2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题11空间向量与立体几何
2020年江苏高考核心考点
1.空间向量与立体几何问题在江苏高考中主要考查异面直线所成角，线面角，二面角，是基础题型。
2.近几年有2015，2017，2018的22题。
专项突破
一、解答题：本大题共16小题，共计160分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1.如图所示，在直三棱柱中，，，，，点在线段上.
（1）若，求异面直线和所成角的余弦值；
（2）若直线与平面所成角为，试确定点的位置.
【解析】以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.
（1）因为，所以.
所以，.
所以.
所以异面直线和所成角的余弦值为.
（2）由，，，
知，.
设平面的法向量为，由得，
令，则，，所以平面的一个法向量为.
因为点在线段上，所以可设，所以，
因为直线与平面所成角为，所以.
由，得，
解得或.因为点在线段上，所以即点是线段的中点.
2.如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
【解析】(1)如图所示，连结，
等边中，，则，
平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，
由面面垂直的性质定理可得：平面，故，
由三棱柱的性质可知，而，故，且，
由线面垂直的判定定理可得：平面，结合?平面，故.
(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，,，
据此可得：，由可得点的坐标为，
利用中点坐标公式可得：，由于，故直线EF的方向向量为：
设平面的法向量为，则：
，
据此可得平面的一个法向量为，
此时，
设直线EF与平面所成角为，则.
3.如图，已知正四棱锥的高为，底面边长为，是棱的中点
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面的距离.
【解析】（1）以的中心为原点建立如图所示的空间直角坐标系:
则,
所以,,,
即,,
设平面的一个法向量为，则,即
令,则，
设直线与平面所成角的大小为 ，则
，所以直线与平面所成角正弦值为.
（2）由（1）可知, ,直线与平面所成角的正弦值为
所以点到平面的距离为.
4. 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.
(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
(2) 求二面角BA1DA的正弦值．
【解析】在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.
因为AA1⊥平面ABCD，AE，AD?平面ABCD，
所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.
如图，以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.
因为AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°，
则A(0,0,0)，B(，－1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0,0，)，C1(，1，)．
(1)＝(，－1，－)，＝(，1，)，
则cos〈，〉＝＝＝－，
因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.
(2)平面A1DA的一个法向量为＝(，0,0)．
设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又＝(，－1，－)，＝(－，3,0)，
则即
不妨取x＝3，则y＝，z＝2，所以m＝(3，，2)为平面BA1D的一个法向量，
从而cos〈，m〉＝＝＝.
设二面角BA1DA的大小为θ，则|cosθ|＝，因为θ∈[0，π]，所以sinθ＝＝.
所以二面角BA1DA的正弦值为.
5.如图，在四棱锥PABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.
(1) 求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
(2) 点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
【解析】以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，则各点的坐标为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0，2,0)，P(0,0,2)．
(1) 因为AD⊥平面PAB，所以是平面PAB的一个法向量，＝(0,2,0)．
因为＝(1,1，－2)，＝(0,2，－2)．
设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0，
即令y＝1，解得z＝1，x＝1.所以m＝(1,1,1)是平面PCD的一个法向量．
从而cos〈，m〉＝＝，所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.
(2) 因为＝(－1,0,2)，设＝λ＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)，又＝(0，－1,0)，则＝＋＝(－λ，－1,2λ)，又＝(0，－2,2)，从而cos〈，〉＝＝.
设1＋2λ＝t，t∈[1,3]，则cos2〈，〉＝＝≤.
当且仅当t＝，即λ＝时，|cos〈，〉|的最大值为.
因为y＝cosx在0，上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．
又因为BP＝＝，所以BQ＝BP＝.
6.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝，E，F分别是BC，A1C的中点．
(1) 求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
(2) 设点M在线段A1D上，＝λ.若CM∥平面AEF，求实数λ的值．
【解析】(1) 连结AC，则△ABC是正三角形．
又E是BC的中点，可得AE⊥BC，从而AE⊥AD.
以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，E(，0,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，A1(0，0,2)，F.
因为＝，＝(0,2,0)．
所以cos〈，〉＝＝.
所以异面直线EF，AD所成角的余弦值是.
(2) 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
由不妨取n＝(0,2，－1)．
因为点M在线段A1D上，＝λ，所以＝λ，
得＝＋λ＝(－，－1,2)＋λ(0,2，－2)＝(－，2λ－1,2－2λ)．
因为CM∥平面AEF，所以⊥n，从而·n＝0，
即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝.
7.如图，以正四棱锥VABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点．正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有cos〈，〉＝－.
(1) 求的值；
(2) 求二面角BVCD的余弦值．
【解析】(1) 根据条件，可得B(a，a,0)，C(－a，a,0)，D(－a，－a,0)，V(0,0，h)，E，所以＝，＝，
故cos〈，〉＝，又cos〈，〉＝－，则＝－，
解得＝.
