2020.5月全国模拟题汇编压轴小题（数学）PDF版含答案
文档属性
| 名称 | 2020.5月全国模拟题汇编压轴小题（数学）PDF版含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 4.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-22 21:47:09 | ||
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文档简介
全国模拟题汇编
压轴小题
2020-5-20
压轴小题
目录
三角函数与解三角形........................................................................................................................................1
考向 1 三角函数的图象与性质................................................................................................................1
考向 2 三角函数中?的范围问题............................................................................................................ 2
考向 3 解三角形........................................................................................................................................3
考向 4 综合应用........................................................................................................................................5
立体几何............................................................................................................................................................7
考点 1 与空间角有关的计算....................................................................................................................7
考点 2 空间几何体的外接球、内切球....................................................................................................8
考向 3 动点问题......................................................................................................................................17
考向 4 三视图及截面问题......................................................................................................................19
数 列..............................................................................................................................................................21
函数与导数......................................................................................................................................................23
考向 1 函数的图象与性质综合..............................................................................................................23
考向 2 交点与零点问题..........................................................................................................................27
考向 3 导数及其应用..............................................................................................................................34
考向 4 构造函数......................................................................................................................................36
解析几何..........................................................................................................................................................37
考向 1 离心率问题..................................................................................................................................37
考向 2 轨迹问题......................................................................................................................................40
考向 3 解析几何综合..............................................................................................................................41
概率与统计综合..............................................................................................................................................47
向量综合..........................................................................................................................................................49
压轴小题
三角函数与解三角形
考向 1 三角函数的图象与性质
1．（2020深圳线下调研，理11）已知定义在R上的函数 f (x) ? sin(?x ??) （? ? 0 ， ?
?
? ）在 ?1,2?上有且仅有3
2
1 1 1 2
个零点，其图象关于 ? ?? ，0?和直线 x ? ? 对称，给出下列结论：① f
? ? ? ；②函数 f (x) 在 ?0,1?上有且仅
? 4 ? 4 ?? 2 ?? 2
3 3 5有 个极值点；③函数 f (x) 在 ? ?? ? ,? 上单调递增；④函数 f (x) 的最小正周期是2.其中所有正确命题的编号是
? 2 4 ??
（ ）
A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②
【答案】A
1? ? k 1由题意得： ? ? 1?， ? ? ?? ? k
?
? ? ， ，
4 4 2
k k
2 1 2
?Z
?? ? ?2(k1 ? k2 ) ?1?? ，?? ? (2n?1)?， n?Z
2? 2 1 4? ?又 ?
?
? ? ? ，?2? ?? ? 4?，?? ? 3?，? ? ， f (x) ? sin ?3?x ?
?
? ? 4 ? 4 ??
故结论①④错误；结论②③正确；故应选A.
2．（2020湖南金太阳，文 12）已知函数 f ?x? ? 1? 4sin x cos x ，现有下述四个结论：
① f ?x? ?的最小正周期为 ?；②曲线 y ? f ?x ?关于直线 x ? ? 对称；
4
③ f ?x? ? ? 5? ?在 ? ， ?上单调递增；④方程 f ?x? ? 2 在 ???,??上有 4 个不同的实根.
? 4 12 ?
其中所有正确结论的编号是（ ）
A.②④ B.①③④ C.②③④ D.①②④
【答案】D
?
?1? 2sin 2x,sin 2x
1
＜
f ?x? ? 1? 4sin x cos x = ? 2? 作出 f ?x?在 ???,??上的图像，如图所示，可知①②④正确，选择
?2sin 2x ?1,sin 2x 1?
?? 2
D 选项.
3．（2020南充诊断，理 11）已知函数 f ?x? ? cos ?2x ?? ??0 ? ? ? ? ? ?关于直线 x ? 对称，函数 g ?x? ? sin ?2x ?? ?，
6
1
压轴小题
则下列四个命题中，真命题有（ ）
?
① y ? g ?x ?的图象关于点 ?? ,0
?
?成中心对称；
? 3 ?
②若对?x?R，都有 g ?x1 ? ? g ?x ? ? g ?x2 ?，则 x1 ? x2 的最小值为 ?；
③将 y ? g ?x ? 5?的图象向左平移 个单位，可以得到 y ? f ?x ?的图象；
12
④ ?x ?R，使得0 f ?x0 ? ? g ?x
1
0 ? ? ．2
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】C
因为 f ?x? ? cos ?2x ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? ? ? ?关于直线 x ? 对称，所以 2? ?? ? k? ， k?Z，即? ? ? ? k?， k?Z，
6 6 3
又? ? ?0, ? 2 2?? ，故? ? ?，所以 g ?x? ? sin ??2x ?
?
?，故①对；若对?x?R，都有 g ?x1 ? ? g ?x ? ? g ?x3 3 2 ?
，则 x1 ? x2
? ?
? 2?
的最小值为半个周期 ，故②错； y ? g ?x ?的图象向左平移 个单位，可以得到
2 3
y sin ?2? x 2? ? 2?? sin ?2x 2?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?的图象，故③错；对于④，
? ? 3 ? 3 ? ? 3 ?
f ?x0 ? g ?x ? cos?2x
2?
? ?0 ? ? 0 ? ? ? sin
?2x 2? ? 1? 0 ? ? ? ? cos2x
3
0 ? sin 2x
1
0 ? sin 2x
3
0 ? cos2x
? 3 0? ? 3 ? 2 2 2 2
6 ? 2 ? ? ? ?
? sin 2x 6 ? 2 1 6 ? 2
2 0
??0, ， ?2 ? 2 ?
0, ? ，故④对．故选C．
? ? ? 2 ?
考向 2 三角函数中?的范围问题
1 ? ?．（2020宜春模拟，理 11）已知定义在 ? ??0, ?上的函数 f (x) ? sin
?
??x ?
