人教版A版（2019）高中数学必修第二册：第十章 概率 综合测试 （Word版含答案与解析）

第十章综合测试
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1.袋中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球、l个黑球，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（ ）
A.没有白球 B.有2个白球 C.红、黑球各1个 D.至少有1个红球
2.甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
3.若事件和是互斥事件，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，则下列每对事件中，互斥事件的对数是（ ）
①“至少有1个白球”与“都是白球”；
②“至少有1个白球”与“至少有1个红球”；
③“至少有1个白球”与“恰有2个白球”；
④“至少有1个白球”与“都是红球”。
A.0 B.1 C.2 D.3
5.抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件为“奇数点向上”，事件为“偶数点向上”，事件为“向上的点数是2的倍数”，事件为“2点或4点向上”，则下列每对事件互斥但不对立的是（ ）
A.与 B.与 C.与 D.与
6.有3个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.某幼儿园的一位老师要在六一儿童节这天送给小朋友们（含小朋友甲和乙）每人一本童话书。每个小朋友都可以在《小熊维尼历险记》《安徒生童话》《秘密花园》《金银岛》这四本书中任选一本，则小朋友甲和乙至少有一位选《秘密花园》的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面。他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（ ）
A.4种 B.5种 C.6种 D.9种
9.把一颗骰子抛掷两次，观察向上一面出现的点数，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则方程组只有一个解的概率为（ ）
A. B. C. D.
10.遗传学家孟德尔1856年用豌豆作实验时，他选择了两种性状不同的豌豆，一种是子叶颜色为黄色，种子性状为圆粒，茎的高度为长茎；另一种是子叶颜色为绿色，种子性状为皱粒，茎的高度为短茎。我们把纯黄色子叶的豌豆种子的两个特征记作，把纯绿色子叶的豌豆种子的两个特征记作，实验杂交第一代收获的豌豆的两个特征记作，第二代收获的豌豆出现了两个特征分别为，，这三种，请问，孟德尔豌豆实验第二代收获的有特征的豌豆数量占总收成的（ ）
A. B. C. D.
11.若一个三位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称这个三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
12.已知，，，，从以上四个函数中任意取两个相乘得到新函数，那么所得新函数为奇函数的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%。”你认为下面两个解释中能代表教练观点的是________（填序号）。
①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；
②该射击运动员射击一次，中靶的可能性是90%。
14.在随机抛掷一颗骰子一次的试验中，事件表示“出现不大于4的偶数点数”，事件表示“出现小于6的点数”，则事件（）发生的概率为________。
15.小明与小华两人做游戏，下列游戏中不公平的是________（填序号）。
①抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若向上的点数为奇数则小明获胜，若向上的点数为偶数则小华获胜；
②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，若恰有一枚正面向上则小明获胜，若两枚都正面向上则小华获胜；
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，若扑克牌是红色的则小明获胜，若扑克牌是黑色的则小华获胜；
④小明、小华两人各写一个数字6或8，若两人写的数字相同则小明获胜，若两人写的数字不同则小华获胜。
16.若从2，3，6三个数中任取一个数记为，再从剩余的两个数中任取一个数记为，则“是整数”的概率为________。
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.（10分）一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球。从中随机取出l球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率。

18.（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次。根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50

（1）为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样的方法从各组中抽取若干大众评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表。
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 6

（2）在（1）中，若A，B两组被抽到的大众评委各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的大众评委中分别任选1人，求这2人都支持l号歌手的概率。







19.（12分）汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150
标准型 300 450 600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆。
（1）求的值。
（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，在该样本中任取2辆，求其中至少有1辆舒适型轿车的概率。
（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2。把这8辆轿车的得分看成一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。





20.（12分）某班级50名学生的考试分数分布在区间内，设分数所属区间的分布频率是，且
（1）求实数的值。
（2）估算50名学生的平均分。
（3）考试成绩采用“5分制”，规定：若考试分数在内则成绩记为1分，若考试分数在内则成绩记为2分，若考试分数在内则成绩记为3分，若考试分数在内则成绩记为4分，若考试分数在内则成绩记为5分.用分层抽样的方法，从班级中成绩为1分、2分、3分的学生中随机抽取6人，再从这6人中抽出2人，试分析这2人的成绩之和为3分、4分、6分的概率哪个最大（将频率视为概率）。