(2) 由＝，得＝，＝，
且容易得到，＝(2a,0,0)，＝(0,2a,0)．
设平面BVC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即
则
取y1＝3，z1＝2，则n1＝(0,3,2)，同理可得平面DVC的一个法向量为n2＝(－3,0,2)．
cos〈n1，n2〉＝＝＝，
结合图形，可以知道二面角BVCD的余弦值为－.
8.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB＝，CE＝1，CE⊥平面ABCD.
(1) 求异面直线DF与BE所成角的余弦值；
(2) 求二面角ADFB的大小．
【解析】(1) 以，，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，
则D(，0,0)，F(，，1)，E(0,0,1)，B(0，，0)，C(0,0,0)，所以＝(0，，1)，＝(0，－，1)，
从而cos〈，〉＝＝－＝－,所以直线DF与BE所成角的余弦值为.
(2) 设平面ADF的法向量为m＝＝ (，0,0)．
设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)．又＝(，0,1)．
由得
取x＝1，则y＝1，z＝－，所以n＝(1,1，－)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝,又因为〈m，n〉∈[0，π]，所以〈m，n〉＝.
由图可知二面角ADFB为锐二面角，所以二面角ADFB的大小为.
9.在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝，E，F分别是BC，A1C的中点．
(1)求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
(2)点M在线段A1D上，＝λ.若CM∥平面AEF，求实数λ的值
【解析】因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，
所以A1A⊥平面ABCD.又AE?平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以A1A⊥AE，A1A⊥AD.
连结AC，在菱形ABCD中，∠ABC＝，则△ABC是等边三角形．
因为E是BC的中点，所以BC⊥AE.
因为BC∥AD，所以AE⊥AD.
以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,2)，E(，0,0)，F.
(1)＝(0,2,0)，
＝，所以·＝1.
从而cos〈，〉＝＝.故异面直线EF，AD所成角的余弦值为.
(2)设M(x，y，z)，由于点M在线段A1D上，且＝λ，
则＝λ，即(x，y，z－2)＝λ(0,2，－2)．则M(0,2λ，2－2λ)，＝(－，2λ－1,2－2λ)．
设平面AEF的法向量为n＝(x0，y0，z0)．
因为＝(，0,0)，＝，
由得取y0＝2，则z0＝－1，则平面AEF的一个法向量为n＝(0,2，－1)．
由于CM∥平面AEF，则n·＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝.
10.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足＝λ(λ∈R)．
(1)证明：PN⊥AM；
(2)若平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为45°，试确定点P的位置．
【解析】(1)证明 如图，以A点为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A－xyz.
则A(0,0,0)，P(λ，0,1)，N，M，
从而＝，＝，
所以·＝×0＋×1－1×＝0，
所以PN⊥AM.
(2)由题意知平面ABC的一个法向量n＝＝(0,0,1)．
设平面PMN的法向量m＝(x，y，z)，
由(1)得＝，＝，
由得
解得
令x＝3，得m＝(3,2λ＋1,2－2λ)．
因为平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为45°，
所以|cos〈m，n〉|＝
＝＝，
解得λ＝－，故点P在B1A1的延长线上，且A1P＝.
11.在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E是棱PC的中点．
(1)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(2)若点F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的正弦值．
【解析】(1)以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．
由点E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．
故＝(0,1,1)，＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)．
设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，
则即不妨令y＝1，则x＝2，z＝1，
可得n＝(2,1,1)为平面PBD的法向量，于是cos〈n，〉＝＝＝，
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(2)＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．
由点F在棱PC上，设＝λ，0≤λ≤1，
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．
由BF⊥AC，得·＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，
解得λ＝，即＝.
设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，则
即不妨令z＝1，
可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的法向量，取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)，
则cos〈n1，n2〉＝＝－，即sin〈n1，n2〉＝,故二面角F－AB－P的正弦值为.
12.如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为中点，且平面，为线段上一动点，记．
（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值.
【解析】连接CE， 以分别为轴，
建立如图空间直角坐标系，
则，
因为F为线段AB上一动点，且，
则， 所以.
（1）当时，，，
所以；
（2），
设平面的一个法向量为=
由,得，化简得，取
设与平面所成角为，则.
解得或（舍去），所以.
13.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，又AE⊥平面ABD．
（1）若AE＝，求直线DE与直线BC所成角；
（2）若二面角A—BE—D的大小为，求AE的长度．
【解析】∵正方形边长为2 ∴，，
又⊥平面
∴以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系．
作，垂足为
∵平面⊥平面，平面，平面平面
∴平面
∵ ∴点为的中点，
（1）∵
∴，，，，
∴ ∴
∴ ∴直线与直线所成角为；
（2）设的长度为，则
∵⊥平面 ∴平面的一个法向量为
设平面的法向量为，又
∴ ∴，解得：，取，则
∴平面的一个法向量为
∴
∵二面角的大小为 ∴，解得：
14.如图，在四棱锥PABCD中，AP，AB，AD两两垂直，BC∥AD，且AP＝AB＝AD＝4，BC＝2.