?
?(? ? 0)
?
的最大值为 ，则正实数?的
? 6 ? ? 6 ? 5
取值个数最多为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
? 0, f (x) ? ? ? x ?0, ?0 1 ? ? ?? ?定义在 ? ?上的函数 的最大值为 ，? ? ? ，? 0 ?? ? 5 ， ?
?
? ?，? ? ??x ? ? ? ，? 6 ? 5 5 ? 6 ? 6 6 6 6
?? ? ?
①当 ? ? ，即 0 ?? ? 4时， f (x)max ? sin
??? ?? ?
?
? g( ?? ??) ? sin ? ? ??0 ?? ? 4? h(?) ?，令 ， ? ，
6 6 2 ? ? ? ?? 6 6 ? 5 ? 6 6 ? 5
?? ? ?
由 g(?) 与 h(?) 的图象易知，存在唯一的?? ?0,4?，使得 sin ?? ?
? ? ；
? 6 6 ?? 5
2
压轴小题
?? ? ? ?
②当 ? ? ，即 4 ?? ? 5 时， f (x)max ? ?1，∴? ? 5；6 6 2 5
综上，正实数?的取值个数最多为2个.
2．（池州 5月检测，理 16）已知函数 f ?x? ? sin ??x ? ? ? ?? ? 0 ? f ? ? ? ??1 f ? ? ? ? ? ?满足 ? ，4 ? ? ? ? 0 且 f ?x?在区间 ? , 上? ? ? 2 ? ? 4 3 ??
单调，则?取值范围的个数有_______个.
【答案】3
f ? ? ? ? ? ? ? ? T nT由 ? 4 ?
?1， f ? ? ? 0 可得， ? ? ? ?n?N? ?? ? 4n ? 2，
? ? ? 2 ? 2 4 4 2
f ?x? ? ? , ? ? ? ? T在区间 ? ?上单调可得 ? ? ? 0 ? ? ? 12，
? 4 3 ? 3 4 2
故可知?可以取 2，6，10 三个值.
考向 3 解三角形
1．（重庆二诊康德，理11）已知△ABC的面积为1，角 A， B，C的对边分别为 a， b， c，若
， cosB cosC 3 2asin A? bsinB ? 2csinB ? csinC ? ，则 a ?（ ）
5
A． 5 B． 10 C． 5 D． 10
2 2
3
由正弦定理得： 2asin A? bsinB ? 2csinB ? csinC? a2 ? b2 ? 2bc ? c2 ，由余弦定理得：cos A ? ? ，A ? ?，
2 4
?cos A ? ?cos ?B ?C ? ? sin BsinC ? cosBcosC ， sin BsinC 2? ? ，
10
又?S 1? absinC ? 2R2 sin Asin B sinC ?1，
2 ?R ? 5
， a ? 2Rsin A ? 10 ，故选D.
2 THUSSAT2020 5 11 ABC A B C a b c a b．（ 年 月诊断，文 ）已知△ 的内角 、 、 的对边分别为 ， ， ．若 ? ? 4cosC，
b a
且 cos ?A ? B? 1? ，则 cosC ?（ ）
6
A 2 B 3 C 2 3． ． ． 或 ? D．不存在
3 4 3 4
【答案】A．
a b a2 ? b2 a2 ? b2 ? c2
由 ? ? 4cosC，得 ? 2 ? a2 ? b2 ? 2c2 ，
b a ab ab
3
压轴小题
2 2 2 2
cosC a ? b ? c sin C 2sin
2 C 2sin2 C cosC 2所以 ? ? ? ? ，解得 ? ．
2ab sin Asin B cos(A ?B) ?cos(A ?B) 1 ? cosC 3
6
3．（2020莆田市高中毕业班教学质量第二次检测，文12）已知锐角△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，
c，且 b ? 2 ，17sin B(acosC ? ccos A) ?16 ，△ABC的面积为2，则△ABC的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B.
将 a cosC ? ccos A ? b， b ? 2 代入17sin B(acosC ? ccos A) ?16 ，可解得 sin B 8? ，
17
?△ABC为锐角三角形，? cosB 15? ，?△ABC 1 1的面积为2，? acsin B ? ac 8 2 ac 17? ? ，有 ?
17 2 2 17 2
又? b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cosB，? 4 a2 c2 2ac 15 ac 17? ? ? ? ，将 ? 代入化简有 a2 ? c2 ? 19
17 2
故 (a ? c)2 ? a2 ? c2 ? 2ac ?19 ?17 ? 36 ，? a ? c ? 6 ，所以△ABC的周长为8.故选B.
4．（广东一模，文11）在△ABC中，已知 A ? 60?，D是边 BC上一点，且 BD ? 2DC， AD ? 2 ，则△ABC的面积
的最大值为（ ）
A 3 B 3 3 C 2 3 D 5． ． ． ． 3
2 2
【答案】B
在△ADC中，令?ADC ?? ， BD ? 2m， DC ? m，有 b2 ? 22 ?m2 ? 2 ? 2 ?m cos? ①
在△ADB中，有 c2 ? 22 ? (2m)2 ? 2 ? 2 ? 2mcos(? ? ?) ，即 c2 ? 4 ? 4m2 ? 8mcos? ②
联立①②得， 2b2 ? c2 ?12 ? 6m2 ③
在△ABC中，有 b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (3m)2 ④，由③④消去m2 得 4b2 ? c2 ? 2bc ? 36 ，
又 36 ? 4b2 ? c2 ? 2bc ? (2b)2 ? c2 ? 2bc ? 2 ?2b ? c ? 2bc ，解得 bc ? 6
1 1 3 3 3
所以 S ? bc sin A ? ? 6? ? .
