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第四章 机械能和能源
第四章 机械能和能源
预习导学新知探究
梳理知识·夯实基础
多维课堂,师生动
突破疑难·讲练提升
第5节 机械能守恒定律
1．明确机械能守恒定律的含义和适用条件． 2．能准确判断具体的运动过程中机械能是否守恒．(重点)
3．熟练应用机械能守恒定律解题．(重点＋难点)
一、动能和势能的转化规律
1．动能和势能的转化实例
(1)自行车下坡时，重力势能减少，动能增加．
(2)荡秋千过程中，向上摆动时，动能减少，重力势能增加，向下摆动时，动能增加，重力势能减少．
(3)撑杆跳高过程中，脱离杆之前，动能、重力势能、弹性势能在相互转化，脱离杆后，只有动能和重力势能在相互转化．
2．动能和势能相互转化时的特点：重力或弹力做正功时，势能向动能转化，做负功时，动能向势能转化．
3．实验探究
(1)实验装置：将螺母用细线挂在铁架台上制成单摆．
(2)实验步骤：把螺母拉起一个较小的角度，放手后，它能摆至另一侧的等高位置；在铁架台的杆上固定一个夹子，当螺母摆到最低点时，细线被夹子挡住，但螺母仍能摆到另一侧的等高位置．
(3)实验结论：忽略空气阻力，只有重力做功时，动能和势能在相互转化的过程中，总量不变．
4．理论探究
(1)探究情景：物体做抛体运动的过程，如图所示．
(2)推导过程：A位置的机械能
EA＝mgh1＋mv．
B位置的机械能
EB＝mgh2＋mv
对A至B过程由动能定理有
mg(h1－h2)＝mv－mv
即mgh1＋mv＝mgh2＋mv，EA＝EB．
．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能会发生相互转化，但机械能的总量保持不变．
(2)表达式：Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2．
(3)守恒条件：只有重力(或弹力)做功．
二、学生实验：验证机械能守恒定律
1．实验器材
铁架台(带夹子)，打点计时器，重物(带纸带夹子)，纸带，复写纸，导线，毫米刻度尺，学生电源，开关．
2．实验原理
(1)原理：做自由落体运动的物体，只受重力作用，其机械能是守恒的．若质量为m的物体自由下落h高度时，速度为v，若v2＝gh成立，则机械能守恒定律得到验证．
(2)瞬时速度的求解：如图所示，借助打点计时器打出的纸带，测出物体自由下落的高度h和该时刻的速度v．打第n个计数点时的瞬时速度等于以该时刻为中间时刻的某一段时间内的平均速度，即
vn＝＝．
在以下两种条件下机械能是否守恒？并说明两种条件的含义是否相同？
(1)只受重力．
(2)只有重力做功．
提示：两种条件下机械能均守恒，但两种条件的含义不同．只有重力做功时可能物体只受重力，也可能还受其他力，但其他力都不做功．
对机械能守恒定律的理解与应用
1．研究对象
(1)当只有重力做功时，可取一个物体(其实是物体与地球构成的系统)作为研究对象．
(2)当物体之间的弹力做功时，必须将这几个物体构成的系统作为研究对象(使这些弹力成为系统内力)．
2．表达式意义
(1)从能量守恒的角度，E1＝E2或ΔE＝E2－E1＝0，前者表示前、后两状态的机械能相等，后者表示系统的机械能没变化．
(2)从能量转化的角度，ΔEk＝－ΔEp或ΔEp＝－ΔEk，前者表示系统增加的动能等于减少的势能，后者表示系统增加的势能等于减少的动能．
(3)从机械能转移的角度，ΔEA＝－ΔEB或ΔEB＝－ΔEA，前者表示系统内物体A的机械能增加量等于物体B的机械能减少量，后者表示物体B的机械能增加量等于物体A机械能的减少量．
3．守恒条件
(1)从能量特点看：只有系统动能和势能相互转化，无其他形式能量之间(如内能)转化，则系统机械能守恒．如物体间发生相互碰撞、物体间发生相对运动，又有相互间的摩擦作用时有内能的产生，机械能一般不守恒．
(2)从机械能的定义看：动能与势能之和是否变化．如一个物体沿斜面匀速(或减速)滑下，动能不变(或减小)，势能减小，机械能减小，一物体沿水平方向匀速运动时机械能守恒，沿竖直方向匀速运动时机械能不守恒．
(3)从做功特点看：只有重力和系统内的弹力做功，具体表现在：
①只受重力(或系统内的弹力)．如：所有做抛体运动的物体(不计阻力)．
②还受其他力，但只有重力(或系统内的弹力)做功，其他力不做功．
③有系统的内力做功，但是做功代数和为零，系统机械能守恒．
4．应用步骤
(1)选取研究对象(物体或系统)．
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在过程中的受力情况，弄清各力做功情况，判断机械能是否守恒．
