2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题6解析几何
2020年江苏高考核心考点
1.江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，属于必考题型，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解.
2.江苏省高考考试说明中直线与圆锥曲线是B级考点，属于必考题型，解决解析几何问题主要有两种方法：一般的，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用的好，解题过程往往会显得很简捷．
3.与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。
专项突破
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在平面直角坐标系xOy中，圆C：(m＞0)．已知过原点O且相互垂直的两条直线l1和l2，其中l1与圆C相交于A，B两点，l2与圆C相切于点D．若AB＝OD，则直线l1的斜率为 ．
2.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）改编）如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝OC，则△BOD面积的最大值为 ．
3.（2019～2020学年度高三年级如皋中学第二学期期初调研测试）已知圆，过点的直线与圆在轴上方交于两点，且，则直线的斜率为 ．
4.（江苏省海安高级中学2020届高三3月线上考试数学试题）如图，已知AC＝8，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC的同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点（不含端点A，B，C），且BM⊥BN，则的最大值为 ．
5.（南京市高淳区湖滨高级中学2020届高三3月模拟考试）已知，是圆上的动点，﹐是圆上的动点，那么的取值范围为__________.
6.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）在平面直角坐标系xOy中，点P在直线y＝2x上，过点P作圆C：(x﹣4)2＋y2＝8的一条切线，切点为T．若PT＝PO，则PC的长是 ．
7.(江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷)已知直线l：x＋my﹣2﹣m＝0(mR)恒过定点A，点B，C为圆O：上的两动点，满足∠BAC＝90°，则弦BC长度的最大值为 ．
8.（2020年沭阳高级中学高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））圆心在曲线上的圆中，存在与直线2x+y+1＝0相切且面积为5π的圆，则当k取最大值时，该圆的标准方程为 ．
9.（南通市通州区2020届高三年级第二学期联考数学试卷）已知椭圆(a＞b＞0)的离心率，A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为、，则的值为 ．
10.（江苏省如皋中学2020届高三创新班数学试卷）已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ．
11.（2019- 2020 学年苏州第二学期调研试卷）在平面直角坐标系xOy中， 已知A, B为圆上两个动点，且.若直线l:y=-x上存在点P,使得则实数a的取值范围为____.
12.（张家港市2020届高三阶段性调研测试）已知圆C：上存在两点A，B，P为直线x＝5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是_______．
13.（（南京二十九中2020届高三年级第二学期阶段测试））在平面直角坐标系中，直线与圆交于点，为弦的中点，则点的横坐标的取值范围是__________．
14．（江苏省如皋市2019—2020学年高三年级第二学期语数英学科模拟（二））在平面直角坐标系xOy中，已知MN在圆C：上运动，且MN＝．若直线l：上的任意一点P都满足≥14，则实数k的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷) 已知椭圆E：x2+9y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与E有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）若m＝3，点K在椭圆E上，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，求的范围；
（2）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（3）若l过点，射线OM与椭圆E交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？
16.（2019- 2020 学年苏州第二学期调研试卷）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：(>>0)的右焦点为F(1，0)，且过点(1，)，过点F且不与轴重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且满足+=t(t>0)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，求直线AB的方程．
（南京二十九中2020届高三年级第二学期阶段测试）
在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆：交于点，，与圆：交于点，．
（1）若，求的长；
（2）若中点为，求面积取值范围．
（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．
19.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，且过点(0，)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知△BMN是椭圆C的内接三角形，①若点B为椭圆C的上顶点，原点O为△BMN的垂心，求线段MN的长；②若原点O为△BMN的重心，求原点O到直线MN距离的最小值．
20.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x﹣3)2＋y2＝1，椭圆E：(a＞b＞0)的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N．当 AN＝AM时，求直线l的方程．
2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题06解析几何
2020年江苏高考核心考点
1.江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，属于必考题型，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解.
2.江苏省高考考试说明中直线与圆锥曲线是B级考点，属于必考题型，解决解析几何问题主要有两种方法：一般的，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用的好，解题过程往往会显得很简捷．
3.与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。
专项突破
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在平面直角坐标系xOy中，圆C：(m＞0)．已知过原点O且相互垂直的两条直线l1和l2，其中l1与圆C相交于A，B两点，l2与圆C相切于点D．若AB＝OD，则直线l1的斜率为 ．
【答案】
【解析】（一题多解）法一：设 C到AB的距离为d，则,则，则，
所以.
法二：作CE⊥AB于点E，则 ，由OECD是矩形，知CE2＝OD2，∴，化简得， 即cos∠OCD＝＝，tan∠COB＝tan∠OCD＝，
∴直线l1的斜率为．
2.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）改编）如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝OC，则△BOD面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】法一：（本质是阿氏圆）过D作DF//BE,可知DF是三角形ABE的中位线，则AF=FE,又AE＝2EC，
则OE是三角形DCF的中位线，所以DO=OC,若OB＝OC,则OB＝OD,以BD为x轴，中垂线为y轴建系，设,因为OB＝OD，所以O的轨迹，整理得.