2 2 2 2
5．（宁德质检，文15）在平面四边形 ABCD中， BC ?CD ，?B ? 135? ， AB ? 3 2 ， AC ? 3 5 ， CD ? 5 ，则
AD ? ________．
【答案】 2 10
AC AB 3 5 3 2
在△ABC中，由正弦定理，得 ? ，得
? ，则 sin ACB 5? ? ，因为 BC ?CD，则
sin B sin?ACB 2 sin?ACB 5
2
cos?ACD ? sin 5?ACB ? ，在△ACD中，由余弦定理，得
5
AD2 ? AC 2 ?CD2 ? 2AD ?CD ? cos?ACD ? 45? 25? 2 ? 3 5 ? 5 5? ? 40 ，所以 AD ? 2 10 .
5
6．（湖北八校联考，文15）已知在钝角三角形△ABC中，角 A， B，C的对边分别为 a，b， c，若 a ? 4，且
sin A ? 2sin B cosC，则实数 b的取值范围为_______.
【答案】 ?2,2 2 ?
【解法1】因为 sin A ? 2sin B cosC，所以 sin(B ?C) ? 2sin BcosC ，即 sin BcosC ? cosBsinC ? 2sin BcosC ，所
以 sin B cosC ? cosB sinC ? 0，即 sin(B ?C) ? 0 ，因为 B,C? (0,?) ，所以 B ? C，所以 b ? c进而可以得到 A为
钝角，所以 ?1? cos A ? 0 .由余弦定理知道，所以 b? (2,2 2)
【解法2】数形结合
4
压轴小题
? ? ?
取 BC边中点 ? ?D，连 AD，记?CAD ? ? ，则?A ? ?CAB ? 2? ?? ,??，所以? ?
?
? ,
?
2 4 2 ?
，
? ? ? ?
? ?
故 sin? 2??? ,1
CD 2
?? .在Rt△ADC中， b ? ? ? 2,2 2 .
? 2 ? sin? sin?
? ?
考向 4 综合应用
1.（昆明三诊一模，理12）如图，某公园内有一半圆形湖面，O为圆心，半径为1千米，现规划在△OCD区域种荷
花，在△OBD区域建水上项目，若?AOC ? ?COD，且使四边形OCBD面积最大，则 cos?AOC ?（ ）
A． 17 ?1 B． 33 ?1 C． 17 ?1 D． 33 ?1
8 8 6 6
【答案】B
记?AOC ? ?COD ? x，则?BOD ? ? ? x，并设四边形OCBD面积为 S (x) ，考虑该面积可以分为△OCD和
S(x) 1OC OD sin COD 1△OBD计算得： ? ? ? ? ? OB ?OD ?sin?BOD
1
? (sin x ? sin 2x) ，其中 x ? 0 且 ? ? 2x ? 0 ，
2 2 2
0 x ?故 ? ? ．其导函数 S' (x) 1? (2cos 2x ? cos x) 1? (4cos x2 ? cos x ? 2) ? 0，0 ? cos x ?1，解得 cos x 33 ?1? ，
2 2 2 8
验证 cos x 33 ?1? 为唯一的极（最）大值点，故所求 cos AOC cos x 33 ?1? ? ? ，故本题选B．
8 8
2．（THUSSAT2020年5月诊断，理12）已知当 x??0,1?时，不等式 x2 cos? ? x(1? x) ?(1? x)2 sin? ? 0 恒成立，则?
的取值范围为（ ）
A k ? ? k 5? ? 5?． ? ? ? ? ? ? ( k为任意整数) B． k? ? ?? ? k? ? ( k为任意整数)
12 12 6 6
C． 2k ? 5? ? 5?? ? ?? ? 2k? ? ( k为任意整数) D． 2k? ? ? ? ? 2k? ? ( k为任意整数)
12 12 6 6
【答案】C
解法一：由于 x?[0,1]， x2 cos? ? x(1? x) ? (1? x)2 sin? ? 0 恒成立，
?
取 x ? 0 ， sin x ? 0 ， x ?1， cos? ? 0 ? ?得：? ??0,
? 2 ??
x cos? 1? x进一步将上式化为： ? sin? ?1恒成立，
1? x x
x
由 cos 1? x? ? sin? ? 2 x cos 1? x? ? sin? ? 2 cos? ?sin?
1? x x 1? x x
2 cos sin 1 sin 2 1 2 ? ? , 5? ? 5?只需 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 ? ?
?? ?? , ?
? 6 6 ? ?12 12 ?
5
压轴小题
? ? 5?
考虑到周期性，原题中? ??2k? ? , 2k? ?
?
? .
? 12 12 ?
将不等式 x2 cos? ? x(1? x) ? (1? x)2 sin? ? 0 ，整理得： (sin? ? cos? ?1) x2 ? (2sin? ?1) x ? sin? ? 0 ，
构造 f (x) ? (sin? ? cos? ?1)x 2 ? (2sin? ?1)x ? sin? ，首先 f (0) ? 0， f (1) ? 0得： sin? ? 0且 cos? ? 0 ，
f (x) x 2sin? ?1则 的图象开口向上，且对称轴 ? ? (0,1) 的抛物线，
2(sin? ? cos? ?1)
?sin? ? 0
由题，若使不等式 x2 cos? ? x(1? x) ? (1? x)2 sin? ? 0 在 x?[0,1] ?恒成立则只需 ?cos? ? 0 ，所以
?
?? ?1? 4sin? cos? ? 0
?2k ? , 2k 5?? ? ?? ? ? ? ?12 12 ?
， k?Z，故选C.
? ?
3．（2020重庆康德二诊，文11）在锐角△ABC中，角 A， B，C的对边分别为 a， b， c，9a2 ? 9b2 ?19c2 ，则
tan A tan B
?（ ）
tanC(tan A ? tan B)
A 4 5 2 7． B． C． D．
9 9 3 9
【答案】B
sin A sin B
tan A tan B ?cos A cosB sin Asin BcosC sin Asin BcosC abcosC? ? ? ?
tanC(tan A ? tan B) sinC ( sin A sin B? ) sinC sin(A ? B) sin
2C c 2
cosC cos A cosB
又 9a2 ? 9b2 ?19c2 ，所以 2abcosC
10 5
? a2 ? b2 ? c2 ? c2 ，所以原式 ? ，故选B.