(3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初末状态的机械能．
(4)选取恰当的表达式，列方程求解．
．机械能守恒定律和动能定理的比较
机械能守恒定律 动能定理
应用范围 只有重力和弹力做功时 无条件限制
表达式 E1＝E2ΔEk＝－ΔEpΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
物理意义 其他力(重力、弹力以外)所做的功是机械能变化的量度 合外力对物体做的功是动能变化的量度
关注角度 守恒的条件和始末状态机械能的形式及大小 动能的变化及改变动能的方式(合外力做功情况)
(1)除重力外还有其他力做功且做功不为零时，其他力做功数值等于机械能的变化量．
(2)由于应用动能定理不需要满足什么条件，所以涉及功能关系问题时还是优先考虑动能定理．
命题视角1 单个物体的机械能守恒
如图所示，质量为m的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离l后以速度v飞离桌面，最终落在水平地面上．已知l＝1．4 m，v＝3．0 m/s，m＝0．10 kg，物块与桌面间的动摩擦因数μ＝0．25，桌面高h＝0．45 m．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2．求：
(1)小物块落地点距飞出点的水平距离s；
(2)小物块落地时的动能Ek；
(3)小物块的初速度大小v0．
[思路点拨] 解答本题时应把握以下两点：
(1)小物块飞离桌面后做平抛运动，机械能守恒，根据平抛运动规律和机械能守恒定律求解小物块飞过的水平距离和落地时的动能；
(2)小物块在桌面上运动时摩擦力做负功，根据动能定理求解小物块的初速度．
[解析] (1)小物块飞离桌面后做平抛运动，根据平抛运动规律，有
竖直方向：h＝gt2
水平方向：s＝vt
解得水平距离s＝v＝0．90 m．
(2)小物块从飞离桌面到落地的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律可得小物块落地时的动能为
Ek＝mv2＋mgh＝0．90 J．
(3)小物块在桌面上运动的过程中，根据动能定理，有
－μmg·l＝mv2－mv
解得小物块的初速度大小v0＝＝4．0 m/s．
[答案] (1)0．90 m (2)0．90 J (3)4．0 m/s
命题视角2 多个物体的机械能守恒问题
如图所示，质量不计的轻杆一端安装在水平轴O上，杆的中央和另一端分别固定一个质量均为m的小球A和B(可以看成质点)，杆长为l，将轻杆从静止开始释放，不计空气阻力．当轻杆通过竖直位置时，求小球A、B的速度各是多少？
[思路点拨] A球和B球单独随轻杆在空间转动时它们运动的快慢程度是不同的，即A、B球和轻杆一起转动的过程中，轻杆对A、B球做功，因此两球机械能均不守恒，但以A、B(包括轻杆)作为一个系统，只有小球的重力和系统弹力做功，系统机械能守恒．
[解析] 对A、B(包括轻杆)组成的系统，由机械能守恒定律－ΔEp＝ΔEk得
mg＋mgl＝mv＋mv ①
又因A、B两球的角速度ω相等，则vA＝ω ②
vB＝ωl ③
联立①②③式，代入数据解得
vA＝ ，vB＝2．
[答案] 2
eq \a\vs4\al()
应用机械能守恒定律和动能
定理解题时的注意事项
(1)机械能守恒定律的成立是有条件的，如果不满足机械能守恒的条件，则不能用该定律解题；
(2)机械能守恒定律的研究对象既可以是单一物体，也可以是几个物体组成的系统，而动能定理在高中阶段只要求对单一物体使用；
(3)机械能守恒定律只考虑两个不同状态的动能、势能即可，但动能定理必须考虑做功过程及两个不同状态的动能，无需考虑势能．
1．
如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．
C． D．
解析：选C．运用机械能守恒定律：当A下落到地面前，对A、B整体有：2mgR－mgR＝×2mv2＋mv2，A落地后，对B球有mv2＝mgh，解得h＝，即A落地后B还能再升高，上升的最大高度为R，故选项C正确，A、B、D错误．
验证机械能守恒定律实验
1．实验过程
(1)实验步骤
①安装：将打点计时器固定在铁架台上，用导线将打点计时器与低压交流电源相连接．
②接电源，打纸带：把纸带的一端在重物上用夹子固定好，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手提着纸带使重物停靠在打点计时器附近，接通电源，待打点稳定后松开纸带，让重物自由下落．
重复几次，打下3～5条纸带．
③选纸带：选取点迹较为清晰的．挑选纸带上第一个点及距离第一个点较远的点，并依次标上0，1，2，3，…．
