第3节 圆周运动的实例分析 第4节 圆周运动与人类文明（选学）
1．会在具体问题中分析向心力的来源． 2．能熟练运用向心力公式及圆周运动公式解决有关圆周运动的实际问题． （难点） 3．知道向心力和向心加速度的公式也适用于变速圆周运动．会求变速圆周运动中物体在特殊点的向心力和向心加速度．（重点＋难点） 4．知道什么是离心现象，知道物体做离心运动的条件．
一、汽车过拱形桥
1．向心力来源：重力和桥面的支持力的合力提供向心力．
2．动力学关系
(1)如图甲所示，汽车在凸形桥的最高点时，满足的关系为mg－N＝，N＝mg－，由牛顿第三定律可知，汽车对桥面的压力大小等于支持力，因此汽车在凸形桥上运动时，对桥的压力小于重力．当v＝时，其压力为零．
甲 乙
(2)如图乙所示，汽车经过凹形桥的最低点时，满足的关系为N－mg＝，N＝mg＋，由牛顿第三定律可知，汽车对桥的压力大小N′＝N．汽车过凹形桥时，对桥的压力大于重力．
二、“旋转秋千”
“旋转秋千”运动可简化为圆锥摆模型，如图所示．
1．向心力来源：重力和悬线的拉力的合力提供．
2．动力学关系
mgtan α＝mω2r，又r＝lsin α，
则ω＝，周期T＝2π
所以cos α＝，由此可知，α与角速度ω和绳长l有关，在绳长l确定的情况下，角速度ω越大，α越大．
三、火车转弯
1．火车在弯道上的运动特点
火车车轮上突出的轮缘在铁轨上起到限定方向的作用，如果火车在水平路基上转弯，外轨对轮缘的弹力就是火车转弯的向心力，轮缘与外轨间的作用力很大，铁轨与轮缘极易受损，故实际在转弯处，火车的外轨略高于内轨．
2．向心力的来源
依据轨道半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力和支持力的合力来提供．
四、离心运动
1．定义：物体沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心的运动．
2．原因：合外力提供的向心力消失或不足
3．离心机械：利用离心运动的机械．
4．应用：脱水筒、离心机．
在近地轨道上，各国发射了很多的航天器，如卫星、空间站、各种探测器，还随时发射宇宙飞船、航天飞机，假设
这些航天器都做匀速圆周运动．设想地球的引力突然消失，它们将怎样运动？
提示：这些航天器在引力作用下做匀速圆周运动，若引力突然消失，它们将沿该时刻的速度方向做匀速直线运动，即沿切线方向飞出．
对火车转弯问题的理解
1．在转弯处使外轨略高于内轨
火车转弯时铁轨对火车的支持力N的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力．这就减轻了轮缘与外轨的挤压．在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力N的合力来提供（如图）．
设内外轨间的距离为d，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为v0．由力的合成得向心力为
F合＝mgtan α≈mgsin α＝mg
由牛顿第二定律得：F合＝meq \f(v,R)
所以mg＝meq \f(v,R)
即火车转弯的规定速度v0＝．
2．对火车转弯时速度与向心力的讨论
(1)当火车以规定速度v0转弯时，合力F等于向心力，轮缘与内外轨均无侧压力．
(2)当火车转弯速度v>v0时，该合力F小于向心力，外轨向内挤压轮缘，提供侧压力，与F共同充当向心力．
(3)当火车转弯速度v 汽车、摩托车赛道拐弯处，高速公路转弯处设计成外高内低，也是尽量使车受到的重力和支持力的合力提供向心力，以防止车轮发生侧向滑动．
有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m．（g取10 m/s2）
(1)试计算铁轨受到的侧压力；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值．
[解析] (1)外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有F＝m＝ N＝105 N．
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105 N．
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的弹力的合力正好提供向心力，如图所示，
则mgtan θ＝m
由此可得tan θ＝＝0．1．
[答案] (1)105 N (2)0．1
eq \a\vs4\al()
解决这类题目首先要明确物体转弯做的是圆周运动，其次要找准物体做匀速圆周运动的平面及圆心，理解向心力的来源是物体所受的合力．
1．
（多选）公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc 的值变小
解析：选AC．汽车转弯时，恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明公路外侧高一些，支持力的水平分力刚好提供向心力，此时汽车不受静摩擦力的作用，与路面是否结冰无关，故选项A正确，选项D错误．当vvc时，支持力的水平分力小于所需向心力，汽车有向外侧滑动的趋势，在摩擦力大于最大静摩擦力前不会侧滑，故选项B错误，选项C正确．
对离心运动的理解
1．离心运动的实质
离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象．它的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，总是有沿着圆周切线方向飞出去的趋势，之所以没有飞出去，是因为受到向心力作用．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切线方向拉到圆周上来．一旦作为向心力的合外力突然消失，物体就会沿切线方向飞出去．
