第3节 势能
1．理解重力势能的概念，会用重力势能的定义式进行计算．(重点) 2．理解重力势能的变化和重力做功的关系，知道重力做功与路径无关．(重点＋难点) 3．明确弹性势能的含义，知道弹性势能与哪些量有关．
一、重力势能
1．定义：物体由于位于高处而具有的能量．
2．重力的功
(1)特点：跟物体运动的路径无关，仅由物体的质量和始末两个位置的高度决定．
(2)表达式：WG＝mgh1－mgh2，其中h1、h2分别表示物体的始、末位置的高度．
3．大小：等于物体受到的重力和它的高度的乘积．
4．表达式：Ep＝mgh．
．单位：焦耳，与功的单位相同．
．具有相对性：它总是相对于选定的参考平面而言的(该平面称为零势能面)，但物体在两个不同位置之间势能的差值是确定的，与参考平面无关．
二、弹性势能
1．定义：物体由于发生弹性形变而具有的能量．
2．大小：物体的形变越大，弹性势能越大．
三、势能是系统所共有的
．重力势能是地球与受重力作用的物体组成的系统所共有的．
2．弹性势能是弹力装置与受弹力作用的物体组成的系统所共有的．
将同一物体从同一高度以平抛、上抛、下抛三种不同的方式抛出，落到同一地面上，则三种情况相比较，其重力做功、重力势能变化量是否相同？
提示：重力做功与经过的路径无关，同一物体下落高度相同，三种方式重力做功相同，由于重力做的功等于重力势能的变化量，所以三种方式下重力势能的变化量也相同．
对重力势能的理解
1．重力势能的几个特点
(1)相对性：因为Ep＝mgh，高度h的相对性决定了重力势能具有相对性．如图所示，若选择桌面为参考平面，物体的重力势能为0，选择地面为参考平面，物体的重力势能为正值，选择桌面上方的某一高度处为参考面，物体的重力势能为负值．
(2)系统性：重力是地球与物体相互吸引引起的，如果没有地球对物体的吸引，就不会有重力，也不存在重力势能，所以重力势能是这个系统共同具有的，平时所说的“物体”的重力势能只是一种简化的说法．
(3)标量：物体的重力势能为负值表示物体的重力势能比在参考面上时具有的重力势能要少，这跟用正负表示温度高低是相似的．
2．重力做功与重力势能的区别与联系
重力做功 重力势能
物理意义 重力对物体做功 由物体与地球的相互作用力和它们之间的相对位置决定的能
表达式 WG＝G·Δh＝mgΔh Ep＝mgh
影响大小的因素 重力mg和初末位置的高度差Δh 重力mg和某一位置的高度h
特点 只与初、末位置的高度差有关，与路径及参考平面的选择无关 与参考平面的选择有关，同一位置的物体，选择不同的参考平面会有不同值
过程量 状态量
联系 重力做功过程是重力势能改变的过程，重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加．且重力做了多少功，重力势能就改变多少，即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
(1)Ep＝mgh，h表示物体重心相对参考平面的高度，物体在参考平面上方，h>0，在参考平面下方，h<0．
(2)重力势能的变化只取决于物体的重力所做功的情况，与物体除重力外是否还受其他力作用以及除重力做功外是否还有其他力做功等因素均无关．
如图所示，桌面距地面0．8 m，一物体质量为2 kg，放在距桌面0．4 m的支架上，取g＝10 m/s2．
(1)以地面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到桌面的过程中，重力势能减少了多少？
(2)以桌面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到桌面的过程中，重力势能减少了多少？
[解析] (1)以地面为参考平面，物体的高度h1＝1．2 m，因此物体的重力势能为
Ep1＝mgh1＝2×10×1．2 J＝24 J
物体落至桌面时的重力势能为
Ep2＝mgh2＝2×10×0．8 J＝16 J
物体重力势能的减少量
ΔEp＝Ep1－Ep2＝(24－16) J＝8 J．