21.（12分）在一次才艺评比中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的损坏，其可见部分如图10-4-1①②所示。
（1）根据图中信息，将图10-4-1③中的频率分布直方图补充完整；
（2）根据频率分布直方图估计选手成绩的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（3）从成绩在区间内的选手中任选2人，求至少有1人成绩在区间内的概率。

22.（12分）某市举办法律知识问答活动，随机从该市18~68岁的人群中抽取了一个容量为的样本，并将样本数据分成五组：，，，，，并绘制如图10-4-2的频率分布直方图，再将其分别编号为第1组，第2组，…，第5组。该部门对回答问题的情况进行统计后，绘制了下表。
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例
第1组 5 0.5
第2组 18
第3组 27 0.9
第4组 0.36
第5组 3 0.2


（1）分别求出，的值。
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各应抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求第2组至少有1人获得幸运奖的概率。


第十章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】C
【解析】从装有3个红球、2个白球、1个黑球的袋中随机摸出2个球，所有可能的情况为2个红球、2个白球、1红1黑、1红1白、1黑1白，共5种。事件“至少有1个白球”包括2个白球、1红1白、1黑1白3种情况，与其互斥但不对立的事件是1红1黑、2个红球。
2.【答案】C
【解析】甲、乙、丙三人站成一排，所有站法为（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲），共6种，其中甲、丙相邻的站法有4种，所以甲、丙相邻的概率为。
3.【答案】A
【解析】根据互斥事件的特征，若发生，则不发生，故有，解得的取值范围是。
4.【答案】B
【解析】对于①，“至少有1个白球”包括“都是白球”和“1白1红”两种情况，两事件可以同时发生，不是互斥事件；对于②，“至少有1个白球”包括“都是白球”和“1白1红”两种情况，“至少有1个红球”包括“都是红球”和“1白1红”两种情况，两事件可以同时发生，不是互斥事件；对于③，“至少有1个白球”与“恰有2个白球”可以同时发生，不是互斥事件；对于④，“至少有1个白球”与“都是红球”不可能同时发生，是互斥事件。
5.【答案】D
【解析】和互斥且对立；和既不互斥也不对立；和互斥但不对立；和既不互斥也不对立，选D。
6.【答案】A
【解析】由题意得，甲、乙两位同学参加同一个社团，共有3种情况，甲、乙两名同学参加3个社团，共有（种）情况，所以这两位同学参加同一个社团的概率为，故选A。
7.【答案】B
【解析】因为小朋友甲和乙在四本书中任选一本包含的样本点总数为，小朋友甲和乙都不选《秘密花园》包含的样本点数为，所以甲和乙至少有一位选《秘密花园》的概率为。
8.【答案】B
【解析】设硬币的正面为，反面为，则不同的摆法有，，，，这5种。
9.【答案】B
【解析】点数取值的样本空间共有（个）样本点。方程组只有一个解等价于直线与相交，即，即，而满足的点数有，，，共3个，故方程组只有一个解的概率为。
10.【答案】C
【解析】由题意可知，第二代的两个特征是从第一代中随机选取，全部可能如下表：




共有4种等可能出现的结果，其中占2种，则出现的概率为。所以第二代收获的有特征的豌豆数量占总收成的。故选C。
11.【答案】C
【解析】“十全十美三位数”包含的样本点为109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，307，370，703，730，406，460，604，640，共40个，其中奇数有20个，所以任取一个“十全十美三位数”，这个数为奇数的概率为。
12.【答案】C
【解析】是奇函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数，从以上四个函数中任意取两个相乘得到新函数，样本点总数，所得新函数为奇函数包含的样本点数，所以所得新函数为奇函数的概率为。
二、
13.【答案】②
14.【答案】
【解析】随机抛掷一颗骰子一次共有6种不同的结果，其中事件“出现不大于4的偶数点数”包括点数为2，4两种结果，故，事件“出现小于6的点数”的对立事件“出现不小于6的点数”只有点数为6一种结果，故，且事件和事件是互斥事件，故事件发生的概率，故答案为。
15.【答案】②
【解析】在①中，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数的概率均为，故①中的游戏公平；在②中，同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上的概率，两枚都正面向上的概率，故②中的游戏不公平；在③中，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率均为，故③中的游戏公平；在④中，张明、张华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同的概率，两人写的数字不同的概率，故④中的游戏公平。
16.【答案】
【解析】记取出数为，所有可能结果为（2，3），（2，6），（3，2），（3，6），（6，2），（6，3），共6种，满足“是整数”的结果有（6，2），（6，3），共2种，所以所求概率为。
三、
17.【答案】（1）
（2）
【解析】（1）从12个球中任取一球共有12种结果，满足条件的共有9种结果，所以概率为。
（2）从12个球中任取一球共有12种结果，满足条件的共有11种结果，所以概率为。
18.【答案】（1）由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 3 6 9 9 3