④数据测量：测出0到点1、点2、点3…的距离，即为对应的下落高度h1、h2、h3…．
(2)数据处理
①利用公式vn＝，计算出点1、点2、点3…的瞬时速度v1、v2、v3…．
②要验证的是mv2＝mgh或mv－mv＝mgΔh，只需验证v2＝gh或v－v＝gΔh，因此不需要测量重物的质量m．
③验证：通过计算，在误差允许的范围之内v与ghn是否相等或v－v与ghmn是否相等．
2．注意事项
(1)先接通电源打点，后释放纸带．
(2)选取纸带
①选择开始的一段时，必须保证纸带上前两个点的间距为h＝gt2＝×10×(0．02)2 m＝2 mm．
②选择运动中的一段时，不需要满足开始打点的两点间距为2 mm．
③计算速度时不能用v＝gt或v＝，否则就犯了用机械能守恒定律去验证机械能守恒的错误．
3．误差分析
(1)本实验的误差主要是由于纸带测量产生的偶然误差和重物、纸带运动中空气阻力及纸带与打点计时器摩擦阻力引起的系统误差，使动能的增加量稍小于势能的减少量．
(2)测量时采取多次测量求平均值来减小偶然误差，安装打点计时器时使两限位孔中线竖直，并且选择质量适当大些，体积尽量小些的重物来减小系统误差．
(3)打点计时器周期变化带来误差．
求纸带上某点的速度时不能用vn＝，因vn＝是根据机械能守恒定律mv＝mghn得到的，而我们的目的是验证机械能守恒定律，显然不能用；同样的道理，重物下落的高度也不能用h＝，只能从纸带上直接求出物体实际下落的速度，利用vn＝．
某同学在探究“验证机械能守恒定律”时按图甲所示安装好实验装置，正确进行实验操作，从打出的纸带中选出符合要求的纸带，如图乙所示．图中O点为打点起始点，且速度为零．
甲
乙
(1)选取纸带上打出的连续点A、B、C、…，测出其中E、F、G点距打点起始点O的距离分别为h1、h2、h3，已知重锤质量为m，当地重力加速度为g，打点计时器打点周期为T．为验证此实验过程中机械能是否守恒，需要计算出从打下O点到打下F点的过程中，重锤重力势能的减少量ΔEp＝________，动能的增加量ΔEk＝________(用题中所给字母表示)．
(2)以各点到起始点的距离h为横坐标，以各点速度的平方v2为纵坐标建立直角坐标系，用实验测得的数据绘出v2－h图线，如图丙所示，该图像说明了：________________________________________________________________________．
丙
(3)从v2－h图线求得重锤下落的加速度g′＝________m/s2．(保留3位有效数字)
[解析] (1)重锤重力势能的减少量ΔEp＝mgh2，动能的增加量ΔEk＝．
(2)当物体自由下落时，只有重力做功，物体的重力势能和动能互相转化，机械能守恒．
(3)由mgh＝mv2可知图像的斜率表示重力加速度g的2倍，为求直线的斜率，可在直线取两个距离较远的点，如(25．4×10－2，5．0)、(35．5×10－2，7．0)，则：
g′＝＝× m/s2≈9．90 m/s2．
[答案] 见解析
2．光电计时器是物理实验中经常用到的一种精密计时仪器，它由光电门和计时器两部分组成，光电门的一臂的内侧附有发光装置(发射激光的装置是激光二极管，发出的光束很细)，如图中的A和A′，另一臂的内侧附有接收激光的装置，如图中的B和B′，当物体在它们之间通过时，二极管发出的激光被物体挡住，接收装置不能接收到激光信号，同时计时器就开始计时，直到挡光结束光电计时器停止计时，故此装置能精确地记录物体通过光电门所用的时间．现有一小球从两光电门的正上方开始自由下落．
(1)若要用这套装置来验证机械能守恒定律，则要测量的物理量有________________________________________________________________________
________________________(每个物理量均用文字和字母表示，如高度H)．
(2)验证机械能守恒定律的关系式为________________________________________________________________________．
解析：本实验是围绕机械能守恒定律的验证设计的，关键是速度的测定，本题改打点计时器测量速度为光电门测量．由于本装置可记录小球通过光电门的时间Δt，则将小球的直径D除以Δt，即可求出小球经过光电门的速度，若再测出两光电门间相距的高度H，即可验证机械能守恒定律．
(1)需要测量的物理量有：小球直径D，两光电门间的竖直高度H，小球通过上、下两光电门的时间Δt1、Δt2．则小球通过上、下两光电门处的速度分别为、．
(2)验证守恒关系式为m－m＝mgH
化简得：eq \f(D2,Δt)－eq \f(D2,Δt)＝2gH．
