人教版B版（2019）高中数学必修第二册：第四章 指数函数、对数函数与幂函数 综合测试 （Word含答案与解析）
文档属性
| 名称 | 人教版B版（2019）高中数学必修第二册：第四章 指数函数、对数函数与幂函数 综合测试 （Word含答案与解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 563.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-22 19:01:13 | ||
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文档简介
第四章综合测试
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知函数的定义域为，函数的值域为，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.函数的定义域为，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则的值为（ ）
A.1 B.2 C. D.
4.等于（ ）
A.7 B.10 C.6 D.
5.若，，则等于（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
6.比较、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
7.等于（ ）
A. B. C. D.以上都不对
8.已知，下面四个等式：
①；②；③；④
其中正确的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
9.函数（且）与函数在同一个坐标系内的图像可能是（ ）
A B C D
10.抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（ ）
（参考数据：）
A.6次 B.7次 C.8次 D.9次
11.已知，，满足，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
12.已知幂函数在上单调递增，函数，当时，记，的值域分别为集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若函数的反函数为（），则________。
14.化简：________。
15.已知，且，函数的图像恒过点。若点也在幂函数的图像上，则________。
16.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________。
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（10分）（1）计算：；
（2）已知，，求的值。
18.（12分）已知且，，，试比较与的大小。
19.（12分）已知函数（）的图像经过点，其中且。
（1）求的值；
（2）求函数（）的值域。
20.（12分）已知函数，且。
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明；
（3）当时，求使的的解集。
21.（12分）芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场，某人准备进入芦荟市场栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本（单位：元/10 kg）与上市时间（单位：天）的数据情况如下表：
上市时间（） 50 110 250
种植成本（） 150 108 150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本与上市时间的变化关系并求出函数关系式：；；；
（2）利用你得到的函数关系式，求芦荟种植成本最低时上市天数及最低种植成本。
22.（12分）已知函数，其中且。
（1）当时，若无解，求的取值范围；
（2）若存在实数，（），使得时，函数的值域也为，求的取值范围。
第四章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】C
【解析】由题意，得，，∴。
2.【答案】B
【解析】当时，，当时，，故值域为。
3.【答案】D
【解析】由，得，。
4.【答案】B
【解析】。
5.【答案】B
【解析】由，得，由，得，∴。
6.【答案】D
【解析】∵，，又幂函数在上是增函数，，∴。
7.【答案】B
【解析】。
8.【答案】B
【解析】∵，∴，同号。∴当，同时小于0时①②不成立；当时④不成立，故只有③对。
9.【答案】C
【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图像过点，故排除A、D；二次函数图像的对称轴为直线，当时，指数函数的图像单调递减，，C符合题意；当时，指数函数的图像单调递增，，B不符合题意，故选C。
10.【答案】C
【解析】设至少抽次可使容器内的空气少于原来的0.1%，则，即，∴，∴，故选C。
11.【答案】A
【解析】由题意，可知是函数与的图像交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数与的图像，如图所示。由图像可知，而，，所以，故选A。
12.【答案】D
【解析】∵是幂函数，∴，解得或。若，则在上单调递减，不满足条件。若，则在上单调递增，满足条件，即。当时，，即；当时，，即。∵，∴，∴且，解得。
二、
13.【答案】2
【解析】设，则且，所以。即。
14.【答案】
【解析】。
15.【答案】
【解析】设幂函数为。因为函数的图像恒过点，则，所以，故幂函数为。
16.【答案】
【解析】原不等式变形为。因为函数在上是减函数，所以，当时，恒成立等价于，解得。
三、
17.【答案】（1）1
（2）12
【解析】（1）原式
。
（2）（方法一）∵，∴。∵，∴。故。
（方法二）∵，，∴。
18.【答案】解：，当时，，∴；当时，，∴。
综上当时，；当时，。
19.【答案】（1）
（2）
【解析】（1）因为函数（）的图像经过点，所以。
（2）由（1）得（），函数为减函数。
当时，函数取最大值2，故，所以函数，故函数（）的值域为。
20.【答案】（1）
（2）见解析。
（3）
【解析】（1）要使函数有意义，则需解得。故所求函数的定义域为。
（2）为奇函数。
证明如下：由（1）知的定义域为，
且，故为奇函数。
（3）因为当时，在定义域内是增函数，所以，解得。所以使的的解集是。
21.【答案】（1）
（2）当芦荟上市时间为150天时，种植成本最低为100元/10 kg
【解析】（1）由题表提供的数据知，反映芦荟种植成本与上市时间的变化关系不可能是常数函数，故用所给四个函数中任意一个来反映时都应有，而函数，，均为单调函数，这与题表所给数据不符合，所以应选择二次函数。将上述表格中的数据代入，可得解得所以，芦荟种植成本与上市时间的变化关系为。
（2）当（天）时，
，
即当芦荟上市时间为150天时，种植成本最低为100元/10 kg。
22.【答案】（1）
（2）
【解析】（1）∵无解，∴无解，等价于恒成立，
即恒成立，即。
∵，∴当，即时，取得最大值，
∴，故的取值范围为。
（2）由题意知在上是单调增函数，∴即问题等价于关于的方程有两个不相等的实根，令，则问题等价于关于的二次方程在上有两个不相等的实根，即即得。
∴的取值范围为。
高中数学 必修第二册 4 / 4
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知函数的定义域为，函数的值域为，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.函数的定义域为，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则的值为（ ）
A.1 B.2 C. D.
