2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题07 应用题
2020年江苏高考核心考点
1.在江苏高考的试题中，应用题属于必考的题型，近几年来应用题以几何背景呈现的居多，因此，在复习中要特别重视以几何题为背景的函数应用题。解决此类问题的关键明确各个量之间的关系，运用立体几何的知识点求出各种量，然后表示出面积、体积建立目标函数。
2.与正余弦定理有关的应用题：运用正余弦定理有关的应用题的解题关键就是在图形中选择条件尽量多的三角形，也要注意合理的设角，然后运用正余弦定理解决。
3.以分段函数为载体的应用题是应用题中一种重要的题型，可以更多的考查多个函数，由于参数的范围不同得到的函数的解析式不同，但要注意无论分成几段，都是一个函数。
专项突破
一、解答题：本大题共16小题，共计160分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））
某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M?），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1?（百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．
（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；
（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．
【解析】（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系
由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为
代入点B得：p＝1，故方程为，x[0，1]；
（2）设P(，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，记∠EPQ＝，∠FPQ＝
，，
令，，则：
当且仅当即，即，即时取等
故P(，)时视角∠EPF最大，
答：P(，)时，视角∠EPF最大．
（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）
如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A与小岛圆心C相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A向小岛建三段栈道AB，BD，BE．湖面上的点B在线段AC上，且BD，BE均与圆C相切，切点分别为D，E，其中栈道AB，BD，BE和小岛在同一个平面上．沿圆C的优弧（圆C上实线部分）上再修建栈道．记∠CBD为．
（1）用表示栈道的总长度，并确定sin的取值范围；
（2）求当为何值时，栈道总长度最短．
【解析】（1）连接CD，在Rt△CBD中，CD＝1，CB＝，BD＝，
当B与A重合时，sin，∴sin[，1)，
（2）∵sin[，1)，∴cos(0，]，
求得
0
极小值
∴时，即cos，
答：时，即cos，.
3.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）
某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2：1的两部分（点D，E分别在边AB，AC上）；再取DE的中点M，建造直道AM?（如图）．设AD＝x，DE＝，AM＝（单位：百米）．
（1）分别求，关于x的函数关系式；
（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．
【解析】（1）因为，△ABC是边长为3的等边三角形，又AD x，
所以，所以．
由，得．
法1：在中，由余弦定理，得
．
所以，直道DE长度y1关于x的函数关系式为．
在和中，由余弦定理，得
①
②
因为M为DE的中点，所以．
由①+②，得，
所以， 所以．
所以，直道AM长度y2关于x的函数关系式为
．
法2：因为在中，，
所以．
所以，直道DE长度y1关于x的函数关系式为．
在△ADE中，因为M为DE的中点，所以． …8分
所以．
所以，直道AM长度y2关于x的函数关系式为．
（2）由（1）得，两条直道的长度之和为
（当时取）．
答：当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米．
4.(江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷)
如图，长方形材料ABCD中，已知AB＝2，AD＝4．点P为材料ABCD内部一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE＝1，PF．现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足∠MPN＝150°，点M，N分别在边AB，AD上．
（1）设∠FPN＝θ，试将四边形材料AMPN的面积S表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；
（2）试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值．
【解析】（1）在直角△NFP中，因为PF，∠FPN＝θ，
所以NFtanθ，
所以S△APNNA?PF（1tanθ）．
在直角△MEP中，因为PE，∠EPMθ，
所以ME＝tan（θ），
所以S△APMMA?PE（tan（θ））×1．
所以S＝S△APN+S△APMtanθtan（θ），θ∈[0，]，
（2）因为Stanθtan（θ）tanθ．
令t＝1tanθ，由θ∈[0，]，得t∈[1，4]，
所以S（t）
22．
当且仅当t时，即tanθ时等号成立．
此时，AN，Smin＝2．
答：当AN时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为.
