27.2.1相似三角形的判定
第3课时 相似三角形的判定（3）
——相似三角形的判定3和直角三角形相似的判定
一、新课导入
1.课题导入
情景：拿一个含30°角的三角尺，让学生判断其内、外轮廓构成的两个含30°角的直角三角形是否相似.
问题1：你是怎么判定的？能用前面学习的判定定理判定它们相似吗？
问题2：我们由三角形全等的SSS和SAS的判定方法类似地得到了三角形相似的判定定理，那么能否同样地由三角形全等的ASA或AAS类比得到相应的三角形相似的判定方法呢？（板书课题）
2.学习目标
(1)知道两角分别相等的两个三角形相似；知道斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似.
(2)能证明结论“斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似”.
(3)能灵活选择适当的方法证明两个三角形相似.
3.学习重、难点
重点：相似三角形的判定方法3以及直角三角形相似的判定方法.
难点：定理的证明.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P35.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：仿照上课时探究1,2完成探究提纲.
（4）探究提纲：
①探究：与同伴合作,一人先画△ABC,另一人再画△A′B′C′，使得∠A=∠A′，∠B=∠B′.
a.操作判断：分别测量这两个三角形的边长，计算 的值，你有什么发现？∠C=∠C′ 吗？由此你得到一个什么样的猜想？
b.交流比较：把你的结果跟你周围的同学比较，你们的结论相同吗？
c.归纳猜想：两角分别相等的两个三角形相似.
d.推理证明：已知△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在A′B′上截取A′D=AB,过D作DE∥B′C′交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,∴△A′DE∽△A′B′C′.
又∵∠A=∠A′,∠B=∠B′,DE∥B′C′,AB=A′D,
∴∠A′DE=∠B′=∠B.
∴△ABC≌△A′DE.∴△ABC∽△A′B′C′.
e.推理格式：∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.
②教材P35例2：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB,垂足为D,求AD的长.
a.AB,AC,AE,AD分别是哪两个三角形的边？这两个三角形相似吗？
b.怎样证明这两个三角形相似？由此可以得到关于AB,AC,AE,AD的一个怎样的比例式？
c.写出你的解答过程.
AB,AC是△ABC的边，AE,AD是△AED的边，这两个三角形相似.
∵ED⊥AB,∴∠EDA=90°,
又∵∠C=90°,∠A=∠A,
∴△AED∽△ABC.
∴.∴AD==4.
③如图，若∠B=∠AED，则△ADE∽△ACB吗？为什么？
△ADE∽△ACB.
理由：∵∠B=∠AED,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB.
④底角相等的两个等腰三角形相似吗？顶角相等的两个等腰三角形相似吗？证明你的结论.（相似，证明略）
2.自学：学生参照自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生对三角形相似的判定定理3的掌握情况.
②差异指导：根据学情进行指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′?△ABC∽△A′B′C′.
1.自学指导
（1）自学内容：教材P36.
（2）自学时间: 6分钟.
（3）自学方法:注意怎样根据已知条件选择合适的定理.
(4)自学参考提纲：
①由已知∠C=∠C′=90°，,能根据定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明两个三角形相似吗？为什么？
（不能，∠C和∠C′并非对应两边的夹角）
②选择定理“三边成比例的两个三角形相似”证明两个三角形相似，还差什么条件？
③能否像前面三个判定定理的证明一样，构造一个与已知的一个三角形全等而与已知的另一个三角形相似的中间三角形的方法来证明呢？
④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高.求证：
a.△ACD∽△ABC；b.△CBD∽△ABC.
证明：∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°.
∴∠ADC=∠ACB=∠CDB.
a.在△ACD和△ABC中，∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ACD∽△ABC.
b.在△CBD和△ABC中，∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB,∴△CBD∽△ABC.
⑤如果Rt△ABC的两条直角边分别为3和4，那么以3k和4k(k＞0)为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC相似吗？为什么？
（相似，理由：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
2.自学：学生参照自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：直角三角形相似判定定理的归纳与证明.
②差异指导：根据学情进行指导.
（2）生助生：生生互动交流、研讨.
4.强化
（1）直角三角形相似的判定方法.
（2）点学生口答后，点3位学生板演，并点评.
三、评价
1.学生学习的自我评价：这节课你学到了些什么？有哪些收获和不足？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学习态度、参与程度、思维状况等方面进行评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时应以学生自主探究为原则，让学生通过观察、实验、动手操作等方式探究并掌握判定三角形相似的方法.在这节课中，通过设计问题和启发、引导，让学生悟出学习方法和途径，培养学生独立学习的能力.整堂课应注重转化思想的运用，难点在于探究两个判定定理的过程及其证明方法，教师教学时讲解要尽可能详尽.教学过程中，应鼓励学生相互交流探讨，以提高学生的学习热情.
