第6节 能源的开发与利用
1．理解能量的概念，知道各种不同形式的能量． 2．明确能量守恒的含义．
3．会用能量守恒的观点分析、解释一些实际问题．(重点＋难点)
一、能量守恒定律
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中其总量保持不变．
2．机械能守恒定律与能量守恒定律的关系
机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律的特种背景下的一种特殊表现形式．
二、能源的利用
1．能源的定义：能够提供某种形式能量的物质资源．
2．人类最先使用的能源：人的体能、畜力、风力、水力等．
3．人类利用能源经历了柴草时期、煤炭时期和石油时期．
4．能源的分类
(1)非再生能源：如煤、石油、天然气等常规能源．
(2)可再生能源：如风能、水能等．
5．能源与环境
(1)温室效应
成因：温室效应是人类过多地排放二氧化碳，干扰了地球的热量平衡造成的．
危害：温室效应会导致全球变暖，海平面上升，气候变化，疾病增多等．
(2)酸雨
成因：大气中酸性污染物质，如二氧化硫、二氧化碳、氮氧化物等，在降水过程中溶入雨水，使其成为酸雨，煤炭中含有较多的硫，燃烧时产生二氧化硫等物质．
危害：酸雨影响人的健康，危害生态系统，使土壤酸化和贫瘠，腐蚀建筑和艺术品等．
三、新能源的开发
1．非再生能源对人类的要求
(1)节约能源．
(2)开发和利用新能源．
2．新能源
(1)种类：太阳能、海洋能、风能、地热能、氢能、生物质能及核聚变能等．
(2)特点：多为可再生能源，且污染较小．
能量是守恒的，为什么还要节约能源？
提示：在能源的利用过程中，即在能量的转化过程中，能量的总量并未减少，但从便于利用的变成不便于利用的了，且常规能源都是非再生能源，因此，人类一定要节约能源．
对功能关系的理解
1．功是能量转化的量度
不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的，做功的过程就是各种形式的能量之间转化(或转移)的过程，且做了多少功，就有多少能量发生转化(或转移)，因此，功是能量转化的量度．
2．功与对应能量的变化关系
3．应用功能关系需注意的问题
搞清力对“谁”做功，对“谁”做功就对应“谁”的位移，引起“谁”的能量变化．如子弹物块模型中，摩擦力对子弹做的功必须用子弹的位移去求解，这个功引起子弹动能的变化．
功与能是两个不同的概念，功是力在空间上的积累，做功需要一个过程，能反映物体对外做功的本领．两者有本质的区别，且功与能不能相互转化，但物体的能量转化是通过做功来实现的．
命题视角1 做功与能量变化的对应关系
如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A点的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力．已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中( )
A．重力做功2mgR
B．机械能减少mgR
C．合外力做功mgR
D．克服摩擦力做功mgR
[思路点拨] 解答本题时应把握以下两点：
(1)小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力，说明此时只有重力提供向心力；
(2)合外力对小球做的功等于小球动能的变化．
[解析] 小球从A点正上方由静止释放，通过轨道最高点B时恰好对轨道没有压力，此时只有重力提供向心力，根据牛顿第二定律有mg＝m，解得v2＝gR，小球从P点运动到B点，重力做的功为mgR，设摩擦力做的功为W，根据动能定理有mgR＋W＝mv2＝mgR，故合外力做的功为mgR，摩擦力做的功为W＝－mgR，由功能关系知小球的机械能减少mgR．故选项D正确．
[答案] D
命题视角2 传送带模型中的功能关系
如图所示，电动机带动传送带以速度v匀速传动，一质量为m的小木块静止放在传送带上(传送带足够长)，若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，当小木块与传送带相对静止时，求：
(1)小木块获得的动能；
(2)摩擦过程产生的热量；
(3)传送带克服摩擦力所做的功；
(4)电动机输出的总能量．