答案：(1)小球直径D、两光电门间的竖直高度H、小球通过上、下两光电门的时间Δt1、Δt2
(2)eq \f(D2,Δt)－eq \f(D2,Δt)＝2gH
[随堂检测]
．如图所示，在水平面上的A点有一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，当它到达B点时，其动能为( )
A．mv＋mgH B．mv＋mgh
C．mgH－mgh D．mv＋mg(H－h)
解析：选B．物体运动过程中，机械能守恒，由mgh＝Ek－mv得，到达B点时动能Ek＝mgh＋mv，故选项B正确．
2．(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，在大小等于摩擦力的拉力下沿斜面下滑时，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落、B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
解析：选BCD．甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错．乙图中物体B除受重力外，还受支持力、拉力、摩擦力，但除重力之外的三个力做功的代数和为零，机械能守恒，B对．丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，C对．丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D对．
．
如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线．已知一小球从M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间为t1；若该小球仍由M点以初速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v2，所需时间为t2，则( )
A．v1＝v2，t1＞t2 B．v1＜v2，t1＞t2
C．v1＝v2，t1＜t2 D．v1＜v2，t1＜t2
解析：选A．
利用机械能守恒定律和速率变化特点解决问题．根据机械能守恒定律可知v1＝v2，再根据速率变化特点知，小球由M到P再到N，速率先减小至最小，再增大到原速率．小球由M到Q再到N，速率先增大至最大，再减小到原速率．由两球运动速率特点以及两条路径的路程相等可画出如图所示图像，由图像可知小球沿MQN路径运动的平均速率大，所以t1>t2，故选项A正确．
．一质量为m的物体以速度v在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，假设t＝0 时刻物体在轨迹最低点且重力势能为零，那么，下列说法正确的是( )
A．物体运动的过程中，重力势能随时间的变化关系为Ep＝mgR
B．物体运动的过程中，动能随时间的变化关系为Ek＝mv2－mgR
C．物体运动的过程中，机械能守恒，且机械能为E＝mv2
D．物体运动的过程中，机械能随时间的变化关系为E＝mv2＋mgR
解析：选D．重力势能Ep＝mg(R－Rcos θ)，θ＝ωt＝t．则Ep＝mgR，物体的动能Ek＝mv2不变．机械能Ep＝mv2＋mgR．故D项正确．
5．
如图所示，质量均为m的小球A、B、C，均用长为l的细线相连，置于高为h的光滑水平桌面上，l>h，A球刚好在桌边，若A球、B球相继下落着地后不再反弹，则C球离开桌边时速度大小是多少？
解析：先以地球和三个小球组成的系统作为研究对象，Ep0＝3mgh，Ek0＝0，Ept＝2mgh，Ekt＝·3mv，其中v1为A球落地三球运动的共同速率，由系统机械能守恒得：
3mgh＝2mgh＋·3mv，
再以B、C和地球组成的系统作为研究对象，则：
Ep0′＝2mgh，Ek0′＝·2mv，Ept′＝mgh，Ekt′＝·2mv，其中v2为B球落地时B、C两球具有的速率，也就是C球离开桌边时的速率．新的系统机械能也守恒，即2mgh＋·2mv＝mgh＋·2mv，解得v2＝．
答案：
[课时作业][学生用书P119(单独成册)]
一、单项选择题
．物体在平衡力作用下的运动中( )
A．物体的机械能一定不变
B．如果物体的重力势能有变化，则它的机械能一定有变化
C．物体的动能可能变化，但机械能一定不变
D．物体的重力势能可能变化，但它的机械能一定不变
解析：选B．由动能定理知，平衡力作用下物体的动能一定不变，C错，若物体的重力势能不变则机械能不变，若重力势能变化，则机械能一定有变化，B对，A、D错．
2．物体做自由落体运动，Ek代表动能，Ep代表势能，h代表下落的距离，以水平地面为零势能面．下列所示图像中，能正确反映各物理量之间的关系的是( )
