人教版A版（2019）高中数学必修第一册：第二章 一元二次函数、方程和不等式 综合测试 （含答案与解析）

第二章综合测试
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列等式一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.若函数是幂函数，则（ ）
A. B. C.或 D.
3.下列函数既是增函数，图像又关于原点对称的是（ ）
A. B. C. D.
4.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
5.下列各函数中，值域为的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，，若，那么与在同一坐标系内的图像可能是（ ）
A B C D

7.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，若是偶函数，记；若是奇函数，记.则的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.
11.已知实数，满足等式，则下列关系式不可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.满足的的取值范围是________.
14.若函数在上是减函数，则实数的取值范围是________.
15.如图，矩形的三个顶点，，分别在函数，，的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为________.

16.定义新运算：当时，；当时，.设函数，则函数在上的值域为________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）计算下列各式的值：
（1）；




（2）.




18.（本小题满分12分）已知定义域为的单调函数是奇函数，当时，.
（1）求的解析式；




（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.





19.（本小题满分12分）已知实数满足，函数.
（1）求实数的取值范围；





（2）求函数的最值，并求此时的值.




20.（本小题满分12分）已知函数，，其中，且.当时，的最大值与最小值之和为.
（1）求的值；




（2）若，记函数，求当时，的最小值.




21.（本小题满分12分）以德国数学家狄利克雷（l805-1859）命名的狄利克雷函数定义如下：对任意的，研究这个函数，并回答如下问题：
（1）写出函数的值域；




（2）讨论函数的奇偶性；




（3）若，求的值域.




22.（本小题满分12分）若函数满足.
（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性和单调性；




（2）当时，的值恒为负数，求的取值范围.





第二章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】C
【解析】对于A，D，若，为非正数，则不正确；对于B，C，根据指数幂的运算性质知C正确，B错误.故选C.
2.【答案】B
【解析】因为函数是幂函数，所以，解得.
3.【答案】A
【解析】为奇函数且是上的增函数，图像关于原点对称；是上的增函数，无奇偶性；为奇函数且在和上单调递增，图像关于原点对称，但是函数在整个定义域上不是增函数；在上为增函数，无奇偶性.故选A.
4.【答案】A
【解析】函数中满足条件解得即，所以函数的定义域为，故选A.
5.【答案】A
【解析】对于A，的值域为；对于B，因为，所以，，的定义域是，所以，所以，所以的值域是；对于C，的值域是；对于D，因为，所以的值域是.
6.【答案】C
【解析】由指数函数和对数函数的单调性知，函数与在上的单调性相同，可排除B，D.再由关系式可排除A，故选C.
7.【答案】C
【解析】.故选C.
8.【答案】B
【解析】由题意得，函数是上的减函数，则解得，故选B.
9.【答案】D
【解析】函数是定义在上的偶函数，且当时，，.故选D.
10.【答案】B
【解析】当是偶函数时，，即，即.因为上式对任意实数都成立，所以，即.
当是奇函数时，，即，即.因为上式对任意实数都成立，所以，即.所以.
11.【答案】A
【解析】分别画出，的图像如图所示，实数，满足等式，由图可得或或，而不成立.故选A.

12.【答案】A
【解析】当时，函数的大致图像如图所示.

当时，，要使得关于的方程有三个不同的根，则.又，解得.故选A.
二、
13.【答案】
【解析】由题可得，，则，解得.
14.【答案】
【解析】令，其图像的对称轴为直线.依题意，有即故.
15.【答案】
【解析】由图像可知，点在函数的图像上，所以，.
点在函数的图像上，所以，.
点在函数的图像上，所以.
又因为，，所以点的坐标为.
16.【答案】
【解析】根据题意，当，即时，；当，即时，.当，即时，；当，即时，.

①当时，是增函数，；
②当，，

，即.
综上，在上的值域为.
三、
17.【答案】解（1）.
（2）
.
18.【答案】解（1）定义域为的函数是奇函数，.
当时，，.
又函数是奇函数，，
.
综上所述，
（2），且为上的单调函数，
在上单调递减.
由得.
是奇函数，.
又是减函数，，
即对任意恒成立，
，解得，即实数的取值范围为.
19.【答案】解（1）由，得，即，所以，所以，满足，.所以实数的取值范围为.
（2）.
因为，所以.
所以，即时，；
当，即时，.
故函数的最小值为0，此时，最大值为2，此时.
20.【答案】解（1）在上为单调函数，的最大值与最小值之和为，或.
（2），.，即.令，则可转化为，其图像对称轴为直线.
，，
当时，；
当时，；
当时，.
综上所述，
21.【答案】解（1）函数的值域为.
（2）当为有理数时，则为无理数，则；
当为无理数时，则为为无理数，则.
故当时，，所以函数为偶函数.
（3）由的定义知，即当时，.故的值域为.
22.【答案】解（1）令，则，
.
.
，
为奇函数.
当时，为增函数，为增函数，且，为增函数.
当时，为减函数，为减函数，且，为增函数.在上为增函数.
（2）是上的增函数，也是上的增函数.由，得，要使在上恒为负数，只需，即.
，，，.
又，的取值范围为.

高中数学 必修第一册 5 / 5