第3节 万有引力定律的应用
1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用． 2．会用万有引力定律计算天体质量．（重点＋难点）
3．理解研究天体运动的基本思路及主要类型．（难点）
一、预言彗星回归
1．哈雷根据万有引力理论对1682年出现的哈雷彗星的轨道运动进行了计算，指出了不同年份出现的情况，并预言了再次出现的时间．
2．1743年，克雷洛计算了遥远的木星和土星对哈雷彗星运动规律的影响，指出了哈雷彗星运动经过近日点的时间．
3．总之，由万有引力理论可以预知哈雷彗星每次临近地球的时间，并且经过验证都是正确的．
二、预言未知星体
1．已发现天体的轨道推算
18世纪，人们观测到太阳系第七个行星——天王星的轨道和用万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差．
2．未知天体的发现
根据已发现的天体的运动轨道结合万有引力定律推算出还没发现的未知天体的轨道，如海王星、冥王星就是这样发现的．
三、计算天体质量
1．地球质量的计算
利用地球表面的物体：若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝，则M＝，只要知道g、R的值，就可计算出地球的质量．
2．太阳质量的计算
利用某一质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动：行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝，由此可得太阳质量mS＝，由此式可知只要测出行星绕太阳运动的轨道半径和周期就可以计算出太阳的质量．
根据月球绕地球做圆周运动的规律应用万有引力定律求出的天体质量是地球的质量还是月球的质量？月球的质量如何求？
提示：求出的是地球的质量，利用G＝mr求出的质量M＝为中心天体的质量．做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉．要想求月球的质量，要根据绕月球做圆周运动的卫星的运动规律．
天体质量和密度的估算
1．求天体质量的思路
绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，其向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量．
2．计算天体的质量
下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：
(1)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得
mg＝G，解得地球质量为M地＝．
(2)质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动
3．计算天体的密度
(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度．
由mg＝G和ρ＝得
ρ＝，g为天体表面的重力加速度，R为天体半径．
(2)若天体的半径为R，求天体的密度．
G＝mr ①
ρ＝ ②
由①式得M＝，将M＝代入②式得：ρ＝
当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝．
计算天体质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体，明确计算出的是中心天体的质量．
假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？
[解析] 设卫星的质量为m，天体的质量为M．卫星贴近天体表面运动时有G＝meq \f(4π2,T)R，解得M＝eq \f(4π2R3,GT)
根据数学知识可知星球的体积V＝πR3
故该星球密度ρ＝＝eq \f(4π2R3,GT·\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT)
卫星距天体表面距离为h时有
G＝meq \f(4π2,T)（R＋h），解得M＝eq \f(4π2（R＋h）3,GT)
所以ρ＝＝eq \f(4π2（R＋h）3,GT·\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π（R＋h）3,GTR3)．
[答案] eq \f(3π,GT) eq \f(3π（R＋h）3,GTR3)
eq \a\vs4\al()
利用公式M＝计算出天体的质量，再利用ρ＝计算天体的密度，注意r指天体运动的轨道半径，而R指中心天体的半径，只有贴近中心天体运行时才有r＝R．
1．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的密度为( )
A． B．
C． D．
解析：选B．物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋mR＝G，ρ＝，以上三式联立解得地球的密度ρ＝．故选项B正确，选项A、C、D错误．
天体运动问题的分析
1．解决天体运动问题的基本思路
一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G＝ma，式中a是向心加速度．
2．常用的关系式
(1)G＝m＝mω2r＝mr，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力．
(2)mg＝G即gR2＝GM，物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力．该公式通常被称为黄金代换式．
3．四个重要结论