9 9
6
压轴小题
立体几何
考点 1 与空间角有关的计算
1．（2020大连一模，理16）如图，在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中，点O为线段 BD的中点.设点 P在线段CC1 上，二
面角 A1 ? BD ? P的平面角为? ，用图中字母表示角? 为_______； sin? 的最小值是_______．
【答案】?A1OP
6
； .
3
由 PC ? BD，OC ? BD， PC ?OC ?C，可得 BD ?平面OCP，所以OP ? BD；
同理可证： AO ? BD，所以?AOP是二面角1 1 A1 ? BD ? P的平面角.即? ? ?A1OP .假设OP ? tCC （1 0 ? t ?1），
不妨令CC ? 2 ，则1 tan?A1OP ? tan ?? ??COP ??AOA1 ?? ? tan ??COP ? ?AOA1 ?
tan?COP ? tan?AOA
? ? 1
1? tan?COP ? tan?AOA1
2
2 ? 2t 2 ，
? ? ? ? 2
1? 2t 2 2t ?1
1 ?
当 t ? 时，无意义，此时?A1OP ? ， sin? ?1；2 2
1
当 t??? ,1
?
?时，单调递减且 tan? ? 0，故当 t ?1时， tan? 最小，此时 sin? 最小，即 sin?
2 2
? ；
? 2 ? 3
当 t???0,
1 ?
?时，单调递减且 tan? ? 0，故当 t ? 0 时， tan? 最大，此时 sin? 最小，即 sin?
6
? .
? 2 ? 3
综上， sin? 的最小值是 6 .
3
7
压轴小题
考点 2 空间几何体的外接球、内切球
1．（湖北八校联考，文11）如右图所示，三棱锥 P ? ABC的外接球的半径为 R，且 PA过球心，△PAB围绕棱 PA
旋转 60?后恰好与△PAC重合，若?PAB ? 60?，且三棱锥 P ? ABC的体积为 3 ，则 R ?（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】D
依题意△PAB ?△PAC，过点 B作 BD ? PA于D，连接CD，则CD ? PA ,所以?CDB为二面角 B ? PA ?C 的
平面角，?BDC ? 60?，进而可以得到△BCD为等边三角形.同时，因为CD ? PA， BD ? PA，CD? BD ? D，
所以 PA?平面CBD .在Rt△PBA中，?PAB ? 60?，所以 BD PB ? AB 3R ?R 3R? ? ? .所以
PA 2R 2
2
V 1 1 3
? 3 ? 3 3 ，解得 .
P?ABC ?VP?BCD ?VA?BCD ? S△BCD ? AP ? ? ? ?3 3 4 ?
R ?? ? 2R ? R ? 3 R ? 2
? 2 ? 8
2．（昆明三诊一模，理11）已知正四棱锥 P ? ABCD的高为2， AB ? 2 2 ，过该棱锥高的中点且平行于底面 ABCD
的平面截该正四棱锥所得截面为 ABC D ，若底面 ABCD与截面 ABC D 的顶点在同一球面上，则该球的表面1 1 1 1 1 1 1 1
积为（ ）
A． 20? B
20? 4?
． C． 4? D．
3 3
【答案】A
由题易知，球心O在该正四棱锥的高上，记O到底面 ABCD的距离为 d ，则O到截面 A1B1C1D 的距离为 ，1 d ?1
球半径为 R，由 R2 ?OA2 ?OA2 可得 d 21 ? 2
2 ? (d ?1)2 ?12 ，解得 d ?1，R2 ? 5 ，故球的表面积为 S ? 4?R2 ? 20?，
故本题选A.
8
压轴小题
3．（宁德质检，理11）如图，四边形 ABCD为正方形，四边形 EFGB为矩形，且平面 ABCD与平面 EFBD相互垂
16
直，若多面体 ABCDEF 的体积为 ，则该多面体外接球表面积的最小值为（ ）
3
A．16? B．12? C．8? D． 6?
【答案】B.
1 16
由题意可得：VABCDEF ? 2VC?BDEF ? 2? ? 2 2a? BF ? 2a ?3 3
8
所以 BF ? 2 ，令外接圆半径为 R，球心为 BDEF的几何中心，a
2
? 4 ? a2 16 a2 a2 16 a2 a2
所以易得 R= ? 2 ? ? ? 4 ? ? ? 33 4 ? ? ? 3 （当且仅当 a ? 2时取等号）? a ? 2 a 4 4 a 4 4
所以 R ? 3 外接球的表面积最小值为12?
4．（池州5月检测，理11）在正三棱锥 P ? ABC中，M、N 分别是 PC、BC 中点， AM ? MN，PA ? 2 3 ，则三棱
锥 P ? ABC的外接球的表面积为
A．12? B． 9 3? C． 36? D．36 3?
【答案】C
M、N 分别是 PC、BC 中点，可得MN / /PB ， AM ? MN ? PB ? AM 由正三棱锥引理可知对棱互相垂直，
?PB ? AM
?
?PB ? AC ? PB ?平面 PAC ? PB ? PA,PB ? PC
?
?AM ? AC ? A
?PA ? PB
?
再由 ?PA ? BC ? PA ?平面 PBC ， PA ? PC，有此可得正三棱锥 P ? ABC为正方体的一角，
?
?PB ? BC ? B
R 3 a 3? ? ? 2 3 ? 3， S ? 4?R2 ? 36?，故选C.
