第2节 万有引力定律
1．了解万有引力定律的发现过程． 2．掌握万有引力表达式的推导及适用条件．（难点）
3．理解万有引力定律的含义及引力常量．（重点＋难点）
一、与引力有关现象的思考
1．牛顿的思考
苹果由于受到地球的吸引力落向地面；月球不沿直线运动而是绕地球做圆周运动，表明月球受到方向指向地心的向心力作用．
2．思考的结论
(1)月球必定受到地球对它的引力作用．
(2)苹果与月球在运动中受到的都是地球对它们的引力
(3)行星围绕太阳运动的向心力是太阳对行星的引力．
二、万有引力定律
1．太阳与行星间的引力
如图所示，行星绕太阳做匀速圆周运动，则行星运动的向心力F＝m，又v＝，因此F＝4π2，由开普勒第三定律知＝常量，由此可得F∝．
由牛顿第三定律知行星对太阳的引力F′也应与太阳的质量M成正比，即F′∝．所以F＝F′∝．
2．万有引力定律
(1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比
(2)公式：F＝G
三、引力常量
1．首先精确测量者：1798年，英国物理学家卡文迪许首先精确地测出了引力常量G的数值．
2．大小：G＝6．67×10－11 N·m2/kg2．
3．意义：G的测出使万有引力定律的公式有了真正的实用价值．
若月球轨道半径为地球半径的60倍，故月球在轨道上运动的加速度（月球公转的向心加速度）是地球表面重力加速度的．试分析其中的道理．
提示：地球表面上的物体的重力约等于地球对它的引力，即
G＝mg地，g地＝ ①
月球做圆周运动的向心力由地球对它的引力提供
G＝m′a月，a月＝＝ ②
由①②可得a月＝g地．
对万有引力定律的理解
内容 自然界中任何两个物体都互相吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比
公式 F＝G，其中G＝6．67×10－11N·m2/kg2，称为引力常量，m1、m2分别为两个物体的质量，r为它们之间的距离
适用条件 (1)严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用 (2)万有引力定律也适用于计算两个质量分布均匀的球体间的相互作用，其中r是两个球体球心间的距离 (3)计算一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心与质点间的距离 (4)两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离
特性 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律
宏观性 在地面上的一般物体之间，由于质量比较小，物体间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特性 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，与所在空间的性质无关，与周围是否存在其他物体无关
下列说法中正确的是( )
A．两质点间万有引力为F，当它们之间的距离增加1倍时，它们之间的万有引力是
B．树上的苹果掉到地上，说明地球吸引苹果的力大于苹果吸引地球的力
C．由万有引力公式F＝G可知，当其他条件不变而r趋近于0时，F趋于无穷大
D．两质点间的万有引力为F，在两质点连线的中点位置再放一个质点时，两质点间的万有引力仍为F
[解析] 由公式F＝G知，F与r2成反比，距离增加1倍时，引力变为F，A错．地球和苹果间的相互作用力符合牛顿第三定律，故大小相等，B错．万有引力公式F＝G只适用于质点，当r趋近于0时，质量为m1、m2的两个物体已不能看成质点，F并不趋于无穷大，C错．两物体间的万有引力与周围是否存在其他物体无关，D对.