(2)同理以桌面为参考平面时：Ep1′＝8 J，Ep2′＝0，则物体落至桌面时重力势能的减少量ΔEp′＝8 J．
[答案] (1)24 J 8 J (2)8 J 8 J
eq \a\vs4\al()
求重力势能及重力势能变化的思路
首先要选择某一高度为参考平面，确定出物体相对参考平面的高度值，物体在参考平面上方，高度为正，在下方，高度为负．其次根据重力势能的表达式Ep＝mgh求出物体的重力势能，最后代入ΔEp＝Ep2－Ep1求重力势能的变化量，ΔEp>0，表示重力势能增加，ΔEp<0，表示重力势能减少．
【通关练习】
1．(多选)有关重力势能的变化，下列说法中正确的是( )
A．物体受拉力和重力作用向上运动，拉力做功是1 J，但物体重力势能的增加量有可能不是1 J
B．从同一高度将某一物体以相同的速率平抛或斜抛，落到地面上时，物体重力势能的变化是相同的
C．从同一高度落下的物体到达地面，考虑空气阻力和不考虑空气阻力的情况下重力势能的减少量是相同的
D．物体运动中重力做功是－1 J，但物体重力势能的增加量不是1 J
解析：选ABC．对于A选项，当物体加速运动时克服重力做功少于1 J，重力势能增加量少于1 J，物体减速运动时，克服重力做功即重力势能增加量大于1 J，只有物体匀速向上运动时，克服重力做功即重力势能增加量才是1 J，A对．据重力做功的特点：与经过路径无关，与是否受其他力无关，只取决于始、末位置的高度差，再根据重力做功等于重力势能的减少量可知B、C对，D错．
2．
如图所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，假设以桌面处为参考平面，则小球落到地面前瞬间的重力势能为( )
A．mgh B．mgH
C．mg(h＋H) D．－mgh
解析：选D．重力势能的大小是相对参考平面而言的，参考平面的选择不同，物体的相对高度就不同，重力势能的大小也不同．本题中已选定桌面为参考平面，则小球在最高点时的高度为H，小球在与桌面相平时的高度为零，小球在地面时的高度为－h，所以小球落到地面前的瞬间，它的重力势能为Ep＝－mgh．
对弹性势能的理解
1．弹性势能的产生原因
2．弹性势能的影响因素
3．弹性势能与弹力做功的关系
如图所示，O为弹簧的原长处
(1)弹力做负功时：如物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式能转化为弹性势能．
(2)弹力做正功时：如物体由A向O运动，或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能．
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系为W弹＝－ΔEp．
(1)对于同一个弹簧，伸长和压缩相同的长度时弹性势能是一样的．
(2)形变量x＝0时，弹簧为原长，弹性势能为零，此时弹性势能最小．
如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中下列说法正确的是( )
A．弹簧对物体做正功，弹簧的弹性势能逐渐减少
B．弹簧对物体做负功，弹簧的弹性势能逐渐增加
C．弹簧先对物体做正功，后对物体做负功，弹簧的弹性势能先减少再增加
D．弹簧先对物体做负功，后对物体做正功，弹簧的弹性势能先增加再减少
[解析] 弹簧由压缩到原长再到伸长，刚开始时弹力方向与运动方向同向做正功，弹性势能应减小．越过原长位置后弹力方向与运动反向，弹力做负功，故弹性势能增加，所以只有C正确，A、B、D错误．
[答案] C
eq \a\vs4\al()
判断弹簧的弹性势能是否发生变化的标志是弹簧的长度是否发生变化，该题向右运动过程中弹簧由压缩到原长再到伸长，弹簧的弹性势能先减小再增加．
【通关练习】
1．关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是( )
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