2 2
5.（芜湖二模，理12）已知棱长为 g ?x?的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中， E为?中点， F 在线段 f '(x) ? 0 上运动，则
三棱锥 f ?x?的外接球的表面积最小值为
A．14 B 9 C 545 D 525? ． ? ． ? ． ?
64 64
9
压轴小题
【答案】C
有两个平面互相垂直的外接球半径求法：
如上图，三棱锥 A ? BCD中，平面 ABD ?平面 BCD，平面 ABD?平面 BCD ?CD，设 BD ? l，O1 与O2 分别
2
为△BCD与△ABD的外心， R l为三棱锥 x1 ? x ? x2 的外接球半径，则此外接球半径为 R ? R
2 ? R 21 2 ? .4
证明：因为外接球在每个面内的投影为每个面所在三角形的外心，如上图所示，取 x ? x2 的中点 E，则有四边
f x [0, x ],[x , ) [x , x ] R R 2 R 2 l
2
形?为矩形， ( ) ， 1 2 ?? ，在 1 2 中，有勾股定理可得 ，即 ? 1 ? 2 ? .设△ADE ，△DEF4
的外接圆半径分别为 R1与 R2，三棱锥 F ? ADE的外接球半径为 R，
2
DE ? l，则有 R2 ? R 21 ? R
2 l 5
2 ? ，易得 R1 ? ，故当 R2最小时， R最小，易知当以 DE为弦的圆与D1C1 相切4 2
R cos DF 'E 15 sin DF 'E 8 2R DE R 17时，此时 2最小，经计算可得 ? ? ，? ? ? ? ? ? ? ，17 17 2 sin?DF 'E 2 16
R2 5 289 1 545 545? ? ? ? ? ， S ? 4?R2 ? ?，故选C.
4 256 4 256 64
6．（2020佛山二模，理11）已知 A，B，C是球O的球面上的三点，若?AOB ? ?AOC ? 60?，三棱锥O ? ABC 体
积的最大值为1，则球O的表面积为（ ）
A． ?? B． ?? C．??? D． ???
【答案】C
思路一：△AOB与△AOC都是边长为 R的等边三角形，显然当平面 AOB ?平面 AOC时，三棱锥O ? ABC 的
1 ? 3 ? 3 1
体积取得最大值.最大值为 ? 2?? R ??? R ? R
3 ?1，? R ? 2
3 ? 4 ? 2 8
10
压轴小题
思路二：△AOB与△AOC都是边长为 R的等边三角形，取OA的中点D，连接 BD,CD，则 BD ? OA，CD ? OA，
? ? ? 3
设?BDC ?? ?0 ?? ? ?，则点 B到平面 AOC的距离 h ? BD?sin? ? R sin? ，
? 2 ? 2
?V V 1 3? ? ? R 2 3? R ? sin? 1? R 3O?ABC B?AOC ? 1，3 4 2 8
?三棱锥O ? ABC 的体积最大时， R ? 2
思路三：(这个思路最不可取，考试中有学生用，列上)：设球O的半径为 R，由题知OA ?OB ?OC ? AB ? AC ? R ，
R
设△ABC的外接圆半径为 r，?ABC ? ? ，由正弦定理得： 2r ? ，则三棱锥O ? ABC 底面 ABC上的高
sin?
h R2 ( R 1? ? )2 ? R 1? ,
2sin? 4sin 2?
3
又 S△ABC ? R
2 sin? cos 1 1? ，所以V 3O?ABC ? ?S△ABC ?h ? R sin? cos 1
1 1
? ? ? R3 ?(cos2 3 9 R? ? )2 ? ? ?1，
3 3 4sin2? 3 8 64 8
所以三棱锥O ? ABC 的体积最大时， R ? 2 ，所以选C.
7．（重庆康德二诊，理12）已知 A，B，C，D四点均在球O的球面上，△ABC是边长为6的等边三角形，点D在
平面 ABC上的射影为△ABC的中心， E为线段 AD的中点，若 BD ? CE，则球O的表面积为（ ）
A．36? B． 42? C． 54? D． 24 6?
【 】D.
设△ABC的中心为G ，延长 BG 交 AC 于 F ，则 F 为 AC 中点，连接DF .由题知 DG ?平面 ABC, AC ?GB，
由三垂线定理得 AC ? BD，又 BD ? CE，?BD ?平面 ACD，又D ? ABC为正三棱锥，故DA， DB， DC两
两垂直，故三棱锥 D ? ABC可看作以DA，DB，DC为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由 AB ? 6
得DA ? 3 2 ，故正方体外接球直径为 3 2 ? 3 ? 3 6 ，所以球O的表面积为 4?R2 ? 54?，故选C.
8．（2020马鞍山二模，理12）梯形 ABCD中，AD//BC，?DAB ?120?，AC ? BC，BC ? 2AD ? 2，现将△ABC沿
AC折起，使得 B ? AC ? D二面角的大小为120?，若 A，B，C，D四点在同一个球面上，则该球的表面积为
（ ）
A 16? B 40? C 64? D 76?． ． ． ．
3 3 3 3
【答案】C
由 AD//BC，?DAB ?120?， AC ? BC， BC ? 2AD ? 2可得?BAC ? 30? ， AB ? 2BC ? 4 , AC ? 2 3 ，
在平面 ABC内作矩形 ACBE，即 AE ? AC ，而 AD ? AC ，则?EAD为二面角 B ? AC ? D的平面角，即
?EAD ?120?，过点D作DF ?平面 ABC于 F ，则?DAF ? 60? ，? DF ? AD ? sin 60?
