导数的三板斧之切线 （PDF版）

专题 1 导数的三板斧之切线
切线、同构、分而治之被称为导数的三板斧，这也是导数求最值证明不等式的核心力量，
如果需要一个打辅助的，那就是“指数找基友，对数单身狗”，以此作为本章开篇是因为这
三板斧均在秒 1和秒 2中闪亮登场，作为指对跨阶新贵，同构更是大篇幅介绍，点燃了 2019
年的一把火，相比之下，有一个绝招却被大家忽视了，这就是分而治之。2020年，三板斧
聚齐，才能形成闭环效应，缺一不可。
第一讲 切线的根基玩法
y ? e x在点 (0， 1)处的切线方程为 y ? x ?1，我们通常表示为 e x ? x ?1，当仅当 x ? 0
时等号成立； y ? ln x在点 (1， 0)处的切线方程为 y ? x ?1，我们通常表示为 ln x ? x ?1，当
仅当 x ?1时等号成立；这两个是全天下皆知的事情，殊不知所有切线，都可以按照这个套
路法来求。
y ? e x在点 (1， e)处的切线方程我们可以按照不等式等效替换法求得，抓住 x ?1是切
点，故将原来的 x替换为 x ?1，即 e x?1 ? (x ?1) ?1? e x ? ex，故切线方程为 y ? ex，同理，
y ? e x在点 (?1 e?1) e x?1 (x 1) 1 1 2 1 2， 处的切线方程可以根据 ? ? ? ? e x ? x ? 求得 y ? x ? ；
e e e e
y ? e x的切线方程为 y ? 2x ? b，抓住 k ? 2，由于我们所知道的切线方程斜率为1，
故 可 以 通 过 除 法 变 成 熟 悉 形 式 ：
e x 2x b e
x b
? ? ? ? x ? ? e x?ln 2 ? x ? ln 2 ?1? e x ? 2x ? 2ln 2 ? 2 ? 2x ? b，根据此不等式，
2 2
我们可以得出三个结论：① y ? e x在斜率为 2 的位置的切线方程为 y ? 2x ? 2 ? 2ln 2，②若
e x ? 2x ? b恒成立，则 b ? 2 ? 2ln 2；③ e x ? ax ? 2 ? 2ln 2恒成立，则 0 ? a ? 2 .
y ? ln x 的 切 线 方 程 为 y ? 2x ? b ， 抓 住 2x 为 整 体 ，
ln 2x ? 2x ?1? ln x ? 2x ?1? ln 2 ? 2x ? b，根据此不等式，我们可以得出三个结论：① y?lnx
在斜率为 2 的位置的切线方程为 y ? 2x ?1? ln 2，②若 ln x ? 2x ? b恒成立，则 b ? ?1? ln 2；
③ ln x ? ax ?1? ln 2恒成立，则 a ? 2 .
y x? ln x在点 (2， ln 2)处的切线方程，我们抓住 x ? 2是切点，即 ?1，故将原来的 x
2
x
替 换 为 ， 即 ln x x x x? ?1? ln x ? ln 2 ? ?1? ln x ? ?1? ln 2 ， 故 切 线 方 程 为
2 2 2 2 2
y x? ?1? ln 2，同理， y ? ln x在点 (e，1)处的切线方程可以根据 ln ex ? ex ?1? ln x ? ex，求
2
得切线 y ? ex；
秒杀秘籍：指数对数切线找点
指数切线切点找点： e x?x0 ? x ? x0 ?1，转化为 e
x ? e x0 x ? e x0 (?x0 ?1)
x x x
对数切线切点找点： ln ? ?1，转化为 ln x ? ?1? ln x
x0 x
0
0 x0
指数切线斜率找点： e x ? kx ? b? x0 ? ln k， b ? k(1? ln k)
1
对数切线斜率找点： ln x ? kx ? b? x0 ? ， b ? ?1? ln kk
总结归纳起来，就是指数平移找点，对数倍缩找点，那么在一些其它常见函数，是否也有类
似性质呢？
1
我们介绍几个常见的切线不等式，在 x ?1作为切点时， x2 ? 2x ?1， ? 2 ? x；
x
x
用 替换 x ?1 1 x当中切线不等式的 x，可得在 x ? 2作为切点时， x2 ? 4x ? 4， ?1? ；
2 x 4
x 2 1 2 x
同理，当 x ? x0 作为切点时，用 替换 x得： x
2 ? 2x0x ? x0 ， ? ? 2 ； 这个都是倍x0 x x0 x0
x
缩找点，通常都是按照 x ?1的切线方程进行 替换，这种方式适合对数函数、反比例函数、
x0
对勾函数和飘带函数等，这一系列函数通常为凸函数，通常在 x ? 0处没有意义。
关于平移找点，通常出现在 x ? 0有切线的凹函数，比如指数函数，二次函数，三次函数等，
关于 e x ? x ?1、 x2 ? 0和 x3 ? 0这三个在 x ? 0处的切线不等式，为了求得 x ?1处的切线不
等 式 ， 我 们 分 别 用 x ?1 替 换 ， e x?1 ? x? e x ? ex ， (x ?1)2 ? 0? x2 ? 2x ?1 ，
(x ?1)3 ? 0? x3 ? 3x2 ? 3x ?1? 3? (2x ?1) ? 3x ?1? 3x ? 2，虽然三次函数切线式我们很少这
样求，但我们仅用此来解释切线找点方法.