[思路点拨] 当木块的初速度为零时，木块的位移和木块相对皮带的位移恰好相等，从而小木块获得的动能和产生的热量相等；传送带克服摩擦力所做的功与电动机输出的总能量相等．
[解析] 木块刚放上时速度为零，必然受到传送带的滑动摩擦力作用做匀加速直线运动，达到与传送带相同速度后不再有相对运动，整个过程中木块获得一定的动能，系统要产生摩擦热．对木块：相对滑动时，a＝μg，达到相对静止所用的时间为t＝，木块的位移l1＝vt＝，传送带的位移l2＝vt＝，木块相对传送带的位移Δl＝l2－l1＝．
(1)小木块获得的动能Ek＝mv2．
(2)产生的热量Q＝FfΔl＝Ff(l2－l1)＝μmg(l2－l1)＝mv2．
(3)传送带克服摩擦力所做的功W＝μmgl2＝mv2．
(4)电动机输出的总能量转化为小木块的动能和系统产生的热量E＝Ek＋Q＝mv2．
[答案] (1)mv2 (2)mv2 (3)mv2 (4)mv2
eq \a\vs4\al()
传送带问题的解题策略
(1)要正确分析物体的运动过程，判断物体是一直匀加速运动还是先匀加速再匀速运动；
(2)计算力所做的功时，位移是对地位移；计算因滑动摩擦产生的内能时，常用功能关系Q＝fs，需注意的是s为物体之间的相对路程；只有存在滑动摩擦力时才有内能产生．
命题视角3 滑块——滑板模型中的功能关系
如图所示，质量为m的小铁块A(A的长度可忽略)以水平速度v0从左侧冲上质量为m1、长为l、置于光滑水平面C上的木板B，刚好不从木板上掉下，已知A、B间的动摩擦因数为μ，此时木板对地位移为x1，求这一过程中：
(1)木板增加的动能；
(2)小铁块减少的动能；
(3)系统机械能的减少量；
(4)系统产生的热量．
[思路点拨] 根据能量守恒定律，知道“该过程中系统产生的热量(内能)，是由系统减少的机械能转化而来的”是处理问题的关键．
[解析] (1)对木板B根据动能定理得
μmgx1＝m1v2－0
所以木板增加的动能ΔEkB＝μmgx1．
(2)滑动摩擦力对小铁块A做负功，根据能量关系可知
ΔEkA＝mv2－mv＝－μmg(x1＋l)
即小铁块的动能减少了μmg(x1＋l)．
(3)系统机械能的减少量为
ΔE减＝－ΔEkA－ΔEkB＝μmgl．
(4)根据能量守恒定律，系统减少的机械能全部转化为内能，则Q＝ΔE减＝μmgl．
[答案] (1)μmgx1 (2)μmg(x1＋l) (3)μmgl (4)μmgl
【通关练习】
1．(多选)将一质量为1 kg的滑块轻轻放置于传送带的左端，已知传送带正以4 m/s 的速度顺时针运行，滑块与传送带间的动摩擦因数为0．2，传送带左右距离无限长，当滑块放上去2 s时，突然断电，传送带以1 m/s2的加速度做匀减速运动至停止，则滑块从放上去到最后停下的过程中，下列说法正确的是( )
A．前2 s传送带与滑块之间因摩擦力所产生的热量为8 J
B．前2 s传送带与滑块之间因摩擦力所产生的热量为 16 J
C．2 s后传送带与滑块之间因摩擦力所产生的热量为8 J
D．2 s后传送带与滑块之间因摩擦力所产生的热量为0
解析：选AD．前2 s，滑块的位移x1＝μgt2＝4 m，传送带的位移x2＝vt＝8 m，相对位移Δx＝x2－x1＝4 m，2 s后滑块随传送带一起做匀减速运动，无相对位移，整个过程中传送带与滑块之间因摩擦力而产生的热量为Q＝μmg·Δx＝8 J，选项A、D正确．
2．(多选)如图所示，质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0水平射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v运动．已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L，子弹进入木块的深度为s．若木块对子弹的阻力Ff视为恒定，则在此过程中产生的热量( )
A．Q＝Ff(L＋s)
B．Q＝mv－mv2
C．Q＝Ffs
D．Q＝mv－(M＋m)v2
解析：选CD．对木块：FfL＝Mv2
对子弹：－Ff(L＋s)＝mv2－mv
联立可得，Ffs＝mv－(M＋m)v2
依据能量转化和守恒定律，
Q＝mv－(M＋m)v2
产生的热量Q＝Ffs，故C、D正确．
对能量守恒定律的理解
1．表达式
ΔE1减＝ΔE2增
2．含义