[答案] D
eq \a\vs4\al()
(1)万有引力与距离的平方成反比，而引力常量又极小，故一般物体间的万有引力是极小的，受力分析时可忽略．
(2)任何两个物体间都存在着万有引力，但并非所有的物体之间的万有引力都可以用F＝G进行计算，只有质点间或能看成质点的物体间的引力才可以应用公式F＝G计算其大小．
1．两大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )
A．2F B．4F
C．F D．16F
解析：选D．小铁球之间的万有引力F＝G＝G大铁球半径是小铁球半径的2倍，其质量分别为
小铁球m＝ρV＝ρ·
大铁球M＝ρV ′＝ρ·π（2r）3＝8ρ·πr3＝8m
故两个大铁球间的万有引力
F′＝G＝G＝16G＝16F．
万有引力定律的应用
1．重力为地球引力的分力
如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G．
图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况mg2．重力和万有引力间的大小关系
(1)重力与纬度的关系
①在赤道上满足mg＝G－mRω2．
②在地球两极处，由于F向＝0，即mg＝G．
③其他位置mg＝G－mRω2cos θ（θ为纬度值），物体的重力随纬度的增加而增大．
(2)重力、重力加速度与高度的关系
①在地球表面：mg＝G，g＝，g为常数．
②在距地面高h处：mg′＝G，g′＝，高度h越大，重力加速度g′越小．
(1)物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即mg＝G．
(2)在地球表面，重力加速度随地理纬度的升高而增大；在地球上空，重力加速度随距地面高度的增加而减小．
命题视角1 重力与万有引力的应用
设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时，发现物体在当地的重力是同一物体在地球上重力的0．01倍，而该行星一昼夜的时间与地球相同，物体在它赤道上时恰好完全失重．若存在这样的星球，它的半径R应多大？
[解析]
设行星的半径为R，在赤道上质量为m的物体随星球自转，物体受力如图所示，根据牛顿第二定律得
mg′－N＝mω2R
依题意N＝0，所以g′＝ω2R．
在极地地区，物体重力仅为地球上重力的0．01倍，
可知g′＝0．01g
自转周期与地球相同，即T′＝T＝8．64×104 s，
可知该星球半径为
R＝＝g′＝
＝ m＝1．85×107 m．
[答案] 1．85×107 m
命题视角2 万有引力定律与其他知识的综合应用
宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一物体，经过时间t物体落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一物体，需经过时间5t物体落回原处．（取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计）
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′的大小；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地．
[思路点拨] 本题是竖直上抛运动规律和万有引力的结合，关键是要求出该星球表面的重力加速度，竖直上抛运动的规律在该星球表面仍然适用．
[解析] (1)由竖直上抛运动规律可知地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为t＝
在该星球表面竖直上抛的物体落回原地所用时间为
5t＝，所以g′＝g＝2 m/s2．
(2)星球表面物体所受重力等于其所受星体的万有引力，则有mg＝G，所以M＝
可解得M星∶M地＝1∶80．
[答案] (1)2 m/s2 (2)1∶80
eq \a\vs4\al()
1．涉及重力与引力关系时应注意的问题
(1)由物体所受的重力近似等于地球对物体的引力可知，地球表面的重力加速度g＝，即GM＝gR2，这是一个常用的“黄金代换式”．
(2)重力是万有引力的一个分力，故受力分析时不能重复分析，即分析万有引力时就不必再分析重力．
(3)对相对于地面的运动，通常只分析重力；对随地球的自转运动或卫星问题只分析万有引力．
(4)除非专门研究随地球自转问题，计算时都可认为重力与万有引力相等．
2．运用万有引力定律分析求解相关综合问题时，首先必须明确问题涉及哪些知识内容，需要运用哪些物理规律，并注意把握以下几点：
(1)无论问题是涉及运动学规律，还是动力学规律，联系的桥梁都是重力加速度g，要注意重力加速度的变化，特别是明确星球表面上g0＝G，高度h处g＝G，即g随h增加而减小．
(2)在地球上运用的运动学规律和动力学规律，在其他星球上仍然适用，只是重力加速度g不同．
2．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R（R是地球的半径）处，由于地球对物体的万有引力的作用而产生的加速度为g，则为( )