（2019- 2020 学年苏州第二学期调研试卷）
如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为L．
（1）①设∠ACO＝θ，求出L关于θ的函数关系式L（θ）；②设AB＝2x米，求出L关于x的函数关系式L（x）．
（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．
【解析】 （1）①在Rt△CDO中，∠ACO＝θ，所以CO＝，
所以CG＝+20，
在Rt△AGC中，AC＝＝＝，
所以L（θ）＝2AC＝，其中θ∈（0，），
②设AC＝y，则在Rt△AGC中，CG＝，
由Rt△AGC和Rt△CDO相似可得＝，即＝，即x﹣20x＝20y，
即x＝20（x+y）
即x＝20，
即x2（y﹣x）＝400（x+y），
化简可得AC＝y＝，
L（x）＝．其中x∈（20，+∞）；
（2）选择（1）中的第一个函数关系式，以L（θ）＝2AC＝，其中θ∈（0，），
在L′（θ）＝[cos2θsinθ﹣（1+sinθ）（cos2θ﹣sin2θ）]，
＝（1+sinθ）[（1﹣sinθ）sinθ﹣（cos2θ﹣sin2θ）]，
＝（1+sinθ）（sin2θ+sinθ﹣1），
令L′（θ）＝0，解得sinθ＝，
令sinθ0＝，
当θ（0，θ0）时，L′（θ）＜0，函数L（θ）单调递减，
当θ（θ0，）时，L′（θ）＞0，函数L（θ）单调递增，
∴当sinθ＝时，L（θ）取得最小值，新建道路造价最少.
6.（江苏沭阳高级中学2020届高三年级第二学期阶段测试）
如图，某市管辖的海域内有一圆形离岸小岛，半径为1公里，小岛中心O到岸边AM的最近距离OA为2公里．该市规划开发小岛为旅游景区，拟在圆形小岛区域边界上某点B处新建一个浴场，在海岸上某点C处新建一家五星级酒店，在A处新建一个码头，且使得AB与AC满足垂直且相等，为方便游客，再建一条跨海高速通道OC连接酒店和小岛，设∠AOB＝α（0＜α＜π）．
（1）设∠BAO＝β，试将sinβ表示成α的函数；
（2）若OC越长，景区的辐射功能越强，问当α为何值时OC最长，并求出该最大值．
【解析】（1）在三角形AOB中，由正弦定理：＝，
即＝，而OA＝2，OB＝1，所以AB＝，
由题意可得由余弦定理可得AB2＝OA2+OB2﹣2OA?OBcosα＝4+1﹣2×2×1cosα＝5﹣4cosα，所以AB＝，
所以＝，
所以sinβ＝；
（2）AB＝AC，OC2＝OA2+AC2﹣2OA?AC?cos（90°+β）＝4+5﹣4cosα+2×?sinβ＝9﹣4cosα+4sinα＝9+4sin（），
答：OC的最大值为＝2．
7.（江苏省南通市通州区2020届高三第二学期第一次测试）
如图，一条小河岸边有相距的两个村庄（村庄视为岸边上两点），在小河另一侧有一集镇（集镇视为点），到岸边的距离为，河宽为，通过测量可知，与的正切值之比为．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥（分别为两岸上的点，且垂直河岸，在的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知两村的人口数分别是人、人，假设一年中每人去集镇的次数均为次．设．（小河河岸视为两条平行直线）
（1）记为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用表示；
（2）试确定的余弦值，使得最小，从而符合建桥要求．
【解析】（1）与的正切值之比为
则，
，
，
，
（2）由（1）知：，
，
令，解得：
令，且
当时，，；当时，，
函数在上单调递减；在上单调递增；
时，函数取最小值，即当时，符合建桥要求.
8.如图，某市一学校位于该市火车站北偏东方向，且，已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路，CE,DF及圆弧都是学校道路，其中，，以学校为圆心，半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济，其中分别在公路上，且与圆弧相切，设，的面积为.
（1）求关于的函数解析式；
（2）当为何值时，面积为最小，政府投资最低？
【解析】（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又，故，.
所以直线的方程为，即.
因为直线与圆相切，
所以.
因为点在直线的上方，
所以，
所以式可化为，解得.
所以，.
所以面积为.
（2）令，则，
且，
所以，.
令，，所以在上单调递减.
所以，当，即时，取得最大值，取最小值.
答：当时，面积为最小，政府投资最低.
9.从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币。如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”。某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设，五个正方形的面积和为．
（1）求面积关于的函数表达式，并求的范围；
（2）求面积最小值．
【解析】⑴过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，
因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，
所以点分别为小正方形和大正方形边的中点.
所以小正方形的边长为，
大正方形的边长为
所以五个正方形的面积和为
因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，
所以，所以，
所以的取值范围为，
答：面积关于的函数表达式为，
的取值范围为， .
