2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题13计数原理与数学归纳法
2020年江苏高考核心考点
1.江苏高考对计数原理的考查通常与分布列，期望等一起综合考查，属于压轴题型。
2.江苏高考对推理证明（数学归纳法）常与数列，二项式定理综合考查，难度中档及以上。
专项突破
一、解答题：本大题共16小题，共计160分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1.（2019—2020学年度江苏百校联考试卷）
已知正项数列的前项和.
（1）若数列为等比数列，求数列公比的值；
（2）设正项数列的前项和为，若，且.
①求数列的通项公式；
②求证：
2.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）
已知集合，，，将的所有子集任意排列，得到一个有序集合组，其中.记集合中元素的个数为，，，规定空集中元素的个数为.
当时，求的值；
利用数学归纳法证明：不论为何值，总存在有序集合组，满足任意，，都有.
3.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）
我们称n(n)元有序实数组(，，…，)为n维向量，为该向量的范数．已知n维向量＝(，，…，)，其中{﹣1，0，1}，i＝1，2，…，n．记范数为奇数的n维向量的个数为An，这An个向量的范数之和为Bn．
（1）求A2和B2的值；
（2）当n为偶数时，求An，Bn（用n表示）．
4.（江苏省如皋中学高三数学模拟考试数学试卷）
记(且)的展开式中含项的系数为,含项的系数为.
（1）求;
（2）若,对n＝2,3,4成立,求实数的值;
（3）对（2）中的实数,用数学归纳法证明:对任意且都成立.
5.（江苏省南通市2020届高三数学模拟测试卷）
已知（1+2x）2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n（n∈N*）
（1）求a0+a2+a4+..+a2n的值；
（2）当n=5时，求ak（k=0，1，2，…2n）的最大值；
6.对于任意的，，用数学归纳法证明:
7.已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求证：当时，.
8.已知为给定的正整数，设，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
9.设n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2.
(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；
(2)证明：对任意正整数n，f(n)是8的倍数.
10.平面上有个点，将每一个点染上红色或蓝色.从这个点中，任取个点，记个点颜色相同的所有不同取法总数为.
（1）若，求的最小值；
（2）若，求证：.
11.设，．
（1）求的值；
（2）化简．
12.设．
（1）若数列的各项均为1，求证：；
（2）若对任意大于等于2的正整数，都有恒成立，试证明数列是等差数列．
13.证明下列恒等式：
（1）；
（2）.
14.设．已知．
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值．
15.设集合，，.
（1）求中所有元素的和，并写出集合中元素的个数；
（2）求证：能将集合分成两个没有公共元素的子集和，，使得成立.
16.已知，数列的前n项和为，且；数列的前n项和为，且满足，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，问：数列中是否存在不同两项，（，i，），使仍是数列中的项?若存在，请求出i，j；若不存在，请说明理由.
2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破
专题13计数原理与数学归纳法
2020年江苏高考核心考点
1.江苏高考对计数原理的考查通常与分布列，期望等一起综合考查，属于压轴题型。
2.江苏高考对推理证明（数学归纳法）常与数列，二项式定理综合考查，难度中档及以上。
专项突破
一、解答题：本大题共16小题，共计160分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1.（2019—2020学年度江苏百校联考试卷）
已知正项数列的前项和.
（1）若数列为等比数列，求数列公比的值；
（2）设正项数列的前项和为，若，且.
①求数列的通项公式；
②求证：
【解析】（1）依题意可得，，两式相减，得，所以，
因为，所以，且，解得.
（2）①因为，所以，
两式相减，得，即.
因为，所以，即.
而当时，，可得，故，
所以对任意的正整数都成立，
所以数列是等差数列，公差为1，首项为1，
所以数列的通项公式为.
②因为，所以，两式相减，得，即，
所以对任意的正整数，都有.
令，
而当时，显然成立，
所以当，时，
，
所以，即，所以，得证.
2.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）
已知集合，，，将的所有子集任意排列，得到一个有序集合组，其中.记集合中元素的个数为，，，规定空集中元素的个数为.
当时，求的值；
利用数学归纳法证明：不论为何值，总存在有序集合组，满足任意，，都有.
【解析】当时，集合共有个子集，所以；
①当时，，由可知，，
此时令，，，，
满足对任意，都有，且；
②假设当时，存在有序集合组满足题意，且，
则当时，集合的子集个数为个，
因为是4的整数倍，所以令，，，，
且恒成立，
即满足对任意，都有，且，综上，原命题得证.
3.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）
我们称n(n)元有序实数组(，，…，)为n维向量，为该向量的范数．已知n维向量＝(，，…，)，其中{﹣1，0，1}，i＝1，2，…，n．记范数为奇数的n维向量的个数为An，这An个向量的范数之和为Bn．
（1）求A2和B2的值；
（2）当n为偶数时，求An，Bn（用n表示）．
【解析】（1）范数为奇数的二元有序实数对有：，，，，
它们的范数依次为，故．
（2）当n为偶数时，在向量的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：进行讨论：的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；
的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；…
的n个坐标中含个0，其余坐标为1或，
共有个，每个的范数为；所以
， ．
因为， ①
，②
得，，所以．
因为，
所以．
．
4.（江苏省如皋中学高三数学模拟考试数学试卷）
记(且)的展开式中含项的系数为,含项的系数为.
（1）求;
（2）若,对n＝2,3,4成立,求实数的值;
（3）对（2）中的实数,用数学归纳法证明:对任意且都成立.