(1)某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量一定和增加量相等．
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
3．应用步骤
(1)分清哪些形式的能(如机械能、热能、电能等)在变化．
(2)分别列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式．
(3)依据能量守恒列式求解．
(1)应用能量守恒规律解题时，一定要分清系统中有哪些形式的能，什么能发生了转化或转移．
(2)滑动摩擦力与相对距离的乘积在数值上等于产生的内能．
如图所示，可视为质点的物块A放在物体B上，物体B的斜面为弧面，A、B之间有摩擦，水平地面光滑．现将物块A从物体B的顶端由静止释放，在滑到物体B的底端前，下列说法不正确的是( )
A．若物体B固定，则物块A减少的重力势能等于它的动能和系统增加的内能之和
B．若物体B不固定，则物块A减少的重力势能等于物体B增加的动能
C．物体B在固定与不固定的两种情况下，系统重力势能的减少量相等
D．物体B在固定与不固定的两种情况下，摩擦产生的热量不相等
[解析] 若B固定，A减少的重力势能转化为A的动能和系统增加的内能，选项A正确；若B不固定，A减少的重力势能转化为A、B的动能和系统增加的内能，选项B错误；B在固定与不固定的两种情况下，A下降的高度相等，所以系统重力势能的减少量相等，选项C正确；B不固定时，由于A、B都运动，经过同一位置A的速度与B固定时A的速度不等，所以同一位置的摩擦力大小不等，因而摩擦产生的热量不等，选项D正确．
[答案] B
eq \a\vs4\al()
运用能量守恒定律解题的关键是确定研究的系统内有哪些形式的能参与了转化，什么形式的能增加了，增加了多少；什么形式的能减少了，减少了多少，分别由功能关系列出表达式，最后列能量守恒方程求解．
一质量m＝0．6 kg的物体以v0＝20 m/s的初速度从倾角α＝30°的斜坡底端沿斜坡向上运动，当物体向上滑到某一位置时，其动能减少了ΔEk＝18 J，机械能减少了ΔE＝3 J，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)物体向上运动时加速度的大小；
(2)物体返回斜坡底端时的动能．
解析：(1)设物体运动过程中所受的摩擦力为f，向上运动的加速度的大小为a，由牛顿第二定律可知
a＝ ①
设物体的动能减少ΔEk时，在斜坡上运动的距离为s，由功能关系可知
ΔEk＝(mgsin α＋f)s ②
ΔE＝fs ③
联立①②③式，并代入数据可得a＝6 m/s2． ④
(2)设物体沿斜坡向上运动的最大距离为sm，由运动学规律可得sm＝eq \f(v,2a) ⑤
设物体返回斜坡底端时的动能为Ek．
由动能定理得Ek＝(mgsin α－f)sm ⑥
联立以上各式，并代入数据可得
Ek＝80 J．
答案：(1)6 m/s2 (2)80 J
[随堂检测]
．(多选)关于能源的利用，下列说法中正确的是( )
A．由于我国煤和石油的储量十分丰富，所以太阳能和核能的开发并不十分重要
B．能源的利用过程，实质上是能的转化和传递过程
C．现在人类社会使用的能源主要是煤、石油和天然气
D．煤、石油和天然气的化学能在利用中不会对环境造成污染
解析：选BC．煤、石油和天然气是由古代的动植物的遗体在长期地质变迁中形成的．在利用这些能源时会产生大量的二氧化碳和甲烷，易产生温室效应对环境造成污染，D选项错误；目前人类使用的能源主要仍是煤、石油和天然气．燃料燃烧时，将化学能转化为内能，内能又可转化为机械能和电能．人类在生产和生活中需要各种形式的能，我们可以根据需要把能源所含的能量转化成多种形式，以供利用，所以能源的利用过程，实质上是能的转化和传递的过程，故B、C正确；我国的煤和石油尽管储量丰富，但终究有限，且利用后不能再生，所以开发和利用新能源，特别是核能和太阳能是解决能源问题的出路．故A错误．
2．(多选)下列关于功和机械能的说法，正确的是( )
A．在有阻力作用的情况下，物体重力势能的减少不等于重力对物体所做的功
B．合力对物体所做的功等于物体动能的改变量
C．物体的重力势能是物体与地球之间的相互作用能，其大小与势能零点的选取有关
D．运动物体动能的减少量一定等于其重力势能的增加量
