2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题05不等式
2020年江苏高考核心考点
1.最值问题是常见的高考题型，通常用函数的性质或导数法求解，但有些问题用导数计算量太大，不容易求解，这时可以考虑依托不等式知识，如基本不等式，柯西不等式，快速方便地求解。
2.证明问题是不等式性质的典型应用，是历年高考的常客，通常从不等式的性质与应用技巧，探究证明问题的解题方法。
3.取值范围问题通常用参数分离法，依托不等式性质，转化为函数的化归与转化，数形结合求解。
专项突破
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）已知x，y为正实数，且xy＋2x＋4y＝41，则x＋y的最小值为 ．
【答案】8
【解析】（一题多解）法一：∵xy＋2x＋4y＝41，∴，
∴，当且仅当x＝3，y＝5取“＝”，
∴x＋y≥8，即x＋y的最小值为8．
法二：∵xy＋2x＋4y＝41，∴
∴，当取“＝”，即x＋y的最小值为8．
法三：令x＋y=t，则y=t-x，代入原方程得：，在（0，）上有解.
则，得，解得得.即x＋y的最小值为8．
2.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）改编）已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值 ．
【答案】1
【解析】，由基本不等式得：当＝1时有最小值1.
3.（2019～2020学年度高三年级如皋中学第二学期期初调研测试）若，且，则最小值为 ．
【答案】
【解析】法一：若，且，则，即时，等号成立.
4.（江苏省海安高级中学2020届高三3月线上考试数学试题）已知a＞0，b＞0，且1，则3a+2b的最小值等于 ．
【答案】11
【解析】法一：已知a＞0，b＞0，且1，
则3a+2b3a（）+2b（），
＝5.
法二：已知a＞0，b＞0，且1，得得3a+2b+
当时等号成立.
（南京市高淳区湖滨高级中学2020届高三3月模拟考试）在中，
则最大值为__________.
【答案】
【解析】，
，
即，
即
，当且仅当时取“=”.
此时，为锐角，且最大.
，
,故答案为：.
6.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）若x＞1，则的最小值是 ．
【答案】8
【解析】，当且仅当x＝2时取“＝”．
7.(江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷)已知向量＝(a，﹣1)，＝(2b﹣2，3)(a＞0，b＞0)，若∥，则最小值为 ．
【答案】
【解析】∵∥，∴，即，
∴
8.（宿迁中学2019-2020学年度高三年级第六次学情调研）已知函数则不等式的解集为 .
【答案】（-1,1）
【解析】当当.则不等式的解集为
，解得.
9.（南通市通州区2020届高三年级第二学期联考数学试卷）已知，，且，则的最大值为 .
【答案】
【解析】已知，，且，得
，所以，得.
所以，所以.
10.（江苏省如皋中学2020届高三创新班数学试卷）已知关于x的不等式的解集为空集，则的最小值为__________．
【答案】4
【解析】已知关于x的不等式的解集为空集得：得，则
=
11.（镇江市九校2020届高三年级3月模拟考试）已知x∈（0，3），则的最小值为 ．
【答案】
【解析】已知x∈（0，3），
，当且仅当x＝1时，取等号，故最小值为：.
12.（南京二十九中2020届高三年级第二学期阶段测试）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为_______．
【答案】8
【解析】
13.（2020年南师附中高考模拟高考数学试卷）已知正数a，b，c满足b2+2（a+c）b﹣ac＝0，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由b2+2（a+c）b﹣ac＝0得（b+a+c）2＝ac+（a+c）2≤+（a+c）2＝，
∴b+a+c≤（a+c），∴b≤（a+c），∴≤，当且仅当a＝c时取等．故答案为.
14．（2020南通名师高考原创卷压轴卷）已知x,y∈R,且x+y>0,则的最小值为
【答案】
【解析】已知x,y∈R,且x+y>0, ，当，等号成立.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷)
已知x，y，z均为正数．求证：．
【解析】因为x，y，z都是为正数，
所以①
同理可得②
③
当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，
得：.
16.已知实数满足，求证：．
【解析】因为，所以
，得证．
17.已知、、是正实数，求证：
【解析】∵，即，即，∴．
（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））
已知正数x，y，z满足（t为常数），且的最小值为，求实数t的值。
【解析】因为
即，当且仅当，，时，上述等号成立，
所以，即，又x，y，z＞0，∴xyzt＝4．
19.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）
已知a＞0，证明．
【解析】设，当且仅当a＝1时，等号成立，则，
所以，当且仅当t＝2时，等号成立，
所以，即，
当且仅当a＝1时，等号成立．
20.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）已知实数x，y，z满足，证明：．
【解析】因为，
所以．
由柯西不等式得， ．
所以?．
所以．
2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题05不等式
2020年江苏高考核心考点
1.最值问题是常见的高考题型，通常用函数的性质或导数法求解，但有些问题用导数计算量太大，不容易求解，这时可以考虑依托不等式知识，如基本不等式，柯西不等式，快速方便地求解。
2.证明问题是不等式性质的典型应用，是历年高考的常客，通常从不等式的性质与应用技巧，探究证明问题的解题方法。
3.取值范围问题通常用参数分离法，依托不等式性质，转化为函数的化归与转化，数形结合求解。
专项突破
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）已知x，y为正实数，且xy＋2x＋4y＝41，则x＋y的最小值为 ．
2.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）改编）已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值 ．
3.（2019～2020学年度高三年级如皋中学第二学期期初调研测试）若，且，则最小值为 ．
4.（江苏省海安高级中学2020届高三3月线上考试数学试题）已知a＞0，b＞0，且1，则3a+2b的最小值等于 ．
（南京市高淳区湖滨高级中学2020届高三3月模拟考试）在中，
则最大值为__________.
6.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）若x＞1，则的最小值是 ．
7.(江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷)已知向量＝(a，﹣1)，＝(2b﹣2，3)(a＞0，b＞0)，若∥，则最小值为 ．
8.（宿迁中学2019-2020学年度高三年级第六次学情调研）已知函数则不等式的解集为 .
9.（南通市通州区2020届高三年级第二学期联考数学试卷）已知，，且，则的最大值为 .
10.（江苏省如皋中学2020届高三创新班数学试卷）已知关于x的不等式的解集为空集，则的最小值为__________．
11.（镇江市九校2020届高三年级3月模拟考试）已知x∈（0，3），则的最小值为 ．
12.（南京二十九中2020届高三年级第二学期阶段测试）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为_______．
13.（2020年南师附中高考模拟高考数学试卷）已知正数a，b，c满足b2+2（a+c）b﹣ac＝0，则的最大值为 ．
14．（2020南通名师高考原创卷压轴卷）已知x,y∈R,且x+y>0,则的最小值为
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷)
已知x，y，z均为正数．求证：．
16.已知实数满足，求证：．
已知、、是正实数，求证：.
（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））
已知正数x，y，z满足（t为常数），且的最小值为，求实数t的值。
19.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）
已知a＞0，证明．
20.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）已知实数x，y，z满足，证明：．
