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第四章 机械能和能源
第四章 机械能和能源
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第2节 功率
1．理解功率的概念，并灵活应用功率的计算公式P＝计算平均功率．(重点) 2．正确理解公式P＝Fvcos α的意义，并能进行计算和解释有关现象． 3．正确区分平均功率和瞬时功率所表示的物理意义，并能够利用相关公式计算平均功率和瞬时功率．(重点＋难点)
一、功率的含义
1．定义：力对物体所做的功W与做功所用时间t的比值．
2．定义式：P＝．
3．单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用W表示．
4．物理意义：功率是标量，它是表示物体做功快慢的物理量．
．额定功率和实际功率
(1)额定功率是指机器长时间正常工作允许的功率．
(2)实际运行的功率可以小于或等于额定功率，但在特殊情况下，如汽车越过障碍时，可以使实际功率在短时间内大于额定功率．
二、功率、力和速度之间的关系
．功率与速度的关系：P＝Fv．
2．在P＝Fv中，若v是物体的平均速度，则P表示时间t内的平均功率；若v是瞬时速度，则P表示该时刻的瞬时功率．
．汽车上坡时，司机换用低速挡，加大油门，可以得到较大的动力．
功率越大，做功一定越多吗？
提示：功率表示做功的快慢，功率大表示做功快，不一定做功多．因为做功的多少，还与时间长短有关．
对平均功率、瞬时功率及P＝Fv的理解
1．平均功率与瞬时功率的比较
比较项目 定义 公式
平均功率 在一段时间内或某一过程中做功的快慢 P＝或P＝Fv
瞬时功率 物体在某一时刻或某一位置时做功的快慢 P＝Fv，v为某时刻的速度
2．对P＝Fv的理解
(1)公式P＝Fv中的力F与速度v应共线，若不共线，F与v的夹角为θ，则P＝Fvcos θ．
(2)用此式计算功率时要明确是哪个力的功率，还是物体所受合力的功率，汽车的功率是指汽车牵引力的功率，起重机吊起货物的功率就是钢丝拉力的功率．
3．P＝Fv中三个量的制约关系
定值 各量间的关系 应用
P一定 F与v成反比 汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度
v一定 F与P成正比 汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定 v与P成正比 汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
(1)若求平均功率，还需明确是哪段时间内的平均功率，可由公式P＝Fv或P＝来计算．
(2)若求瞬时功率，需明确是哪一时刻或哪一位置的瞬时功率，再确定该时刻或该位置的速度，应用公式P＝Fv来计算．如果F、v不同向，则投影到相同方向再计算．
命题视角1 对功率的理解
(多选)关于力对物体做功的功率，下面几种说法中正确的是( )
A．力对物体做功越多，这个力的功率就越大
B．力对物体做功的时间越短，这个力的功率就越大
C．力对物体做功少，其功率也可能很大；力对物体做功多，其功率也可能较小
D．功率是表示做功快慢的物理量，而不是表示做功多少的物理量
[解析] 功率P＝，表示单位时间内所做的功．当t一定时，W越大，P越大；当W一定时，t越小，P越大，单纯只强调两个因素中的一个，而不说明另一个因素情况的说法是错误的，故A、B错误；如果W小，但当t很小时，P也可能很大；如果W较大，但t很大时，P也可能较小，所以C正确；由P＝可知P是表示做功快慢的物理量，P越大反映的是单位时间内做功越多，也就是做功越快，D正确．
[答案] CD
命题视角2 对平均功率与瞬时功率的求解
(多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用．力F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则( )
A．3t0时刻的瞬时功率为5Ft0
B．3t0时刻的瞬时功率为eq \f(15Ft0,m)
C．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为eq \f(23Ft0,4m)
