2020年高二数学人教A版选修2-3：离散型随机变量的均值 课件(共21张PPT)
文档属性
| 名称 | 2020年高二数学人教A版选修2-3：离散型随机变量的均值 课件(共21张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 720.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-21 09:17:54 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
离散型随机变量的均值
高二年级 数学
某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售.
问题1：如何合理定价？
A方案定价为：
B方案定价为：
B方案是三种糖果价格的一种加权平均，这里的权数分别是
你认为A、B哪种定价更合理？
A方案是三种糖果价格的算术平均
分析：
算术平均
加权平均
权数
问题2：你能解释权数的含义吗？
如果混合糖果中每颗糖果的质量相等，在混合糖果中，任取一颗糖果.
设X为这颗糖的价格，已知下方为X的分布列：
X 18 24 36
P
分布列中X所对应的概率即为加权平均中每一类X所对应的权数.
B方案更合理：
合理价格
定义：离散型随机变量的均值
（数学期望）
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
则称：
为随机变量X的均值（或数学期望）.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
练：随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求所得骰子的点数X的期望.
解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6.
X的分布列为：
变式：若将所得点数的2倍加1作为新得分数Y，即Y=2X+1，试求Y的期望？
X 1 2 3 4 5 6
P
随机变量X的均值为 E(X)= 1× +2× +3× +4× +5× +6× =3.5.
问题1： 我们现在已知 E(X)= 3.5 ，E(Y)= 8 ，Y=2X+1，
变式：若将所得点数的2倍加1作为新得分数Y，即Y=2X+1，试求Y的期望？
Y的分布列为：
E(Y)= 3× +5× +7× +9× +11× +13× =8.
解：
随机变量Y的所有取值为：3，5，7，9，11，13.
Y 3 5 7 9 11 13
P
你能发现E(X)，E(Y)之间有什么样的关系吗？
有一定的线性关系： E(Y)= 2E(X)+1=2×3.5+1=8.
期望的线性性质：
若X是一个随机变量，Y=aX+b(a，b是常数），则Y也是一个随机变量，
E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
问题1： 我们现在已知E(X)= 3.5，E(Y)= 8 ，Y=2X+1，
你能发现E(X)，E(Y)有什么样的关系吗？
问题2：根据练习题，你能归纳出求期望的步骤吗？
①确定X所有可能取值
②写出分布列，并检查
③求出均值（期望）
X所有可能取值为：1，2，3，4，5，6.
X 1 2 3 4 5 6
P
E(X)= 1× +2× +3× +4× +5× +6× =3.5.
求证：E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
X x1 x2 … xi … xn
Y ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b
P p1 p2 … pi … pn
问题3：试证明出期望的线性性质
证明：
例1：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分.
已知某运动员罚球命中的概率为0.7.
（1）则他罚球1次的得分X的均值是多少？
（2）他连续罚球3次，求他得到的分数X的期望.
（1）因为 P(X=1)=0.7， P(X=0)=0.3，
解：
所以 E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.7+0×0.3=0.7.
（2）X～B(3，0.7) .
X 0 1 2 3
P 0.33 0.73
特殊分布：X～B(n，p) ，则EX=np
例1：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分
已知某运动员罚球命中的概率为0.7.
（2）他连续罚球3次，求他得到的分数X的期望.
解：
=np
提示：
性质2：特殊分布
1.一般地，如果随机变量X服从两点分布
2.一般地，如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)
EX=1×p+0×(1-p)=p
EX=np
练习：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中
有且只有一个选项是正确答案，每题选对得5分，不选择或选错
不得分，满分100分.学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则
在测验中对每题都从各选项中随机选择一个.求学生甲和乙在这次
测验中的成绩的均值.
解：设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2，
则X1~B(20，0.9)， X2~B(20，0.25).
所以，E(X1) =20×0.9=18，E(X2) =20×0.25=5.
由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2，这样，他们在测验中的成绩的期望分别是
E(5X1)=5E(X1)=18×5=90， E(5X2)=5E(X2)=5×5=25.
问题：学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?
他的均值为90分的含义是什么?
小结：
随机变量的均值是常数，我们可用它对未发生的事件进行预测.
例2.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率
为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，
遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元；
方案2：建保护围墙，建设费为2000元.但围墙只能防小洪水；
方案3：不采取措施，希望不发生洪水.试比较哪一种方案好？
分析：因为每种情况发生损失都不同，所以比较哪一种方案好，就要
拿损失的均值来比较.
解：设X1，X2，X3分别表示三种方案的损失，
采用第一种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即E(X1)=3800.
采用第二种方案，遇到大洪水时，损失2000+60000=62000元，
没有大洪水时，损失2000元，即
采用第三种方案，则
E(X3) =60000×0.01+10000×0.25=3100.
结论：方案2平均损失最小，可以选择方案2.
X2 62000 2000
P 0.01 0.99
E(X2) =62000×0.01+2000×0.99=2600.
X3 0 10000 60000
P 0.74 0.25 0.01
既利用数据分析，又考虑实际情况.
1.随机变量x 的分布列是：
（1）则E x = .
2.4
（2）若h =2x +1，则Eh = .
5.8
x 1 3 5
P 0.5 0.3 0.2
练习：
解：
(期望的线性性质)
2.随机变量x 的分布列是：
Ex =7.5，则a= ，b= .
0.4
0.1
x 4 7 9 10
P 0.3 a b 0.2
解：
解方程组，得：
总结：一个定义、两个性质、一个步骤.
1.离散型随机变量均值（期望）的定义：
2.离散型随机变量均值的性质：
3.归纳求离散型随机变量均值的步骤：
E(aX+b)=aE(X)+b.
①确定X所有可能取值；②写出分布列，并检查；③求出均值.