解析：选B．设物体的质量为m，初态势能为E0，则有Ep＝E0－mg2t2＝E0－mv2＝E0－Ek＝E0－mgh．综上可知只有B对．
3．
如图，把一根内壁光滑的细圆管弯成圆周形状，且竖直放置，管口A竖直向上，管口B水平向左，一小球从管口A的正上方h1高处自由落下，经细管恰能到达细管最高点B处．若小球从A管口正上方h2高处自由落下，进入A管口运动到B点后又从空中飞落进A管口，则h1∶h2为( )
A．1∶2 B．2∶3
C．4∶5 D．5∶6
解析：选C．当小球从管口A的正上方h1高处自由落下，到达细管最高点B处时的速度为零，则根据机械能守恒定律有(取管口A的位置重力势能为零)，mgh1＝mgR，解得h1＝R；当从A管口正上方h2高处自由落下时，根据平抛运动规律有R＝vBt，R＝gt2解得vB＝，根据机械能守恒定律有mgh2＝mgR＋mv，解得h2＝，故h1∶h2＝4∶5．
4．
半径为R＝0．4 m的圆桶固定在小车内，有一光滑小球静止在圆桶最低点，如图所示．小车以速度v＝4 m/s向右做匀速运动，g取10 m/s2，当小车突然停止，此后关于小球在圆桶中上升的最大高度下列说法正确的是( )
A．等于0．8 m B．等于0．4 m
C．大于0．4 m小于0．8 m D．小于0．4 m
解析：选C．小车突然停止后，小球在圆桶内做圆周运动．当小球的动能全部转化为重力势能时，小球能上升的高度为h＝＝0．8 m，但它若能沿轨道运动到圆桶的最高点时，在最高点还须满足m≥mg，即v≥＝2 m/s，所以它必然在上升到圆心位置之上而到达最高点之前离开轨道做斜上抛运动，C正确．
5．
如图所示，重10 N的滑块在倾角为30°的斜面上，从a点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧．滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知ab＝0．8 m，bc＝0．4 m，那么在整个过程中下列说法错误的是( )
A．滑块动能的最大值是6 J
B．弹簧弹性势能的最大值是6 J
C．从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6 J
D．滑块和弹簧组成的系统整个过程机械能守恒
解析：选A．滑块能回到原出发点，所以机械能守恒，D正确；以c点为参考点，则a点的机械能为6 J，c点时的速度为0，重力势能也为0，所以弹性势能的最大值为6 J，从c到b弹簧的弹力对滑块做的功等于弹性势能的减小量，故为6 J，所以B、C正确．由a→c时，因重力势能不能全部转变为动能，故A错误．
二、多项选择题
．
质量相同的两个摆球A和B，其摆线长度不同，它们都从同一水平位置，而且摆线都处于水平不松弛状态由静止释放，如图所示，并以此位置为零势能面，到达最低点时，以下说法正确的应是( )
A．它们的机械能相等 B．它们的动能相等
C．它们的加速度相等 D．它们对摆线拉力相等
解析：选ACD．两球下摆过程中机械能均守恒，均等于初始位置的机械能，故A正确；由机械能守恒可知，两球最低点的动能Ek＝mgl，与绳长有关，故B错误；由mgl＝mv2，a＝＝2g，F－mg＝m，得F＝3mg可知，两球在最低点时的加速度和对应绳的拉力均相等，故C、D均正确．
．一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
解析：选ABC．运动员到达最低点前，重力一直做正功，重力势能减小，选项A正确．弹力一直做负功，弹性势能增加，选项B正确．除重力、弹力之外无其他力做功，故机械能守恒，选项C正确．重力势能的改变与重力势能零点的选取无关，故选项D错误．
．如图所示，A、B、C、D四图中的小球以及小球所在的左侧斜面完全相同，现从同一高度h处由静止释放小球，使之进入右侧不同的轨道：除去底部一小段圆弧，A图中的轨道是一段斜面，高度大于h；B图中的轨道与A图中的轨道相比只是短了一些，且斜面高度小于h；C图中的轨道是一个内径略大于小球直径的管道，其上部为直管，下部为圆弧形，与斜面相连，管的高度大于h；D图中的轨道是个半圆形轨道，其直径等于h．如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的能量损失，小球进入右侧轨道后能到达h高度的是( )
解析：选AC．对A、C轨道，小球到达右侧最高点的速度可以为零，由机械能守恒可得，小球进入右侧轨道后的高度仍为h，故A、C正确；轨道B右侧轨道最大高度小于h，小球运动到轨道最高点后做斜抛运动，小球到达最高点时仍有水平速度，因此，小球能到达的最大高度小于h，B不正确；轨道D右侧为圆形轨道，小球通过最高点必须具有一定速度，因此，小球沿轨道D不可能到达h高度，D错误．