解析：选C．弹簧弹性势能的大小除了跟劲度系数k有关外，还跟它的形变量(拉伸或压缩的长度)有关，如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应该减小，当它变短时，它的弹性势能应该增大，在原长处它的弹性势能最小，A、B错误；形变量相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大，C正确；弹簧无论拉伸还是压缩，其弹性势能决定于其形变量的大小，与是拉伸还是压缩无关，D错误．
2．如图所示，在光滑水平面上有A、B两物体，中间连一弹簧，已知mA＝2mB，今用水平恒力F向右拉B，当A、B一起向右加速运动时，弹簧的弹性势能为Ep1，如果水平恒力F向左拉A，当A、B一起向左加速运动时，弹簧的弹性势能为Ep2，则Ep1∶Ep2是多大？(Ep∝x2)
解析：A、B一起加速时的加速度
a＝＝
向右加速时，设弹簧的伸长量为x右
由牛顿第二定律得
kx右＝mA·a＝2mB·＝
向左加速时，设弹簧伸长量为x左
由牛顿第二定律得
kx左＝mB·a＝mB·＝
得x右∶x左＝2∶1
又Ep∝x2
所以Ep1∶Ep2＝4∶1．
答案：4∶1
[随堂检测]
1．
如图所示，一物体从A点出发，分别沿粗糙斜面AB和光滑斜面AC下滑及斜向上抛出，运动后到达同一水平面上的B、C、D三点．关于重力的做功情况，下列说法正确的是( )
A．沿AB面滑下时，重力做功最多
B．沿AC面滑下时，重力做功最多
C．沿AD抛物线运动时，重力做功最多
D．三种情况下运动时，重力做的功相等
解析：选D．从A运动到B，从A运动到C和从A运动到D，三个过程虽然路径不同，接触面的粗糙程度不同，三个过程的初速度大小不同，但它们的初末位置的高度差相同，即它们的重力相同并且重力方向上发生的位移相同，因此重力做的功相同，选项D正确．
2．如图是位于锦江乐园的摩天轮，高度为108 m，直径是98 m．一质量为50 kg的游客乘坐该摩天轮做匀速圆周运动旋转一圈需25 min．如果以地面为零势能面，则他到达最高处时的(g取10 m/s2)( )
A．重力势能为5．4×104 J，角速度为0．2 rad/s
B．重力势能为4．9×104 J，角速度为0．2 rad/s
C．重力势能为5．4×104 J，角速度为4．2×10－3 rad/s
D．重力势能为4．9×104 J，角速度为4．2×10－3 rad/s
解析：选C．以地面为零势能面，乘客在最高处高度为108 m，重力势能Ep＝mgh＝50×10×108 J＝5．4×104 J，角速度ω＝＝rad/s≈4．2×10－3 rad/s．C项正确．
．如图所示的几个运动过程中，物体弹性势能增加的是( )
A．如图甲，跳高运动员从压杆到杆伸直的过程中，杆的弹性势能
B．如图乙，人拉长弹簧过程中弹簧的弹性势能
C．如图丙，模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的弹性势能
D．如图丁，小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性势能
解析：选B．形变量变大，弹性势能变大，形变量变小，弹性势能变小．图甲中杆的形变量先变大后变小，图丙和图丁中橡皮筋和弹簧的形变量减小，形变量变大的只有图乙，故选项B正确．
．一实心的正方体铁块与一实心的正方体木块质量相等，将它们放在水平地面上，下列结论正确的是( )
A．铁块的重力势能大于木块的重力势能
B．铁块的重力势能等于木块的重力势能
C．铁块的重力势能小于木块的重力势能
D．上述三种情况都有可能
解析：选C．木块的重力势能大，因为木块的重心位置高．
．如图所示，杆中点有一转轴O，两端分别固定质量为2m和m的小球a和b，当杆从水平位置转到竖直位置时，小球a和b构成的系统的重力势能如何变化，变化了多少？
解析：重力对小球a做的功为：W1＝2m·g·L
重力对小球b做的功为：W2＝－mgL
则重力对由a、b组成的系统所做的总功为：
