专题11 空间向量与立体几何 (Word原稿版+解析版)

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名称 专题11 空间向量与立体几何 (Word原稿版+解析版)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2020-05-22 12:04:03

文档简介

2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题11空间向量与立体几何
2020年江苏高考核心考点
1.空间向量与立体几何问题在江苏高考中主要考查异面直线所成角,线面角,二面角,是基础题型。
2.近几年有2015,2017,2018的22题。
专项突破
一、解答题:本大题共16小题,共计160分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.如图所示,在直三棱柱中,,,,,点在线段上.
(1)若,求异面直线和所成角的余弦值;
(2)若直线与平面所成角为,试确定点的位置.

【解析】以为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,.
(1)因为,所以.
所以,.
所以.
所以异面直线和所成角的余弦值为.
(2)由,,,
知,.
设平面的法向量为,由得,
令,则,,所以平面的一个法向量为.
因为点在线段上,所以可设,所以,
因为直线与平面所成角为,所以.
由,得,
解得或.因为点在线段上,所以即点是线段的中点.
2.如图,已知三棱柱,平面平面,,分别是的中点.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的余弦值.

【解析】(1)如图所示,连结,
等边中,,则,
平面ABC⊥平面,且平面ABC∩平面,
由面面垂直的性质定理可得:平面,故,
由三棱柱的性质可知,而,故,且,
由线面垂直的判定定理可得:平面,结合?平面,故.
(2)在底面ABC内作EH⊥AC,以点E为坐标原点,EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.设,则,,,
据此可得:,由可得点的坐标为,
利用中点坐标公式可得:,由于,故直线EF的方向向量为:
设平面的法向量为,则:

据此可得平面的一个法向量为,
此时,
设直线EF与平面所成角为,则.
3.如图,已知正四棱锥的高为,底面边长为,是棱的中点
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)求点到平面的距离.


【解析】(1)以的中心为原点建立如图所示的空间直角坐标系:
则,
所以,,,
即,,
设平面的一个法向量为,则,即
令,则,
设直线与平面所成角的大小为 ,则
,所以直线与平面所成角正弦值为.
(2)由(1)可知, ,直线与平面所成角的正弦值为
所以点到平面的距离为.
4. 如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.
(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;
(2) 求二面角BA1DA的正弦值.

【解析】在平面ABCD内,过点A作AE⊥AD,交BC于点E.
因为AA1⊥平面ABCD,AE,AD?平面ABCD,
所以AA1⊥AE,AA1⊥AD.
如图,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系Axyz.
因为AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°,
则A(0,0,0),B(,-1,0),D(0,2,0),E(,0,0),A1(0,0,),C1(,1,).
(1)=(,-1,-),=(,1,),
则cos〈,〉===-,
因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.
(2)平面A1DA的一个法向量为=(,0,0).
设m=(x,y,z)为平面BA1D的一个法向量,又=(,-1,-),=(-,3,0),
则即
不妨取x=3,则y=,z=2,所以m=(3,,2)为平面BA1D的一个法向量,
从而cos〈,m〉===.
设二面角BA1DA的大小为θ,则|cosθ|=,因为θ∈[0,π],所以sinθ==.
所以二面角BA1DA的正弦值为.
5.如图,在四棱锥PABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.
(1) 求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;
(2) 点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.

【解析】以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
(1) 因为AD⊥平面PAB,所以是平面PAB的一个法向量,=(0,2,0).
因为=(1,1,-2),=(0,2,-2).
设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),则m·=0,m·=0,
即令y=1,解得z=1,x=1.所以m=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.
从而cos〈,m〉==,所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.
(2) 因为=(-1,0,2),设=λ=(-λ,0,2λ)(0≤λ≤1),又=(0,-1,0),则=+=(-λ,-1,2λ),又=(0,-2,2),从而cos〈,〉==.
设1+2λ=t,t∈[1,3],则cos2〈,〉==≤.
当且仅当t=,即λ=时,|cos〈,〉|的最大值为.
因为y=cosx在0,上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.
又因为BP==,所以BQ=BP=.
6.如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面四边形ABCD为菱形,A1A=AB=2,∠ABC=,E,F分别是BC,A1C的中点.
(1) 求异面直线EF,AD所成角的余弦值;
(2) 设点M在线段A1D上,=λ.若CM∥平面AEF,求实数λ的值.