9．
内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端固定有质量m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙．现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点(如图所示)，由静止释放后( )
A．下滑过程中甲球的机械能变化量大小总是等于乙球的机械能变化量大小
B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D．杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点
解析：选AD．甲与乙两个小球系统机械能守恒，故甲减小的机械能一定等于乙增加的机械能，故A正确；甲与乙两个小球系统机械能守恒，甲球减小的重力势能转化为乙的势能和动能以及甲的动能，故B错误；将甲与乙当做一个整体，机械能也守恒，找出重心，在甲与乙的连线上，如果甲到圆弧的最低点，则系统重心升高了，机械能增加了，矛盾，故甲球不可能到圆弧最低点，故C错误；由于机械能守恒，故动能减为零时，势能应该不变，故杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点，故D正确．
三、非选择题
．某同学做验证机械能守恒定律实验时，不慎将一条挑选出的纸带的一部分损坏，损坏的是前端部分．剩下的一段纸带上各相邻点间的距离已测出，标在图中，单位是cm．已知打点计时器工作频率为50 Hz，重力加速度g取9．8 m/s2．
(1)重物在2点的速度v2＝________，在5点的速度v5＝________，此过程中动能增加量ΔEk＝________，重力势能减少量ΔEp＝________．
(2)比较得ΔEk________(填“大于”“等于”或“小于”)ΔEp，原因是______________________．由以上可得出实验结论__________________．
(3)根据实验判断下列图像正确的是(其中ΔEk表示物体动能的变化，Δh表示物体下落的高度)________．
解析：(1)根据匀变速直线运动的规律，可以求出重物在2点的速度v2＝ m/s＝1．50 m/s和重物在5点的速度v5＝ m/s＝2．075 m/s，
所以动能增加量为
ΔEk＝v－v≈1．03m J，我们选5点为重力势能参考点，则重力势能减少量为
ΔEp＝mgh25＝m×9．8×(3．2＋3．6＋4．0)×10－2 J≈1．06m J．
(2)显然ΔEk<ΔEp，原因是实验中重锤要克服阻力做功．由以上可得出实验结论为：在误差允许的范围内，机械能守恒．
(3)物体机械能守恒，应有物体减少的重力势能转化为增加的动能，即ΔEk＝mgΔh，可见物体增加的动能与下落的距离成正比，选项C正确．
答案：见解析
11．
如图所示，一根全长为L、粗细均匀的铁链，对称地挂在轻小的定滑轮上．当受到轻微的抖动时，铁链开始滑动．当铁链脱离滑轮瞬间，铁链的速度多大？
解析：初始时，铁链的重心在小定滑轮下方L处．铁链脱离滑轮瞬间，其重心在小定滑轮下方L处．设铁链的质量为m，并设铁链脱离滑轮瞬间的速度为v，据铁链减少的重力势能ΔEp等于增加的动能ΔEk可得
ΔEp＝mg＝ΔEk＝mv2，解得v＝，
即铁链脱离滑轮瞬间，铁链的速度为．
答案：
12．
如图所示，轨道ABCD的AB段为半径R＝0．4 m的四分之一粗糙圆弧形轨道，BC段为高h＝5 m的竖直轨道，CD段为水平轨道．一个质量m＝1．0 kg的小球由A点静止下滑，达到B点时，以vB＝2．0 m/s的速度水平飞出(不计空气阻力)．g取10 m/s2，求：
(1)小球从A运动到B的过程中克服摩擦力做多少功？
(2)小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C点的水平距离．
(3)小球落地时的速度大小．
解析：(1)小球从A→B过程，由动能定理有：
Wf＋mgR＝mvB2，
代入数值解得：Wf＝－2 J，即克服摩擦力做功2 J．
(2)小球离开B点后做平抛运动，由平抛运动性质得
竖直方向上：h＝gt2，
水平方向上：x＝vB·t，
所以水平距离
x＝vB＝2× m＝2 m．
(3)取地面为零势能面，设落地点为E，由机械能守恒定律有
mvB2＋mgh＝mvE2，
求得vE＝2 m/s≈10．2 m/s．
答案：(1)2 J (2)2 m (3)10．2 m/s
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