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第三章 万有引力定律
第三章 万有引力定律
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第1节 天体运动
1．了解地心说和日心说．
2．理解描述行星运动的规律——开普勒三定律，能运用开普勒定律解释有关现象．（重点＋难点）
一、日心说
1．地心说
托勒密认为，地球是宇宙的中心，是静止不动的，其他天体围绕地球转动．
2．日心说
哥白尼认为，地球和别的行星一样，围绕太阳运动，只有太阳固定在这个体系的中心．
二、开普勒行星运动定律
定律 内容 公式或图示
开普勒第一定律 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律 从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积
开普勒第三定律 行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量 公式：＝k，k是一个与行星无关的常量
行星绕太阳在椭圆轨道上运行，行星距太阳较近处与距太阳较远处相比较，运动速率何处较大？
提示：由开普勒第二定律可知，由于在相等的时间内，行星与太阳的连线扫过相等的面积，显然相距较近时相等时间内经过的弧长必须较长，因此运动速率较大．
对开普勒行星运动定律的认识
1．开普勒行星运动定律
(1)开普勒第一定律（轨道定律）
第一定律告诉我们，尽管各行星的轨道大小不同，但它们的共同规律是：所有行星都沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳则位于所有椭圆的一个公共焦点上，如图甲所示．第一定律否定了行星圆形轨道的说法，建立了正确的轨道理论，给出了太阳准确的位置．
甲 乙
(2)开普勒第二定律（面积定律）
行星靠近太阳时速率增大，远离太阳时速率减小．近日点速率最大，远日点速率最小．
(3)开普勒第三定律（周期定律）
＝k反映了行星公转周期跟轨道半长轴之间的依赖关系．椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越大；反之，其公转周期越小．在图乙中，半长轴是AB间距的一半，T是公转周期．其中常数k与行星无关，只与太阳有关．
2．开普勒定律应用的推广
(1)开普勒行星运动定律虽是由行星绕太阳运动总结出的定律，实践证明此定律也同样适用于其他的天体系统．
(2)在开普勒第三定律中，在同一天体系统中，k值相等，但在不同的天体系统中，k值不相同，k值的大小由系统的中心天体决定．
(3)开普勒第三定律也适用于圆形轨道，即对圆周运动的天体，其半长轴即为轨道半径，周期与半径的关系为＝k．
(1)行星绕太阳的运动不是匀速圆周运动，所以行星的速度方向并不总是垂直于行星和太阳的连线，但行星绕太阳运动一周的时间仍为一个周期，此周期不能用匀速圆周运动求解，而应根据开普勒定律对不同运动应用其相应的运动规律去判断和求解．例如做椭圆运动的卫星可用此规律求解．
(2)在同一天体系统中，如果已知某一“行星”的公转周期而求其轨道半径时，可通过另一已知轨道半径和周期的“行星”利用开普勒第三定律解答．
火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
[解析] 根据开普勒行星运动定律，火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行时，太阳位于椭圆的一个焦点上，选项A错误；行星绕太阳运行的轨道不同，周期不同，运行速度大小也不同，选项B错误；火星与木星运行的轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量，选项C正确；火星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，但这两个面积不相等，选项D错误．
[答案] C
天体运动的规律及分析方法
1．天体虽做椭圆运动，但它们的轨道一般接近圆，太阳处在圆心．
2．对某一行星来说，若它绕太阳做圆周运动的速率不变，则行星做匀速圆周运动．
3．在处理天体运动时，开普勒第三定律表述为：天体轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值为常数，即＝k，据此可知，绕同一天体运动的多个天体，运动半径越大的天体，其周期越长．
表达式＝k中的常数k只与中心天体的质量有关．如研究行星绕太阳运动时，常数k只与太阳的质量有关，研究卫星绕地球运动时，常数k只与地球的质量有关．对绕不同天体的圆周运动，常数k不同．
飞船沿半径为R的圆周轨道绕地球运动，其周期为T．如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示． 如果地球半径为R0，求飞船由A点到B点所需要的时间．
[解析] 由题意得，椭圆轨道的半长轴为
设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′，则根据开普勒第三定律有：＝
求得T′＝T·＝·
所以，飞船由A点到B点所需的时间为
t＝＝·．
[答案] ·
eq \a\vs4\al()
开普勒第三定律的应用
应用开普勒第三定律可分析行星的周期、半径，应用时可按以下步骤分析：
(1)首先判断两个行星的中心天体是否相同，只有对同一个中心天体开普勒第三定律才成立．
(2)明确题中给出的周期关系或半径关系．
(3)根据开普勒第三定律列式求解．
【通关练习】