当然，有的也需要根据题意去变化， x ? ln(x ?1) 和 e2x ? 2x ?1这些式由于题目给到了
ln(x ?1)和 e2x 这类非原始的指数对数函数，关键问题还是找准切点进行放缩.
秒杀秘籍：切线求和定理
y ? f (x)与 y ? g(x)在点 x ? x0 的切线方程分别为 y ? l1(x)和 y ? l2 (x)，则 y ? f (x) ? g(x)在
点 x ? x0 处的切线方程为 y ? l1(x) ? l2 (x) .例如： y ? e
x ? ln 2x ? e x ? (? ln x ? ln 2)在点 x ?1处
切 线 方 程 为 y ? e x 切 线 y ? ex 与 y ? ? ln x ? ln 2 的 切 线 y ? ?(x ?1? ln 2) 的 和 ， 即
y ? (e ?1)x ?1? ln 2 .
例 1.（2019?上高县校级月考）已知 f（x）为奇函数，当 x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）﹣x，
则曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（ ）
A．2x+y﹣1＝0 B．2x﹣y﹣1＝0 C．2x+y+1＝0 D．2x﹣y﹣3＝0
解：法一：设 x ? 0，则 ?x ? 0，
? f (x) 为奇函数，且当 x ? 0 时， f (x) ? ln(?x) ? x ，? f (x) ? ? f (?x) ? ?lnx ? x ，则
f 1?(x) ? ? ?1(x ? 0)，
x
? 则 f ?(1) ? ?2 ，又 f (1) ? ?1 ，? 曲线 y ? f (x) 在点 (1 ， f (1) ) 处的切线方程是
y ?1? ?2(x ?1) ，
即 2x ? y ?1? 0．故选： A．
法二：根据奇函数定理可知 x ? 0时， f (x) ? ? f (?x) ? ? ln x ? x，由于 y ? ?x切线为 y ? ?x，
y ? ? ln x在 x ?1处切线为 y ? ?x ?1，即 y ? f (x)切线为 y ? ?2x ?1．故选：A．
例 2.（2018?南山区校级期末）已知曲线 C的方程为 y＝ln（x+1）+e2x，则曲线 C在点 A（0，
1）处的切线方程为（ ）
A．y＝3x+1 B．y＝2x+1 C．y＝﹣3x+1 D．y＝﹣2x+1
例 3（. 2019?河南月考）若曲线 y＝ex+1在 x＝0处的切线，也是 y＝lnx+b的切线，则 b＝（ ）
A．﹣1 B．2 C．e D．3
解：法一：y'＝ex，∴x＝0处的切线斜率为 k＝1，又∵切点（0，2），∴x＝0处的切线方
程为 y＝x+2，

∵y＝lnx+b 的导数为 y' ，设切点坐标为（x0，y0），∴ 1，∴x 0
＝1，y0＝x0+2＝3，

∴切点坐标为（1，3），代入 y＝lnx+b，得：b＝3，故选：D．
法二： e x ?1? x ?1?1? x ?1? 3 ? ln x ? 3，得：b＝3，故选：D．
例 4.（2019?河南月考）若函数 f（x）＝e2x+1 ，则曲线 y＝f（x）在点 晦 ， 晦 处的切
线方程为（ ）
A．2x+y+2＝0 B．2x﹣y+2＝0 C．2x+y﹣2＝0 D．2x﹣y﹣2＝0
解：法一：? f (x) ? e2x?1 1，? f (? ) ? e0 ?1，又 f ?(x) ? 2e2x?1，? f ?( 1? ) ? 2．
2 2
1
?曲线 y ? f (x)在点 (? , f ( 1 1? ))处的切线方程为 y ?1? 2[x ? (? )]，即 2x ? y ? 2 ? 0．故选：
2 2 2
B．