A．1 B．
C． D．
解析：选D．地球表面处的重力加速度和离地心高4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有：F＝G＝mg，所以＝＝＝，故D正确．
[随堂检测]
1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
解析：选B．开普勒在第谷的观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，B项正确；牛顿在开普勒总结的行星运动规律的基础上发现了万有引力定律，找出了行星运动的原因，A、C、D项错误．
2．对于引力常量G的理解，下列说法中错误的是( )
A．G在数值上等于质量均为1 kg的两个质点相距1 m时的引力大小
B．G的数值是为了方便而人为规定的
C．G的测定使万有引力定律公式更具有实际意义
D．G的测定从某种意义上也能够说明万有引力定律公式的正确性
解析：选B．根据万有引力定律公式F＝G可知，G＝，当r＝1 m，m1＝m2＝1 kg时，G在数值上等于万有引力大小，故A正确．G是一个有单位的物理量，单位是N·m2/kg2．G的数值不是人为规定的，而是在牛顿发现万有引力定律一百多年后，由卡文迪许利用扭秤实验测出的，故B错误，C、D正确．
3．一个物体在地球表面所受的重力为Gm，在距地面高度为地球半径的位置，物体所受地球的引力大小为( )
A． B．
C． D．
解析：选C．在地球表面附近，物体所受的重力近似等于万有引力，即重力Gm＝F万＝G；在距地面高度为地球半径的位置，F′万＝G＝，故选项C正确．
4．北斗导航卫星的成功发射标志着北斗卫星导航系统的建设又迈出了坚实的一步．若卫星质量为m、离地球表面的高度为h，地球质量为M、半径为R，G为引力常量，则地球对卫星万有引力的大小为( )
A．G B．G
C．G D．G
解析：选D．卫星的轨道半径为卫星到地心的距离，即为（R＋h），由万有引力定律可知F＝G，D对．
5．如图所示，一火箭以a＝的加速度竖直升空．为了监测火箭到达的高度，可以观察火箭上搭载物视重的变化．如果火箭上搭载的一只小狗的质量为m＝1．6 kg，当检测仪器显示小狗的视重为F＝9 N时，火箭距离地面的高度是地球半径的多少倍？（g取10 m/s2）
解析：火箭距离地面的高度为h，该处的重力加速度为g′，设地球的半径为R．根据牛顿第二定律，有F－mg′＝ma，g′＝－＝ m/s2．根据万有引力定律，有g′＝G∝，所以＝，即＝，所以火箭距离地面的高度为h＝3R．
答案：3倍
[课时作业][学生用书P103（单独成册）]
一、单项选择题
1．地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
A．物体在赤道处受的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B．赤道处的角速度比南纬30°大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
解析：选A．由F＝G可知，物体在地球表面任何位置受到地球的引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转的向心力．在赤道上，向心力最大，重力最小，A对．地表各处的角速度均等于地球自转的角速度，B错．地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错．地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D错．
2．已知太阳的质量为M，地球的质量为m1，月亮的质量为m2，当发生日全食时，太阳、月亮、地球几乎在同一直线上，且月亮位于太阳与地球中间，如图所示．设月亮到太阳的距离为a，地球到月亮的距离为b，则太阳对地球的引力F1和对月亮的引力F2的大小之比为( )
A． B．
C． D．
解析：选D．太阳对地球的引力F1＝G
太阳对月亮的引力F2＝G．
故＝．
3．
两个质量均为m的星体，其连线的垂直平分线为MN，O为两星体连线的中点，如图所示，一个质量为m的物体从O沿OM方向运动，则它受到的万有引力大小变化情况是( )
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
解析：选C．当物体m在O点时，两星体对物体的万有引力等大反向，合力为零；当物体在无限远处时，两星体对物体的万有引力均为零，合力也为零，故物体从O沿OM方向运动，则它受到的万有引力大小是先增大后减小．
4．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )
A． B．
C． D．
解析：选D．由于物体对天体表面的压力恰好为零，所以物体受到天体的万有引力全部提供物体随天体自转做圆周运动的向心力，G＝mR，又因为ρ＝＝，由以上两式解得T＝，选项D正确．