（2）
【解析】（1）见答案。
（2）记从组抽到的3位评委分别为，，，其中，支持1号歌手；从组抽到的6位评委分别为，，，，，，其中，支持1号歌手，从{，，}和{，，，，，}中各抽取1人的所有结果如图D-10-5。

由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有，，，，共4种，故所求概率。
19.【答案】（1）400
（2）
（3）
【解析】（1）解：设该厂这个月共生产轿车辆，
由题意得，所以。
则。
（2）解：设所抽样本中有辆舒适型轿车，
由题意得，即。
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车、3辆标准型轿车。
用，表示2辆舒适型轿车，用，，表示3辆标准型轿车，用表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则从样本中任取2辆，所有的样本点有（，）（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），共10个。事件包含的样本点有（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），共7个，故，即所求概率为。
（3）样本平均数。
设表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则事件包括的样本点有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，所以，即所求概率为。
20.【答案】（1）1.9
（2）76分
（3）成绩之和为4分的概率最大
【解析】（1）依题意得频率分布表如下：
分数
频率 0.1 0.2 0.3

由，所以。
（2）平均分约为（分）。
（3）由题意知，考试成绩为1分、2分、3分的频率分别是0.1，0.2，0.3，故采用分层抽样的方法从成绩为1分、2分、3分的学生中抽取6人，应分别从成绩为1分、2分、3分的学生中抽取1人（记为）、2人（记为，）、3人（记为，，），再从这些人中抽出2人包含的样本点为（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），共15个。成绩之和为4分包含的样本点为（，），（，），（，），（，），共4个，所以抽取2人的成绩之和为4分的概率。成绩之和为3分包含的样本点为（，），（，），共2个，所以抽取2人的成绩之和为3分的概率。成绩之和为6分包含的样本点为（，），（，），（，），共3个，所以抽取2人的成绩之和为6分的概率。综上，抽取2人的成绩之和为4分的概率最大。
21.【答案】（1）由茎叶图知，成绩在区间内的人数为1。由频率分布直方图知，成绩在区间内的频率为。设参赛的总人数为，则，得。
由频率分布直方图知，成绩在区间内的人数为。
结合茎叶图可得频率分布表如下。
分数
频数 1 3 7 8 4 2
频率 0.04 0.12 0.28 0.32 0.16 0.08

所以补全后的频率分布直方图如图D-10-6所示。

（2）71.8
（3）
【解析】（1）见答案。
（2）平均值约为。
（3）成绩在区间内的选手共有6人，记成绩在区间内的4位选手为，，，，成绩在区间内的2位选手为，，则从6人中任选2人包含的所有样本点为（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），共15种。
其中至少有1人成绩在区间内包含的样本点为（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），共9种。
故所求概率为。
22.【答案】（1），
（2）2人、3人、1人
（3）
【解析】（1）第1组的人数为，
第1组的频率为，
所以。
第2组的频率为，
人数为，
所以。
第4组的频率为，
人数为，
所以。
（2）第2，3，4组回答正确的人数的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组各应抽取2人、3人、1人。
（3）记“第2组至少有1人获得幸运奖”为事件，设抽取的6人中，第2组的2人为，，第3组的3人为，，，第4组的1人为，则从6人中任意抽取2人所有可能的结果为（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），共15种。
其中第2组至少有1人获得幸运奖的结果为（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），共9种。故。
所以抽取的6人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率。

高中数学 必修第二册 5 / 5