一、基础巩固（70分）
1.(10分)如图，当∠ADE=∠C（答案不唯一）时，△ABC∽△AED(填写一个条件).
第1题图 第2题图
2.(10分)如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（C）
A.P1 B.P2 C.P3 D.P4
3.(10分)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于点D，求证：△ABC∽△BDC.
证明：∵AB=AC，∠A=36°,BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A=∠DBC.
在△ABC和△BDC中,∠A=∠DBC,∠C=∠C.
∴△ABC∽△BDC.
4. (10分)如图，AD是Rt△ABC的斜边上的高.若AB=4 cm,BC=10 cm,求BD的长.
解：∵AD⊥BC,∠BAC=90°,
∴∠ADB=∠CAB.
∴△ABD∽△CBA,
∴,
即,BD=1.6(cm).
5.(30分)从下面这些三角形中，选出相似的三角形.
①、⑤、⑥相似，③、④、⑧相似，②和⑦相似.
二、综合应用（20分）
6.(20分)如图，△ABC中，D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16.
（1）求证：△ABC∽△DAC;
（2）求CD的长.
（1）证明：∵∠BAC=∠ADC,∠C=∠C,
∴△ABC∽△DAC.
(2)解：∵△ABC∽△DAC，
∴,即,
∴CD=4.
三、拓展延伸（10分）
7.(10分)如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一个定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（C）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定（1）
一、新课导入
1.课题导入
问题1：我们学过哪些判定两个三角形全等的方法？
问题2：类比上面这些方法，猜一猜判定两个三角形相似的方法有哪些？
由此导入课题(板书课题).
2.学习目标
（1）能用符号表示两个三角形相似，能确定它们的相似比、对应边和对应角.
（2）能叙述平行线分线段成比例定理及其推论，并能结合图形写出正确的比例式.
（3）能用平行线分线段成比例定理的推论证明三角形相似的判定引理.
3.学习重、难点
重点：平行线分线段成比例定理及其推论.
难点：正确理解定理中的“对应线段”.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P29~P30思考上面的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：学生分小组采用度量的方法和已学知识探究平行线分线段成比例定理，并完成自学参考提纲.
（4）自学参考提纲：
①三个角相等，三条边成比例的两个三角形相似.
在△ABC和△A′B′C′中, 如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=C′,
, 那么△ABC和△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k，△A′B′C′与△ABC的相似比为.
全等三角形也是相似三角形, 它们的相似比为1.
②相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
③完成教材P29探究：
a.如图1，量一量，算一算，与相等吗？与呢？与 呢？与呢?
b.由上一步可得：∵l3∥l4∥l5,∴=，=，=，=.
c.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
d.指出图1中的所有对应线段(如AB与DE)：BC与EF,AC与DF.
④把平行线分线段成比例定理应用到三角形中，会出现图2和图3两个基本图形：
在这两个图形中，把DE看成平行于△ABC的边BC的直线，截其他两边（如图1）或其他两边的延长线（如图2），于是可得推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
即：∵DE∥BC,∴，，.
2.自学：结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：能否正确理解“对应线段”，尤其是在推论的两个图形中.
②差异指导：根据学情，指导学生结合图形理解“对应线段”.
（2）生助生：小组交流、研讨.
4.强化
（1）分清平行线分线段成比例定理的条件与结论,弄清哪些是“对应线段”.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等（强调“对应”）.
1.自学指导
（1）自学内容：教材P30思考~P31.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学方法：学生分小组对不同类型的相似三角形进行证明，并完成自学参考提纲.
（4）自学参考提纲：
①已知DE∥BC,运用定义证明△ADE∽△ABC(如图1，作EF∥AB).
证三个角相等：∠A公共，由DE∥BC可得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
证三条边成比例：由DE∥BC可得，由EF∥AB可得 .由DE∥BC，EF∥AB可得四边形BFED是平行四边形，所以BF=DE.故==.所以△ADE∽△ABC.
②如图2, DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点D、E，那么△ADE与△ABC相似吗？能否给予证明？
相似.
∵DE∥BC,∴∠E=∠C,∠D=∠B.过E作EF∥BD交CB的延长线于点F.
∵DE∥BC，EF∥BD，∴.
又∵四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF,∴.
∴△ADE∽△ABC.
③如图3，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证:△ADE∽△EFC.