所以：△BOD面积的最大值为
法二：设
B，O，E共线，则，解得，从而O为CD中点，故，
在△BOD中，BD＝2，，易知O的轨迹为阿圆，其半径，
所以：△BOD面积的最大值为
3.（2019～2020学年度高三年级如皋中学第二学期期初调研测试）已知圆，过点的直线与圆在轴上方交于两点，且，则直线的斜率为 ．
【答案】
【解析】法一：（设参法）设直线L的倾斜角为，设直线L上的任一点为，因为直线与圆在轴上方交于两点，所以代入
得，则，因为，所以
得，所以，即
所以得，则直线的斜率为.
法二：圆，设，因为，所以
得
，，解得，
代入得得.
4.（江苏省海安高级中学2020届高三3月线上考试数学试题）如图，已知AC＝8，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC的同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点（不含端点A，B，C），且BM⊥BN，则的最大值为 ．
【答案】4
【解析】以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，
可得A（0，0），B（4，0），C（8，0），以AB为直径的半圆方程为（x﹣2）2+y2＝4（x＞0，y＞0），以AC为直径的半圆方程为（x﹣4）2+y2＝16（x＞0，y＞0），
设M（2+2cosα，2sinα），N（4+4cosβ，4sinβ），0＜α，β＜π，
BM⊥BN可得?（﹣2+2cosα，2sinα）?（4cosβ，4sinβ）＝0
即﹣8cosβ+8（cosαcosβ+sinαsinβ）＝0，
即为cosβ＝cosαcosβ+sinαsinβ，即有cosβ＝cos（α﹣β），又0＜α，β＜π，可得α﹣β＝β，即α＝2β，
则?（2+2cosα，2sinα）?（﹣4+4cosβ，4sinβ）
＝﹣8﹣8cosα+8cosβ+8（cosαcosβ+sinαsinβ）
＝﹣8﹣8cosα+16cosβ＝16cosβ﹣16cos2β＝﹣16（cosβ）2+4，
可得cosβ0，即β，α时，?的最大值为4．
5.（南京市高淳区湖滨高级中学2020届高三3月模拟考试）已知，是圆上的动点，﹐是圆上的动点，那么的取值范围为__________.
【答案】[6,14]
【解析】由题意可得是圆心为半径为2的圆，是圆心为半径为1的圆，
设中点为，，
由垂径定理得，
在圆上，又 ，
由图可知，，
的范围为.
6.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）在平面直角坐标系xOy中，点P在直线y＝2x上，过点P作圆C：(x﹣4)2＋y2＝8的一条切线，切点为T．若PT＝PO，则PC的长是 ．
【答案】
【解析】设P(，)，则，
，，
∵PT＝PO，∴，解得p＝1，∴，
即PC的长是．
7.(江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷)已知直线l：x＋my﹣2﹣m＝0(mR)恒过定点A，点B，C为圆O：上的两动点，满足∠BAC＝90°，则弦BC长度的最大值为 ．
【答案】
【解析】直线l：x＋my﹣2﹣m＝0(mR)恒过定点A，可得A(2，1)，取BC中点D，
设BC长为2l，则AD＝l，OD＝，OA＝，
根据≥OA，得，解得，
得，即，故BC＝2l的最大值为．
8.（2020年沭阳高级中学高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））圆心在曲线上的圆中，存在与直线2x+y+1＝0相切且面积为5π的圆，则当k取最大值时，该圆的标准方程为 ．
【答案】（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，
【解析】设圆的半径为r，由题意可得πr2＝5π，所以r＝，
由题意设圆心C（a，）由题意可得a＞0，由直线与圆相切可得＝r＝，所以|2a++1|＝5.
而k＞0，a＞0，所以5＝2a++1+1，即2，解得k≤2，所以k的最大值为2，
这时当且仅当2a＝＝时取等号，可得a＝1，
所以圆心坐标为：（1，2），半径为，即圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5.
9.（南通市通州区2020届高三年级第二学期联考数学试卷）已知椭圆(a＞b＞0)的离心率，A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为、，则的值为 ．
【答案】
【解析】由
，
所以=.
10.（江苏省如皋中学2020届高三创新班数学试卷）已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ．
【答案】
【解析】设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，椭圆的焦点三角形面积等于双曲线的焦点三角形面积即得，即，所以，令
得则.
11.（2019- 2020 学年苏州第二学期调研试卷）在平面直角坐标系xOy中， 已知A, B为圆上两个动点，且.若直线l:y=-x上存在点P,使得则实数a的取值范围为____.
【答案】
【解析】设D是AB的中点，可知CD=1，即设D（x，y），即，即D的轨迹是以
（a，2）为圆心，1为半径的圆.因为所以，即，
设，则的方程得
得有解，得得.