3 3
? 1? ? ，
2 2
AF ? AD ? cos60? 1? ，?FAB ? 120?，取 AB中点O?，由三角形 ABC为直角三角形，O?为三角形 ABC外接圆2
1
的圆心，? r ? O?A ? ? AB ? 2 ，则O?F ? AF 2 ? AO?2 ? 2AF ? AO? ?cos?FAC 1? ? 4 ? 2 1 1 21? ?2(? ) ? ，过
2 4 2 2 2
O?作O?O ?平面 ABC，则OO?//DF ，取OA ?OB ?OC ?OD ? R ，过O作OH ? DF 于H，则 HFO?O为矩形，
11
压轴小题
OO? ? HF，OH ? O?F ，在三角形 DHO中，OD2 ? R2 ? (DF ?OO ?)2 ?O ?F 2 ? ( 3 ?OO ?)2 21? ①，在三角形
2 4
OO?B中， R2 ?OO?2 ? r 2 ?OO?2
16 64?
? 4②，由①②可得 R2 ? ，则外接球的表面积为 S ? 4?R2 ? ，故选：C.3 3
9．（广东一模，理11）已知三棱锥 P ? ABC满足 PA ? PB ? PC ? AB ? 2 ， AC ? BC，则该三棱锥外接球的体积为
（ ）
A 32． 3? B 32 32 16． ? C． 3? D． ?
27 3 9 3
【答案】A
设 AC、AB中点为分别D、M ，连结 PD，DM ，PM ，则 AC ? PD，PM ? AB，由 AC ? BC知 AC ? DM ,
且 PD?DM ? D，故 AC ?面 PDM ，故 AC ? PM ，故 PM ?面 ABC，所以球心在直线 PM 上，设为O（如
2
图2），易知CM ?1， PM ? 3 ，设球半径为 R，在Rt△PCM 中，由勾股定理可得 R2 ? ? 3 ? R? ?12 ，解得
R 2 3? ，体积V 4? ?R3 32 3? ? .
3 3 27
10．（东北三省四市二模，理16）在四棱锥 P ? ABCD中，底面 ABCD为正方形， AB ? 2 ，△PAD为等边三角形，
线段 BC的中点为 E，若 PE ?1，则此四棱锥的外接球的表面积为_______.
28?
【答案】
3
设 AD中点为 F ，则 AD ? PF，EF ? AD，故 AD ?面 PEF，故面 ABCD ?面 PEF，过点 P作 PI ? EF于点 K，
3
则 PI ?面 ABCD，PK ? ，过底面外心 ABCD点 J 作OJ / /PI ，可构造直角三角形解球半径，设OJ=h，则
2
2 2
? 2 ?2 ? h2 ? ? 1 ? ? ?h 3 h 3 7 28?? ? ? ?? ? ?? ，解得 ? ，设球半径为 R， R2 ? ，表面积为? 2 ? ? 2 ? 3 3 3
12
压轴小题
l211． （长郡十五校高三第二次联考，理16）已知 R ? R 2 ? R 21 2 ? 、B、R1、 R2四点都在表面积为100?的球 R4
2
的表面上，若 BC ? 4 3 ，?BAC ?120?．则球 R2 R 2 R 2 l R 5? 1 ? 2 ? 内接三棱锥 1 ? 的体积的最大值为_______.4 2
32 3
【答案】 .
3
设球的半径为 R 100? 4 3，△ABC的外接圆的半径为 r，则 R ? ? 5 ， 2r ? 0 ? 8 ，即 r ? 4，?点D到底面4? sin120
ABC的最大距离为 h ? 5 ? 52 ? 42 ? 8 ，? BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? AB ? AC ? 3AB ? AC ，? AB ? AC ?16，
? S 1?ABC ? AB ? AC ? sin?BAC
1 1 32 3
? 4 3 ，?V ? S?ABC ?h ? ? 4 3? 8?2 3 3 3
12．（石家庄模拟，文15）如图，在四棱锥 P ? ABCD中，底面 ABCD为正方形，AB ? AP ? 2，?PAB ? ?PAD ? 60?，
则该四棱锥的外接球的表面积为_______.
【答案】8? .
过点 P作 PE ?平面 ABCD，连结 BE,DE，因为 AB ? AP ? AD，?PAB ? ?PAD ? 60? ，所以 PB ? PD，故
ED ? EB，因此△ABE ?△ADE，?BAE ? ?DAE，因此 E在 AC上.过 E作 EH ? AB，连结 PH ，因为 AB ? PE，
AB ? HE，PE ?HE ? E，故 AB ?平面 PEH ，故 AB ? PH，所以 AH ?1，PH ? 3 ，在Rt△AEH 中，AE ? 2 ，
EH ?1，因此 E为 AC中点，即也为 BD中点.在Rt△PEH 中， PE ? PH 2 ? EH 2 ? 2 .所以 E为四棱锥
P ? ABCD的外接球球心，半径为 2 ，球的表面积为8? .
13．（石家庄模拟，理15）如图，在四棱锥 P ? ABCD中，底面 ABCD为正方形，AB ? 2AP ? 4，?PAB ? ?PAD ? 60?，
则_______；四棱锥 P ? ABCD的外接球的表面积为_______．（第一个空2分，第二个空3分）
13
压轴小题
?
【答案】 ； 40? .
4
作 PE ?平面 ABCD，由?PAB ? ?PAD ? 60? ，知点 E在线段 AC 上，过 E作 EH ? AB，
连结 PH ，因为 AB ? EH，AB ? PE，EH ? PE ? E故 AB ?平面 PEH ，故 AB ? PH .在Rt△PAH 中，AH ?1，
?
PH ? 3 ；在Rt△EAH 中，AE ? 2 ，EH ?1；在Rt△PEH 中，PE ? 2 ，因此 tan?PAE ?1，故?PAE ? ；4
取M 为 AC中点，设该四棱锥的外接球的球心为O，半径为 R，OM ?平面 ABCD，设OM ? d ，作 PF ? OM ，
?R2 ? d 2 ? 8 ??d ? 2
易知四边形 ?PFME为正方形.则有 ? 2 ，解得 ? ，故外接球表面积为 22 ? ? S ? 4?R ? 40?