5．两颗行星的质量分别为m1和m2，它们绕太阳运动的轨道半径分别是r1和r2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两颗行星的向心加速度之比为( )
A．1 B．
C． D．eq \f(r,r)
解析：选D．设行星m1、m2所受的向心力分别为F1、F2，由太阳与行星之间的作用规律可得：
F1∝eq \f(m1,r)，F2∝eq \f(m2,r)，而a1＝，a2＝，故＝eq \f(r,r)，D正确．
6．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，不考虑地球自转的影响，距离地球球心为r处的重力加速度大小可能为下图中的哪一个( )
解析：选A．设地球的密度为ρ，当物体处于地心时，所受万有引力为零，加速度为零；当距地心距离为rR时，由＝ma得a＝＝，加速度a与r的二次方成反比，故选项A正确．
二、多项选择题
7．下列叙述正确的是( )
A．卡文迪许实验证明了万有引力定律，并测出了引力常量
B．万有引力常量的单位是N·m2/kg2
C．由F＝G可知，G＝，由此可见G与F和r2的乘积成正比，与M和m的乘积成反比
D．万有引力常量的数值是人为规定的
解析：选AB．卡文迪许实验表明万有引力定律同样适用于地面的任意两个物体，用实验方法进一步证明了万有引力定律的普适性，选项A对；G的单位由F、m、r的单位决定，选项B对；公式中G为比例系数，是一常量，与F、r、M、m均无关，选项C错；公式中引力常量G的值，是经过实验测定的，而不是由谁来规定的，选项D错．
8．对于太阳与行星间的引力及其表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A．公式中G为比例系数，与太阳、行星有关
B．太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等
C．太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力，合力为零，M、m都处于平衡状态
D．太阳、行星彼此受到的引力是一对相互作用力
解析：选BD．太阳与行星间引力表达式F＝G中的G为比例系数，与太阳、行星都没有关系，A错误；太阳与行星间的引力分别作用在两个物体上，是一对作用力和反作用力，不能进行合成，B、D正确，C错误．
9．假如地球自转速度增大，关于物体所受的重力，下列说法正确的是( )
A．放在赤道地面上物体的万有引力不变
B．放在两极地面上物体的重力不变
C．放在赤道地面上物体的重力减小
D．放在两极地面上物体的重力增加
解析：选ABC．地球自转角速度增大，物体受到的万有引力不变，选项A正确；在两极，物体受到的万有引力等于其重力，则其重力不变，选项B正确、D错误；而对放在赤道地面上的物体，F万＝G重＋mω2R，由于ω增大，则G重减小，选项C正确．
三、非选择题
10．
已知均匀球体对其他物体的万有引力等效于将其全部质量集中于球心时对其他物体的万有引力，如图所示，有一半径为R的均匀球体，球心为O1，质量为8M，今自其内挖去一个半径为的小球，形成球形空腔的球心为O2，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为O3，图中O1、O2、切点和O3四点共线，求此时小球与大球剩余部分之间的万有引力．
解析：小球质量为m＝·8M＝·8M＝M，大球对小球O3的万有引力为F1＝G＝·G，小球O2对小球O3的万有引力为F2＝G＝G，小球O3与大球剩余部分之间的万有引力为F＝F1－F2＝．
答案：
11．某星球“一天”的时间是T＝6 h，用弹簧测力计在星球上测同一物体的重力时，“赤道”上比在“两极”处读数小10%．设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时？
解析：设该物体在星球的“赤道”上时重力为G1，在两极处的重力为G2，在“赤道”处
G－G1＝mRω2 ①
在“两极”处G＝G2 ②
依题意得1－×100%＝10%． ③
设该星球自转的角速度增加到ω0时赤道上的物体自动飘起来，是指地面与物体间没有相互作用力，物体受到星球的万有引力全部提供其随星球自转的向心力，则
G＝mRω． ④
又ω0＝，ω＝ ⑤
联立①②③④⑤式解得：T0＝ h＝1．9 h．
答案：1．9 h
12．已知某星球的质量是地球质量的，半径是地球半径的，在离该星球表面高16 m处让质量m＝50 kg的物体自由下落，已知地球表面的重力加速度g＝10 m/s2．求：
(1)该星球表面的重力加速度g0是多大？
(2)物体下落到该星球表面所用的时间t是多少？
解析：(1)星球表面上质量为m0的物体有：
Geq \f(M星m0,R)＝m0g0
所以g0＝eq \f(GM星,R)
即＝eq \f(M地R,M星R )＝＝5
所以g0＝＝2 m/s2．
(2)由h＝g0t2得t＝＝4 s．
答案：(1)2 m/s2 (2)4 s
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第三章 万有引力定律
第三章 万有引力定律
预习导学新知探究
梳理知识·夯实基础
多维课堂,师生动
突破疑难·讲练提升