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动．
(1)由G＝m得v＝．r越大，天体的v越小．
(2)由G＝mω2r得ω＝．r越大，天体的ω越小．
(3)由G＝mr得T＝2π，r越大，天体的T越大．
(4)由G＝man得an＝，r越大，天体的an越小．
以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”．
4．双星模型
如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫做“双星”．
5．双星模型的特点
(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．
(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．
(3)两星的运动周期、角速度都相同．
(4)两星的运动轨道半径之和等于它们之间的距离，即r1＋r2＝L．
(1)应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件，如地球公转一周时间是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9．8 m/s2等．
(2)由mg＝G可以得到：GM＝gR2．由于G和M（地球质量）这两个参数往往不易记住，而g和R容易记住．所以粗略计算时，一般都采用上述代换，这就避开了引力常量G值和地球的质量M值，非常方便．
命题视角1 运行天体的物理量的规律
小行星绕恒星运动，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动，则经过足够长的时间后，小行星运动的( )
A．半径变大 B．速率变大
C．角速度变大 D．加速度变大
[解析] 因恒星质量M减小，所以万有引力减小，不足以提供行星所需向心力，行星将做离心运动，半径r变大，A项正确．再由v＝，ω＝，a＝可知，速率、角速度、加速度均变小，故B、C、D均错误．
[答案] A
命题视角2 宇宙中的双星系统
质量分别为m1和m2的两个星球，绕同一圆心做匀速圆周运动，它们之间的距离恒为l，不考虑其他星体的影响，两星球的轨道半径和周期各是多少？
[思路点拨] 本题的关键是弄清双星问题中两星做匀速圆周运动的向心力由彼此间的引力提供，即F向大小相等，且ω相同，再由牛顿第二定律分别对两星列方程求解．
[解析] 如图所示，双星绕同一圆心O做匀速圆周运动，所需要的向心力由双星间彼此相互吸引的万有引力提供．故F向＝F引＝G．
设m1的轨道半径为R1，m2的轨道半径为R2，R1＋R2＝l，由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：
对m1：G＝m1R1ω2 ①
对m2：G＝m2R2ω2 ②
由①②式可得：m1R1＝m2R2
又R1＋R2＝l
所以R1＝，R2＝
将ω＝，R1＝代入①式可得
G＝m1··
所以T＝ ＝2πl ．
[答案] 见解析
2．（多选）为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心、半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1．随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2，则( )
A．X星球的质量为M＝eq \f(4π2r,GT)
B．X星球表面的重力加速度为gX＝eq \f(4π2r1,T)
C．登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为＝
D．登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1eq \r(\f(r,r))
解析：选AD．选飞船为研究对象，则eq \f(GMm1,r)＝m1eq \f(4π2r1,T)，解得X星球的质量为M＝eq \f(4π2r,GT)，选项A正确；飞船的向心加速度为a＝eq \f(4π2r1,T)，不等于X星球表面的加速度，选项B错误；登陆舱在r1的轨道上运动时满足：eq \f(GMm2,r)＝m2eq \f(4π2r1,T)，eq \f(GMm2,r)＝m2eq \f(v,r1)，登陆舱在r2的轨道上运动时满足：eq \f(GMm2,r)＝m2eq \f(4π2r2,T)，eq \f(GMm2,r)＝m2eq \f(v,r2)．由上述公式联立可解得：＝，＝eq \r(\f(r,r))，所以选项C错误，选项D正确．
[随堂检测]
1． “嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6．67×10－11 N·m2/kg2，月球半径为1．74×103 km．利用以上数据估算月球的质量约为( )
A．8．1×1010 kg B．7．4×1013 kg
C．5．4×1019 kg D．7．4×1022 kg
解析：选D．天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力，“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：＝，得M＝，其中r＝R＋h，代入数据解得M＝7．4×1022 kg，选项D正确．
2．宇宙中两个星球可以组成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线的某点做周期相同的匀速圆周运动．根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法错误的是( )
A．双星相互间的万有引力减小