D．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为eq \f(25Ft0,6m)
[思路点拨] 解答本题时应注意以下两点：
(1)3t0时刻的功率是瞬时功率，可直接用公式P＝Fv计算；
(2)0～3t0时间段内的功率是平均功率，而此过程中又是变力做功，故只能用功率的定义式P＝计算．
[解析] 0～2t0时间内，物体的加速度a1＝，位移x1＝a1(2t0)2＝eq \f(2F0t,m)，2t0时刻的速度v1＝a1·2t0＝；2t0～3t0时间内，物体的加速度a2＝，位移x2＝v1t0＋a2t＝eq \f(7F0t,2m)，3t0时刻的速度v2＝v1＋a2t0＝．所以3t0时刻的瞬时功率P＝3F0v2＝eq \f(15Ft0,m)，选项A错误，B正确；0～3t0时间内的平均功率＝＝＝eq \f(25Ft0,6m)，选项C错误，D正确．
[答案] BD
eq \a\vs4\al()
求解平均功率与瞬时功率时要注意的问题
(1)弄清所求的功率是瞬时功率还是平均功率；
(2)明确所求的是哪个力的功率，是某个力的功率还是合力的功率；
(3)求平均功率时，需明确所求的是哪段时间的平均功率，然后用公式P＝计算．若恒力做功时平均功率还可用＝Fcos α来计算，若求瞬时功率，则只能用P＝Fvcos α求解．
【通关练习】
1．质量为m的物体从静止开始下落，不计空气阻力，关于物体在下落时间t内重力对物体做功的平均功率P，t时刻重力的瞬时功率P，有( )
A．＝mg2t，P＝mg2t B．＝mg2t，P＝mg2t
C．＝mg2t，P＝mg2t D．＝mg2t，P＝mg2t
解析：选A．物体自由下落，经时间t，物体的位移为h＝gt2，重力做功的平均功率为＝＝＝mg2t，t时刻物体的速度为v＝gt，在t时刻重力对物体做功的瞬时功率为P＝mgv＝mg2t，故A正确．
2．
如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0．5，已知：sin 37°＝0．6，cos 37°＝0．8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率．
解析：(1)木块所受的合外力
F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝mg(sin θ－μcos θ)
＝2×10×(0．6－0．5×0．8) N＝4 N．
木块的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2．
前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m．
所以，重力在前2 s内做的功为
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0．6 J＝48 J．
(2)重力在前2 s内的平均功率为＝＝ W＝24 W．
(3)木块在2 s末的速度
v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s．
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgvsin θ＝2×10×4×0．6 W＝48 W．
答案：(1)48 J (2)24 W (3)48 W
机车启动问题
1．恒定功率启动过程(P不变)
所以机车达到最大速度时a＝0，F＝f，P＝Fvm＝fvm，故vm＝．这一启动过程的运动性质为加速度减小的加速直线运动，v－t关系如图所示．
2．匀加速启动过程(a不变)
汽车先以恒定的加速度启动，达到额定功率P额后再以恒定功率运动，因此启动过程分为两个阶段：
这一启动过程的v－t图像如图所示．
(1)在P＝Fv中因为P为机车牵引力的功率，所以对应的F是牵引力，并非合力．
(2)只有最终匀速运动时有F＝f，vm＝＝．
命题视角1 机车以恒定功率启动过程的分析
质量为m＝5×103 kg的汽车在水平公路上行驶，阻力是车重的0．1倍．让车保持额定功率为60 kW，从静止开始行驶，求：(g取10 m/s2)
(1)汽车达到的最大速度vm；
(2)汽车车速v1＝2 m/s时的加速度大小．