10.请你设计一个包装盒，ABCD是边长为的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，在沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（图2所示），设正四棱锥P﹣EFGH的底面边长为x（cm）．
（1）若要求包装盒侧面积S不小于75cm2，求x的取值范围；
（2）若要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的容积．
【解析】（1）图（1）中，AC，BD交于点O，BD与FG交于M，图（2）中，连接OP，
因为ABCD是边长为10的正方形，所以OB＝10（cm），
由FG＝x得OM，PM＝BM＝10，
因为PM＞OM，即10，
所以0＜x＜10，
因为S＝42x（10）＝20x﹣x2，
由20x﹣x2＞75，可得5≤x≤15，
所以，5≤x＜10，
答：x的取值范围[5，10），
（2）因为在Rt△OMP中，OM2+OP2＝PM2，
所以OP，
V，（0＜x＜10），
设f（x）＝100x4﹣10x5，0＜x＜10，
则f′（x）＝400x3﹣50x4＝50x3（8﹣x），
当0＜x＜8时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞8时，f′（x）＜0，函数单调递减，
所以，当x＝8时，函数取得极大值，也是极大值，此时V取得最大值．
答：当x＝8时，包装盒的容积最大为．[来源:Zxxk.Com]
11.如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为弧EF的中点，其所在圆O的半径为4 dm(圆心O在弓形EMF内)，∠EOF＝.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，AD∥EF，且点A，D在上，设∠AOD＝2θ.
(1) 求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；
(2) 当裁出的矩形铁片ABCD面积最大时，求cosθ的值．
【解析】 (1) 设矩形铁片的面积为S，∠AOM＝θ.
当0＜θ＜时(如图1)，AB＝4cosθ＋2，AD＝2×4sinθ，
S＝AB×AD＝(4cosθ＋2)(2×4sinθ)＝16sinθ(2cosθ＋1)．(3分)
当≤θ＜时(如图2)，AB＝2×4cos θ，AD＝2×4sin θ，故S＝AB×AD＝64sinθcosθ＝32sin 2θ.
综上得，矩形铁片的面积S关于θ的函数关系式为
S＝(7分)
(2) 当0＜θ＜时，求导，得
S′＝16[cosθ(2cosθ＋1)＋sinθ(－2sinθ)]
＝16(4cos2 θ＋cos θ－2)．
令S′＝0，得cosθ＝.(10分)
记区间内余弦值等于的角为θ0(唯一存在)，列表：
θ (0，θ0) θ0
S′ ＋ 0 －
S 极大值
又当≤θ＜时，S＝32sin2θ是单调减函数，所以当θ＝θ0，即cosθ＝时，矩形铁片的面积最大．
12.一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM＝5 m，BC＝10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH＝θ.
(1) 求屋顶面积S关于θ的函数关系式；
(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？
【解析】(1) 由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM?平面ABCD，得FH⊥HM.
在Rt△FHM中，HM＝5，∠FMH＝θ，
所以FM＝.
因此△FBC的面积为×10×＝.
从而屋顶面积S＝2S△FBC＋2S梯形ABFE＝2×＋2××2.2＝.
所以S关于θ的函数关系式为S＝.
(2)在Rt△FHM中，FH＝5tanθ，所以主体高度为h＝6－5tanθ.
所以别墅总造价为y＝S·k＋h·16k＝k－k＋96k＝80k·＋96k.
记f(θ)＝，0<θ<，所以f′(θ)＝，
令f′(θ)＝0，得sinθ＝，又0<θ<，所以θ＝.
列表：
θ
f′(θ) － 0 ＋
f(θ)
所以当θ＝时，f(θ)有最小值．
答：当θ为时，该别墅总造价最低．
13.如图，圆O是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A，B两点在⊙O上，A，B，C，D恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在A，B，C，D四点处安装四盏照明设备，从圆心O点出发，在地下铺设4条到A，B，C，D四点线路OA，OB，OC，OD.
（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；
（2）求铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值.
【解析】（1）连接AB，∵AB＝10，∴正方形ABCD的面积为100，
又OA＝OB＝10，∴△AOB为正三角形，则，
而圆的面积为100π，∴扇形AOB的面积为，
又三角形AOB的面积为.∴弓形面积为，
则广场面积为100（平方米）；
（2）过O作OK⊥CD，垂足为K，过O作OH⊥AD（或其延长线），垂足为H，
设∠OAD＝θ（0＜θ），则OH＝10sinθ，AH＝10cosθ，
∴DH＝|AD﹣AH|＝|2OH﹣AH|＝|20sinθ﹣10cosθ|，
∴OD.
