人教版九年级数学下册导学案：27.2.3相似三角形应用举例含答案

27.2.3 相似三角形应用举例
第1课时 相似三角形应用举例
——测量塔高与测量河宽
一、新课导入
1.课题导入
情景一：胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米.据考证，为建成大金字塔，共动用了10万多人花了20年时间.原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高度有所降低.

据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
情景二：在无法过河的条件下，怎样估算河的宽度？
那么，具体是怎样操作的呢？这节课我们一起来探讨这两个问题（板书课题）.
2.学习目标
(1)利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度或长度的问题.
(2)体会数学转化的思想，建模的思想.
3.学习重、难点
重点：利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度或长度的问题.
难点：数学建模.
二、分层学习

1.自学指导
（1）自学内容：教材P39例4.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：完成自学参考提纲.
（4）自学参考提纲：
①怎样判定两个直角三角形相似？
②你知道哪些利用相似三角形测物体高度的方法？
③如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.
∵BA ∥ DE,∴∠BAO= ∠EDF ,
又∵∠BOA=∠EFD= 90° ,
∴ △BOA ∽ △EFD .
∴.
∵EF=2 m，FD=3 m，OA=201 m，∴BO= 134 m .
④总结本题的解题思路.
⑤在某一时刻，测得一根长为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋高楼的影长为90 m，这栋高楼的高度为多少？(54 m)
2.自学：学生参照自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否理解这种测量方法的原理.
②差异指导：根据学情进行指导.
（2）生助生：生生互动交流、研讨.
4.强化
（1）以师生对话的形式推进课堂交流活动.
（2）点一名学生板演自学参考提纲第⑤题.

1.自学指导
（1）自学内容：教材P40例5.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：完成自学参考提纲.
（4）自学参考提纲：
①你有哪些利用全等三角形的知识测量河宽的方法？
②用相似三角形的知识估算河的宽度：
如图,由QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m, 求河宽PQ，需证哪两个三角形相似？
∵∠PQR=∠PST=90°， ∠P=∠P ，
∴ △PQR ∽ △PST ，∴，
设PQ=x,可列方程，解得x= 90 .
因此河宽约为 90 m.
③如图，测得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求河宽AB.
∵∠ABD=∠ECD=90°,∠ADB=∠EDC,
∴△ABD∽△ECD.
∴.
即.解得 AB=100(m).
④为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如右图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，AC； ②EF，DE，BD；③DE，DC，BC；④DC，DB，AC．能根据所测数据求出A，B间距离的有（B）
A.1组 B.2组 C.3组 D.0组
2.自学：学生参照自学提纲进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：明了学生能否通过阅读例题的解题过程弄清实际问题是怎样转化为数学问题的.
②差异指导：根据学情指导学生画图，把实际问题抽象成数学问题.
（2）生助生：小组交流、研讨.
4.强化
（1）运用相似三角形解决实际问题的基本思路是：根据题目所给的条件和所求问题建立相似三角形模型.解题步骤为：先证三角形相似，再运用相似三角形性质得比例线段，然后列方程或直接计算求值.
（2）点一名学生板演自学参考提纲第③题，点一名学生口答自学参考提纲第④题，并点评.
三、评价
1.学生自主学习的自我评价：这节课你学到了些什么？还有哪些疑惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生对学习的专注程度，小组协作状态等方面进行评价.
（2）纸笔评价（课堂检测题）.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时主要是让学生经历了运用两个三角形相似解决实际问题中的测量问题的过程，体验从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力和数学应用能力.因此，为了增强数学的趣味性，在教学设计中选择有趣的实际问题，让学生在富有故事性或现实性的数学情境问题中，谈及解决问题的方法，激发学生的学习兴趣.

一、基础巩固（70分）
1.(10分)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.如果标杆BE高1.2 m，测得AB=1.6 m，BC=8.4 m，则楼高CD是多少？
解：∵EB∥DC,
∴△AEB∽△ADC.
∴,
即,求得 DC=7.5（m）.
2.(10分)为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，测出AD=35 m，DC=35 m，DE=30 m,求池塘的宽AB.
解：∵AC⊥AB,DE⊥AC，
∴AB∥DE,
∴△CDE∽△CAB,
∴,
即,求得 AB=60(m).
3.(10分)如图是一个照相机成像的示意图，MN∥AB.
（1）如果像高MN是35 mm，焦距DL是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，拍摄点离景物有多远(即LC的长度)？
（2）如果要完整的拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
解：（1）设拍摄点离景物的距离为x mm.
∵MN∥AB,∴△MNL∽△BAL,
∴,
即,解得 x=7000.7000 mm=7 m.
∴拍摄点离景物距离为7 m.
（2）设相机的焦距为y mm.
由相似三角形的性质可得： ,解得 y=70.
∴相机的焦距应调整为70 mm.
4.(40分)某班同学进行课外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了几种方案，下面介绍两种：
（Ⅰ）如图1，先在平地取一个可以直接到达A、B的点C，并分别延长AC到D，BC到E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为AB的距离；
（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，最后测出DE的长即为AB的距离.

阅读后回答下列问题：
（1）方案（Ⅰ）是否可行？ 可行 ，理由是 ∵DC=AC,∠ACB=∠DCE,BC=EC,∴△ACB≌△DCE(SAS).∴AB=DE ；
（2）方案（Ⅱ）是否可行？ 可行 ，理由是 ∵BF⊥DE,BF⊥AB,∴∠ABC=∠EDC=90°,BC=DC,∠ACB=∠ECD,∴△ABC≌△EDC(ASA).∴AB=ED .
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 使△ABC≌△EDC ；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否可行？
(可行.因为△ABC依然全等于△EDC.)
（4）方案（Ⅱ）中，若使BC=n·CD，能否测得（或求出）AB的长？ 能 .理由是 依题意，∠ABC=∠EDC,∠ACB=∠ECD,∴△ABC∽△EDC,∴， 若ED=m，则AB= mn .
二、综合应用（20分）
5.(20分)如图，为了测量一栋大楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直至她刚好在镜子中看到大楼顶部，这时∠LMK等于∠SMT吗？如果王青身高1.55 m，她估计自己的眼睛离地面1.50 m，同时量得LM＝30 cm，MS＝2 m，这栋大楼有多高？
解：∠LMK=∠SMT.又∵∠KLM=∠TSM=90°,
∴△KLM∽△TSM,
∴,
即,解得 TS=10(m).
∴这栋大楼有10 m高.
三、拓展延伸（10分）
6.（10分）如图，点D、E分别在AC、BC上，如果测得CD=20 m，CE=40 m，AD=100 m，BE=20 m，DE=45 m，求A、B两地间的距离.
解：由题意可知，CD=20 m,CE=40 m,AD=100 m，BE=20 m，DE=45 m.
∴AC=AD+DC=120 m,BC=BE+CE=60 m.
∴,而∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA.
∴,∴AB=135(m).
∴A、B两地间的距离为135 m.