12.（张家港市2020届高三阶段性调研测试）已知圆C：上存在两点A，B，P为直线x＝5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是_______．
【答案】[2,6]
【解析】要使AP⊥BP，即∠APB的最大值要大于或等于90°，
显然当PA切圆C于点A，PB切圆C于点B时，∠APB最大，
此时∠CPA最大为45°，则sin∠CPA≥，
即≥，设点P(5，)，则≥，解得2≤≤6．
13.（（南京二十九中2020届高三年级第二学期阶段测试））在平面直角坐标系中，直线与圆交于点，为弦的中点，则点的横坐标的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由消去得，
所以，
所以，
因为直线与圆交于点A，B两点，
所以，
所以，令，，
所以，其在上单调递减，所以．
14．（江苏省如皋市2019—2020学年高三年级第二学期语数英学科模拟（二））在平面直角坐标系xOy中，已知MN在圆C：上运动，且MN＝．若直线l：上的任意一点P都满足≥14，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设MN的中点为E，CE=1,E的轨迹是以（2,0）为圆心，1为半径的圆.
所以：,
所以，C(2,0)到L的距离为d-1，即，.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷) 已知椭圆E：x2+9y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与E有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）若m＝3，点K在椭圆E上，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，求的范围；
（2）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（3）若l过点，射线OM与椭圆E交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？
【解析】（1）m＝3，椭圆E：，两个焦点，
设K（x，y），，，
，
∵﹣1≤y≤1，
∴的范围是[﹣7，1]
（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则两式相减，得（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，，即1+9kOM?kl＝0，故；
（3）∵直线l过点，
∴直线l不过原点且与椭圆E有两个交点的充要条件是k＞0且．
设P（xP，yP），设直线（m≠0，k≠0），即，
由（2）的结论可知，代入椭圆方程得，，
由与，联立得．[来源:学_科_网]
若四边形OAPB为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以2x0＝xp，
即，整理得9k2﹣8k+1＝0解得，．
所以当时，四边形OAPB为平行四边形．
16.（2019- 2020 学年苏州第二学期调研试卷）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：(>>0)的右焦点为F(1，0)，且过点(1，)，过点F且不与轴重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且满足+=t(t>0)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，求直线AB的方程．
【解析】 (1)由题意可知，=1，且，又因为，解得，，
所以椭圆C的标准方程为．
(2)若直线AB的斜率不存在，则易得，，∴+=，得P(，0)，显然点P不在椭圆上，舍去；
因此设直线的方程为，设，，
将直线的方程与椭圆C的方程联立，
整理得，∴，
则由+=，得，
將P点坐示代入椭圆C的方程，得(*)；
将代入等式(*)得，∴，因此所求直线AB的方程为．
（南京二十九中2020届高三年级第二学期阶段测试）
在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆：交于点，，与圆：交于点，．
（1）若，求的长；
（2）若中点为，求面积取值范围．
【解析】（1）因为AB＝，圆O半径为2
所以点O到直线AB的距离为
显然AB、CD都不平行于坐标轴
可设AB：，即
则点O到直线AB的距离，解得
因为AB⊥CD，所以
所以CD：，即
点M（2,1）到直线CD的距离
所以
（2）当AB⊥x轴，CD∥x轴时，此时AB=4，点E与点M重合，PM=2，所以△ABE的面积S=4
当AB∥x轴，CD⊥x轴时，显然不存在，舍
当AB与CD都不平行于坐标轴时
由（1）知
因为，所以
因为点E是CD中点，所以ME⊥CD，
所以
所以△ABE的面积
记，则
则，综上所述：
（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．
【解析】（1）设焦距为2c，由题意知：；
（2）由（1）知：F(﹣1，0)，设l：，D(，)，E(，)，＜0＜
①，
，
，
由①②得：，，
代入③得：，又，故，
因此，直线l的方程为．
19.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，且过点(0，)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知△BMN是椭圆C的内接三角形，①若点B为椭圆C的上顶点，原点O为△BMN的垂心，求线段MN的长；②若原点O为△BMN的重心，求原点O到直线MN距离的最小值．
【解析】（1）由题意得，，，解得a＝2，
椭圆方程为：
（2）①B(0，)，O是△ABC的垂心，设M(，)(＜0)，则N(，﹣)
满足，OM⊥BN，则有，
解得，
则MN＝，
设M(，)，N(，)，B(，)，O是△ABC的重心，
则，，
则有，则，
（1）若MN斜率不存在，则M(﹣1，)，N(﹣1，)，d＝1，
（2）若MN斜率存在，则，联立得，
，则，，
整理得，
则点O到MN的距离，当k＝0时，取，
综上，当k＝0时，．
20.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x﹣3)2＋y2＝1，椭圆E：(a＞b＞0)的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N．当 AN＝AM时，求直线l的方程．
【解析】（1）记椭圆的焦距为2c（）．因为右顶点在圆C上，右准线与圆C：相切．所以??解得?
于是，所以椭圆方程为：．
（2）法1：设，
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：．
由方程组?消去得，．
所以，解得．
由方程组???消去得，
所以，解得．
因为，所以．
即，解得?，
所以直线l的方程为或?．
法2：设，当直线l与x轴重合时，不符题意．
设直线l的方程为：． 由方程组?消去得，，所以?．
由方程组???消去得，?，
所以?．
因为，所以．
即，解得?，
所以直线l的方程为或?．
