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第九章 不等式与不等式组
9.1.1 不等式及其解集
问题 一辆匀速行驶的汽车在 11:20 距离 A 地 50 km,要在 12:00 之前驶过 A 地,车速应满足什么条件？
分析 设车速是 x km/h.
从时间上看,汽车要在 12:00 之前驶过 A 地,
则以这个速度行驶 50 km所用的时间不到 h,
即
9.1.1 不等式及其解集
从路程上看,汽车要在 12:00 之前驶过 A 地,则以这个速度行驶 h的 路程要超过50 km,即
式子①和②从不同角度表示了车速应满足的条件.
9.1.1 不等式及其解集
像①和②这样用符号“<”或“>”表示大小关系的式子,叫做不等式 (inequality). 像 a+2 ≠ a－2 这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式 .
有些不等式中不含未知数,例如 3< 4,－1>－2.有些不等式中含有未知数,例如①和②式中字母 x 表示未知数.
9.1.1 不等式及其解集
虽然①和②式表示了车速应满足的条件,但是我们希望更明确地得出 x 应取哪些值.例如对不等式②,当 x =80 时, x > 50; x =78 时, x >50;当 x =75时, x = 50; 当
x =72时, x <50.这就是说,当 x 取某些值(如80,78)时,不等式 x >50 成立;当 x 取某些值(如75,72)时,不等式
x >50 不成立.与方程的解类似,我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
9.1.1 不等式及其解集
例如80和78是不等式 x >50的解,而75和72不是不等式 x >50的解.
3
2
3
2
9.1.1 不等式及其解集
除了80和78是不等式 x>50还有其他解吗？如果有,这些解应满足什么条件？
3
2
思 考
9.1.1 不等式及其解集
在表示75的点上画空心圆圈，表示不包含这一点.
0 75
可以发现,当 x >75时,不等式 x>50总成立;而当 x<75或x=75时,不等式 x>50不成立.这就是说,任何一个大于75的数都是不等式 x>50的解,这样的解有无数个;任何一个小于或等于 75 的数都不是不等式 x>50的解.因此,x>75表示了能使不等式 x>50成立的 x 的取值范围,它可以在数轴上表示.
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
9.1.1 不等式及其解集
由上可知,在前面问题中,汽车要在12:00之前驶过A地,车速必须大于75km/h.
一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集 (solution set). 求不等式的解集的过程叫做解不等式.
由不等式①能得出这个结果吗？
9.1.1 不等式及其解集
课内练习
1
用不等式表示:
(1) a是正数; (2) a是负数;
(3) a与5的和小于7; (4) a与2的差大于－1;
(5) a的4倍大于8; (6) a的一半小于3.
9.1.1 不等式及其解集
(1) a>0; (2) a<0;
(3) a+5<7; (4) a－2>－1;
(5) 4a>8; (6) a<3.
解：
9.1.1 不等式及其解集
2
下列数中哪些是不等式 x+3>6 的解？哪些不是？
－4,－2.5,0,1,2.5,3,3.2,4.8,8,12.
9.1.1 不等式及其解集
3.2,4.8,8,12是不等式 x+3>6的解;－4,－2.5,
0,1,2.5,3不是不等式 x+3>6 的解．
解：
9.1.1 不等式及其解集
3
直接说出下列不等式的解集:
(1) x+3 > 6;
(2) 2x < 8;
(3) x－2 > 0.
9.1.1 不等式及其解集
(1) x>3; (2) x<4; (3) x>2.
解：
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第九章 不等式与不等式组
9.1.2 第2课时 不等式的性质的应用
利用不等式的性质解下列不等式:
(1) x－ 7 > 26; (2) 3x < 2x+1;
(3) x > 50; (4) －4x > 3.
例1
解不等式,就是要借助不等式的性质使不等式
逐步化为 x>a 或 x
分析
9.1.2 第2课时 不等式的性质的应用
(1) 根据不等式的性质1,不等式两边加7,不等号
的方向不变,所以
x－7+7 > 26+7,
x > 33.
(2) 根据不等式的性质1,不等式两边减2x,不等
号的方向不变,所以
3x－2x < 2x+1－2x,
x < 1.
解
9.1.2 第2课时 不等式的性质的应用
(3) 根据不等式的性质2,不等式两边乘 . 不等号
的方向不变,所以
x > 75.
(4) 根据不等式的性质3,不等式两边除以－4,不等
号的方向改变,所以
9.1.2 第2课时 不等式的性质的应用
不等式的解集也可以在数轴上表示,如上例中不等式x－7>26的解集在数轴上的表示如图所示.
0 33
9.1.2 第2课时 不等式的性质的应用
不等式3x<2x+1的解集在数轴上的表示如图所示.
0 1
9.1.2 第2课时 不等式的性质的应用
请你在数轴上表示例1中其他两个不等式的解集.
像a≥b或a≤b 这样的式子,也经常用来表示两个数量的大小关系.例如,为了表示2011年9月1日北京的最低气温是19°C,最高气温是28°C ,我们可以用 t 表示这天的气温,
t 是随时间变化的,但是它有一定的变化范围,即 t ≥19°C 并且 t ≤28°C.符号“≥”读作“大于或等于”,也可说是“不小于”;符号“≤”读作“小于或等于”,也可说是“不大于”. a ≥ b或 a ≤ b形式的式子,具有与前面所说的不等式的性质类似的性质.