法二：抓住切点 x 1? ? ，即 2x ?1? 0，故 e2x?1 ? 2x ?1?1，，即 2x ? y ? 2 ? 0．故选：B．
2
例 5.（2019?南阳期中）设函数 f (x) ? x ? ex，直线 y ? kx ? b是曲线 y ? f (x)的切线，则 k ? b
的最大值为 ( )
A． e B．2 C．1? e D．1? e
x
例 6.（2019?烟台期中）已知函数 f (x) ? x2的在 x ? 1处的切线与函数 g(x) e? 的图象相切，
a
则实数 a ? ( )
A e e． e B． C e． D． e e
2 2
例 7（. 2019?昌江区校级期中）函数 f (x) ? x2，g(x) ? 2lnx ? a的图象有公共点，则 a? ( )
A．[e,??) B． (1,??) C．[1， ??) D． (??,1]
例 8.（2019?福建月考）若直线 y ? kx ? b既是曲线 y ? lnx ? 2的切线，又是曲线 y ? ln(x ? 3)
的切线，则 b ? ．
注意：此题有一个结论，就是两个形状完全相同的函数公切线，斜率一定为平移的纵坐标（下
2
移）比上横坐标（左移）的比值，本题 k ? ，即为 y ? ln x ? 2经过下移 2 个单位和左移 3
3
个单位后得到 y ? ln(x ? 3)，这个具体的证明可以参考秒 1 的《数形结合秒杀公切线》专题。
第二讲 六大函数切线问题
x
学习导数，一定要拿下常规的六大函数为 y xe x y x y e ln x? 、 ? x 、 ? 、y ? x ln x、y ? 、e x x
y x? ，由于在之前秒 2的同构式介绍了很多六大函数，这里就只介绍他们切线的表达式.
ln x
先选取函数 y ? xe x 在 x ? 0处切线不等式 xe x ? x，再选取 x ?1处进行变换，根据切线找点
定理，用 x ?1替换 x 得： (x ?1)e x?1 ? x ?1? xe x ? e x ? ex ? e ，再根据切线求和定理得
xe x ? e x e 1? ex ? e ? 2ex ? e，再同除以 x得： xe x ? 2ex ? e? e x ? 2e ? ，故 e x?1 ? 2 ?
x x，如
x
图可知，由于 y ? e 和反比例函数属于凹凸不一致，故此函数的切线切点变化空间相对比较
狭窄，变化更多的显然在对数函数，这也印证了那句口诀，指对混合型不等式，往往“放对
再放指，不行找基友”。
x x 2
关 于 y e? ， 通 常 的 切 线 在 x ? 2 e e处 ， 即 ? x ， 其 实 就 是 来 自
x x 4
x 2
e x ex ex e? ? e 2 ? ? e x ? x2 的推导式；
2 4
ln x
关于对数切线，最常见的就是切线的不等式连串， x2 ? x ? x ln x ? x ?1? ln x ? ，当仅当
x
x ?1时等号成立（如图），证明过程均来自不等式 x ?1? ln x的推导，具体切线放缩技巧
我们会在例题中一一道来；
例 9.（2019?贵州期末）若曲线 f (x) ? mx?ex ? n在点 (1， f (1) )处的切线方程为 y ? ex，则
m ? n的值为 ( )
A e ?1 B e ?1 C 1 e． ． ． D．
2 2 2 2
解：法一：由 f (x) ? mx?ex ? n，得 f ?(x) ? m?ex ?mx?ex，又曲线 f (x) ? mx?ex ? n在点 (1，f (1) )
? 1
? f (1) ? me ?m ? e ?m ?? e ?1
处的切线方程为 y ? ex，? 2? ，解得 ? ，?m ? n ? ．故选： A．
? f ?(1) ? me ?me ? e ?n e 2?