【解析】(1) 连结AC,则△ABC是正三角形.
又E是BC的中点,可得AE⊥BC,从而AE⊥AD.
以{,,}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),E(,0,0),C(,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),F.
因为=,=(0,2,0).
所以cos〈,〉==.
所以异面直线EF,AD所成角的余弦值是.
(2) 设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),
由不妨取n=(0,2,-1).
因为点M在线段A1D上,=λ,所以=λ,
得=+λ=(-,-1,2)+λ(0,2,-2)=(-,2λ-1,2-2λ).
因为CM∥平面AEF,所以⊥n,从而·n=0,
即2(2λ-1)-(2-2λ)=0,解得λ=.
7.如图,以正四棱锥VABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz,其中Ox∥BC,Oy∥AB,E为VC的中点.正四棱锥的底面边长为2a,高为h,且有cos〈,〉=-.
(1) 求的值;
(2) 求二面角BVCD的余弦值.

【解析】(1) 根据条件,可得B(a,a,0),C(-a,a,0),D(-a,-a,0),V(0,0,h),E,所以=,=,
故cos〈,〉=,又cos〈,〉=-,则=-,
解得=.
(2) 由=,得=,=,
且容易得到,=(2a,0,0),=(0,2a,0).
设平面BVC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则即

取y1=3,z1=2,则n1=(0,3,2),同理可得平面DVC的一个法向量为n2=(-3,0,2).
cos〈n1,n2〉===,
结合图形,可以知道二面角BVCD的余弦值为-.
8.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF中,AB=,CE=1,CE⊥平面ABCD.
(1) 求异面直线DF与BE所成角的余弦值;
(2) 求二面角ADFB的大小.

【解析】(1) 以,,为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,
则D(,0,0),F(,,1),E(0,0,1),B(0,,0),C(0,0,0),所以=(0,,1),=(0,-,1),
从而cos〈,〉==-=-,所以直线DF与BE所成角的余弦值为.
(2) 设平面ADF的法向量为m== (,0,0).
设平面BDF的法向量为n=(x,y,z).又=(,0,1).
由得
取x=1,则y=1,z=-,所以n=(1,1,-),
所以cos〈m,n〉===,又因为〈m,n〉∈[0,π],所以〈m,n〉=.
由图可知二面角ADFB为锐二面角,所以二面角ADFB的大小为.
9.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD为菱形,A1A=AB=2,∠ABC=,E,F分别是BC,A1C的中点.
(1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;
(2)点M在线段A1D上,=λ.若CM∥平面AEF,求实数λ的值


【解析】因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,
所以A1A⊥平面ABCD.又AE?平面ABCD,AD?平面ABCD,
所以A1A⊥AE,A1A⊥AD.
连结AC,在菱形ABCD中,∠ABC=,则△ABC是等边三角形.
因为E是BC的中点,所以BC⊥AE.
因为BC∥AD,所以AE⊥AD.
以{,,}为正交基底建立空间直角坐标系.
则A(0,0,0),C(,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),E(,0,0),F.
(1)=(0,2,0),
=,所以·=1.
从而cos〈,〉==.故异面直线EF,AD所成角的余弦值为.
(2)设M(x,y,z),由于点M在线段A1D上,且=λ,
则=λ,即(x,y,z-2)=λ(0,2,-2).则M(0,2λ,2-2λ),=(-,2λ-1,2-2λ).
设平面AEF的法向量为n=(x0,y0,z0).
因为=(,0,0),=,
由得取y0=2,则z0=-1,则平面AEF的一个法向量为n=(0,2,-1).
由于CM∥平面AEF,则n·=0,即2(2λ-1)-(2-2λ)=0,解得λ=.
10.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在直线A1B1上,且满足=λ(λ∈R).
(1)证明:PN⊥AM;
(2)若平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为45°,试确定点P的位置.