解析：选BC．任何情况下，重力势能的减少总等于重力对物体做的功，A错误；由动能定理知B项正确；根据重力势能的产生可知，重力势能是物体与地球之间的相互作用能，势能的大小与势能零点的选取有关，C项正确；只有在机械能守恒或其他外力做功为0时，运动物体动能的减少量才等于其重力势能的增加量，D错误．
．(多选)
如图所示，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度，沿斜面向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小g．若物块上升的最大高度为H，则此过程中，物块的( )
A．动能损失了2mgH
B．动能损失了mgH
C．机械能损失了mgH
D．机械能损失了mgH
解析：选AC．运动过程中有摩擦力做功，考虑动能定理和功能关系．
物块以大小为g的加速度沿斜面向上做匀减速运动，运动过程中F合＝mg，由受力分析知摩擦力f＝mg，当上升高度为H时，位移s＝2H，由动能定理得ΔEk＝－2mgH；由功能关系知ΔE＝Wf＝－mgs＝－mgH，选项A、C正确．
．(多选)水平传送带匀速运动，速度大小为v，现将一小工件放到传送带上．设小工件初速度为零，当它在传送带上滑动一段距离后速度达到v而与传送带保持相对静止．设小工件质量为m，它与传送带间的动摩擦因数为μ，则在小工件相对传送带滑动的过程中( )
A．滑动摩擦力对小工件做的功为mv2
B．小工件的机械能增量为mv2
C．小工件相对于传送带滑动的路程大小为
D．传送带对小工件做功为零
解析：选ABC．小工件相对传送带滑动的过程中，受到的合外力就是传送带对它施加的摩擦力，根据动能定理可知，摩擦力做的功等于小工件增加的动能，小工件的初速度为零，末速度为v，其动能增加为mv2，则小工件受到的滑动摩擦力对小工件做的功为mv2，选项A正确，而选项D错误；根据功能关系知，除了重力和弹力以外的其他力所做的功等于小工件机械能的改变量，选项B正确；由动能定理可得μmgs1＝mv2，则s1＝，s1是小工件相对地面的位移，该过程中，传送带相对地面的位移为s2＝vt＝v·＝2s1，则小工件相对于传送带的位移为s＝s2－s1＝，选项C正确．
5．物体以60 J的初动能从A点出发沿一斜面向上运动，当它到达某一高度时，动能损失了50 J，而机械能损失了10 J，则该物体返回A点时动能为多少？
解析：由A点上升到某一点动能损失ΔEk1＝50 J，机械能损失ΔE1＝10 J．
由此可知由此点上升到最高点动能损失ΔEk2＝10 J．设机械能损失为ΔE2，则有＝
可知ΔE2＝2 J．
全程机械能损失为(10＋2)×2 J＝24 J
该物体返回A点时动能为(60－24)J＝36 J．
答案：36 J
[课时作业][学生用书P121(单独成册)]
一、单项选择题
．太阳是人类的“能源之母”，下述关于太阳能的说法中错误的是( )
A．三大常规能源都是太阳能的产物
B．光合作用是太阳能转换为化学能
C．光驱动机械手表是太阳能先转换为电能，再转换为机械能
D．自然界的风能、水能、潮汐能也都来自于太阳能
解析：选D．常规能源是指煤、石油及天然气，在其地质形成过程中累积了太阳能，因此其能量来自于太阳；光合作用使太阳能转换为化学能储存在植物之中；光驱动手表内装有太阳能电池，先将太阳能转换为电能再转换为指针转动的机械能；自然界的风能、水能与太阳能有关，而潮汐能是由引力作用产生的．应选D．
2．飞船返回时高速进入大气层后，受到空气阻力的作用，接近地面时，减速伞打开，在距地面几米处，制动发动机点火制动，飞船迅速减速，安全着陆．下列说法正确的是( )
A．制动发动机点火制动后，飞船的重力势能减少，动能减小
B．制动发动机工作时，由于化学能转化为机械能，飞船的机械能增加
C．重力始终对飞船做正功，使飞船的机械能增加
D．重力对飞船做正功，阻力对飞船做负功，飞船的机械能不变
解析：选A．制动发动机点火制动后，飞船迅速减速下落，动能、重力势能均变小，机械能减小，A正确，B错误；飞船进入大气层后，空气阻力做负功，机械能一定减小，故C、D均错误．
3．
一物块从如图所示的弧形轨道上的A点由静止开始滑下，由于轨道不光滑，它仅能滑到B点．由B点返回后，仅能滑到C点，已知A、B高度差为h1，B、C高度差为h2，则下列关系正确的是( )
A．h1＝h2 B．h1C．h1>h2 D．h1、h2大小关系不确定