课后作业：
课本P64练习（2-5），P68习题2.3（2，3，4）.
谢谢，再见
离散型随机变量的均值
高二年级 数学
某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售.
问题1：如何合理定价？
A方案定价为：
B方案定价为：
B方案是三种糖果价格的一种加权平均，这里的权数分别是
你认为A、B哪种定价更合理？
A方案是三种糖果价格的算术平均
分析：
算术平均
加权平均
权数
问题2：你能解释权数的含义吗？
如果混合糖果中每颗糖果的质量相等，在混合糖果中，任取一颗糖果.
设X为这颗糖的价格，已知下方为X的分布列：
X 18 24 36
P
分布列中X所对应的概率即为加权平均中每一类X所对应的权数.
B方案更合理：
合理价格
定义：离散型随机变量的均值
（数学期望）
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
则称：
为随机变量X的均值（或数学期望）.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
练：随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求所得骰子的点数X的期望.
解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6.
X的分布列为：
变式：若将所得点数的2倍加1作为新得分数Y，即Y=2X+1，试求Y的期望？
X 1 2 3 4 5 6
P
随机变量X的均值为 E(X)= 1× +2× +3× +4× +5× +6× =3.5.
问题1： 我们现在已知 E(X)= 3.5 ，E(Y)= 8 ，Y=2X+1，
变式：若将所得点数的2倍加1作为新得分数Y，即Y=2X+1，试求Y的期望？
Y的分布列为：
E(Y)= 3× +5× +7× +9× +11× +13× =8.
解：
随机变量Y的所有取值为：3，5，7，9，11，13.
Y 3 5 7 9 11 13
P
你能发现E(X)，E(Y)之间有什么样的关系吗？
有一定的线性关系： E(Y)= 2E(X)+1=2×3.5+1=8.
期望的线性性质：
若X是一个随机变量，Y=aX+b(a，b是常数），则Y也是一个随机变量，
E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
问题1： 我们现在已知E(X)= 3.5，E(Y)= 8 ，Y=2X+1，
你能发现E(X)，E(Y)有什么样的关系吗？
问题2：根据练习题，你能归纳出求期望的步骤吗？
①确定X所有可能取值
②写出分布列，并检查
③求出均值（期望）
X所有可能取值为：1，2，3，4，5，6.
X 1 2 3 4 5 6
P
E(X)= 1× +2× +3× +4× +5× +6× =3.5.
求证：E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
X x1 x2 … xi … xn
Y ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b
P p1 p2 … pi … pn
问题3：试证明出期望的线性性质
证明：
例1：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分.
已知某运动员罚球命中的概率为0.7.
（1）则他罚球1次的得分X的均值是多少？
（2）他连续罚球3次，求他得到的分数X的期望.
（1）因为 P(X=1)=0.7， P(X=0)=0.3，
解：
所以 E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.7+0×0.3=0.7.
（2）X～B(3，0.7) .
X 0 1 2 3
P 0.33 0.73
特殊分布：X～B(n，p) ，则EX=np
例1：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分
已知某运动员罚球命中的概率为0.7.
（2）他连续罚球3次，求他得到的分数X的期望.
解：
=np
提示：
性质2：特殊分布
1.一般地，如果随机变量X服从两点分布
2.一般地，如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)
EX=1×p+0×(1-p)=p
EX=np
练习：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中
有且只有一个选项是正确答案，每题选对得5分，不选择或选错
不得分，满分100分.学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则
在测验中对每题都从各选项中随机选择一个.求学生甲和乙在这次
测验中的成绩的均值.
解：设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2，
则X1~B(20，0.9)， X2~B(20，0.25).
所以，E(X1) =20×0.9=18，E(X2) =20×0.25=5.
由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2，这样，他们在测验中的成绩的期望分别是
E(5X1)=5E(X1)=18×5=90， E(5X2)=5E(X2)=5×5=25.
问题：学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?
他的均值为90分的含义是什么?
小结：
随机变量的均值是常数，我们可用它对未发生的事件进行预测.
例2.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率
为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，
遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元；
方案2：建保护围墙，建设费为2000元.但围墙只能防小洪水；
方案3：不采取措施，希望不发生洪水.试比较哪一种方案好？
分析：因为每种情况发生损失都不同，所以比较哪一种方案好，就要
拿损失的均值来比较.
解：设X1，X2，X3分别表示三种方案的损失，
采用第一种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即E(X1)=3800.
采用第二种方案，遇到大洪水时，损失2000+60000=62000元，
没有大洪水时，损失2000元，即
采用第三种方案，则
E(X3) =60000×0.01+10000×0.25=3100.
结论：方案2平均损失最小，可以选择方案2.
X2 62000 2000
P 0.01 0.99
E(X2) =62000×0.01+2000×0.99=2600.
X3 0 10000 60000
P 0.74 0.25 0.01
既利用数据分析，又考虑实际情况.
1.随机变量x 的分布列是：
（1）则E x = .
2.4
（2）若h =2x +1，则Eh = .
5.8
x 1 3 5
P 0.5 0.3 0.2
练习：
解：
(期望的线性性质)
2.随机变量x 的分布列是：
Ex =7.5，则a= ，b= .
0.4
0.1
x 4 7 9 10
P 0.3 a b 0.2
解：
解方程组，得：
总结：一个定义、两个性质、一个步骤.
1.离散型随机变量均值（期望）的定义：
2.离散型随机变量均值的性质：
3.归纳求离散型随机变量均值的步骤：
E(aX+b)=aE(X)+b.
①确定X所有可能取值；②写出分布列，并检查；③求出均值.
课后作业：
课本P64练习（2-5），P68习题2.3（2，3，4）.
谢谢，再见