B．双星做圆周运动的角速度增大
C．双星做圆周运动的周期增大
D．双星做圆周运动的半径增大
解析：选B．距离增大万有引力减小，A正确；由m1r1ω2＝m2r2ω2及r1＋r2＝r得，r1＝，r2＝，可知D正确；F＝G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，r增大F减小，r1增大，故ω减小，B错误；由T＝知C正确．
3．据美国宇航局网站报道，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星——“开普勒－22b”，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一周，距离地球约600光年，体积是地球的2．4倍．已知引力常量和地球表面的重力加速度．根据以上信息，下列推理中正确的是( )
A．若能观测到该行星的轨道半径，可求出该行星所受的万有引力
B．若已知该行星的密度和半径，可求出该行星的轨道半径
C．根据地球的公转周期与轨道半径，可求出该行星的轨道半径
D．若该行星的密度与地球的密度相等，可求出该行星表面的重力加速度
解析：选D．若能观测到该行星的轨道半径，由于不知道行星和恒星的质量，不能求出该行星所受的万有引力，A错误；若已知该行星的密度和半径，不能求出该行星的轨道半径，B错误；根据地球的公转周期与轨道半径，由于不知恒星与太阳质量的关系，不能求出该行星的轨道半径，C错误；地球质量M＝，若该行星的密度与地球的密度相等，则该行星的质量为2．4M＝，该行星的半径r＝R，可求出该行星表面的重力加速度g′＝G＝g，D正确．
4．（多选）“嫦娥二号”已成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家．如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的( )
A．线速度大于地球的线速度
B．向心加速度大于地球的向心加速度
C．向心力仅由太阳的引力提供
D．向心力仅由地球的引力提供
解析：选AB．飞行器与地球同步绕太阳做圆周运动，所以ω飞＝ω地，由圆周运动线速度和角速度的关系v＝rω得v飞＞v地，选项A正确；由公式a＝rω2知，a飞＞a地，选项B正确；飞行器受到太阳和地球的万有引力，方向均指向圆心，其合力提供向心力，故C、D选项错误．
5．
如图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图．首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月面高度为h1处悬停（速度为0，h1远小于月球半径）；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h2处的速度为v，此后发动机关闭，探测器仅受重力下落至月面，已知探测器总质量为m（不包括燃料），地球和月球的半径比为k1，质量比为k2，地球表面附近的重力加速度为g，求月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小．
解析：设地球的质量和半径分别为M和R，月球的质量、半径和表面附近的重力加速度分别为M′、R′和g′，探测器刚接触月面时的速度大小为vt．
由mg′＝G和mg＝G，得g′＝eq \f(k,k2)g．
由v－v2＝2g′h2，得vt＝eq \r(v2＋\f(2kgh2,k2))．
答案：eq \f(k,k2)g eq \r(v2＋\f(2kgh2,k2))
[课时作业][学生用书P105（单独成册）]
一、单项选择题
1．设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( )
A．GM＝ B．GM＝
C．GM＝ D．GM＝
解析：选A．对行星有：＝mr，故GM＝，选项A正确．
2．科学家在研究地月组成的系统时，从地球向月球发射激光，测得激光往返时间为t，若已知万有引力常量为G，月球绕地球运动（可视为匀速圆周运动）的周期为T，光速为c，地球到月球的距离远大于它们的半径．则可求出地球的质量为( )
A． B．
C． D．
解析：选A．月球绕地球运动的轨道半径r＝．由G＝mr得地球质量M＝，选项A正确．
3．我国载人航天飞行任务中，设宇航员测出自己绕地球球心做匀速圆周运动的周期为T，离地面的高度为H，地球半径为R．则根据T、H、R和万有引力常量，不能计算出的量是( )
A．地球的质量 B．地球的平均密度
C．飞船所需的向心力 D．飞船线速度的大小
解析：选C．设地球质量为M，由万有引力提供向心力得：G＝m（H＋R）ω2＝m（H＋R），由此式可求出地球的质量M，再由ρ＝，可求出地球的平均密度．由v＝，可求出飞船的线速度大小．故只有C选项是符合题目要求的．
4．设某飞行器变轨前和变轨完成后的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2．则等于( )
A． eq \r(\f(R,R)) B．
C．eq \f(R,R) D．
解析：选B．飞行器运行时所需的向心力由万有引力提供，根据G＝得线速度v＝ ，所以＝ ，故选项B正确，选项A、C、D错误．
5．“嫦娥二号”卫星环月飞行的高度距离月球表面100 km，所探测到的有关月球的数据比环月飞行高度为200 km的“嫦娥一号”更加详实．若两颗卫星环月飞行均可视为匀速圆周运动，飞行轨道如图所示．则( )
A．“嫦娥二号”环月飞行的周期比“嫦娥一号”更小
B．“嫦娥二号”环月飞行的线速度比“嫦娥一号”更小
C．“嫦娥二号”环月飞行时角速度比“嫦娥一号”更小
D．“嫦娥二号”环月飞行时向心加速度比“嫦娥一号”更小
解析：选A．由T＝可知，A正确；由v＝可知B错误；由ω＝＝可知，C错误；由a＝可知，D错误．