【解析】(1)证明 如图,以A点为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.
则A(0,0,0),P(λ,0,1),N,M,
从而=,=,
所以·=×0+×1-1×=0,
所以PN⊥AM.
(2)由题意知平面ABC的一个法向量n==(0,0,1).
设平面PMN的法向量m=(x,y,z),
由(1)得=,=,
由得
解得
令x=3,得m=(3,2λ+1,2-2λ).
因为平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为45°,
所以|cos〈m,n〉|=
==,
解得λ=-,故点P在B1A1的延长线上,且A1P=.
11.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E是棱PC的中点.
(1)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(2)若点F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的正弦值.

【解析】(1)以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
由点E为棱PC的中点,得E(1,1,1).
故=(0,1,1),=(-1,2,0),=(1,0,-2).
设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量,
则即不妨令y=1,则x=2,z=1,
可得n=(2,1,1)为平面PBD的法向量,于是cos〈n,〉===,
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(2)=(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,0,0).
由点F在棱PC上,设=λ,0≤λ≤1,
故=+=+λ=(1-2λ,2-2λ,2λ).
由BF⊥AC,得·=0,因此2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,
解得λ=,即=.
设n1=(x,y,z)为平面FAB的法向量,则
即不妨令z=1,
可得n1=(0,-3,1)为平面FAB的法向量,取平面ABP的法向量n2=(0,1,0),
则cos〈n1,n2〉==-,即sin〈n1,n2〉=,故二面角F-AB-P的正弦值为.
12.如图,在三棱锥中,已知都是边长为的等边三角形,为中点,且平面,为线段上一动点,记.
(1)当时,求异面直线与所成角的余弦值;
(2)当与平面所成角的正弦值为时,求的值.

【解析】连接CE, 以分别为轴,
建立如图空间直角坐标系,
则,
因为F为线段AB上一动点,且,
则, 所以.
(1)当时,,,
所以;
(2),
设平面的一个法向量为=
由,得,化简得,取
设与平面所成角为,则.
解得或(舍去),所以.

13.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠,使得平面ABD⊥平面CBD,又AE⊥平面ABD.
(1)若AE=,求直线DE与直线BC所成角;
(2)若二面角A—BE—D的大小为,求AE的长度.

【解析】∵正方形边长为2 ∴,,
又⊥平面
∴以点为原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系.
作,垂足为
∵平面⊥平面,平面,平面平面
∴平面
∵ ∴点为的中点,
(1)∵
∴,,,,
∴ ∴
∴ ∴直线与直线所成角为;
(2)设的长度为,则
∵⊥平面 ∴平面的一个法向量为
设平面的法向量为,又
∴ ∴,解得:,取,则
∴平面的一个法向量为

∵二面角的大小为 ∴,解得:
14.如图,在四棱锥PABCD中,AP,AB,AD两两垂直,BC∥AD,且AP=AB=AD=4,BC=2.
(1) 求二面角PCDA的余弦值;
(2) 已知H为线段PC上异于C的点,且DC=DH,求的值.


【解析】 以{,,}为正交基底,建立如图所示空间直角坐标系Axyz.
则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).
(1) 由题意可知,=(0,-4,4),=(4,-2,0).设平面PCD的法向量为n1=(x,y,z),
则即令x=1,
则y=2,z=2.所以平面PCD的一个法向量为n1=(1,2,2).
平面ACD的一个法向量为n2=(0,0,1),
所以cos〈n1,n2〉==,且由图可知二面角为锐二面角,所以二面角PCDA的余弦值为.
(2) 由题意可知=(4,2,-4),=(4,-2,0),
设=λ=(4λ,2λ,-4λ),则=+=(4λ,2λ-4,4-4λ),
因为DC=DH,所以=,化简得3λ2-4λ+1=0,所以λ=1或λ=,又因为点H异于点C,所以λ=,即=.
15.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=AD=2,BC=1,CD=.
(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若二面角M-BQ-C为30°,设PM=t·MC,试确定 t 的值.