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠CEF=∠A,∠ADE=∠B=∠EFC,,.
又∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BD=EF,DE=BF.
∴,
∴△ADE∽△EFC.
④如图4，DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形.
由DE∥FG∥BC，易知△ADE∽△AFG∽△ABC.
2.自学：结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：看学生能否添加辅助线构造比例线段进行转化.
②差异指导：根据学情指导学生弄清引理的证明思路和方法.
（2）生助生：小组交流、研讨.
4.强化
（1）判定三角形相似的预备定理及其两个基本图形.
（2）点两名学生板演自学参考提纲中第③、④题，并点评.
三、评价
1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？还有哪些不足？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生的课堂参与程度、思维状况、小组协作等方面的课堂表现去评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时先给出相似三角形的定义，说明有关概念，明确相似三角形的符号表示和相似比的意义.由于三角形的相似与比例线段密不可分，因此在形成相似三角形的概念之后，主要安排学习比例线段，进而讨论平行于三角形一边的平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理，为研究相似三角形提供了必要的知识准备.教学过程中应遵循学生的理解认知能力，由浅入深，逐步推进.
一、基础巩固（70分）
1.(10分)如图，在△ABC中，DE∥BC, 且AD=3，DB=2.图中的相似三角形是△ADE∽△ABC，其相似比是
.
第1题图 第2题图
2.(10分)如图，DE∥BC，DF∥AC，则图中相似三角形一共有（C）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
3.(10分)如图，DE∥BC，，则=(B)
A. B. C. D.
第3题图 第4题图
4.(10分)如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（A）
5.(10分)如图，AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，求.
解：∵AB∥CD∥EF,
∴.
6.(20分)如图，DE∥BC.
（1）如果AD=5，DB=3，求DE∶BC的值;
（2）如果AD=15，DB=10，AC=15，DE=7，求AE和BC的长.
解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC,
∴.
（2）,即,求得 AE=9.
,即,求得 BC=.
二、综合应用（20分）
7.(20分)如图,△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA.
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6,求AD、DC的长．
解：（1）;
(2)∠BAC=∠CDA,∠B=∠ACD,∠ACB=∠DAC;
(3)由（1）中的结论和已知条件可知,求得AD=3，DC=5.
三、拓展延伸（10分）
8.(10分)如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB、AC于点D、E，试证明：ADAB=DOCO.
证明：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC,△DOE∽△COB,
∴.
∴.
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定(2)
——相似三角形的判定1和判定2
一、新课导入
1.课题导入
问题1：请叙述三角形全等的SSS和SAS定理.
问题2：把SSS中的“三边对应相等”改为“三边成比例”，那么这两个三角形是什么关系呢？
问题3：把SAS中的“夹这个角的两边对应相等”改为“夹这个角的两边对应成比例”， 那么这两个三角形又是什么关系呢？
由此导入新课.（板书课题）
2.学习目标
（1）知道三边成比例的两个三角形相似，知道两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
（2）能够运用这两个判定定理解决简单的证明和计算问题.
3.学习重、难点
重点：三角形相似的判定1和判定2.
难点：两判定定理的证明.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P32探究~P33思考上面的内容.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学要求：完成探究提纲.
（4）探究提纲：△ABC
①探究1:任意画△ABC和△A′B′C′，使△A′B′C′的各边长都是△ABC各边长的k倍，△ABC∽△A′B′C′吗？
a.操作：度量这两个三角形的对应角，这两个三角形的对应角相等，对应边成比例.
b.猜想：在△ABC和△A′B′C′中，如果，那么△ABC∽△A′B′C′.
c.证明：如图，在线段A′B′上截取A′D=AB，过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E,则△A′DE∽△A′B′C′.∴==，
又∵，A′D=AB，
∴，
∴A′E=AC.同理，，
∴DE=BC. ∴△A′DE≌△ABC. ∴△ABC∽△A′B′C′.
d.归纳：三边成比例的两个三角形相似.
e.推理格式：∵，∴△ABC∽△A′B′C′.
②探究2:利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A′，.△ABC∽△A′B′C′吗？
a.操作：量出BC和B′C′，它们的比值等于k吗？∠B=∠B′，∠C=∠C′吗？
b.改变∠A的大小，结果怎样？改变k的值呢？
c.猜想：在△ABC和△A′B′C′中，如果，∠A=∠A′，那么△ABC∽△A′B′C′.
d.证明：在A′B′上截取A′D=AB,作DE∥B′C′交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,∴△A′DE∽△A′B′C′.
∴.
又∵,A′D=AB,
∴A′E=AC.∴△ABC≌△A′DE.