9.1.2 第2课时 不等式的性质的应用
符号“≥ ”与“>”的意思有什么区别？“≤”与“<”呢？
9.1.2 第2课时 不等式的性质的应用
某长方体形状的容器长 5 cm,宽 3 cm,高 10 cm.容器内原有水的高度为 3 cm,现准备向它继续注水. 用V(单位：cm3)表示新注入水 的体积,写出V 的取值范围 .
例2
9.1.2 第2课时 不等式的性质的应用
解
新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过
容器的容积,即
V+3×5×3≤3×5×10,
V≤105.
9.1.2 第2课时 不等式的性质的应用
又由于新注入水的体积 V 不能是负数,因此,V 的取值范围是
V ≥0 并且 V≤105.
在数轴上表示V的取值范围如图所示.
在表示0和105的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个数.
9.1.2 第2课时 不等式的性质的应用
用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示解集:
(1) x+5 >－1; (2) 4x < 3x－5;
(4) －8x > 10.
课内练习
1
9.1.2 第2课时 不等式的性质的应用
(1) 根据不等式的性质1,不等式两边都减去5, 得 x＋5－5 >－1－5, 所以 x >－6.
在数轴上表示这个不等式的解集如图所示．
解
9.1.2 第2课时 不等式的性质的应用
(2) 根据不等式的性质1,不等式两边都减去 3x,
得4x－3x<3x－5－3x, 所以 x<－5.
在数轴上表示这个不等式的解集如图所示．
9.1.2 第2课时 不等式的性质的应用
(3) 根据不等式的性质2,不等式两边都乘以7
(或除以 ),得 ,
所以 x<6.
在数轴上表示这个不等式的解集如图所示.
9.1.2 第2课时 不等式的性质的应用
(4) 根据不等式的性质3,不等式两边都除以－8
(或乘以 ),得(－8x)÷(－8)<10÷(－8)
(或(－8x)× <10× ),
所以 x<
在数轴上表示这个不等式的解集如图所示．
9.1.2 第2课时 不等式的性质的应用
用不等式表示下列语句并写出解集,并在数轴上表示解集:
(1) x 的3倍大于或等于1;
(2) x 与3的和不小于6;
(3) y 与1的差不大于0;
(4) y 的 小于或等于－2.
4
1
2
9.1.2 第2课时 不等式的性质的应用
(1) 3x ≥1, x ≥ ; (2) x+3≥6,x ≥3;
(3) y－1≤0,y≤1; (4) ≤－2,y ≤－8.
3
1
4
y
解
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第九章 不等式与不等式组
9.1.2 第1课时 不等式的性质
对于某些简单的不等式,我们可以直接得出它们的解集,例如不等式 x+3>6 的解集是 x>3,不等式 2x<8 的解集是 x<4.
但是对于比较复杂的不等式,例如 ,直接得出解集就比较困难.因此,还要讨论怎样解不等式.与解方程需要依据等式的性质一样,解不等式需要依据不等式的性质.为此,我们先来看看不等式有什么性质.
6
5x+1
－2>
4
x－5
9.1.2 第1课时 不等式的性质
我们知道,等式两边加或减同一个数(或式子),乘或除以同一个数(除数不为0),结果仍相等.不等式是否也有类似的性质呢？
9.1.2 第1课时 不等式的性质
用“>”或“<”填空,并总结其中的规律:
(1) 5＞3,5+2 3+2, 5－2 3－2;
(2) －1＜3,－1+ 2 3 + 2, －1－3 3－3;
(3) 6＞2,6×5 2×5,6×(－5) 2×(－5);
(4) －2＜3,(－2)×6 3×6,(－2)×(－6) 3× (－6) .
思 考
9.1.2 第1课时 不等式的性质
根据发现的规律填空:当不等式两边加或减同一个数(正数或负数)时,不等号的方向 .当不等式两边乘同一个正数时,不等号的方向 ;而乘同一个负数时,不等号的方向 .
换一些其他的数，验证这个发现.
9.1.2 第1课时 不等式的性质
不等式的性质1 不等式两边加(或减)同一个数
(或式子) ,不等号的方向不变.
一般地,不等式有以下性质.
如果a>b,那么a±c>b±c.
9.1.2 第1课时 不等式的性质
不等式的性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
如果 a>b,c>0,那么ac>bc
9.1.2 第1课时 不等式的性质
不等式的性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数不等号的方向改变.
如果a>b,c<0,那么ac
9.1.2 第1课时 不等式的性质
比较上面性质2和性质3,指出它们有什么区别.再比较等式的性质和不等式的性质,它们有什么异同？
9.1.2 第1课时 不等式的性质
设a＞b,用“＜”或“＞”填空：
(1) a＋2_____b＋2;
(2) a－3_____b－3;
(3) －4a_____－4b;
(4)
>
>
<
>
课内练习
1
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