WG＝W1＋W2＝2mgL＋(－mgL)＝mgL．
因为WG＞0，所以系统的重力势能减少，且减少了mgL．
答案：减少 减少了mgL
[课时作业][学生用书P115(单独成册)]
一、单项选择题
．关于重力做功和物体的重力势能，下列说法不正确的是( )
A．重力对物体做正功时，物体的重力势能一定减少
B．物体克服重力做功时，物体的重力势能一定增加
C．地球上任何一个物体的重力势能都是一个确定值
D．重力做功的多少和重力势能的变化都与参考平面的选取无关
解析：选C．重力对物体做正功，重力势能一定减少，物体克服重力做功，表明重力对物体做负功，物体的重力势能一定增加，故A、B均正确；物体的重力势能的大小与所选取的零势能面位置有关，不同的参考平面，对应不同的重力势能的值，故C错误；重力做功与重力势能的变化均与参考平面的选取无关，D正确．
2．
轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使绳水平伸直，然后无初速度释放，小球从开始运动到绳竖直的过程中，下列说法中正确的是( )
A．重力先做正功后做负功
B．重力做的功大于重力势能的减少量
C．重力的功率一直增大
D．重力的功率先增大后减小
解析：选D．此过程中重力一直做正功，开始重力的功率为零，最后重力的功率也为零，故功率先增大后减小．
．物体做自由落体运动，其相对于地面的重力势能与下落速度的关系如图所示，其中正确的是( )
解析：选C．若下落高度为h，则h＝，减少的重力势能为：mgh＝mg＝mv2．相对于地面的重力势能为：Ep＝mgh0－mgh＝mgh0－mv2，式中h0为起始高度，即Ep与v的关系图像为抛物线的一部分，故C正确．
．一根长为2 m，重为200 N的均匀木杆放在水平地面上，现将它的一端从地面提高0．5 m，另一端仍搁在地面上，则至少需要做功(g取10 m/s2)( )
A．400 J B．200 J
C．100 J D．50 J
解析：选D．外力做功使物体的重心升高0．25 m，对应的重力势能增加ΔEp＝GΔh＝200×0．25 J＝50 J，故选项D正确．
．
如图所示，一个质量为M的物体，放在水平地面上，物体上方安装一个长度为L、劲度系数为k的轻弹簧处于原长，现用手拉着弹簧上端的P点缓慢向上移动，直到物体离开地面一段距离，在这一过程中，P点的位移(开始时弹簧处于原长)是H，则物体重力势能的增加量为( )
A．MgH B．MgH＋
C．MgH－ D．MgH－
解析：选C．物体离开地面时，弹簧伸长x＝
重物上升的高度h＝H－x
重力势能增加量Ep＝Mgh＝MgH－
所以正确答案为C．
．在光滑的水平面上，物体A以较大速度va向前运动，与以较小速度vb向同一方向运动的、连有轻质弹簧的物体B发生相互作用，如图所示．在相互作用的过程中，当系统的弹性势能最大时( )
A．va>vb B．va＝vb
C．va解析：选B．va＝vb时，A、B相距最近，弹簧压缩量最大，弹性势能最大．
．
如图所示，水平地面上固定一竖直轻弹簧，有一物体由弹簧正上方某位置竖直下落，从与弹簧接触后物体继续下落到速度变为零的过程中( )
A．物体的速度逐渐减小
B．物体的重力势能逐渐减小
C．弹簧的弹力对物体做正功
D．弹簧的弹性势能逐渐减小
解析：选B．物体的合力先是向下，后向上，故其运动的速度先增大后减小，A错．下落过程中，物体的高度变低，重力势能减小，B对．物体受到向上的弹力，此力对物体做负功，C错．弹簧的形变量越来越大，弹性势能逐渐变大，D错．
二、多项选择题
．某同学利用弹弓将石子斜向上弹出，在石子弹出的过程中，下述说法正确的是( )
A．弹弓橡皮筋收缩，弹力对石子做功
B．石子的动能增加
C．弹弓橡皮筋的弹性势能减少
D．石子的重力势能减小，转化为石子的动能
解析：选ABC．弹弓橡皮筋收缩产生弹力将石子弹出，弹力对石子做正功，石子动能增加，橡皮筋弹性势能减少，石子上升，重力势能增加，A、B、C对，D错．
9．