解析：选C．由能的转化和守恒定律可知，物块由A到B的过程中重力势能减少mgh1，全部用于克服摩擦力做功，即WfAB＝mgh1，同理：WfBC＝mgh2，又随着小滑块最大高度的降低，运动过程中的同位置处滑块对轨道的压力变小，必有WfAB>WfBC，所以mgh1>mgh2，得：
h1>h2，C项正确．
4．
如图所示，轻质弹簧长为L，竖直固定在地面上，质量为m的小球，在离地面高度为H处，由静止开始下落，正好落在弹簧上，使弹簧的最大压缩量为x．在下落过程中，小球受到的空气阻力为F阻，则弹簧在最短时，具有的弹性势能为( )
A．(mg－F阻)(H－L＋x)
B．mg(H－L＋x)－F阻(H－L)
C．mgH－F阻(H－L)
D．mg(L－x)＋F阻(H－L＋x)
解析：选A．设物体克服弹力做功为W弹，则对物体应用动能定理得(mg－F阻)(H－L＋x)－W弹＝ΔEk＝0，所以，W弹＝(mg－F阻)(H－L＋x)，即为弹簧具有的弹性势能．
二、多项选择题
5．将质量为m的小球在距地面高度为h处抛出，抛出时的速度大小为v0，小球落到地面时的速度大小为2v0．若小球受到的空气阻力不能忽略，则对于小球下落的整个过程，下面说法中正确的是( )
A．小球克服空气阻力做的功小于mgh
B．重力对小球做的功等于mgh
C．合外力对小球做的功小于mv
D．合外力对小球做的功等于mv
解析：选AB．由题意可知小球落地的速度比抛出时大，即从抛出到落地过程中动能变大了，由动能定理W合＝ΔEk>0，则W合>0，即重力所做的功大于空气阻力所做的功，而这个过程中重力对小球做的功为WG＝mgh，所以A、B选项正确．从抛出到落地过程中，合外力做的功等于小球动能的变化量W合＝ΔEk＝m(2v)－mv＝mv>mv，故C、D选项均不正确．
．
如图所示，小球从A点以初速度v0沿粗糙斜面向上运动，到达最高点B后返回A，C为AB的中点．下列说法中正确的是( )
A．小球从A出发到返回A的过程中，位移为零，外力做功为零
B．小球从A到C过程与从C到B过程，减少的动能相等
C．小球从A到C过程与从C到B过程，速度的变化量相等
D．小球从A到C过程与从C到B过程，损失的机械能相等
解析：选BD．小球从A出发到返回A的过程中，重力做功为零，摩擦力做负功，A错误；小球从A到C过程与从C到B过程中，合外力做功相等，动能的变化量相等，但速度的变化量不等，B正确，C错误；小球从A到C过程与从C到B过程，损失的机械能等于克服摩擦力做的功，而克服摩擦力做的功相等，故D正确．
7．
如图所示，卷扬机的绳索通过定滑轮用力F拉位于粗糙斜面上的木箱，使之沿斜面加速向上移动，在移动过程中，下列说法正确的是( )
A．F对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和
B．F对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和
C．木箱克服重力做功等于木箱增加的重力势能
D．F对木箱做的功等于木箱增加的机械能与木箱克服摩擦力所做的功之和
解析：选CD．克服重力做的功等于物体重力势能的增加ΔEp＝WG，C正确．由动能定理：－WG－Wf＋WF＝mv2，WF＝mv2＋WG＋Wf＝ΔEk＋ΔEp＋Wf，A、B错误，D正确．
8．
如图所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O与小球B连接，另一端与套在光滑竖直杆上的小物块A连接，杆两端固定且足够长，物块A从图示位置由静止释放后，先沿杆向上运动．设某时刻物块A运动的速度大小为vA，小球B运动的速度大小为vB，轻绳与杆的夹角为θ．则( )
A．vA＝vBcos θ
B．vB＝vAcos θ
C．小球B减少的重力势能等于物块A增加的动能
D．当物块A上升到与滑轮等高时，它的机械能最大
解析：选BD．B的速度等于A沿绳方向的分速度vB＝vAcos θ，A错，B对．下落中B球减少的重力势能等于A球增加的重力势能与A、B增加的动能之和，C错．A上升到与滑轮等高时，B速度为0，B减少的机械能最多，由能量守恒知A机械能最大，D对．
9．
