人教版A版（2019）高中数学必修第二册：第七章 复数 综合测试 （Word含答案与解析）

第七章综合测试
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（ ）
A． B． C． D．
2．是的共扼复数，若，（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．设是复数，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若，则是实数 B．若，则是虚数
C．若是虚数，则 D．若是纯虚数，则
4．若，，，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知互异的复数，满足，集合，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
6．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C．4 D．
7．是虚数单位，若（，），则的值是（ ）
A． B．3 C． D．15
8．若与（，）互为共轭复数，则对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．已知集合，，为虚数单位，若，则纯虚数为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是虚数单位，复数（）在复平面内对应的点位于直线上，则复数的虚部为（ ）
A．2 B．3 C． D．
11．复数在复平面内的对应点到原点的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
12．已知复数（为虚数单位）是关于的方程（，为实数）的一个根，则的值为（ ）
A．22 B．36 C．38 D．42
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．复数（为虚数单位），则________．
14．若，且，则的最小值为________．
15．设复数，（），若，则的值为________．
16．下列说法中正确的序号是________．
①若，其中，，则必有
②；
③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；
④若一个数是实数，则其虚部不存在；
⑤若，则对应的点在复平面内的第一象限．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17．（10分）设复数，当为何值时，
（1）是实数？（2）是纯虚数？





18．（12分）已知复数满足，，其中为虚数单位，，若，求的取值范围．





19．（12分）设复数，，在复平面内对应的点在第一象限，且．
（1）求及．
（2）若，求与的值．




20．（12分）已知复数满足，的虚部是2．
（1）求复数；
（2）设，，在复平面上的对应点分别为，，，求的面积．




21．（12分）已知复数．
（1）求；
（2）若，求的最大值．




22．（12分）设是虚数，是实数，且．
（1）求的值以及的实部的取值范围；
（2）若，求证：为纯虚数．




第七章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】A
【解析】设所求新复数为（，），由题意知，复数的虚部为2，即；复数的实部为，即，则所求的新复数为。
2.【答案】D
【解析】设（，），因为，所以。因为，所以，。所以。
3.【答案】C
【解析】举反例说明，若，则。
4.【答案】B
【解析】∵，，∴，，∴。
5.【答案】D
【解析】由题意或因为，，所以或
因此。
6.【答案】D
【解析】设（，），故，所以解得。
7.【答案】C
【解析】，，，。
8.【答案】C
【解析】由，互为共轭复数，得解得所以。由复数的几何意义知对应的点在第三象限。
9.【答案】D
【解析】因为，为纯虚数，所以，所以。
10.【答案】D
【解析】，其对应的点为，又该点位于直线上，所以，，其虚部为。
11.【答案】B
【解析】，对应点的坐标为，此点到原点的距离为。
12.【答案】C
【解析】因为是关于的方程的一个根（，为实数），所以有，即，得，
得。由复数相等得解得所以。
二、
13.【答案】
【解析】，易得。
14.【答案】3
【解析】设（，），则，所以表示的是一个以为圆心，1为半径的圆，
而，这表示圆上任意一点到点的距离，由于圆心到点的距离为，所以的最小值为。
15.【答案】
【解析】，所以，所以。
16.【答案】⑤
【解析】由知是虚数，则不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中，对应点在第一象限，故⑤正确。
三、
17.【答案】（1）或
（2）
【解析】（1）要使复数为实数，
需满足
解得或。
即当或时，是实数。
（2）要使复数为纯虚数，
需满足
解得。即当时，是纯虚数。
18.【答案】
【解析】因为，
，，
所以。
又，，
所以，
所以，解得。
所以的取值范围是。
19.【答案】（1），
（2），
【解析】（1）设（，），
则，
所以，
解得或
所以或。
又因为在复平面内对应的点在第一象限，
所以应舍去，故，。
（2）由（1）知，
即解得。
因为，
所以，
所以，
所以。
综上，，。
20.【答案】（1）或
（2）1
【解析】（1）设（，），则。由题意得且，解得或，所以或。
（2）当时，，，所以，，，所以。当时，，，所以，，，所以。综上，。
21.【答案】（1）
（2）
【解析】（1）。
（2）如图D-7-8所示，由可知，在复平面内对应点的轨迹是半径为1，圆心为的圆，而的对应点为，所以的最大值可以看成是点到圆上的点的距离的最大值。
由图知（为圆的半径）。

22.【答案】（1），
（2）见解析
【解析】（1）设（，且），则。因为是实数，，于是有，即，所以。由，得，解得。即的实部的取值范围是
（2）证明：。
因为，，所以为纯虚数。

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