2．物体做离心运动的条件
做圆周运动的物体，一旦提供向心力的外力突然消失，或者合外力不能提供足够的向心力时，物体做远离圆心的运动，即离心运动．
3．离心运动的受力特点
物体做离心运动并不是物体受到离心力的作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力．所谓“离心力”也是由效果命名的，实际并不存在．
4．合外力与向心力的关系（如图）
(1)若F合＝mrω2或F合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”．
(2)若F合>mrω2或F合>，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”．
(3)若F合(4)若F合＝0，则物体做直线运动．
离心运动并不是沿半径方向向外远离圆心的运动．
如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动．当小球运动到P点时拉力F发生变化，关于小球以后运动情况的说法正确的是( )
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做直线运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动
[解析] 当拉力变小时，小球会由于拉力不足以提供向心力而做离心运动，同时又由于还有拉力而改变运动方向，所以小球将沿切线和圆周之间的某一方向飞出，即沿轨迹Pb做离心运动；在拉力突然变大后，由于所施加的拉力大于所需的向心力，会把小球向内拉动，偏离了圆周，而向圆心的一侧运动，即沿轨迹Pc运动；若拉力突然消失，小球将由于惯性沿轨迹Pa做直线运动．故只有A正确．
[答案] A
eq \a\vs4\al()
明确向心力的来源和理解离心运动产生的原因是求解本题的关键．
2．下列说法中正确的是( )
A．物体做离心运动时，将离圆心越来越远
B．物体做离心运动时，其运动轨迹是半径逐渐增大的圆
C．做离心运动的物体，一定不受外力的作用
D．做匀速圆周运动的物体，因受合力大小改变而不做圆周运动时，将做离心运动
解析：选A．离心运动指离圆心越来越远的运动，A对．物体做离心运动时，运动轨迹可能是直线，也可能是曲线，但不是圆，B错．当物体的合外力突然为零或小于向心力时，物体做离心运动；当合外力大于向心力时，物体做近心运动，C、D错．
竖直平面内的圆周运动
1．轻绳模型
如图所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，则mg＝，则v＝．在最高点时：
(1)v＝时，拉力或压力为零．
(2)v>时，物体受向下的拉力或压力．
(3)v<时，物体不能达到最高点．
即绳类的临界速度为v临＝．
2．轻杆模型
如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：
(1)v＝0时，小球受向上的支持力N＝mg．
(2)0(3)v＝时，小球除受重力之外不受其他力．
(4)v>时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．
即杆类的临界速度为v临＝0．
命题视角1 轻绳模型分析
（多选）用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示．则下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时，绳子张力可以为0
B．小球通过最高点时的最小速度为0
C．小球刚好通过最高点时的速度是
D．小球通过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力的方向相反
[解析] 设小球通过最高点时的速度为v，由合力提供向心力及牛顿第二定律得mg＋FT＝m．当FT＝0时，v＝，故选项A正确．当v<时，FT<0，而绳子只能产生拉力，不能产生与重力方向相反的支持力，故选项B、D错误．当v>时，FT>0，小球能沿圆弧通过最高点．可见，v≥是小球能沿圆弧通过最高点的条件，故选项C正确．
[答案] AC
命题视角2 轻杆模型分析
如图所示，长为L＝0．5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量为m＝2 kg的小球，取g＝10 m/s2．
(1)如果小球的速度为3 m/s，在最低点时杆对小球的拉力为多大？
(2)如果在最高点杆对小球的支持力为4 N，杆旋转的角速度为多大？
[解析] (1)小球在最低点受力如图甲所示：
合力等于向心力：FA－mg＝m
解得：FA＝56 N．
(2)小球在最高点受力如图乙所示：
则：mg－FB＝mω2L
解得：ω＝4 rad/s．
[答案] (1)56 N (2)4 rad/s
eq \a\vs4\al()
竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型．
(2)明确物体的临界状态，即在最高点物体具有最小速度时的受力特点．
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解．
3．（多选）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
解析：选BC．小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，就相当于在杆的约束下做圆周运动，所以小球沿管上升到最高点的速度可以为零，选项A错，选项B对；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与球重力在背离圆心方向的分力F1的合力提供向心力，即：FN－F1＝m，因此，外侧管壁一定对球有作用力，而内侧壁无作用力，选项C对；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力与小球速度大小有关，选项D错．
