2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题12概率与统计
2020年江苏高考核心考点
1.江苏高考对随机变量及分布的考查通常比较基础，对随机变量及分布，超几何分布结合考查通常是中档题。
2.江苏高考对离散型随机变量的均值与方差的考查通常比较基础。
专项突破
一、解答题：本大题共16小题，共计160分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））
某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）。抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.
（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;
（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.
（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）
小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天，?每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业．
（1）求发生调剂现象的概率；
（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望．
3.（江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷）
某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立.
（1）求该学生考上大学的概率.
（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的概率分布及X的数学期望.
4.（江苏省淮安市市2020届高三数学模拟测试卷）
乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，
甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（1）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（2）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.
5.（南通市2020届高三年级第二学期高考模拟试卷）
第十二届中国国际航空航天博览会在珠海举行.在航展期间，从珠海市区开车前往航展地有甲、乙两条路线可走，已知每辆车走路线甲堵车的概率为，走路线乙堵车的概率为p，若现在有A，B两辆汽车走路线甲，有一辆汽车C走路线乙，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响.
（1）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求p的值.
（2）在（1）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数X的分布列和数学期望.
6.（南通市通州区2020届高三年级第二学期复学后联考数学试卷）
由数字0,1,2,3,4组成一个五位数.
（1）若的各数位上数字不重复，求是偶数的概率；
（2）若的各数位上数字可以重复，记随机变量表示各数位上数字是0的个数，求的分布列及数学期望.
7.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为．现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品．设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
8.把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球.
（1）求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；
（2）设恰有个小球编号与盒子编号相同，求随机变量的分布列与期望.
9.甲、乙两人采用五局三胜制比赛，即一方先胜三局则比赛结束，甲每场比赛获胜的概率均为，设比赛局数为X.
（1）求的概率；
（2）求X的分布列和数学期望.
10.批量较大的一批产品中有的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以表示这3个样品中优等品的个数.
（1）求取出的3个样品中有优等品的概率；
（2）求随机变量的概率分布及数学期望.
11.已知正四棱锥的底面边长和高都为2.现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.
（1）求概率的值；
（2）求随机变量的概率分布及其数学期望.
12.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为（0＜a＜1），三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率P（ξ＝i）（i＝0，1，2，3）中，若P（ξ＝1）的值最大，求实数a的取值范围．
13.在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担，，，四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务.
（1）若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；
（2）设这五位同学中承担任务的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.
14.已知一个口袋中有个白球，个黑球()，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉．
1 2 3
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率；
（2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数学期望，证明：．
在平面直角坐标系xOy中，设点集
，
令.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.
16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次，若挪得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．
（1）若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；
（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．
2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题12概率与统计
2020年江苏高考核心考点
1.江苏高考对随机变量及分布的考查通常比较基础，对随机变量及分布，超几何分布结合考查通常是中档题。
2.江苏高考对离散型随机变量的均值与方差的考查通常比较基础。
专项突破
一、解答题：本大题共16小题，共计160分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））
某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）。抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.
（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;
（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.
【解析】由题意知，随机变量X的可能取值为10，20，40
且，，
所以，
即随机变量X的概率分布为
X 10 20 40
P
所以随机变量X的数学期望；
（2）由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得60元为事件A，
因为60＝20×3＝40＋10＋10，
所以．
（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）
小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天，?每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业．
（1）求发生调剂现象的概率；
（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望．
【解析】（1）记2家小店分别为，店有人休假记为事件，店有人，休假记为事件，发生调剂现象的概率为．
则，
，
．
所以．
（2）依题意，X的所有可能取值为．
则，
．
X 0 1 2
所以X的分布表为：
所以．
3.（江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷）
某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立.
（1）求该学生考上大学的概率.
（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的概率分布及X的数学期望.
【解析】（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为，每次测试通过与否互相独立，则
所以，所以该学生考上大学的概率为.
（2）参加测试次数X的可能取值为2，3，4，5，则
，，，
.
所以X的概率分布为：
X 2 3 4 5
P
所以X的数学期望为.
4.（江苏省淮安市2020届高三数学模拟测试卷）
乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，
甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（1）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（2）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.
【解析】（1）设恰有一次的落点在乙上这一事件为
（2）
0 1 2 3 4 6
.
5.（南通市2020届高三年级第二学期高考模拟试卷）
第十二届中国国际航空航天博览会在珠海举行.在航展期间，从珠海市区开车前往航展地有甲、乙两条路线可走，已知每辆车走路线甲堵车的概率为，走路线乙堵车的概率为p，若现在有A，B两辆汽车走路线甲，有一辆汽车C走路线乙，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响.
（1）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求p的值.
（2）在（1）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数X的分布列和数学期望.