[思路点拨] 汽车的功率即为牵引力的功率，则P＝Fv，当F＝f时，速度为vm；当汽车以额定功率启动时P＝P0不变，可由F＝求解不同速度对应的牵引力．
[解析] (1)由P＝Fv＝fvm得
vm＝＝＝ m/s＝12 m/s．
(2)由P＝Fv得F＝，当v1＝2 m/s时，
F1＝＝ N＝3×104 N
由牛顿第二定律得F1－f＝ma，所以
a＝
＝ m/s2＝5 m/s2．
[答案] (1)12 m/s (2)5 m/s2
命题视角2 机车以恒定加速度启动过程的分析
在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力恒定，且为车重的，求：(g取10 m/s2)
(1)汽车在运动过程中所能达到的最大速度为多大？
(2)若汽车以0．5 m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
(3)若汽车以额定功率从静止启动后，当汽车的加速度为2 m/s2时，速度多大？
[思路点拨] 汽车以恒定功率启动，速度增大，牵引力减小，做加速度逐渐减小的加速运动，直到牵引力等于阻力为止；汽车以恒定加速度启动，牵引力和阻力恒定，随着速度增加，它的实际功率逐渐增大，直到Fv等于额定功率为止．
[解析] (1)当汽车速度最大时，a1＝0，F1＝f，P＝P额
故vmax＝＝ m/s＝10 m/s．
(2)汽车从静止开始做匀加速直线运动的过程中，a2不变，v变大，P也变大，当P＝P额时，此过程结束．
F2＝f＋ma2
＝N＝1．5×104 N
v2＝＝ m/s≈6．7 m/s
则t＝＝ s＝13．4 s．
(3)F3＝f＋ma3＝N＝3×104 N
v3＝＝ m/s≈3．3 m/s．
[答案] (1)10 m/s (2)13．4 s (3)3．3 m/s
eq \a\vs4\al()
机车启动问题的求解方法
(1)机车的最大速度vmax的求法
机车做匀速运动时速度最大，此时牵引力F等于阻力f，故vmax＝＝．
(2)匀加速启动时，做匀加速运动的时间t的求法
牵引力F＝ma＋f，匀加速运动的最大速度v′max＝，时间t＝．
(3)瞬时加速度a的求法
根据F＝求出牵引力，则加速度a＝．
【通关练习】
1．
一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小f恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是( )
A B
C D
解析：选A．由P－t图像知：0～t1内汽车以恒定功率P1行驶，t1～t2内汽车以恒定功率P2行驶．设汽车所受牵引力为F，则由P＝Fv得，当v增加时，F减小，由a＝知a减小，又因速度不可能突变，所以选项B、C、D错误，选项A正确．
2．一辆重5 t的汽车，发动机的额定功率为80 kW．汽车从静止开始以加速度a＝1 m/s2做匀加速直线运动，车受的阻力为车重的0．06倍．(g取10 m/s2)求：
(1)汽车做匀加速直线运动的最长时间；
(2)汽车开始运动后，5 s末和15 s末的瞬时功率．
解析：(1)设汽车匀加速运动所能达到的最大速度为v0，对汽车由牛顿第二定律得F－f＝ma
即－kmg＝ma，代入数据得v0＝10 m/s
所以汽车做匀加速直线运动的时间
t0＝＝ s＝10 s．
(2)由于10 s末汽车达到了额定功率，5 s末汽车还处于匀加速运动阶段，P＝Fv＝(f＋ma)at＝(0．06×5×103×10＋5×103×1)×1×5 W＝40 kW．
15 s末汽车已经达到了额定功率P额＝80 kW．
答案：(1)10 s (2)40 kW 80 kW
[随堂检测]
．从空中以40 m/s的初速度平抛一重为10 N的物体，物体在空中运动3 s落地，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则物体落地前瞬间，重力的瞬时功率为( )
A．300 W B．400 W
C．500 W D．700 W
解析：选A．物体落地瞬间vy＝gt＝30 m/s，所以PG＝Gvy＝300 W，故A正确．