4.等于（ ）
A.7 B.10 C.6 D.
5.若，，则等于（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
6.比较、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
7.等于（ ）
A. B. C. D.以上都不对
8.已知，下面四个等式：
①；②；③；④
其中正确的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
9.函数（且）与函数在同一个坐标系内的图像可能是（ ）
A B C D
10.抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（ ）
（参考数据：）
A.6次 B.7次 C.8次 D.9次
11.已知，，满足，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
12.已知幂函数在上单调递增，函数，当时，记，的值域分别为集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若函数的反函数为（），则________。
14.化简：________。
15.已知，且，函数的图像恒过点。若点也在幂函数的图像上，则________。
16.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________。
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（10分）（1）计算：；
（2）已知，，求的值。
18.（12分）已知且，，，试比较与的大小。
19.（12分）已知函数（）的图像经过点，其中且。
（1）求的值；
（2）求函数（）的值域。
20.（12分）已知函数，且。
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明；
（3）当时，求使的的解集。
21.（12分）芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场，某人准备进入芦荟市场栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本（单位：元/10 kg）与上市时间（单位：天）的数据情况如下表：
上市时间（） 50 110 250
种植成本（） 150 108 150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本与上市时间的变化关系并求出函数关系式：；；；
（2）利用你得到的函数关系式，求芦荟种植成本最低时上市天数及最低种植成本。
22.（12分）已知函数，其中且。
（1）当时，若无解，求的取值范围；
（2）若存在实数，（），使得时，函数的值域也为，求的取值范围。
第四章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】C
【解析】由题意，得，，∴。
2.【答案】B
【解析】当时，，当时，，故值域为。
3.【答案】D
【解析】由，得，。
4.【答案】B
【解析】。
5.【答案】B
【解析】由，得，由，得，∴。
6.【答案】D
【解析】∵，，又幂函数在上是增函数，，∴。
7.【答案】B
【解析】。
8.【答案】B
【解析】∵，∴，同号。∴当，同时小于0时①②不成立；当时④不成立，故只有③对。
9.【答案】C
【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图像过点，故排除A、D；二次函数图像的对称轴为直线，当时，指数函数的图像单调递减，，C符合题意；当时，指数函数的图像单调递增，，B不符合题意，故选C。
10.【答案】C
【解析】设至少抽次可使容器内的空气少于原来的0.1%，则，即，∴，∴，故选C。
11.【答案】A
【解析】由题意，可知是函数与的图像交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数与的图像，如图所示。由图像可知，而，，所以，故选A。
12.【答案】D
【解析】∵是幂函数，∴，解得或。若，则在上单调递减，不满足条件。若，则在上单调递增，满足条件，即。当时，，即；当时，，即。∵，∴，∴且，解得。
二、
13.【答案】2
【解析】设，则且，所以。即。
14.【答案】
【解析】。
15.【答案】
【解析】设幂函数为。因为函数的图像恒过点，则，所以，故幂函数为。
16.【答案】
【解析】原不等式变形为。因为函数在上是减函数，所以，当时，恒成立等价于，解得。
三、
17.【答案】（1）1
（2）12
【解析】（1）原式
。
（2）（方法一）∵，∴。∵，∴。故。
（方法二）∵，，∴。
18.【答案】解：，当时，，∴；当时，，∴。
综上当时，；当时，。
19.【答案】（1）
（2）
【解析】（1）因为函数（）的图像经过点，所以。
（2）由（1）得（），函数为减函数。
当时，函数取最大值2，故，所以函数，故函数（）的值域为。
20.【答案】（1）
（2）见解析。
（3）
【解析】（1）要使函数有意义，则需解得。故所求函数的定义域为。
（2）为奇函数。
证明如下：由（1）知的定义域为，
且，故为奇函数。
（3）因为当时，在定义域内是增函数，所以，解得。所以使的的解集是。
21.【答案】（1）
（2）当芦荟上市时间为150天时，种植成本最低为100元/10 kg
【解析】（1）由题表提供的数据知，反映芦荟种植成本与上市时间的变化关系不可能是常数函数，故用所给四个函数中任意一个来反映时都应有，而函数，，均为单调函数，这与题表所给数据不符合，所以应选择二次函数。将上述表格中的数据代入，可得解得所以，芦荟种植成本与上市时间的变化关系为。
（2）当（天）时，
，
即当芦荟上市时间为150天时，种植成本最低为100元/10 kg。
22.【答案】（1）
（2）
【解析】（1）∵无解，∴无解，等价于恒成立，
即恒成立，即。
∵，∴当，即时，取得最大值，
∴，故的取值范围为。
（2）由题意知在上是单调增函数，∴即问题等价于关于的方程有两个不相等的实根，令，则问题等价于关于的二次方程在上有两个不相等的实根，即即得。
∴的取值范围为。
高中数学 必修第二册 4 / 4