【解析】(1)∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,
∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ.
∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即QB⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BQ⊥平面PAD.
∵BQ?平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.
(2)∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD.
∵面PAD⊥平面ABCD,且面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD.
如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.则平面BQC的法向量为=(0,0,1);
Q(0,0,0),P(0,0,),B(0,,0),C(-1,,0).
设M(x,y,z),则
=(x,y,z-),=(-1-x,-y,-z)
∵=t·,∴ ? ,
在平面MBQ中,=(0,,0),=,
∴平面MBQ法向量为=(,0,t).
∵二面角M-BQ-C为30°,∴cos30°===,得t=3.
16.如图,在几何体中,,四边形为矩形,平面平面,.
(1)求证:平面⊥平面;
(2)点在线段上运动,设平面与平面所成二面角的平面角为,试求的取值范围.

【解析】(1)证明:在四边形中,∵,∴.
∴,∴.
∵平面平面,平面平面,平面,平面.又因为平面,所以平面平面.
(2)由(1)知可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的如图所示的空间直角坐标系,令.
则.∴.
设为平面的法向量,
由得取,则.
是平面的一个法向量,∴.
,∴当时,有最小值,当时,有最大值.所以的取值范围是.
2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题11空间向量与立体几何
2020年江苏高考核心考点
1.空间向量与立体几何问题在江苏高考中主要考查异面直线所成角,线面角,二面角,是基础题型。
2.近几年有2015,2017,2018的22题。
专项突破
一、解答题:本大题共16小题,共计160分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.如图所示,在直三棱柱中,,,,,点在线段上.
(1)若,求异面直线和所成角的余弦值;
(2)若直线与平面所成角为,试确定点的位置.



2.如图,已知三棱柱,平面平面,,分别是的中点.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的余弦值.

3.如图,已知正四棱锥的高为,底面边长为,是棱的中点
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)求点到平面的距离.




4. 如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.
(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;
(2) 求二面角BA1DA的正弦值.

5.如图,在四棱锥PABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.
(1) 求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;
(2) 点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.






6.如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面四边形ABCD为菱形,A1A=AB=2,∠ABC=,E,F分别是BC,A1C的中点.
(1) 求异面直线EF,AD所成角的余弦值;
(2) 设点M在线段A1D上,=λ.若CM∥平面AEF,求实数λ的值.



7.如图,以正四棱锥VABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz,其中Ox∥BC,Oy∥AB,E为VC的中点.正四棱锥的底面边长为2a,高为h,且有cos〈,〉=-.
(1) 求的值;
(2) 求二面角BVCD的余弦值.





8.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF中,AB=,CE=1,CE⊥平面ABCD.
(1) 求异面直线DF与BE所成角的余弦值;
(2) 求二面角ADFB的大小.




9.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD为菱形,A1A=AB=2,∠ABC=,E,F分别是BC,A1C的中点.
(1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;
(2)点M在线段A1D上,=λ.若CM∥平面AEF,求实数λ的值






10.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在直线A1B1上,且满足=λ(λ∈R).
(1)证明:PN⊥AM;
(2)若平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为45°,试确定点P的位置.




11.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E是棱PC的中点.
(1)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(2)若点F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的正弦值.





12.如图,在三棱锥中,已知都是边长为的等边三角形,为中点,且平面,为线段上一动点,记.
(1)当时,求异面直线与所成角的余弦值;
(2)当与平面所成角的正弦值为时,求的值.




13.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠,使得平面ABD⊥平面CBD,又AE⊥平面ABD.
(1)若AE=,求直线DE与直线BC所成角;
(2)若二面角A—BE—D的大小为,求AE的长度.

14.如图,在四棱锥PABCD中,AP,AB,AD两两垂直,BC∥AD,且AP=AB=AD=4,BC=2.
(1) 求二面角PCDA的余弦值;
(2) 已知H为线段PC上异于C的点,且DC=DH,求的值.




15.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=AD=2,BC=1,CD=.
(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若二面角M-BQ-C为30°,设PM=t·MC,试确定 t 的值.





16.如图,在几何体中,,四边形为矩形,平面平面,.
(1)求证:平面⊥平面;
(2)点在线段上运动,设平面与平面所成二面角的平面角为,试求的取值范围.


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