∴当θ时，.
∴4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值为（米）.
14.如图，在圆锥中，底面半径为3，母线长为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为，半径为，现要以截面为底面，圆锥底面圆心为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记圆锥的体积为.
（1）将表示成的函数；
（2）求得最大值
【解析】（1）在中，，
由∽可知，，所以，
所以，所以．
（2）由（1）得，
所以，令，得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减．
所以当时，取得最大值．答：小圆锥的体积的最大值为．
15.为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地(如图)租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜．已知扇形AOB中，∠AOB＝，OB＝(百米)，荒地内规划修建两条直路AB，OC，其中点C在上(C与A，B不重合)，在小路AB与OC的交点D处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区．设∠BDC＝，蜂巢区的面积为S(平方百米)．
（1）求S关于的函数关系式；
（2）当为何值时，蜂巢区的面积S最小，并求此时S的最小值．
【解析】（1）AO=OB=，∠AOB=,由余弦定理求得AB=6.在△BDO中应用正弦定理，有，即，因此，AD=。
=
整理得,().
（2）对求导，得，令，解得。
当时，，S递减。
当时，，S递增。
当时，，S递减。
综上所述，S的最小值只可能在或趋近时取得。
当时，，当时，
因此，当时，S取最小值，.
16.如图，OM，ON是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区．已知tan∠MON＝－3，OA＝6(百米)，Q到直线OM，ON的距离分别为3(百米)，(百米)．现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路ON于点B，并在B处修建一游客休息区．
（1）求有轨观光直路AB的长；
（2）已知在景点Q的正北方6 百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，
(百米)（0≤t≤9，0＜a＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道BA以(百米/分钟)的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．
【解析】（1）以点O为坐标原点，直线OM为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
则由题设得：A(6，0)，直线ON的方程为．
由，解得，所以．
故直线AQ的方程为，
由得
即，故，
答：水上旅游线的长为km．
（2）将喷泉记为圆P，由题意可得P(3，9)，
生成t分钟时，观光车在线段AB上的点C处，
则BC＝t，0≤t≤9，所以C(－3＋t，9－t)．
若喷泉不会洒到观光车上，则PC2＞r2对t∈[0，9]恒成立，
即PC2＝(6－t)2＋t2＝2t2－12t＋36＞4at，
当t＝0时，上式成立，
当t∈(0，9]时，2a＜t＋－6，(t＋－6)min＝6－6，当且仅当t＝3时取等号，
因为a∈(0，1)，所以r＜PC恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．
答：喷泉的水流不会洒到观光车上．
2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题07应用题
2020年江苏高考核心考点
1.在江苏高考的试题中，应用题属于必考的题型，近几年来应用题以几何背景呈现的居多，因此，在复习中要特别重视以几何题为背景的函数应用题。解决此类问题的关键明确各个量之间的关系，运用立体几何的知识点求出各种量，然后表示出面积、体积建立目标函数。
2.与正余弦定理有关的应用题：运用正余弦定理有关的应用题的解题关键就是在图形中选择条件尽量多的三角形，也要注意合理的设角，然后运用正余弦定理解决。
3.以分段函数为载体的应用题是应用题中一种重要的题型，可以更多的考查多个函数，由于参数的范围不同得到的函数的解析式不同，但要注意无论分成几段，都是一个函数。
专项突破
一、解答题：本大题共16小题，共计160分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））
某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M?），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1?（百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．
（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；
（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．
（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）
如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A与小岛圆心C相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A向小岛建三段栈道AB，BD，BE．湖面上的点B在线段AC上，且BD，BE均与圆C相切，切点分别为D，E，其中栈道AB，BD，BE和小岛在同一个平面上．沿圆C的优弧（圆C上实线部分）上再修建栈道．记∠CBD为．
（1）用表示栈道的总长度，并确定sin的取值范围；
（2）求当为何值时，栈道总长度最短．
3.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）
某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2：1的两部分（点D，E分别在边AB，AC上）；再取DE的中点M，建造直道AM?（如图）．设AD＝x，DE＝，AM＝（单位：百米）．
（1）分别求，关于x的函数关系式；
（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．
4.(江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷)
如图，长方形材料ABCD中，已知AB＝2，AD＝4．点P为材料ABCD内部一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE＝1，PF．现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足∠MPN＝150°，点M，N分别在边AB，AD上．
（1）设∠FPN＝θ，试将四边形材料AMPN的面积S表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；