.
??R ? d ? 2 ? 2 ??R ? 10
14．（2020届湘赣皖长郡十五校高三二联，文16）已知在直角梯形 ABCD中，AB / /CD，?DAB ? 90?，满足DC ? 2，
AB ?1， AD ? 3 沿 BD将三角形 BDC折起，把C折到 P点，使平面 PBD ?平面 ABD，则 P ? ABD的外接球
的表面积为_______.
16?
【答案】
3
在直角梯形 ABCD中，?ADB ? 30? ，??BDC ? 60?，因为 BD ? CD ? 2，所以△BDC为正三角形，在三棱锥
P ? ABD中，取 BD的中点 E，连接 PE ，则 PE ? 平面 ABD，取 O为 PE 三等分点， PO ? 2OE ，所以
OA ?OB ?OD 2 3 16?OP，所以O为三棱锥 P ? ABD的外接球的球心，所以 R ?OB ? ，所以 S ? ? .
3 3
15．（池州五月检测，文16）在正三棱锥 P ? ABC中，M ,N 分别是 PC,BC中点，且 AM ?MN ,PA ? 2 3 ，则三棱
锥 P ? ABC外接球的表面积为_______.
【答案】36?
设底面△ABC三边中线交于点H，则点H为△ABC的中心，连接 PH 易得 PH ?平面 ABC，所以 PH ? BC 由
三线合一知 AN ? BC，又因为 PH ? AN ? H ，所以 BC ?平面 PNA，所以 BC ? PA，同理证明 AB ? PC，
AC ? PB，即正三棱锥对棱垂直，由中位线定理得MN / /PB，又因为 AM ? MN，所以 AM ? PB，因为 AC ? PB，
BC ? PA，所以 PB ?平面 PAC ，所以 PB ? PA，PB ? PC，因为 PB ? PA，BC ? PA，所以 PA?平面 PBC ，
所以 PA ? PC，故正三棱锥 P ? ABC三条侧棱两两垂直，等价看做从正方体一个顶点出发的三条棱.所以
14
压轴小题
2 2 2
?2R?2 ? ?2 3 ? ? ?2 3 ? ? ?2 3 ? 则外接球表面积 S ? 4?R2 ? 36?
16．（2020莆田市高中毕业班教学质量第二次检测，文15）已知四棱锥 P ? ABCD的底面 ABCD为矩形， AC ? 4 ，
PA ? 2 3 ，当四棱锥 P ? ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为______.
【答案】 28π .
因为 PA ? 2 3 为定值，所以对于每一个给定的矩形 ABCD，当 PA?底面 ABCD时，四棱锥 P ? ABCD的体积
1 2 3
最大，此时V
四棱锥P?ABCD ? ?S ?PA ? ?S ，连结 BD，设 BD? AC ?O，则3 矩形ABCD 3 矩形ABCD
S ABCD ? 2OA ?OB ?sin?AOB ? 2OA ?OB ? 8 ，此时矩形 ABCD为正方形，且正方形边长为 2 2 .故矩形
V 2 3 16 3P?ABCD ? ?S ABCD ? ，当底面为正方形且 PA?底面 ABCD时取最大值.体积最大时，将四棱锥四棱锥 3 矩形 3
P ? ABCD补成长方体，则四棱锥的外接球即为该长方体的外接球，外接球的表面积为
?(2 2)2 ? (2 2)2 ? (2 3)2 ?π=28π .
17．（广东一模，文15）如图，已知三棱锥 P ? ABC满足 PA ? PB ? PC ? AB ? 2 ， AC ? BC ，则该三棱锥外接球
的体积为_______.
32 3?
【答案】
27
设△ABC的外接圆圆心为O?，因为 AC ? BC，所以O?为 AB 1中点，设其半径为 r ? AB ? 1，
2
依题意， PA ? PB，知球心O在 PO?上，所以 PO? ? 22 ?12 ? 3 ，又 R2 ?OO?2 ? r 2 ? (PO? ? R)2 ?12 ，
3
2 4 4 ? 2 3 ? 32 3?
解得 R ? 3 ，所以三棱锥外接球体积为V ? ?R3 ? ??? ?? ? .3 3 3 ? 3 ? 27
18．（2020大连一模，文16）已知矩形 ABCD中， AB ? 8 ， AD ? 6 ，沿对角线 BD折叠成空间四边形 ABCD，则
15
压轴小题
空间四边形 ABCD的外接球的表面积为_______．
【答案】100? .
取 BD的中点O，连OA，OB，OC ，OD，则OA ?OB ?OC ?OD ? 5，故O为空间四边形 ABCD的外接球的
球心，且 r ? 5，所以 S ? 4?r 2 ?100? .
19．（莆田市第二次检测，理16）已知四棱锥 P ? ABCD的底面 ABCD为矩形，AC ? 4 ，PA ? 2 3 .当四棱锥 P ? ABCD
的体积最大时，其外接球球心O到平面 PBD的距离为_______.
【答案】 3
当四棱锥 P ? ABCD的体积最大时，即 PA?面 ABCD，且底面为正方形时，此时外接球球心即为 PC中点，
V 1 1 1 1 2 6 4 3 1
3
O?PBD ?VB?POD ? VB?PCD ? ? ? ? 2 2? 2 5? ? ，又 S PBD ? ? 4? 4 ? 8，故 h ? .2 2 3 2 5 3 △ 2 2
20．（2020年山东5月质量检测，15）已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2 3 ，其内有2个不同的小球，球O1 与
三棱锥 A ? CB1D1 的四个面都相切，球 O2 与三棱锥 A ? CB1D1 的三个面和球 O1 都相切，则球O1 的体积等于
_______，球O2 的表面积等于_______.
4?
【答案】 ； ?