6．经长期观测发现，A行星运行的轨道半径为R0，周期为T0，但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离．如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，则行星B运动的轨道半径为( )
A．R＝R0eq \r(3,\f(t,（t0－T0）2)) B．R＝R0eq \f(t,t0－T0)
C．R＝R0 D．R＝R0eq \r(3,\f(t,t0－T0))
解析：选A．行星发生最大偏离时，A、B行星与恒星在同一直线上且位于恒星同一侧，设行星B的运行周期为T、轨道半径为R，则有t0－t0＝2π，所以T＝．由开普勒第三定律得eq \f(R,T)＝，R＝R0eq \r(3,\f(t,（t0－T0）2))，所以选项A正确．
二、多项选择题
．假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是( )
A．地球的向心力变为缩小前的一半
B．地球的向心力变为缩小前的
C．地球绕太阳公转周期与缩小前的相同
D．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半
解析：选BC．天体的密度不变，天体直径缩小到原来的一半，则太阳和地球的质量都减小为原来的，又公转半径变为原来的，由F＝G可知，向心力减小为原来的，选项B正确．由G＝mr，得T＝2π ，因此周期不变，选项C正确．
8．地球“空间站”正在地球赤道平面内的圆周轨道上运行，其离地高度为同步卫星离地高度的十分之一，且运行方向与地球自转方向一致．关于该“空间站”说法正确的有( )
A．运行的加速度一定等于其所在高度处的重力加速度
B．运行的速度等于同步卫星运行速度的倍
C．站在地球赤道上的人观察到它向东运动
D．在“空间站”工作的宇航员因受力平衡而在其中悬浮或静止
解析：选AC．空间站运动的加速度和其所在位置的重力加速度均由其所受万有引力提供，故A正确；由G＝m?v＝，运行速度与轨道半径的平方根成反比，并非与离地高度的平方根成反比，故B错误；由G＝mR?T＝2πR，所以空间站运行周期小于地球自转的周期，故C正确；空间站宇航员所受万有引力完全提供向心力，处于完全失重状态，D错误．
9．根据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星群，测出了环中各层的线速度v的大小与该层至行星中心的距离R．则以下判断中正确的是( )
A．若v与R成正比，则环是连续物
B．若v与R成反比，则环是连续物
C．若v2与R成反比，则环是卫星群
D．若v2与R成正比，则环是卫星群
解析：选AC．若该环为连续物，则环的角速度与行星相同，由v＝ωR可知，v与R成正比，A正确；若该环为卫星群，则有：＝m，得：v2＝，v2与R成反比，C正确．
三、非选择题
10．天宫一号与随后发射的神舟系列飞船在太空完成交会对接，实现了中国载人航天工程的一个新的跨越．天宫一号的运行周期为T，距地面的高度为h，已知地球半径为R，万有引力常量为G．若将天宫一号的运行轨道看做圆轨道，求：
(1)地球质量M；
(2)地球的平均密度．
解析：(1)因为天宫一号的运行轨道被看做圆轨道，万有引力充当向心力，所以：G＝m（R＋h）
M＝．
(2)地球的平均密度ρ＝＝．
答案：(1) (2)
11．已知引力常量G，地球半径R，月心和地心之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g．某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地球做圆周运动，由G＝mh得M＝eq \f(4π2h3,GT)．
(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确解法和结果．
(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．
解析：(1)上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略．正确的解法和结果是：
G＝m（R＋h）得M＝eq \f(4π2（R＋h）3,GT)．
(2)法一：月球绕地球做圆周运动
由G＝mr得出M＝eq \f(4π2r3,GT)．
法二：地面重力近似等于万有引力
由G＝mg得M＝．
答案：见解析
12．月球自转一周的时间与月球绕地球运行一周的时间相等，都为T0．我国的“嫦娥二号”探月卫星成功进入绕月运行的“极月圆轨道”，这一圆形轨道通过月球两极上空，距月球表面的高度为h．若月球质量为m月，月球半径为R，引力常量为G．
(1)求“嫦娥二号”绕月运行的周期．
(2)在月球自转一周的过程中，“嫦娥二号”将绕月运行多少圈？
(3)“嫦娥二号”携带了一台CCD摄像机（摄像机拍摄不受光照影响），随着卫星的飞行，摄像机将对月球表面进行连续拍摄．要求在月球自转一周的时间内，将月面各处全部拍摄下来，摄像机拍摄时拍摄到的月球表面宽度至少是多少？
解析：(1)“嫦娥二号”轨道半径r＝R＋h
由G＝mr
可得“嫦娥二号”卫星绕月周期T＝2π ．
(2)在月球自转一周的过程中，“嫦娥二号”将绕月运行的圈数n＝＝ ．
(3)摄像机只要将月球的“赤道”拍摄全，就能将月面各处全部拍摄下来；卫星绕月球转一周可对月球“赤道”拍摄两次，所以摄像机拍摄时拍摄到的月球表面宽度至少为s＝＝ ．
答案：见解析
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第三章 万有引力定律
第三章 万有引力定律
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梳理知识·夯实基础
多维课堂,师生动
突破疑难·讲练提升