∴△ABC∽△A′B′C′.
e.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
f.推理格式：∵,∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.
③在△ABC与△A′B′C′中，如果，∠B=∠B′，那么△ABC与△A′B′C′一定相似吗？如果一定相似，给予证明；如果不一定相似，举一反例(画图).
2.自学：参考自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：观察学生是否清楚定理的证明思路和每步推理的依据.
②差异指导：根据学情进行指导.
（2）生助生：小组交流、研讨.
4.强化
1.自学指导
（1）自学内容：课本P33思考~P34.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学方法：先运用定理给出判定，然后对照课本解答进行检验，并完成探究提纲.
（4）探究提纲：
①教材P33例1的第（1）题中，三条边成比例吗？符合判定定理1的条件吗？
②例1的第（2）题中，∠A与∠A′分别是两条对应边的夹角吗？符合哪个判定定理的条件？
③小结运用判定定理1和2判定两个三角形是否相似的要点.
④练习：根据下列条件，判定△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
a.AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝16 cm，A′B′＝16 cm，B′C′＝12.8 cm，A′C′＝25.6 cm.（相似，三边对应成比例）
b.∠A=40°, AB＝8 cm，AC＝15 cm，∠A′=40°, A′B′＝16 cm，A′C′＝30 cm.
（相似，两边成比例且夹角相等）
c.下图中的两个三角形是否相似？为什么？（图1相似，两边成比例且夹角相等；图2不相似，三边不成比例）
2.自学：学生参照自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生探究提纲的第③、④题的完成情况.
②差异指导：根据学情进行针对性指导.
（2）生助生：小组交流、研讨.
4.强化：运用判定定理1和2判定两个三角形是否相似的要点.
三、评价
1.学生学习的自我评价：这节课你学到了哪些知识？有些什么收获和不足？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生学习的参与程度、思维是否活跃、回答问题是否积极等方面给予评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时教学采用类比的方法进行，根据全等三角形是特殊的相似三角形，通过对判定全等三角形所需条件进行分析，类比全等三角形的判定方法，诱导学生在类比中猜想相似三角形的判定方法.课堂上突出学生的主体地位，多给学生提供自主学习、自主操作、自主活动的机会，让学生真正成为数学学习的主体.
一、基础巩固（70分）
1.(10分)下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（B）
2.(10分)下列条件能判定△ABC与△A′B′C′相似的是（C）
3.(20分)根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
（1）AB＝10 cm，BC＝12 cm，AC＝15 cm，A′B′＝150 cm，B′C′＝180 cm，A′C′＝225 cm；
(2)∠A＝87°，AB＝8 cm，AC＝7 cm，∠A′＝87°，A′B′＝16 cm，A′C′＝12 cm.
解：（1）△ABC∽△A′B′C′.理由：∵,∴△ABC∽△A′B′C′.
（2）△ABC与△A′B′C′不相似.理由：.
4.(20分)(1)判断图1中两个三角形是否相似；(2)求图2中x和y的值.
解：（1）相似.理由：设小方格边长为1，则AB=2，EF=2.
通过勾股定理易求得BC=2,AC=2,DE=,DF=.
∴,∴△DEF∽△ABC.
(2)∵，∠ACB=∠ECD,
∴△ACB∽△ECD,∴∠B=∠D=98°,
,∴x=40.5,y=98.
5.(10分)如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=5，DE=4，AE=，DB=7，BC=，EC=,那么△ADE∽△ABC吗？为什么？
解：△ADE∽△ABC.
理由：∵,
∴△ADE∽△ABC.
二、综合应用（20分）
6.(10分)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4,5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边应当是多少？
解：两个形状相同的三角形框架，它们是相似的.
如果边长2与边长4是对应边，则另外两边为2.5和3.
如果边长2与边长5是对应边，则另外两边为1.6和2.4.
如果边长2与边长6是对应边，则另外两边为和.
7.(10分)如图，已知△ABD∽△ACE．求证：△ABC∽△ADE.
证明：∵△ABD∽△ACE,∴∠BAD=∠CAE,.
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.
又∵,
∴△ABC∽△ADE.
三、拓展延伸（10分）
8.(10分)在△ABC中,∠B=30°，AB=5 cm，AC=4 cm，在△A′B′C′中，∠B′=30°，A′B′=10 cm，A′C′=8 cm，这两个三角形一定相似吗？若相似，说说是用哪个判定方法;若不相似，请说明理由.
解：不一定.理由：虽然,∠B=∠B′,但∠B和∠B′不是对应边的夹角，
∴这两个三角形不一定相似.