2．一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t＝0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t＝T时刻F的功率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C．由牛顿第二定律得F＝ma，a＝，T时刻的速度v＝at＝，由功率的定义式得P＝Fv＝．
．(多选)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v－t图像如图所示，已知汽车的质量为m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0．1倍，g取10 m/s2，则( )
A．汽车在前5 s内的牵引力为4×103 N
B．汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N
C．汽车的额定功率为60 kW
D．汽车的最大速度为30 m/s
解析：选BCD．由v－t图像知，前5 s的加速度a＝＝2 m/s2，由牛顿第二定律知，前5 s内的拉力F－kmg＝ma，得F＝(0．1×2×103×10＋2×103×2) N＝6×103 N，故B对、A错；又5 s末达到额定功率P＝F·v5＝6×103×10 W＝6×104 W＝60 kW，故C对；最大速度vmax＝＝ m/s＝30 m/s，故D对．
．(多选)位于水平面上的物体在水平恒力F1作用下，做速度为v1的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F2，物体做速度为v2的匀速运动，且F1与F2功率相同．则可能有( )
A．F2＝F1 v1>v2 B．F2＝F1 v1C．F2>F1 v1>v2 D．F2解析：选BD．设F2与水平方向成θ角，由题意可知：物体都做匀速运动，受力平衡，则F1＝μmg，F2cos θ＝μ(mg－F2sin θ)，解得F2(cos θ＋μsin θ)＝μmg＝F1 ①
根据F1与F2功率相同得F1v1＝F2v2cos θ ②
由①②可得＝＝1＋μtan θ>1，所以v1．一个质量为2 kg的木块，沿倾角为37°的光滑斜面由静止开始下滑．(g取10 m/s2，sin 37°＝0．6)求：
(1)木块下滑4 s时重力的瞬时功率；
(2)在这4 s内重力的平均功率．
解析：(1)木块沿斜面匀加速下滑，由牛顿第二定律得
mgsin 37°＝ma ①
4 s末木块的速度为v＝at ②
由①②式解得a＝6 m/s2，v＝24 m/s
木块下滑4 s时重力的瞬时功率为
P＝mgvsin 37°＝2×10×24×0．6 W＝288 W．
(2)木块在4 s内的位移为
x＝at2＝×6×42 m＝48 m
在这4 s内重力的平均功率为
＝＝＝ W＝144 W．
答案：(1)288 W (2)144 W
[课时作业][学生用书P113(单独成册)]
一、单项选择题
．拖拉机耕地时一般比在道路上行驶时速度慢，这样做的主要目的是( )
A．节省燃料 B．提高柴油机的功率
C．提高传动机械的效率 D．增大拖拉机的牵引力
解析：选D．拖拉机耕地时受到的阻力比在路面上行驶时大得多，根据P＝Fv，在功率一定的情况下，减小速度，可以获得更大的牵引力，选项D正确．
2．某车以相同的功率在两种不同的水平路面上行驶，受到的阻力分别为车重的k1和k2倍，最大速率分别为v1和v2，则( )
A．v2＝k1v1 B．v2＝v1
C．v2＝v1 D．v2＝k2v1
解析：选B．车达到最大速度时，牵引力大小等于阻力大小，此时车的功率等于克服阻力做功的功率．故P＝k1mgv1＝k2mgv2，解得v2＝v1，选项B正确．
．钢球在足够深的油槽中由静止开始下落，若油对钢球的阻力正比于其速率，则钢球在下落的过程中阻力对钢球做功的功率大小随时间的变化关系最接近于图中的( )
解析：选A．设油对钢球的阻力为f＝kvt，阻力对钢球做功的功率P＝f·vt＝kv，所以开始的一段时间内随着速度的增大，钢球所受的阻力也增大，阻力做功的功率也增大，当所受阻力f＝mg时，钢球将向下做匀速运动，阻力做功的功率不再发生变化，故A正确，B、C、D均错．
．一根质量为M的直木棒，悬挂在O点，有一只质量为m的猴子抓着木棒，如图所示．剪断悬挂木棒的细绳，木棒开始下落，同时猴子开始沿木棒向上爬．设在一段时间内木棒沿竖直方向下落，猴子对地的高度保持不变，忽略空气阻力，则下列的四个图中能正确反映在这段时间内猴子做功的功率随时间变化的关系的是( )