[随堂检测]
1．某高速公路弯道处设计为内侧低外侧高的圆弧弯道，使路面与水平面有一倾角α，弯道半径为R．当汽车在该弯道处沿侧向的摩擦力恰为零时，汽车转弯的速度v为( )
A．v＝
B．v＝
C．v＝
D．安全速度与汽车的质量有关
解析：选A．当汽车在该弯道处沿侧向的摩擦力恰为零时，汽车转弯所需的向心力由重力和路面支持力的合力提供，即mgtan α＝m，则汽车的转弯速度为v＝，选项A正确．
2．
（多选）如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时( )
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．小球受到的向心力等于0
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
解析：选CD．小球在最高点时刚好不脱离圆环，则圆环刚好对小球没有作用力，小球只受重力，重力竖直向下提供向心力，根据牛顿第二定律得小球的向心加速度大小为a＝＝g，再根据圆周运动规律得a＝＝g，解得v＝．
3．（多选）质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点，如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时木架停止转动，则( )
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在绳被烧断瞬间，a绳中张力突然增大
C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动
D．若角速度ω较大，小球可在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动
解析：选BCD．绳b烧断前，竖直方向合力为零，即Fa＝mg，烧断b后，因惯性，要在竖直面内做圆周运动，且F′a－mg＝m，所以Fa′>Fa，A错，B对．当ω足够小时，小球不能摆过AB所在高度，C对．当ω足够大时，小球在竖直面内能通过AB上方最高点，从而做圆周运动，D对．
4．质量为103 kg的小汽车驶过一座半径为50 m的圆形拱桥，到达桥顶时的速度为5 m/s．求：
(1)汽车在桥顶时对桥的压力；
(2)如果要求汽车到达桥顶时对桥的压力为零，且车不脱离桥面，到达桥顶时的速度应是多大？
解析：(1)汽车在最高点时重力与支持力的合力提供向心力．
mg－N＝m
N＝mg－m＝9 500 N
由牛顿第三定律可知，汽车对桥的压力N′＝9 500 N（方向竖直向下）．
(2)当汽车对桥面压力恰好为0时，
有：mg＝m
v＝＝10 m/s．
答案：(1)9 500 N，方向竖直向下 (2)10 m/s
[课时作业][学生用书P97（单独成册）]
一、单项选择题
1．冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度为( )
A．v＝k B．v≤
C．v≥ D．v≤
解析：选B．对运动员分析，冰面能提供的最大向心力F向＝kmg＝meq \f(v,R)，解得vmax＝．运动员的安全速度应小于等于，故B正确，A、C、D错误．
2．
如图所示，撑开带有水滴的伞，使其绕着伞柄在竖直面内顺时针旋转，伞面上的水滴随伞做曲线运动．若有水滴从伞面边缘最高处O点飞出，则水滴飞出伞面后的运动可能是( )
A．沿曲线Oc做曲线运动
B．沿直线Ob做匀速直线运动
C．沿曲线Oa做曲线运动
D．沿圆弧Od做匀速圆周运动
解析：选A．水滴从伞面边缘最高处O点飞出做离心运动，提供向心力的附着力突然消失，由于惯性将沿切线方向飞出，过O点的切线水平，故飞出时具有水平初速度，飞出后水滴受重力作用，若忽略空气阻力，水滴做平抛运动，曲线Oc是可能的运动轨迹，选项A正确．
3．
如图所示，将完全相同的两个小球A、B，用长L＝0．8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比FB∶FA为（g＝10 m/s2）( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
解析：选C．小车突然停止运动后，小球A从最低端开始向右做圆周运动，即FA－mg＝m，FA＝mg＋m＝30m；小车突然停止运动后，小球B也立刻静止，故FB＝mg＝10m．所以FB∶FA＝1∶3，C对．
4．
如图杂技演员在表演水流星节目时，盛水的杯子在竖直平面内做圆周运动，当杯子经过最高点时，里面的水也不会流出来，这是因为( )
A．水处于失重状态，不受重力的作用
B．水受的合力为零
C．水受的合力提供向心力，使水做圆周运动
D．杯子特殊，杯底对水有吸引力
解析：选C．水处于失重状态，仍然受到重力作用．这时水受的合力提供向心力，使水做圆周运动．
5．质量为m的物体随水平传送带一起匀速运动，A为传送带的终端皮带轮，如图所示，皮带轮半径为r，要使物体通过终端时能水平抛出，皮带轮的转速至少为( )
A． B．
C． D．
解析：选A．若物体通过终端能水平抛出，说明到达皮带轮时刻，物体与皮带轮间无相互作用力，即重力充当向心力，则mg＝，即v＝，而n＝＝＝ ．
6．
如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2．5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2．则ω的最大值是( )
A． rad/s B． rad/s
C．1．0 rad/s D．0．5 rad/s
