时，函数
令解得
当，时在上单调递减，当时，
在上单调递增，
令 则
在上单调递减，即
令，则，
令则
因为
在上单调递增，
在上单调递增，所以即.
又当时，
所以由零点存在性定理知，存在，使得
又有两个零点.
17.（ 南京二十九中2020届高三年级第二学期阶段测试）已知函数，其中为自然对数的底数，．
（1）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；
（2）已知，，若对任意都成立，求的最大值；
（3）设，若存在，使得成立，求的取值范围．
【解析】（1）由，知．
若，则恒成立，所以在上单调递增；
若，令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减；在上单调递增．
综上，增区间是，无减区间
，增区间是，减区间是
（2）由（1）知，当时，．
因为对任意都成立，所以，
所以．
设，（），由，
令，得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减，
所以在处取最大值，且最大值为．
所以，当且仅当，时，取得最大值为．
（3）设，即
题设等价于函数有零点时的的取值范围．
① 当时，由，，所以有零点．
② 当时，若，由，得；
若，设h(x)=故h(x)单增，所以h(x)> h(0)=0,所以无零点．
③ 当时，，
又存在，，所以有零点．
综上，的取值范围是或．
18.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））已知函数(mR)的导函数为．
（1）若函数存在极值，求m的取值范围；
（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意mR，若关于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整数k的取值集合．
【解析】（1）因为，所以，
所以，
则，
由题意可知，解得；
（2）由（1）可知，，
所以
因为
整理得，
设，则，所以单调递增，
又因为，且＋m﹣，
所以存在，使得，
设，
则，
设，则，，
所以单调递增，因为，
所以存在，使得，即，
且当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，
又由题意可知，所以，
解得，所以正整数k的取值集合为{1，2}．
19.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试） 已知函数，，aR．函数的导函数在[，4]上存在零点．
（1）求实数a的取值范围.
（2）若存在实数a，当x[0，b]时，函数在x＝0时取得最大值，求正实数b的最大值；
（3）若直线l与曲线和都相切，且l在y轴上的截距为﹣12，求实数a的值．
【解析】（1）由题意，，在[，4]上存在零点，即在[，4]上有解，，[10，28]，所以a的取值范围是[10，28]．
（2），
令＝0，，，
当0＜b≤时，显然在x＝0时取最大值
当时，在[0，]上单调递减，在[，b]上单调递增，
所以只需，即，
∵，
∴b的最大值为4，
（3）设上切点为(，)，，可得切线方程为
，已知点(0，﹣12)在其上，可得
，所以
设上切点为(，)，，
可得切线方程为，已知点(0，﹣12)在其上，
可得，
因为公切线，所以，将代入，可得
由，可得，所以a的值为12.
20.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）若函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”．
（1）设函数(kR)．①当k＝1时，求函数的极值；②若函数存在“F点”，求k的值；
（2）已知函数(a，b，cR，a≠0)存在两个不相等的“F点”，，且，求a的取值范围．
【解析】（1）① 当k 1时，f ( x ) = x2 2 ln x ( kR )，
所以，令得x 1，
列表如下：
1
- +
↘ 极小值 ↗
所以函数在x 1处取得极小值，极小值为1，无极大值．
② 设x0是函数的一个“F点”．
因为,所以x0是函数的零点．
所以，由，得，
由，得，即．
设，则，
所以函数在上单调增，注意到，
所以方程存在唯一实根1，所以，得，
根据①知，时，是函数的极小值点，
所以1是函数的“F点”．
综上，得实数k的值为1．
（2）因为g (x) ax3 bx2 cx ( a，b，c ∈ R，a?≠0 )
所以．
又因为函数g (x) 存在不相等的两个“F点”x1和x2，
所以x1，x2是关于x的方程的两个相异实数根．
所以
又g (x1) ax13 bx12 cx1 x1，g (x2) ax23 bx22 cx2 x2，
所以g (x1) g (x2)?= x1 x2，即(ax13 bx12 cx1) (ax23 bx22 cx2) = x1 x2，
从而( x1 x2) [a (x12 x1x2 +x22)+ b (x1 x2 )+ c]= x1 x2．
因为，所以，
即．所以．
因为| g (x1) g (x2) |?≥?1，
所以
解得．所以，实数a的取值范围为．
