2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题09矩阵
2020年江苏高考核心考点
1.矩阵是江苏高考必考题，考试大纲要求掌握矩阵的三种基本运算及其性质。
2.掌握行列式定义与性质，会计算行列式。
专项突破
一、解答题：本大题共16小题，共计160分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））
已知矩阵，且二阶矩阵M满足AMB，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.
【解析】设矩阵M＝，则AM＝，
所以，解得，所以M＝，
则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1，
设特征值的特征向量为，则，
即，解得x＝0，所以属于特征值的的一个特征向量为．
（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）
已知矩阵，．
（1）求矩阵N；
（2）求矩阵N的特征值．
【解析】（1）设矩阵，则
所以，所以.
,所以N的多项式
令，所以N的两个特征值为.
（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）
已知矩阵A＝的逆矩阵．若曲线C1：在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线C2，求曲线C2的方程．
【解析】因为，所以，即．
所以解得所以．
设为曲线C1任一点，则，
又设在矩阵A变换作用得到点，
则，即，所以即
代入，得，
所以曲线C2的方程为．
4.（江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷）
已知矩阵A，列向量，，且A．
（1）求矩阵A的逆矩阵A﹣1；
（2）求x，y的值．
【解析】（1）由，detA.＝2×2﹣3×1＝1≠0，所以A可逆，
设A﹣1，则?，
则2a+c＝1，2b+d＝0，3a+2c＝0，3b+2d＝1，
解得a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3，d＝2，∴．
（2）由AX＝B得到X＝A﹣1B，
∴．（也可由AX＝B得到，即，解得）．
5.（江苏省南通市2020届四校联盟高三数学模拟测试卷）
已知矩阵A，其中a，b∈R，点P（2，2）在矩阵A的变换下得到的点Q（2，4）．
（1）求实数a，b的值；
（2）求矩阵A的逆矩阵．
【解析】（1）因为，
所以所以；
（2）0，
所以．
6.（南通市通州区2020届高三年级第二学期复学后联考数学试卷）
设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0．求实数a，b的值．
【解析】在直线l：ax＋y－7＝0取点A(0，7)，B(1，7－a)．
因为 ＝， ＝，
所以A，B在矩阵A对应的变换作用下分别得到点A′(0，7b)，B′(3，b(7－a)－1)．
由题意，知A′，B′在直线l′：9x＋y－91＝0上，
所以解得a＝2，b＝13．
（无锡市第一中学2018—2019学年度第二学期期初质量检测）
已知矩阵A＝ ，满足A＝，求矩阵A的特征值．
【解析】∵ ∴
矩阵的特征多项式为 ，
令，解得矩阵的特征值为1或4．
8.（江苏省如皋市2019—2020学年高三年级第二学期语数英学科模拟（二））
已知矩阵A＝，B＝，求矩阵C，使得AC＝B．
【解析】因为，所以
由AC＝B得,所以.
9.（2020年南通高考模拟（3月份）高考数学模拟试卷）
已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝．求矩阵A的特征值和相应的特征向量．
【解析】由，得，
由特征多项式＝（λ﹣1）2﹣4＝0，得λ1＝3，λ2＝﹣1，
所以特征值λ1＝3对应的特征向量，特征值λ2＝﹣1对应的特征向量．
10.（2019～2020学年度高三年级第二学期期初调研测试）
已知，向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，求．
【解析】， 得：， 所以
若，且, 则
所以
11.在平面直角坐标系中，设点P(x，3)在矩阵M对应的变换下得到点Q(y4，y +2)，
求．
【解析】依题意，，即解得
所以，．
12.已知a，b，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P(﹣2，1)在A对应的变换作用下得到点P′(﹣1，2)，求矩阵A．
【解析】即
，解得，解得.
13.已知矩阵 的一个特征值为4，求矩阵的逆矩阵.
【解析】矩阵的特征多项式为．
因为矩阵的一个特征值为4，所以，所以．
所以，所以．
14.已知矩阵
（1）求；
（2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程．
【解析】（1）因为A=，B=，
所以AB==．
（2）设为曲线上的任意一点，
它在矩阵AB对应的变换作用下变为，
则，即，所以．
因为点在曲线上，所以，
从而，即．
因此曲线在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线．
15.已知矩阵．
（1）求的逆矩阵；
（2）若点P在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．
【解析】（1）因为，，
所以A可逆，
从而．
（2）设P(x，y)，则，
所以，
因此，点P的坐标为(3，–1)．
16.已知矩阵.
（1）求A2；
（2）求矩阵A的特征值.
【解析】（1）因为，
所以
==．
（2）矩阵A的特征多项式为
.
令，解得A的特征值.
2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题09矩阵
2020年江苏高考核心考点
1.矩阵是江苏高考必考题，考试大纲要求掌握矩阵的三种基本运算及其性质。
2.掌握行列式定义与性质，会计算行列式。
专项突破
一、解答题：本大题共16小题，共计160分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））
已知矩阵，且二阶矩阵M满足AMB，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.
（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）
已知矩阵，．
（1）求矩阵N；
（2）求矩阵N的特征值．
（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）
已知矩阵A＝的逆矩阵．若曲线C1：在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线C2，求曲线C2的方程．
4.（江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷）
已知矩阵A，列向量，，且A．
（1）求矩阵A的逆矩阵A﹣1；
（2）求x，y的值．
5.（江苏省南通市2020届四校联盟高三数学模拟测试卷）
已知矩阵A，其中a，b∈R，点P（2，2）在矩阵A的变换下得到的点Q（2，4）．
（1）求实数a，b的值；
（2）求矩阵A的逆矩阵．
6.（南通市通州区2020届高三年级第二学期复学后联考数学试卷）
设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0．求实数a，b的值．
（无锡市第一中学2018—2019学年度第二学期期初质量检测）
已知矩阵A＝ ，满足A＝，求矩阵A的特征值．
8.（江苏省如皋市2019—2020学年高三年级第二学期语数英学科模拟（二））
已知矩阵A＝，B＝，求矩阵C，使得AC＝B．
9.（2020年南通高考模拟（3月份）高考数学模拟试卷）
已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝．求矩阵A的特征值和相应的特征向量．
10.（2019～2020学年度高三年级第二学期期初调研测试）
已知，向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，求．
11.在平面直角坐标系中，设点P(x，3)在矩阵M对应的变换下得到点Q(y4，y +2)，
求．
12.已知a，b，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P(﹣2，1)在A对应的变换作用下得到点P′(﹣1，2)，求矩阵A．
13.已知矩阵 的一个特征值为4，求矩阵的逆矩阵.
14.已知矩阵
（1）求；
（2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程．
15.已知矩阵．
（1）求的逆矩阵；
（2）若点P在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．
16.已知矩阵.
（1）求A2；
（2）求矩阵A的特征值.