【解析】（1）
展开式中含项的系数为
（2）
则解得
（3）①当时,由（2）知等式成立．
②假设当(,且)时,等式成立,
即
当时,
由
可得
又上式,
即等式也成立．
综上所述,对任意且,都有成立．
5.（江苏省南通市2020届高三数学模拟测试卷）
已知（1+2x）2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n（n∈N*）
（1）求a0+a2+a4+..+a2n的值；
（2）当n=5时，求ak（k=0，1，2，…2n）的最大值；
【解析】（1）：令x=1可得，32n=a0+a1+…+a2n ，①
令x=-1可得，1=a0-a1+a2-a3+…+a2n，②
①+②可得，32n+1=2（a0+a2+a4+…+a2n），
∴a0+a2+…+a2n=．
（2）当n=5时，，
∴ak，
若ak最大，则，
化简可得，，
∴，
解不等式可得，，
∵k∈N*，
∴k=7，．
6.对于任意的，，用数学归纳法证明:
【解析】当时，设，则，所以在上单调递增，所以，即即时，原命题成立，
假设当时，对任意恒成立，
当时，设，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以对于任意的，，.
7.已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求证：当时，.
【解析】（1）法一：，且，
同样可求得，猜想：，
以下用数学归纳法证明
①当时，，符合，
②假设时，，
则时，，即，
符合，综上：.
法二：由得
，，即，
是等差数列，首项为2，公差为1，则.
（2）当时，，
法一：先证明时，，
令，则，
为减函数，
则时，.
时，
，
又即
，
时，，
当时，.
法二：
，
要证明，
即证，
设，
则，
由得：
当时，，
，
，
，
当时，.
8.已知为给定的正整数，设，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【解析】（1）因为，所以，；
（2）当时，，
又因为，
当时，；
当时，
，当时，也符合.
所以的值为.
9.设n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2.
(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；
(2)证明：对任意正整数n，f(n)是8的倍数.
【解析】（1）代入1，2，3，求出f(1)＝8，f(2)＝56，f(3)＝368.
（2）①当n＝1时，f(1)＝8是8的倍数，命题成立.
②假设当n＝k，k∈N*时，命题成立，即f(k)＝3k＋7k－2是8的倍数，那么当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝3k＋1＋7k＋1－2＝3(3k＋7k－2)＋4(7k＋1)，
因为7k＋1是偶数，所以4(7k＋1)是8的倍数，
又由归纳假设知3(3k＋7k－2)是8的倍数，
所以f(k＋1)是8的倍数，
所以当n＝k＋1时，命题也成立.
根据①②知，命题对任意n∈N*成立.
10.平面上有个点，将每一个点染上红色或蓝色.从这个点中，任取个点，记个点颜色相同的所有不同取法总数为.
（1）若，求的最小值；
（2）若，求证：.
【解析】（1）当时，共有个点，
若染红色的点的个数为个或个，则；
若染红色的点的个数为个或个，则；
若染红色的点的个数为个或个，则；
若染红色的点的个数为，则；
因此的最小值为.
（2）首先证明：任意，，，有.
证明：因为，所以.
设个点中含有个染红色的点，
①当时，
，
因为，所以，于是.
②当时，，同上可得.
③当时，，
设，，
当时，
，显然，
当即时，，
当即时，，
即，，
因此，即，综上，当时，.
11.设，．
（1）求的值；
（2）化简．
【解析】解：（1）由，，
所以．
（2）设，
则
①
因为，
所以
②
①+②得，，即，
所以．
12.设．
（1）若数列的各项均为1，求证：；
（2）若对任意大于等于2的正整数，都有恒成立，试证明数列是等差数列．
【解析】（1）因数列满足各项为1，即，
由，令，
则，即．
（2）当时，，即，所以数列的前3项成等差数列．
假设当时，由，可得数列的前项成等差数列，
因对任意大于等于2的正整数，都有恒成立，所以成立，
所以，
两式相减得，
，
因，
所以，
即，
由假设可知也成等差数列，从而数列的前项成等差数列．
综上所述，若对任意恒成立，则数列是等差数列．
13.证明下列恒等式：
（1）；
（2）.
【解析】（1）当时，，
故.
当时，，，
此时成立，
故对都成立 .
（2）先证当时，，
记，
所以，当时，
，又，
所以，
所以，又，
所以.
14.设．已知．
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值．
【解析】（1）因为，
所以，
．
因为，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
．
因为，所以，
从而．
15.设集合，，.
（1）求中所有元素的和，并写出集合中元素的个数；
（2）求证：能将集合分成两个没有公共元素的子集和，，使得成立.
【解析】（1），
所以中所有元素的和为24；集合中元素的个数为.
（2）取，下面用数学归纳法进行证明.
①当时，，
取，，，，，，，，有
，且成立.
②假设当，且时，结论成立，有，且成立.
当时，取，
，
此时，无公共元素，且.
有，且
，
，
由归纳假设知，且，所以
，
即当时也成立；
综上可得：能将集合，分成两个没有公共元素的子集和，，使得成立.
16.已知，数列的前n项和为，且；数列的前n项和为，且满足，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，问：数列中是否存在不同两项，（，i，），使仍是数列中的项?若存在，请求出i，j；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）∵数列的前n项和为，且满足
∴，
由，得.
∴，且，即.
∴数列是首项为，公比为2的等比数列
∴
∵①
时，②
①②得
∴，
时，，∴
∴∴为等差数列，即
（2），假设中存在不同的两项，（），使（）
注意到.
∴单调递增，由，则.
∴
令（），∴
∴
∵∴，而
∴，
令，则
∴为单调递增，注意到时，，∴m只能为1，2，3
①当时，
∴，故i只能为1，2，3
当时，，此时
当时，，此时无整数解，舍
当时，，此时，无正整数解，舍去
②当时，，此时
∴，此时，无解
③当时，，此时，无正整数解，舍去,综上：存在，满足题意.