1．太阳系中的八大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像．图中坐标系的横轴是lg，纵轴是lg；这里T和R分别是行星绕太阳运动的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是( )
解析：选B．由开普勒第三定律＝k（常数）可知，＝，两边取对数可得3lg＝2lg，即lg＝lg ，选项B正确．
2．月球环绕地球运行的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天．应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地面多高，人造地球卫星可以随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样？（已知地球半径约为6．4×106 m）
解析：月球和人造地球卫星都在环绕地球运动，根据开普勒第三定律，它们运行轨道半径的三次方跟圆周运动周期的二次方的比值都是相等的．
设人造地球卫星运行半径为R，周期为T，根据开普勒第三定律有k＝
同理设月球轨道半径为R′，周期为T′，也有k＝
由以上两式可得＝
R＝＝ ≈6．67R地
在赤道平面内离地面高度
H＝R－R地＝6．67R地－R地＝5．67R地
＝5．67×6．4×106 m
≈3．63×104 km．
答案：3．63×104 km
[随堂检测]
1．关于天体的运动，以下说法中正确的是( )
A．天体的运动和地面上物体的运动遵循不同的规律
B．天体的运动是最完美、最和谐的匀速圆周运动
C．太阳从东边升起，西边落下，所以太阳绕地球运动
D．太阳系中所有的行星都绕太阳运动
解析：选D．天体的运动与地面上物体的运动都遵循相同的物理规律，都遵守牛顿运动定律等，A错．天体的运动轨道都是椭圆，而非圆，只是椭圆比较接近圆，有时将椭圆当做圆处理，但椭圆毕竟不是圆，B错．太阳从东边升起，又从西边落下，是地球自转的结果，C错．
2．关于行星的运动，以下说法错误的是( )
A．行星轨道的半长轴越长，自转周期就越大
B．行星轨道的半长轴越长，公转周期就越大
C．水星的半长轴最短，公转周期最小
D．海王星离太阳“最远”，绕太阳运动的公转周期最大
解析：选A．由开普勒第三定律可知，＝k．行星轨道的半长轴越长，公转周期越大，B、C正确；海王星离太阳“最远”，绕太阳运行的公转周期最大，D正确；公转轨道半长轴的大小与自转周期无关，A错误．
3．（多选）关于开普勒行星运动的公式＝k，以下理解正确的是( )
A．k是一个与行星无关的量
B．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为R月，周期为T月，则eq \f(R,T)＝eq \f(R,T)
C．T表示行星运动的自转周期
D．T表示行星运行的公转周期
解析：选AD．＝k是指围绕太阳的行星或者指围绕某一行星的卫星的周期与半径的关系，T是公转周期，k是一个与环绕星体无关的量，只与被环绕的中心天体有关，中心天体不同，其值不同，只有围绕同一天体运动的行星或卫星，它们轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方之比才是同一常数，故eq \f(R,T)≠eq \f(R,T)，所以B、C错，A、D对．
4．地球到太阳的距离为水星到太阳距离的2．6倍，那么地球和水星绕太阳运行的线速度之比为（设地球和水星绕太阳运动的轨道为圆）( )
解析：选C．设地球绕太阳运转的半径为R1，周期为T1，水星绕太阳运转的半径为R2，周期为T2，由开普勒第三定律有eq \f(R,T)＝eq \f(R,T)＝k，因地球和水星都绕太阳做匀速圆周运动，有T1＝，T2＝，联立上面三式解得：＝＝＝ ．
5．天文学家观察到哈雷彗星的转动周期是75年，离太阳最近的距离是8．9×1010 m，离太阳最远的距离不能被测出．试根据开普勒定律估算这个最远距离．（太阳系的开普勒常数k＝3．354×1018 m3/s2）
解析：结合数学知识知道r＝
由开普勒第三定律＝k
联立得l2＝2r－l1＝2－l1．
代入数值得
l2＝5．226×1012 m．
答案：5．226×1012 m
[课时作业][学生用书P101（单独成册）]
一、单项选择题
1．关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是( )
A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处
C．离太阳越近的行星的运动周期越长
D．所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
解析：选D．不同的行星，有不同的椭圆轨道，太阳在椭圆轨道的一个焦点上，故A、B错误；由开普勒第三定律知，所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，半长轴越大，其公转周期越长，故C错误，D正确．
2．如图所示是行星m绕恒星M运动情况的示意图，下列说法正确的是( )
A．速度最大点是B点
B．速度最小点是C点
C．m从A到B做减速运动
D．m从B到A做减速运动
解析：选C．由开普勒第二定律可知，近日点时行星运行速度最大，因此，A、B错误；行星由A向B运动的过程中，行星与恒星的连线变长，其速度减小，故C正确，D错误．
．某行星沿椭圆轨道运行，近日点离太阳距离为a，远日点离太阳的距离为b，过近日点时行星的速率为va，则过远日点时的速率为( )
A．vb＝va B．vb＝va
C．vb＝va D．vb＝va