如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连．现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点．已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<．在小球从M点运动到N点的过程中，( )
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
解析：选BCD．小球在从M点运动到N点的过程中，弹簧的压缩量先增大，后减小，到某一位置时，弹簧处于原长，再继续向下运动到N点的过程中，弹簧又伸长．弹簧的弹力方向与小球速度的方向的夹角先大于90°，再小于90°，最后又大于90°，因此弹力先做负功，再做正功，最后又做负功，A项错误；弹簧与杆垂直时，小球的加速度等于重力加速度，当弹簧的弹力为零时，小球的加速度也等于重力加速度，B项正确；弹簧长度最短时，弹力与小球的速度方向垂直，这时弹力对小球做功的功率为零，C项正确；由于在M、N两点处，弹簧的弹力大小相等，即弹簧的形变量相等，根据动能定理可知，小球从M点到N点的过程中，弹簧的弹力做功为零，重力做功等于动能的增量，即小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差，D项正确．
．
运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程．将人和伞看成一个系统，在这两个过程中，下列说法不正确的是( )
A．阻力对系统始终做负功
B．系统受到的合力始终向下
C．重力做功使系统的重力势能增加
D．任意相等的时间内重力做的功相等
解析：选BCD．无论在什么情况下，阻力一定做负功，A对．加速下降时合力向下，减速下降时合力向上，B错．系统下降，重力做正功，所以它的重力势能减少，C错．由于系统做变速运动，系统在相等时间内下落的高度不同，所以重力做功不同，D错．
三、非选择题
．在离地面80 m处无初速度释放一小球，小球质量为m＝200 g，不计空气阻力，g取10 m/s2，取最高点所在水平面为参考平面，求：
(1)在第2 s末小球的重力势能；
(2)在第3 s内重力所做的功和重力势能的变化．
解析：(1)在第2 s末小球所处的高度
h＝－gt2＝－×10×22 m＝－20 m，
重力势能Ep＝mgh＝0．2×10×(－20) J＝－40 J，
Ep<0说明小球在参考平面的下方．
(2)在第3 s末小球所处的高度
h′＝－gt′2＝－×10×32 m＝－45 m．
第3 s内重力做功
W＝mg(h－h′)＝0．2×10×(－20＋45) J＝50 J，
即小球的重力势能减少50 J．
答案：(1)－40 J (2)50 J 减少50 J
．
在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为2．0 kg的木块相连，若在木块上再作用一个竖直向下的力F，使木块缓慢向下移动0．10 m，力F做功2．5 J．此时木块再次处于平衡状态，力F的大小为50 N，如图所示．求：
(1)在木块下移0．10 m的过程中弹簧弹性势能的增加量．
(2)弹簧的劲度系数(g取10 m/s2)．
解析：(1)弹性势能的增加量等于弹力做负功的值，所以设法求出弹簧弹力所做的功是解决问题的关键．
木块下移0．10 m过程中，力F和重力做的功全部用于增加弹簧的弹性势能，故弹性势能的增加量为ΔEp＝WF＋mgh＝(2．5＋2．0×10×0．1) J＝4．5 J．
(2)分析木块受力情况由平衡条件知，未加力F时，F1＝mg，F1＝kL1，木块再次处于平衡时F2＝mg＋F，F2＝kL2，联立四式得F＝k·ΔL．
所以劲度系数k＝＝ N/m＝500 N/m．
答案：(1)4．5 J (2)500 N/m
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第四章 机械能和能源
第四章 机械能和能源
预习导学新知探究
梳理知识·夯实基础
多维课堂,师生动
突破疑难·讲练提升