解析：选C．考查圆周运动的向心力表达式．当小物体转动到最低点时为临界点，由牛顿第二定律知，μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2r解得ω＝1．0 rad/s，故选项C正确．
7．地球可以看做一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球的半径（约为6 400 km）．地面上有一辆汽车在行驶，已知汽车的速度越大，地面对它的支持力就越小．当汽车的速度达到下列哪个值时，地面对车的支持力恰好为零( )
A．0．5 km/s B．7．9 km/s
C．11．2 km/s D．16．7 km/s
解析：选B．若地面对车的支持力恰好为零，那么车的重力提供向心力，即mg＝，所以v＝＝ m/s＝7．9×103 m/s＝7．9 km/s．
二、多项选择题
8．京广高铁全线贯通，全程2 298 km，列车时速达到350 km以上．为解决火车高速转弯时不使外轨受损这一难题，你认为以下措施可行的是( )
A．减小内外轨的高度差 B．增加内外轨的高度差
C．减小弯道半径 D．增大弯道半径
解析：选BD．把火车转弯近似看成是做匀速圆周运动，增加内外轨的高度差，尽可能使轨道平面对火车的支持力与火车重力的合力提供向心力，可有效减小火车对外轨的侧向挤压，B正确；同时，尽可能增大弯道半径，减小火车转弯时的向心力也能起到保护外轨的作用，D正确．
9．
中央电视台《今日说法》栏目报道了一起发生在湖南长沙某区湘府路上的离奇交通事故．家住公路拐弯处的张先生和李先生在三个月内连续遭遇七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八次有辆卡车冲撞进李先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图所示．交警根据图示作出以下判断，你认为正确的是( )
A．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动
B．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动
C．公路在设计上可能内（东）高外（西）低
D．公路在设计上可能外（西）高内（东）低
解析：选AC．汽车进入民宅，远离圆心，因而车做离心运动，A对，B错．汽车在水平公路上拐弯时，静摩擦力提供向心力，此处，汽车以与水平公路上相同速度拐弯，易发生侧翻，摩擦力不足以提供向心力；也可能是路面设计不太合理，内高外低．重力沿斜面方向的分力背离圆心而致，C对，D错．
三、非选择题
10．
如图所示是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道．表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动．已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝的速度过轨道最高点B，并以v2＝v1的速度过最低点A．求在A、B两点摩托车对轨道的压力大小相差多少？
解析：在B点，FB＋mg＝meq \f(v,R)
解之得FB＝mg，根据牛顿第三定律，摩托车对轨道的压力大小F′B＝FB＝mg
在A点，FA－mg＝meq \f(v,R)
解之得FA＝7mg，根据牛顿第三定律，摩托车对轨道的压力大小F′A＝FA＝7mg，所以在A、B两点车对轨道的压力大小相差F′A－F′B＝6mg．
答案：6mg
11．如图所示，被长为L的细绳系着的小球A能绕O点在竖直平面内做圆周运动，O点离地面的竖直高度为h＝3L，如果绳受到的拉力等于小球重力的5倍时就会断裂，那么小球运动到最低点的速度多大时，绳恰好断裂？小球以该速度飞出后落地点距O点的水平距离为多少？
解析：小球在最低点绳恰好断裂时，绳上拉力为T＝5mg，根据牛顿第二定律得，T－mg＝meq \f(v,L)
则小球在最低点的速度为v0＝
小球在最低点细绳恰好断裂后做平抛运动，则
h－L＝gt2
h＝3L且s＝v0t
联立解得：s＝4L．
答案： 4L
12．如图所示，质量为m的小球置于方形的光滑盒子中，盒子的边长略大于小球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内以O点为圆心做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，求：
(1)若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力，则该同学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
(2)若该同学拿着盒子以第(1)问中周期的做匀速圆周运动，则当盒子运动到如图所示位置（球心与O点位于同一水平面上）时，小球对盒子的哪些面有作用力？作用力大小分别为多少？
解析：(1)设盒子的运动周期为T0．因为在最高点时盒子与小球之间刚好无作用力，因此小球仅受重力作用，由重力提供向心力，根据牛顿运动定律得mg＝mR
解得T0＝2π．
(2)此时盒子的运动周期为，则小球的向心加速度为a0＝R
由第(1)问知T0＝2π，且T′＝
由上述三式知a0＝4g
设小球受盒子右侧面的作用力为F，受上侧面的作用力为N，根据牛顿运动定律知
在水平方向上F＝ma0
即F＝4mg
在竖直方向上N＋mg＝0
即N＝－mg
因为F为正值、N为负值，所以小球对盒子的右侧面和下侧面有作用力，大小分别为4mg和mg．
答案：(1)2π (2)右侧面：4mg 下侧面：mg
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第二章 匀速圆周运动
第二章 匀速圆周运动
预习导学新知探究
梳理知识·夯实基础
多维课堂,师生动
突破疑难·讲练提升