如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连．弹簧处于自然长度时物块位于O点(图中未标出)．物块的质量为m，AB＝a，物块与桌面间的动摩擦因数为μ．现用水平向右的力将物块从O点拉至A点，拉力做的功为W．撤去拉力后物块由静止向左运动，经O点到达B点时速度为零．重力加速度为g．则上述过程中( )
A．物块在A点时，弹簧的弹性势能等于W－μmga
B．物块在B点时，弹簧的弹性势能小于W－μmga
C．经O点时，物块的动能小于W－μmga
D．物块动能最大时弹簧的弹性势能小于物块在B点时弹簧的弹性势能
解析：
选BC．由于有摩擦，O点不在AB的中点，而是在AB中点的左侧(如图所示)．由题知AB＝a，OA＞，OB＜．根据功能关系，物块在A点时，弹簧的弹性势能Ep＝W－μmgOA＜W－μmga，选项A错误；物块在B点时，弹簧的弹性势能E′p＝Ep－μmga＝W－μmgOA－μmga＜W－μmga，选项B正确；物块在O点的动能Ek＝Ep－μmgOA＝W－2μmgOA＜W－μmga，选项C正确；物块动能最大时，弹簧的弹力kx＝μmg，此时物块处于M点(如图所示)，若BM光滑，则物块能运动至M′点速度为零，则OM′＝OM，由于存在摩擦，OB＜OM，故物块动能最大时弹簧的弹性势能大于物块在B点时弹簧的弹性势能，选项D错误．
三、非选择题
．
如图所示，质量为m的自行车特技运动员从B点由静止出发，经BC圆弧，从C点竖直冲出，完成空翻，完成空翻的时间为t．由B到C的过程中，克服摩擦力做功为W．空气阻力忽略不计，重力加速度为g，试求：自行车运动员从B到C至少做多少功？
解析：自行车由C点冲出后做竖直上抛运动
上升高度等于下降高度h＝gt ①
上、下时间相等t上＝t下＝ ②
由功能关系知，在从B到C再到D的过程中，自行车运动员做的功W人应当等于他克服摩擦力做的功W与增加的重力势能之和，W人＝W＋mgh ③
联立①②③式得W人＝W＋mgh＝W＋mg2t2．
答案：W＋mg2t2
11．轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l．现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0．5．用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动．重力加速度大小为g．
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．
解析：(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能．由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能
Ep＝5mgl ①
设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得
Ep＝Mv＋μMg·4l ②
联立①②式，取M＝m并代入题给数据得vB＝ ③
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足
－mg≥0 ④
设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得
mv＝mv＋mg·2l ⑤
联立③⑤式得vD＝ ⑥
vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出．设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得2l＝gt2 ⑦
P落回到轨道AB上的位置与B点之间的距离为
s＝vDt ⑧
联立⑥⑦⑧式得s＝2l． ⑨
(2)为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零．由①②式可知5mgl>μMg·4l ⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道上的上升高度不能超过半圆轨道的中点C．由机械能守恒定律有
Mv≤Mgl?
联立①②⑩?式得m≤M答案：见解析
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第四章 机械能和能源
第四章 机械能和能源
预习导学新知探究
梳理知识·夯实基础
多维课堂,师生动
突破疑难·讲练提升