【解析】（1）由题意知，×××（1-p）+××p=，
解得p=，
所以走路线乙堵车的概率p=；
（2）由题意知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；
则P（X=0）=××=，
P（X=1）=，
P（X=3）=××=，
所以P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）
?=1---=；
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=．
6.（南通市通州区2020届高三年级第二学期复学后联考数学试卷）
由数字0,1,2,3,4组成一个五位数.
（1）若的各数位上数字不重复，求是偶数的概率；
（2）若的各数位上数字可以重复，记随机变量表示各数位上数字是0的个数，求的分布列及数学期望.
【解析】（1）由0,1,2,3,4组成的五位数共有（个）,
其中是偶数的，第一类，个位是0，有（个）;
第二类，个位是2或4，有(个)，所以是偶数的概率为
（2）因为首位一定不为0，第2位至第5位，各数位上数字为0的概率均是，且相互独立，所以
所以
所以的概率分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以
7.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为．现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品．设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
【解析】记E={甲组研发新产品成功}，F={乙组研发新产品成功}。由题设知，
（1）
且事件与，与，与，与都相互独立。
记H={至少有一种新产品研发成功}，则，于是
故所求的概率为
（2）设企业可获利润为X（万元），则X的可能取值为0，100，120，220，
因
故所求的分布列为
X 0 100 120 220
P
所以数学期望为
8.把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球.
（1）求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；
（2）设恰有个小球编号与盒子编号相同，求随机变量的分布列与期望.
【解析】（1）记恰有2个小球与盒子编号相同为事件.
将5个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有即120种不同的放法.
事件共有种放法，所以.
（2）随机变量的可能值为0，1，2，3，5.
，，
，，.
0 1 2 3 5
所以.
9.甲、乙两人采用五局三胜制比赛，即一方先胜三局则比赛结束，甲每场比赛获胜的概率均为，设比赛局数为X.
（1）求的概率；
（2）求X的分布列和数学期望.
【解析】（1）因为即甲连胜三局或乙连胜三局，
所以；
（2）X可能取值为3，4，5，
所以；
；
.
所以X的分布列为
X 3 4 5
P
所以.
10.批量较大的一批产品中有的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以表示这3个样品中优等品的个数.
（1）求取出的3个样品中有优等品的概率；
（2）求随机变量的概率分布及数学期望.
【解析】（1）记“取出的3个样品中有优等品”为事件，则表示“取出的3个样品中没有优等品”，，所以，
（2），，，
随机变量的分布如下表：
0 1 2 3
所以：.
11.已知正四棱锥的底面边长和高都为2.现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.
（1）求概率的值；
（2）求随机变量的概率分布及其数学期望.
【解析】（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有种取法.其中的三角形如，
这类三角形共有个.
因此.
（2）由题意，的可能取值为，2，.
其中的三角形是侧面，这类三角形共有4个；
其中的三角形有两个，和.
因此，.
所以随机变量的概率分布列为：
2
所求数学期望.
12.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为（0＜a＜1），三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率P（ξ＝i）（i＝0，1，2，3）中，若P（ξ＝1）的值最大，求实数a的取值范围．
【解析】（1）P（ξ）是“ξ个人命中，3﹣ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，3.，，，．
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
ξ的数学期望为．
（2），，
．
由和0＜a＜1，得，即a的取值范围是．
13.在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担，，，四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务.
（1）若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；
（2）设这五位同学中承担任务的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.
【解析】（1）设为“甲、乙两人不同时承担同一项任务”，
则.
（2）由题意得，每一位同学承担任务的概率为，不承担任务的概率为，
则，
，
，
，
，
.
所以的分布列为
0 1 2 3 4 5
P
数学期望.
14.已知一个口袋中有个白球，个黑球()，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉．
1 2 3
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率；
（2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数学期望，证明：．
【解析】（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为：．
（2）随机变量X的概率分布为
X … …
P … …
随机变量X的期望为．
所以
，即．
在平面直角坐标系xOy中，设点集
，
令.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.
【解析】（1）当时，的所有可能取值是．
的概率分布为，
．
（2）设和是从中取出的两个点．
因为，所以仅需考虑的情况．
①若，则，不存在的取法；
②若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法；
③若，则，因为当时，，所以当且仅当，此时或，有2种取法；
④若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法．
综上，当时，的所有可能取值是和，且
．
因此，．
16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次，若挪得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．
（1）若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；
（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．
【解析】设顾客获得三等奖为事件，
因为顾客掷得点数大于的概率为，
顾客掷得点数小于，然后抽将得三等奖的概率为，
所以；
由题意可知，随机变量的可能取值为，，，
且，
，
，
所以随机变量的数学期望，
，
化简得，
由题意可知，，即，
化简得，因为，解得，即的最小值为.
