2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题08数列
2020年江苏高考核心考点
1.等差和等比数列是江苏高考的C级考点，属于必考内容，主要对等差和等比数列的项、公差、公比、通项公式、前n项和公式的求解。
2.数列解答题通常在等差和等比数列的基本量运算上更深入的研究，例如与的递推关系，属于压轴题型。
专项突破
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））已知等差数列的前n项和为，，，则＝ ．
2.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）在等差数列(n)中，若，，则的值是 ．
3.（2019～2020学年度高三年级如皋中学第二学期期初调研测试）已知等比数列的前项和为，且，则 ．
4.（江苏省如皋市2019—2020学年高三年级第二学期语数英学科模拟）已知等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则满足不等式的n的最小值为 ．
5.（天一中学2020届高三第二学期阶段测试）等比数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，满足S6﹣3S5+2S4＝0，则S5＝ ．
6.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足{，，}＝{，，}＝{a，b，﹣2}，其中a＞0，b＞0，则a＋b的值为 ．
7.(江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷)公差不为零的等差数列的前n项和为，若是与的等比中项，＝3，则的值为 ．
8.（2020年沭阳高级中学高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））已知等比数列{an}满足a2+2a1＝4，a32＝a5，则该数列的前5项和为 ．
9.（南通市通州区2020届高三年级第二学期联考数学试卷）已知各项均不相等的数列为等差数列，且恰为等比数列的前三项.若，则 .
10.（江苏省如皋中学2020届高三数学试卷）设是数列的前项和，且，，则 ．
11.（2019- 2020 学年苏州第二学期调研试卷）已知正项数列的前项和为，且，，则_______．
12.（张家港市2020届高三阶段性调研测试）已知是首项为2，公比为的等比数列，且的前项和为，若也为等比数列，则_______．
13.已知数列满足，则_______．
14．（江苏省如皋市2019—2020学年高三年级第二学期学科模拟试题）已知数列的各项都为正数，前n项和为，，（），若，则_______．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷)设数列{an}的前n项和为Sn，2Sn+an＝3，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足：
对于任意的n∈N*，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1＝（）n﹣1+3n﹣3成立．
①求数列{bn}的通项公式；
②设数列cn＝anbn，问：数列{cn}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．
16.（2020届江苏省天一中学高三数学第二学期数学综合练习）已知数列{an}的前n项和Sn满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，Tn是数列{bn}的前n项和，若对任意的n∈N*，不等式都成立，求实数k的取值范围；
（3）记，是否存在互不相等的正整数m，s，t，使m，s，t成等差数列，且cm﹣1，cs﹣1，ct﹣1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t；如果不存在，请说明理由．
17.（南通市通州区2020届高三年级第二学期复学后联考数学试卷）已知无穷数列的前项中的最大项为，最小项为，设.
若求数列的通项公式；
若，求数列的前项和；
（3）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列.
18.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））已知数列，，数列满足，n．
（1）若，，求数列的前2n项和；
（2）若数列为等差数列，且对任意n，恒成立．①当数列为等差数列时，
求证：数列，的公差相等；②数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．
19.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）已知无穷数列的各项均为正整数，其前n项和为，记为数列的前项和，即．
（1）若数列为等比数列，且，，求的值；
（2）若数列为等差数列，且存在唯一的正整数n(n≥2)，使得，求数列的通项公式；
（3）若数列的通项为，求证：数列为等差数列．
20.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）在等比数列中，已知，．设数列的前n项和为，且，(n≥2，n)．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）是否存在等差数列，使得对任意n，都有?若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由．
2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题08数列
2020年江苏高考核心考点
1.等差和等比数列是江苏高考的C级考点，属于必考内容，主要对等差和等比数列的项、公差、公比、通项公式、前n项和公式的求解。
2.数列解答题通常在等差和等比数列的基本量运算上更深入的研究，例如与的递推关系，属于压轴题型。
专项突破
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））已知等差数列的前n项和为，，，则＝ ．
【答案】
【解析】．
2.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）在等差数列(n)中，若，，则的值是 ．
【答案】-15
【解析】∵数列是等差数列，∴，又，∴，
∴，故．
3.（2019～2020学年度高三年级如皋中学第二学期期初调研测试）已知等比数列的前项和为，且，则 ．
【答案】1
【解析】因为
所以，代入得，解得或1（舍去）
所以.
4.（江苏省如皋市2019—2020学年高三年级第二学期语数英学科模拟）已知等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则满足不等式的n的最小值为 ．
【答案】12
【解析】，，成等差数列得（）
得.
由得，，得，时，不等式成立.
5.（天一中学2020届高三第二学期阶段测试）等比数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，满足S6﹣3S5+2S4＝0，则S5＝ ．
【答案】31
【解析】S6﹣3S5+2S4＝0得.
得得.所以.