?? 2
1? e
法二： xe x ? 2ex ? e? mxe x ? n ? 2mex ?me ? n ? ex? m ? n ? ．故选：A．
2
x?1
例 10.（2019 e?香坊区校级期末）已知函数 f (x) ? ，则函数 f (x)在 x ? 1处的切线方程为
x ?1
( )
A． x ? 4y ?1? 0 B． x ? 4y ?1? 0 C． x ? y ? 0 D． x ? 4y ? 3 ? 0
例 11.（2019?内考月考）曲线 f (x) ? x2 ? xlnx在点 (1， f (1) )处的切线与直线 x ? ay ?1? 0平
行，则 a ? ( )
A 1 B 1． ． C．1 D．2
3 2
例 12.（2019 1? lnx 1?临夏市校级月考）函数 f (x) ? 的图象在 x ? 处的切线方程是 ( )
x e
A． ex ? y ?1? 0 B． ex ? y ?1? 0 C． e2x ? y ? e ? 0 D． e2x ? y ? e ? 0
例 13.（2019?南平期末）设函数 f (x) ? xlnx的图象与直线 y ? 2x ? m相切，则实数m的值为
( )
A． e B． ?e C． ?2e D． 2e
例 14.（2019?杏花岭区校级月考）若 P是函数 f (x) ? xlnx图象上的动点，点 A(0， ?1)，则
直线 AP斜率的取值范围是 ( )
A．[1， ??) B． [0，1] C 1 1． ( ， e] D． (??， ]
e e
例 15.（2019?沙坪坝区校级月考）曲线 y ? (2x ?1)ex 在点 (0,?1)处的切线方程为 ．
例 16.（2019?安康月考）若曲线 f (x) ? (ax ?1)ex?2在点 (2， f (2) )处的切线过点 (3， 3) ，
则函数 f (x)的单调递增区间为 ( )
A． (0,??) B． (??,0) C． (2,??) D． (??, 2)
第二讲 双变量乘积最值问题
秒杀秘籍：找点+同构秒杀双变量乘积最值根据指数切线斜率找点：
2 2 2
e x ? ax ? b? x0 ? ln a， b ? a(1? ln a)? ab ? ?a
2 ln a e a? ? 2 ln
a e
2 ? 根据对数切线斜率e 2 e e 2
1 1 1
找点： ln x ? ax ? b? x0 ? ， b ? ?1? ln a? ab ? ?a(1? ln a) ? ? ae ln ae ?a e e2
有关 e x ? ax ? b或者 ln x ? ax ? b恒成立，求 ab的最大值问题，最早来自于 2012高考，
此类型题就是切线+同构求出最值，在之前秒 1里面，我们介绍了零点比大小来秒杀双变量
比值以及双变量加法问题，其几何本质就是在零点位置相切，双变量乘法本质来自于切线斜
率和截距乘积，在最后最值得处理中往往需要用到同构.
例 17.（2012 1?新课标）已知函数 f (x)满足 f (x) ? f ?(1) ex?1 ? f (0)x ? x2；
2
（1）求 f (x)的解析式及单调区间；
2 f (x) 1（ ）若 x2 ? ax ? b，求 (a ?1)b的最大值．
2
例 18.（2020?四川模拟）已知直线 y ? 2x与曲线 f (x) ? ln(ax ? b)相切，则 ab的最大值为 (
) A e B e． ． C． e D． 2e
4 2
a 1
解：法一：设切点为 (x0 ， ln(ax0 ? b))，则由 f ?(x0 ) ? ? 2，得 ax0 ? b ? a(a ? 0)，ax0 ? b 2
ln(ax b) 2x x 1 ln(ax b) 1 ln a b a ax a a a又由 0 ? ? 0，得 0 ? 0 ? ? ，则 ? ? 0 ? ? ln ，2 2 2 2 2 2 2
ab 1 a2 1 a2ln a有 ? ? (a ? 0) g(a) 1 a2 1 a2ln a g (a) 1 a．令 ? ? ，则 ? ? a( ? ln )．
2 2 2 2 2 2 2 2
故当 0 ? a ? 2 e时， g?(a) ? 0；当 a ? 2 e 时， g?(a) ? 0．?当 a ? 2 e 时， g(a)取极大值
也 是 最 大 值 为 g(2 e) ? e 故 选 ： C 法 二 ：
2
2x ? ln(ax ? b) ? ln[a ? (2x 2b? )]? 2x ? ln a 2b a? (2x ? ) ?1? ln ? ln(2x 2b a a? )? ab ? (1? ln )
2 a 2 a 2 a 2 2
1 a2 2 2 2
，同构， h(x) a a a a a 1? ?x ln x ? ，则 ab ? (1? ln ) ? ? ln ? ?e2 ? ln ? e22 2 ? ? e .e 2 2 2 2e 4e 4e e
a 2
法三： 2x ? ln(ax ? b)? e2x
2x?ln
? ax a 2b a a? b? e 2 ? 2x ? ln ?1? 2x ? ? ab ? (1? ln ) ，
2 a 2 2
e
法 四 ： 暴 力 结 论 ： x ? ln(ax ? b)? ab ? ， 则
2
2x ? ln(ax ? b)? x ? ln(a x b) a b e? ? ? ? ab ? e，俗话说大题用套路，小题用结论，虽然
2 2 2
某些老师反感用结论来秒杀，但在摸清楚结论来源后，才知道结论如何关键时候关键使用，
从而达到高观点低运算。
例 19.（2019?沧州月考）已知常数 a，b? R，且不等式 x ? alnx ? a ? b ? 0解集为空集，则 ab
的最大值为 ．
例 20.（2020 1?景德镇一模）已知函数 f (x) ? ( ? a)ln(x 1? )(x ? 0)
x a
（1）当 a 1时，证明函数 f (x)是增函数；（2）是否存在实数 k，使得只有唯一的正数 a，
当 x ? 0时恒有： f (x) k(x 1? )，若这样的实数 k存在，试求： k， a的值，若不存在，请
a
说明理由．