解析：选C．如图所示，A、B分别为近日点、远日点，由开普勒第二定律，太阳和行星的连线在相等的时间里扫过的面积相等，取足够短的时间Δt，则有：va·Δt·a＝vb·Δt·b，所以vb＝va．
4．目前的航天飞机的飞行轨道都是近地轨道，一般在地球上空300～700 km飞行，绕地球飞行一周的时间为90 min左右．这样，航天飞机里的宇航员在24 h内可以见到日落日出的次数应为( )
A．0．38 B．1
C．2．7 D．16
解析：选D．航天飞机绕行到地球向阳的区域，阳光能照射到它时为白昼，当飞到地球背阳的区域，阳光被地球挡住时就是黑夜．因航天飞机绕地球一周所需时间为90 min，而地球昼夜交替的周期是24×60 min，所以，航天飞机里的宇航员在一天的时间内，看到的日落日出次数n＝＝16．
5．某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳是位于( )
A．F2 B．A
C．F1 D．B
解析：选A．根据开普勒第二定律：太阳和行星的连线在相等时间内扫过相等的面积，因为行星在A点的速率比在B点大，所以太阳位于F2．
6．长期以来“卡戎星（Charon）”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6．39天．2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于( )
A.15天 B.25天
C.35天 D.45天
解析：选B.根据开普勒第三定律得eq \f(r,T)＝eq \f(r,T)，所以T2＝eq \r(\f(r,r))T1≈25天，选项B正确，选项A、C、D错误.
二、多项选择题
7．关于开普勒第二定律，正确的理解是( )
A．行星绕太阳运动时，一定是匀速曲线运动
B．行星绕太阳运动时，一定是变速曲线运动
C．行星绕太阳运动时，由于角速度相等，故在近日点处的线速度小于它在远日点处的线速度
D．行星绕太阳运动时，由于它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故它在近日点的速率大于它在远日点的速度
解析：选BD．由于行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，所以相等时间里通过的曲线长度不同，线速度和角速度都不相同．
8．关于开普勒第三定律＝k，下列说法中正确的是( )
A．公式只适用于绕太阳做椭圆轨道运行的行星
B．公式适用于宇宙中所有围绕星球运行的行星（或卫星）
C．式中的k值，对所有的行星（或卫星）都相等
D．围绕不同星球运行的行星（或卫星），其k值不同
解析：选BD．开普勒第三定律＝k适用于所有天体，即适用于行星围绕恒星和卫星围绕行星的运转，故A错误，B正确；式中的常数k是由中心天体决定的，同一中心天体k值相同，不同的中心天体k值不同，故C错误，D正确．
9．把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周，由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得( )
A．火星和地球的质量之比
B．火星和太阳的质量之比
C．火星和地球到太阳的距离之比
D．火星和地球绕太阳运行速度大小之比
解析：选CD．由于火星和地球均绕太阳做圆周运动，由开普勒第三定律＝k，k是只和中心天体有关的量，又v＝，则可知火星和地球到太阳的运行速度大小之比，所以C、D正确．
三、非选择题
10．美国天文学家在2005年7月29日发现的比冥王星更远、且更大的定名为“齐娜”的星体，于2006年8月24日被国际天文学联合会正式定义为八大行星外的矮行星．它位于距太阳1．45×1010km的边缘地带，你能否估计这颗行星的公转周期？
解析：由已知行星的数据，根据开普勒定律可求出其周期，如地球周期T1＝1年，轨道半径r1＝1．49×1011m，“齐娜”的轨道半径r2＝1．45×1013m．由开普勒定律可得eq \f(r,T)＝eq \f(r,T)，所以T2＝＝×1×年≈960年．
答案：约960年
11．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆．天文学家哈雷曾经在1684年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现．哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星．哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律估算，它下一次飞近地球是哪一年？
解析：根据开普勒第三定律可得
eq \f(r,T)＝eq \f(r,T)
T彗＝≈76．4年
则哈雷彗星下一次出现的时间为1986年＋76年＝2062年．
答案：2062年
12．有一个名叫谷神的小行星，质量为m＝1．00×1021 kg，它的轨道半径是地球绕太阳运动半径的2．77倍，求谷神星绕太阳一周所需要的时间．
解析：设地球的轨道半径为R0，则谷神星绕太阳运行的轨道半径为Rn＝2．77R0
又知地球绕太阳运行周期为T0＝365天
据eq \f(R,T)＝eq \f(R,T)得：谷神星绕太阳的运行周期
Tn＝eq \r(\f(R,R))T0＝×365天＝1 683天＝1 683×24×3 600 s＝1．45×108 s．
答案：1 683天或1．45×108 s
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