6.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足{，，}＝{，，}＝{a，b，﹣2}，其中a＞0，b＞0，则a＋b的值为 ．
【答案】5
【解析】不妨令a＞b，则，，则b＝1，a＝4，∴a＋b＝5．
7.(江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷)公差不为零的等差数列的前n项和为，若是与的等比中项，＝3，则的值为 ．
【答案】63
【解析】∵是与的等比中项，∴，
∵＝3，∴，从而有，即，
化简得d2＝2d，∵d≠0，∴d＝2，∴，.
8.（2020年沭阳高级中学高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））已知等比数列{an}满足a2+2a1＝4，a32＝a5，则该数列的前5项和为 ．
【答案】31
【解析】设等比数列{an}的公比为q，
∵a2+2a1＝4，，∴a1（q+2）＝4，a12q4＝a1q4，
联立解得a1＝1，q＝2，∴数列的前5项的和为＝31.
9.（南通市通州区2020届高三年级第二学期联考数学试卷）已知各项均不相等的数列为等差数列，且恰为等比数列的前三项.若，则 .
【答案】94
【解析】，得得，的公比为，
所以，得，得.
10.（江苏省如皋中学2020届高三数学试卷）设是数列的前项和，且，，则 ．
【答案】
【解析】因为，
所以，，即：，所以，数列｛｝是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，＝1＋（n－1）×1＝n，所以，.
11.（2019- 2020 学年苏州第二学期调研试卷）已知正项数列的前项和为，且，，则_______．
【答案】4041
【解析】∵，∴时，，
相减可得：.，又
.由，
当时，，
得，，则.
12.（张家港市2020届高三阶段性调研测试）已知是首项为2，公比为的等比数列，且的前项和为，若也为等比数列，则_______．
【答案】2
【解析】已知是首项为2，公比为的等比数列.
所以.
,为等比数列,则也为等比数列.
所以，即.
13.已知数列满足，则_______．
【答案】
【解析】令，解得，，
整理得，两边同时取倒数得，所以
是以1为为首项，为公差的等差数列，所以，即.
14．（江苏省如皋市2019—2020学年高三年级第二学期学科模拟试题）已知数列的各项都为正数，前n项和为，，（），若，则_______．
【答案】48
【解析】当，得
因为的各项为正数，所以.
所以，即即，又，
得是以2为首相，2为公比的等比数列，所以，即，
因为，所以，所以当取最小值48，
所以.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷)设数列{an}的前n项和为Sn，2Sn+an＝3，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足：
对于任意的n∈N*，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1＝（）n﹣1+3n﹣3成立．
①求数列{bn}的通项公式；
②设数列cn＝anbn，问：数列{cn}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由2Sn+an＝3，①
得2Sn﹣1+an﹣1＝3，（n≥2），②
由①﹣②得2an+an﹣an﹣1＝0，即anan﹣1（n≥2）．对①取n＝1得，a1＝1≠0，所以an≠0，
所以{an}为等比数列，首项为1，公比为，即an＝（）n﹣1，n∈N*．
（2）①由an＝（）n﹣1，可得对于任意n∈N*．
有bnbn﹣1+（）2bn﹣2+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+3n﹣3，③
则bn﹣1bn﹣2+（）2bn﹣3+…+（）n﹣2b1＝（）n﹣2+3n﹣6，n≥2，④
则bn﹣1+（）2bn﹣2+（）3bn﹣3+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+n﹣2，n≥2，⑤
由③﹣⑤得bn＝2n﹣1（n≥2），对③取n＝1得，b1＝1也适合上式，因此bn＝2n﹣1，n∈N*．
②由（1）（2）可知cn＝anbn，则cn+1﹣cn，
所以当n＝1时，cn+1＝cn，即c1＝c2，当n≥2时，cn+1＜cn，即{cn}在n≥2且n∈N*上单调递减，
故c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，
假设存在三项cs，cp，cr成等差数列，其中s，p，r∈N*，
由于c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，
可不妨设s＜p＜r，则2cp＝cs+cr（*），
即，
因为s，p，r∈N*，且s＜p＜r，则s≤p﹣1且p≥2，
由数列{cn}的单调性可知，cs≥cp﹣1，即，因为cr0，
所以，
即，化简得p，又p≥2且p∈N*，所以p＝2或p＝3，
当p＝2时，s＝1，即c1＝c2＝1，由r≥3时，cr＜c2＝1，此时c1，c2，cr不构成等差数列，不合题意．
当p＝3时，由题意s＝1或s＝2，即cs＝1，又cp＝c3，
代入（*）式得cr．因为数列{cn}在n≥2且n∈N*上单调递减，且c5，r≥4，所以r＝5．
综上所述，数列{cn}中存在三项c1，c3，c5或c2，c3，c5构成等差数列．
16.（2020届江苏省天一中学高三数学第二学期数学综合练习）已知数列{an}的前n项和Sn满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，Tn是数列{bn}的前n项和，若对任意的n∈N*，不等式都成立，求实数k的取值范围；
（3）记，是否存在互不相等的正整数m，s，t，使m，s，t成等差数列，且cm﹣1，cs﹣1，ct﹣1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为数列{an}的前n项和Sn满足，
所以当n≥2时，2Sn﹣1＝3（an﹣1﹣1），
两式相减得：2an＝3an﹣3an﹣1，即an＝3an﹣1（n≥2），
又n＝1时，2S1＝3（a1﹣1），解得：a1＝3≠0，
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，从而．
（2）由（1）知：，
所以，Tn＝b1+b2+…+bn，
对任意的n∈N*，不等式都成立，即，
化简得：，令，
因为，
故f（n）单调递减，
所以，故，[来源:学科网]
所以，实数k的取值范围是．
（3）由（1）知：，
假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，
则有．
由与得，
即3m+t+2×3m+2×3t＝32s+4×3s，
因为m+t＝2s，所以3m+3t＝2×3s．
因为，当且仅当m＝t时等号成立，
这与m，s，t互不相等矛盾．
所以不存在互不相等的正整数m，s，t满足条件．
或：由3m+3t＝2×3s及m+t＝2s得：，即，
所以，m＝t，这与m≠t矛盾，
所以不存在互不相等的正整数m，s，t满足条件．
17.（南通市通州区2020届高三年级第二学期复学后联考数学试卷）已知无穷数列的前项中的最大项为，最小项为，设.