解析：选B．猴子对地的高度不变，所以猴子受力平衡．设木棒对猴子的作用力为F，则有F＝mg．设木棒的重力为Mg，则木棒受合外力为F＋Mg＝mg＋Mg，根据牛顿第二定律，Mg＋mg＝Ma，可见a是恒量，t时刻木棒速度v＝at．猴子做功的功率P＝mgv＝mgat，P与t为正比例关系，故B正确．
．如图所示，分别用力F1、F2、F3将质量为m的物体由静止沿同一光滑斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端，此时三个力的功率分别为P1、P2、P3，则( )
A．P1＝P2＝P3 B．P1＞P2＝P3
C．P3＞P2＞P1 D．P1＞P2＞P3
解析：选A．因三种情况加速度相同，则F1＝F2cos α＝F3cos β (β为F3与斜面的夹角)，再由v＝可知，它们到达斜面顶端时的速度相同，而P1＝F1v，P2＝F2cos α·v，P3＝F3cos β·v，因此P1＝P2＝P3，故A对．
．
起重机的钢索将重物由地面吊到空中某一高度，其v－t图像如图所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图像可能是图中的哪一个( )
解析：选B．在0～t1时间内，重物加速上升，设加速度为a1，则据牛顿第二定律可得钢索的拉力F1＝mg＋ma1，速度vt＝a1t，所以拉力的功率为：P1＝m(a1＋g)a1t；在t1～t2时间内，重物匀速上升，拉力F2＝mg，速度为v1＝a1t1，所以拉力的功率为：P2＝mga1t1；在t2～t3时间内，重物减速上升，设加速度大小为a2，则据牛顿第二定律可得钢索的拉力F2＝mg－ma2，速度v2＝a1t1－a2t，所以拉力的功率为：P1＝m(g－a2)(a1t1－a2t)．综上所述，只有B选项正确．
二、多项选择题
．我们知道，动车组就是几节自带动力的车辆(动车)加几节不带动力的车辆(也叫拖车)编成一组，就是动车组．假设有一动车组由8节车厢连接而成，每节车厢的总质量约为7．5×104 kg．其中第一节、第二节带动力，他们的额定功率均为3．6×107 W，车在行驶过程中阻力恒为重力的0．1倍(g取10 m/s2)，则下列说法正确的是( )
A．该动车组只开动第一节的动力的情况下能达到的最大速度为60 m/s
B．该动车组开动两节动力的情况下能达到的最大速度为432 km/h
C．该动车组去掉两节拖车后最大速度可达到480 km/h
D．该动车组只开动第一节的动力的情况下如果能在1分钟内达到的最大速度为60 m/s，则其平均加速度为1 m/s2
解析：选ABD．只开动第一节动力的前提下，当第一节以额定功率运行且列车的牵引力等于阻力时达到最大速度：P1max＝fvmax．因为阻力f＝0．1×8mg＝6．0×105 N，P1max＝3．6×107 W，所以vmax＝＝60 m/s，A正确；列车以最大功率启动，当牵引力等于阻力时达到最大速度vmax＝＝120 m/s＝432 km/h，B正确；vmax＝＝160 m/s＝576 km/h，C错误，D正确．
．如图所示为汽车在水平路面上启动过程中的速度图像，Oa为过原点的倾斜直线，ab段表示以额定功率行驶时的加速阶段，bc段是与ab段相切的水平直线，则下述说法不正确的是( )
A．0～t1时间内汽车做匀加速运动且功率恒定
B．t1～t2时间内汽车牵引力做功为mv－mv
C．t1～t2时间内的平均速度为(v1＋v2)
D．在全过程中，t1时刻的牵引力及其功率都是最大值，t2～t3时间内牵引力最小
解析：选ABC．汽车在0～t1时间内，牵引力恒定，速度均匀增加，由P＝Fv知其功率也增加，A错误；t1～t2时间内，根据动能定理知WF－Wf＝mv－mv，B错误；由t1～t2时间内不是匀变速直线运动，故≠(v1＋v2)，C错误；全过程中，t1时刻牵引力最大，功率达到额定功率，也最大，之后，功率不变，牵引力减小，直至F＝f，此后汽车匀速运动，D正确．
9．“歼15”舰载机在“辽宁号”航空母舰上着舰成功．图(a)为利用阻拦系统让舰载机在飞行甲板上快速停止的原理示意图．飞机着舰并成功钩住阻拦索后，飞机的动力系统立即关闭，阻拦系统通过阻拦索对飞机施加一作用力，使飞机在甲板上短距离滑行后停止．某次降落，以飞机着舰为计时零点，飞机在t＝0．4 s时恰好钩住阻拦索中间位置，其着舰到停止的速度—时间图线如图(b)所示．假如无阻拦索，飞机从着舰到停止需要的滑行距离约为 1 000 m．已知航母始终静止，重力加速度的大小为g．则( )