(1) 求二面角PCDA的余弦值；
(2) 已知H为线段PC上异于C的点，且DC＝DH，求的值．
【解析】 以{，，}为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.
则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．
(1) 由题意可知，＝(0，－4，4)，＝(4，－2，0)．设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z)，
则即令x＝1，
则y＝2，z＝2.所以平面PCD的一个法向量为n1＝(1，2，2)．
平面ACD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝，且由图可知二面角为锐二面角，所以二面角PCDA的余弦值为.
(2) 由题意可知＝(4，2，－4)，＝(4，－2，0)，
设＝λ＝(4λ，2λ，－4λ)，则＝＋＝(4λ，2λ－4，4－4λ)，
因为DC＝DH，所以＝，化简得3λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝1或λ＝,又因为点H异于点C，所以λ＝，即＝.
15.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝AD＝2，BC＝1，CD＝.
(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；
(2)若二面角M－BQ－C为30°，设PM＝t·MC，试确定 t 的值．
【解析】(1)∵AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ.
∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BQ⊥平面PAD.
∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD.
(2)∵PA＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD.
∵面PAD⊥平面ABCD，且面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PQ⊥平面ABCD.
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为＝(0,0,1)；
Q(0,0,0)，P(0,0，)，B(0，，0)，C(－1，，0)．
设M(x，y，z)，则
＝(x，y，z－)，＝(－1－x，－y，－z)
∵＝t·，∴ ? ，
在平面MBQ中，＝(0，，0)，＝，
∴平面MBQ法向量为＝(，0，t)．
∵二面角M－BQ－C为30°，∴cos30°＝＝＝，得t＝3.
16.如图，在几何体中，，四边形为矩形，平面平面，.
(1)求证：平面⊥平面；
(2)点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围．
【解析】(1)证明：在四边形中，∵，∴.
∴，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，平面.又因为平面，所以平面平面.
(2)由(1)知可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令．
则．∴．
设为平面的法向量，
由得取，则．
是平面的一个法向量，∴.
，∴当时，有最小值，当时，有最大值.所以的取值范围是.
2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题11空间向量与立体几何
2020年江苏高考核心考点
1.空间向量与立体几何问题在江苏高考中主要考查异面直线所成角，线面角，二面角，是基础题型。
2.近几年有2015，2017，2018的22题。
专项突破
一、解答题：本大题共16小题，共计160分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1.如图所示，在直三棱柱中，，，，，点在线段上.
（1）若，求异面直线和所成角的余弦值；
（2）若直线与平面所成角为，试确定点的位置.
2.如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
3.如图，已知正四棱锥的高为，底面边长为，是棱的中点
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面的距离.
4. 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.
(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
(2) 求二面角BA1DA的正弦值．
5.如图，在四棱锥PABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.
(1) 求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
(2) 点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
6.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝，E，F分别是BC，A1C的中点．
(1) 求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
(2) 设点M在线段A1D上，＝λ.若CM∥平面AEF，求实数λ的值．
7.如图，以正四棱锥VABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点．正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有cos〈，〉＝－.
(1) 求的值；
(2) 求二面角BVCD的余弦值．
8.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB＝，CE＝1，CE⊥平面ABCD.
(1) 求异面直线DF与BE所成角的余弦值；
(2) 求二面角ADFB的大小．
9.在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝，E，F分别是BC，A1C的中点．
(1)求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
(2)点M在线段A1D上，＝λ.若CM∥平面AEF，求实数λ的值
10.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足＝λ(λ∈R)．
(1)证明：PN⊥AM；
(2)若平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为45°，试确定点P的位置．
11.在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E是棱PC的中点．
(1)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(2)若点F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的正弦值．
12.如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为中点，且平面，为线段上一动点，记．
（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值.
13.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，又AE⊥平面ABD．
（1）若AE＝，求直线DE与直线BC所成角；
（2）若二面角A—BE—D的大小为，求AE的长度．
14.如图，在四棱锥PABCD中，AP，AB，AD两两垂直，BC∥AD，且AP＝AB＝AD＝4，BC＝2.
(1) 求二面角PCDA的余弦值；
(2) 已知H为线段PC上异于C的点，且DC＝DH，求的值．
15.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝AD＝2，BC＝1，CD＝.
(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；
(2)若二面角M－BQ－C为30°，设PM＝t·MC，试确定 t 的值．
16.如图，在几何体中，，四边形为矩形，平面平面，.
(1)求证：平面⊥平面；
(2)点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围．