若求数列的通项公式；
若，求数列的前项和；
（3）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列.
【解析】（1）由得是递增数列，所以
所以
（2）由得
当，，即
当，，即...
又
所以当时，
所以
当时，令
则即
所以
综上所述，，当时，
(3)设数列的公差为，则,
由题意
,对任意都成立，
即，所以是递增数列。
所以，所以
所以是公差为的等差数列；
当时，对任意都成立，
进而，
所以是递减数列.
所以
所以是公差为的等差数列.
当时，
因为与中至少有一个为 0，所以二者都为0，
进而为常数列,
综上所述，数列等差数列.
18.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））已知数列，，数列满足，n．
（1）若，，求数列的前2n项和；
（2）若数列为等差数列，且对任意n，恒成立．①当数列为等差数列时，求证：数列，的公差相等；②数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．
【解析】（1）因为，，所以，且，
由题意可知，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
数列是首项和公比均为4的等比数列，
所以；
（2）①设数列的公差为，数列的公差为， 当n为奇数时，， 若，则当时，，
即，与题意不符，所以， 当n为偶数时，，，
若，则当时，，
即，与题意不符，所以， 综上，，原命题得证；
②假设可以为等比数列，设公比为q， 因为，所以，所以，， 因为当时，
，
所以当n为偶数，且时，， 即当n为偶数，且时，不成立，与题意矛盾，
所以数列不能为等比数列．
19.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）已知无穷数列的各项均为正整数，其前n项和为，记为数列的前项和，即．
（1）若数列为等比数列，且，，求的值；
（2）若数列为等差数列，且存在唯一的正整数n(n≥2)，使得，求数列的通项公式；
（3）若数列的通项为，求证：数列为等差数列．
【解析】（1）；
（2）因为无穷等差数列，所以d≥0，且，，
（1）当d＝0时，和均为常数，故不存在唯一的整数满足条件，舍去；
（2）当d≥2时，，舍去
故d＝1，
若，则没有满足条件的n，所以，此时，
故
（3），，，，，又
所以；
若，与原命题矛盾，
∴，为常数，所以数列为等差数列．
20.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）在等比数列中，已知，．设数列的前n项和为，且，(n≥2，n)．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）是否存在等差数列，使得对任意n，都有?若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设等比数列的公比为，因为，，所以，解得．
所以数列的通项公式为：．
（2）由（1）得，当时，， ①
所以，， ②
②－① 得，，
所以，，即，．
因为，由①?得，，所以，
所以，．
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．
（3）由（2）得 =n－2，所以bn=，Sn=－2(an+1+bn+1)=－2(+)=－.
假设存在等差数列{cn}，其通项cn=dn+c，
使得对任意，都有Sn≤cn≤an，
即对任意，都有－≤dn+c≤. ③
首先证明满足③的d=0. 若不然，d≠0，则d＞0，或d＜0.
(i) 若d＞0，则当n＞，时，cn=dn+c＞1≥= an，
这与cn≤an矛盾.
(ii) 若d<0，则当n＞－，时，cn=dn+c＜－1.
而Sn+1－Sn=－+=≥0，S1= S2＜S3＜……,所以Sn≥S1=－1.
故cn=dn+c＜－1≤Sn，这与Sn≤cn矛盾. 所以d=0.
其次证明：当x≥7时，f(x)=(x－1)ln2－2lnx＞0.
因为f ′(x)=ln2－＞ln2－＞0，所以f(x)在[7，+∞)上单调递增，
所以，当x≥7时，f(x)≥f(7) =6ln2－2ln7= ln＞0.
所以当n≥7，时，2n-1＞n2.
(iii)若c＜0时，则当n≥7，n＞－，n∈N*，Sn=－＞－＞c，这与③矛盾.
(iv)若c＞0时，同(i)可得矛盾.所以c=0,当时，因为，，
所以对任意，都有Sn≤cn≤an．所以． 综上，存在唯一的等差数列{ cn }，其通项公式为满足题设.