（2）试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值．
（2019- 2020 学年苏州第二学期调研试卷）
如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为L．
（1）①设∠ACO＝θ，求出L关于θ的函数关系式L（θ）；②设AB＝2x米，求出L关于x的函数关系式L（x）．
（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．
6.（江苏沭阳高级中学2020届高三年级第二学期阶段测试）
如图，某市管辖的海域内有一圆形离岸小岛，半径为1公里，小岛中心O到岸边AM的最近距离OA为2公里．该市规划开发小岛为旅游景区，拟在圆形小岛区域边界上某点B处新建一个浴场，在海岸上某点C处新建一家五星级酒店，在A处新建一个码头，且使得AB与AC满足垂直且相等，为方便游客，再建一条跨海高速通道OC连接酒店和小岛，设∠AOB＝α（0＜α＜π）．
（1）设∠BAO＝β，试将sinβ表示成α的函数；
（2）若OC越长，景区的辐射功能越强，问当α为何值时OC最长，并求出该最大值．
7.（江苏省南通市通州区2020届高三第二学期第一次测试）
如图，一条小河岸边有相距的两个村庄（村庄视为岸边上两点），在小河另一侧有一集镇（集镇视为点），到岸边的距离为，河宽为，通过测量可知，与的正切值之比为．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥（分别为两岸上的点，且垂直河岸，在的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知两村的人口数分别是人、人，假设一年中每人去集镇的次数均为次．设．（小河河岸视为两条平行直线）
（1）记为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用表示；
（2）试确定的余弦值，使得最小，从而符合建桥要求．
8.如图，某市一学校位于该市火车站北偏东方向，且，已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路，CE,DF及圆弧都是学校道路，其中，，以学校为圆心，半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济，其中分别在公路上，且与圆弧相切，设，的面积为.
（1）求关于的函数解析式；
（2）当为何值时，面积为最小，政府投资最低？
9.从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币。如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”。某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设，五个正方形的面积和为．
（1）求面积关于的函数表达式，并求的范围；
（2）求面积最小值．
10.请你设计一个包装盒，ABCD是边长为的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，在沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（图2所示），设正四棱锥P﹣EFGH的底面边长为x（cm）．
（1）若要求包装盒侧面积S不小于75cm2，求x的取值范围；
（2）若要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的容积．
11.如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为弧EF的中点，其所在圆O的半径为4 dm(圆心O在弓形EMF内)，∠EOF＝.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，AD∥EF，且点A，D在上，设∠AOD＝2θ.
(1) 求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；
(2) 当裁出的矩形铁片ABCD面积最大时，求cosθ的值．
12.一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM＝5 m，BC＝10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH＝θ.
(1) 求屋顶面积S关于θ的函数关系式；
(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？
13.如图，圆O是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A，B两点在⊙O上，A，B，C，D恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在A，B，C，D四点处安装四盏照明设备，从圆心O点出发，在地下铺设4条到A，B，C，D四点线路OA，OB，OC，OD.
（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；
（2）求铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值.
14.如图，在圆锥中，底面半径为3，母线长为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为，半径为，现要以截面为底面，圆锥底面圆心为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记圆锥的体积为.
（1）将表示成的函数；
（2）求得最大值
15.为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地(如图)租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜．已知扇形AOB中，∠AOB＝，OB＝(百米)，荒地内规划修建两条直路AB，OC，其中点C在上(C与A，B不重合)，在小路AB与OC的交点D处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区．设∠BDC＝，蜂巢区的面积为S(平方百米)．
（1）求S关于的函数关系式；
（2）当为何值时，蜂巢区的面积S最小，并求此时S的最小值．
16.如图，OM，ON是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区．已知tan∠MON＝－3，OA＝6(百米)，Q到直线OM，ON的距离分别为3(百米)，(百米)．现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路ON于点B，并在B处修建一游客休息区．
（1）求有轨观光直路AB的长；
（2）已知在景点Q的正北方6 百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，
(百米)（0≤t≤9，0＜a＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道BA以(百米/分钟)的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．