A．从着舰到停止，飞机在甲板上滑行的距离约为无阻拦索时的
B．在0．4～2．5 s时间内，阻拦索的张力几乎不随时间变化
C．在滑行过程中，飞行员所承受的加速度大小会超过2．5g
D．在0．4～2．5 s时间内，阻拦系统对飞机做功的功率几乎不变
解析：选AC．由v－t图像面积可知，飞机从着舰到停止发生的位移约为x＝×3×70 m＝105 m，即约为无阻拦索时的，选项A正确；由v－t图像斜率知，飞机与阻拦索作用过程中(0．4～2．5 s时)，其F合恒定，在此过程中阻拦索两段间的夹角变小，而合力恒定，则阻拦索张力必减小，选项B错误；在0．4～2．5 s时间内，加速度a＝ m/s2≈27．1 m/s2>2．5g，选项C正确；在0．4～2．5 s时间内，阻拦系统对飞机的作用力F合不变，但v减小，所以功率减小，选项D错误．
三、非选择题
．质量为3 kg的物体，从高30 m处自由落下，(g取10 m/s2)问：
(1)第2 s内重力做功的功率是多少？
(2)第2 s末重力做功的功率是多少？
解析：(1)第2 s内是指一段时间，应对应P＝， 是平均功率．
第2 s内的位移
x＝g(t－t)＝×10×(22－12) m＝15 m．
重力做的功
W＝mgx＝3×10×15 J＝450 J．
重力在第2 s内的功率
P＝＝ W＝450 W．
(2)第2 s末指时刻，应采用P＝Fv计算，是瞬时功率．
第2 s末物体的速度
v＝gt2＝10×2 m/s＝20 m/s
第2 s末重力做功的瞬时功率
P＝mgv＝3×10×20 W＝600 W．
答案：(1)450 W (2)600 W
．一辆总质量为15 t的卡车，其额定功率是180 kW，假定它在平直的公路上运动时受到的阻力是卡车总重的0．03 倍，试求：
(1)卡车以1．5 m/s2的加速度由静止开始匀加速运动所经历的时间．
(2)分析卡车的运动情况，并求出卡车运动的最大速度．
解析：(1)卡车以恒定的加速度a＝1．5 m/s2加速时，由牛顿第二定律得：F－f＝ma，所以F＝f＋ma＝0．03×15 000×10 N＋15 000×1．5 N＝27 000 N
在此阶段卡车的牵引力保持不变，但卡车的速度不断增加，卡车的实际功率不断增大，当功率增大到额定功率时，P额＝Fv
所以v＝＝ m/s
所以t＝＝ s≈4．4 s．
(2)当达到额定功率后，随着车速的增大，牵引力变小，加速度变小，当加速度减小到0时，卡车速度达到最大，之后做匀速运动，此时F＝f
故vmax＝＝ m/s＝40 m/s．
答案：(1)4．4 s (2)见解析 40 m/s
．如图为修建高层建筑常用的塔式起重机．在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0．2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1．02 m/s的匀速运动．取g＝10 m/s2，不计额外功．求：
(1)起重机允许输出的最大功率．
(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率．
解析：(1)设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0等于重力．
P0＝F0vm ①
F0＝mg ②
代入数据，有：P0＝5．1×104 W． ③
(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，有：P0＝Fv1 ④
F－mg＝ma ⑤
v1＝at1 ⑥
由③④⑤⑥代入数据得：t1＝5 s ⑦
t＝2 s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P，则v2＝at ⑧
P＝Fv2 ⑨
由⑤⑧⑨代入数据得：P＝2．04×104 W．
答案：(1)5．1×104 W (2)5 s 2．04×104 W
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