3
作出两球的截面如图所示：
2 2
由题意可得，正四面体 A ? CB1D1 的棱长为 ?2 3 ? ? ?2 3 ? ? 2 6 ，高 AF ? 4，设球O1 的半径为 R，
1 3
则由等体积法 ?S△AB D ? S△AB C ? S△ACD ? S△?CB D ?R ? ?2 3 ? ?VB?AB C ?VC ?D B C ?V ?V ,3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D?AD1C A1?AB1D1
1 ? 1 3 ? 1
即 ? 4??? ? 2 6 ? 2 6 ? ??R ? ?2 3?
3
R 1 4，解得 ? ，所以O1B1 ? O1A ? 3，所以球O1 的体积为 ；3 ? 2 2 ? 3 3
r O G O对于球O ，设其半径为 ，如图可得 2 ? 2B1 r 3? r ? R 2 ? r r 12 ，即 ? ，所以 ? ，得 r ? ，所以球O2 的表O1F O1B1 R 3 3 1 2
16
压轴小题
1 2
面积为 4?r 2 ? 4?? ? ?? ? ? ? .
? 2 ?
考向 3 动点问题
1．（2020深圳线下调研，理12）将边长为5的菱形 ABCD沿对角线 AC折起，顶点 B 移动 B ?至，在以 B?,A,C,D为
顶点的四面体 AB?CD中，棱 AC，B ?D 的中点分别为 E，F ，若 AC ? 6，且四面体 AB?CD的外接球球心落在
四面体内部，则线段 EF 长度的取值范围为
? 14 ? ? 14 ?
A． ?? ， 2 32 ?? B
． ?? ， 42 ?? C
． ? 3， 2 3? D． ? 3， 4?
? ? ? ?
【答案】A
如图，显然 AC ? B?E，且 AC ? DE，所以 AC ?平面B?ED，又 E 是 AC的中点，所以到点 A，C的距离相等
的点位于平面 B?ED内，同理可知，到点 B ?，D的距离相等的点位于平面 ACF 内，球心O到点 A， B ?，C，
D的距离都相等，所以球心O位于平面 B?ED与平面 ACF 的交线上，即直线 EF 上，依题意可知，球心O落在
7
线段 EF 上（不含端点）.由 EF B?D OE ? ? EF EF 14? ，易知 ，即 ? ，又 EF ? EB? ? 4 ，故应选B.
2EF 2
2.（池州5月检测，理10）已知MN 是正方形内切球的一条直径，点 P在正方形表面上运动，正方体的棱长是 2 ，则
PM ?PN的取值范围为
A． ?0,4? B． ?0,2? C． ?1,4? D． ?1, 2?
【答案】B
2 2 2
设球心为O，由极化恒等式可得 P?M???? PN ? PO ????O?M ? PO ?1 ???? ????
易知当点 P在正方体面的中心时 PO 取得最小 PO ?1，在正方体顶点时 PO 取得最大 PO ? 3 ，所以
min max
PM ?PN的取值范围为 ?0,2? .
3．（湖北八校第二次联考，理12）已知，如图正三棱锥 P ? ABC 中，侧棱长为 2 ，底面边长为 2 ，D为 AC中点，
E 为 AB 中点，M 是 PD上的动点， N是平面 PCE 上的动点，则 AM ? MN 最小值是（ ）
17
压轴小题
A 2 ? 6 B 1? 3 6 3． ． C． D．
4 2 4 2
【答案】B
要求 AM ? MN 最小，即求MN 最小，可得MN ⊥平面 PCE ,又可证明MN∥DF ;再把平面 POD绕 PD旋转，与
1 1 1 1 1 OD 1
PDA共面；又可证得?POD ? 90?，?PD ? AC，DO ? DF ? ? AB ? ，?sin?OPD ? ? 即2 2 2 2 2 PD 2
6 ? 2 3 ?1
?OPD ? 30?，??APN ? 45? ? 30? ? 30?，可得 sin 75? ? ， ?AM ?MN ? ? AN ? PA ? sin 75?= .
4 min 2
4．（2020梅州 5月质检，理 12）在空间直角坐标系O ? xyz中，四面体OABC 各顶点坐标分别为O ?0,0,0?， A?0,0,2?，
?
B 2 3
? ? ?
?? ,0,0
2 3
??，C ??0, ,0??．假设蚂蚁窝在O点，一只蚂蚁从O点出发，需要在 AB， AC 上分别任意选择一
? 3 ? ? 3 ?
点留下信息，然后再返回O点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是
A． 2 2 B． 11? 21 C． 5 ? 21 D． 2 3
【答案】C.
如图，将四面体的侧面OAB与侧面OAC 沿着边 AB 与 AC 在平面 ABC 内展开．如图所示，在直角△BOC中，
BC 2 6
3 ?
? ，在△BAC中，由余弦定理得 cos?BOC ? ，?BAO ? ?CAO1 ? ，在△AOO1 中，因为3 4 6
cos ??OAO1 ? cos
?
??BAC ?
?
? =
3? 21
，所以由余弦定理可得
? 3 ? 8
OO 2 2 21 ?OA ?O1A ? 2OA ?O1A ?cos?OAO1 ? 5 ? 21，又因为OM ? MN ? MO ? OO1 1 ，因此最短路径长度为
5 ? 21 ，当且仅当O、M 、 N、O1 四点共线时取等号．
5．（2020南充诊断，理 12）已知三条射线OA，OB ，OC两两所成的角都是 60?，点M 在OA上，点 N在?BOC
内运动，且MN ? OM ? 6 3 ，则点 N的轨迹长度为（ ）
A． 2π B． 3π C． 4π D． 5π
18
压轴小题
【答案】C
根据题意可知， OM ? MN ，?EOM ? ?FOM ? ?EOF ? 60?，可知M ? OEF 为正四面体，
设M 在底面的投影为 K， N点的轨迹为以 K为圆心，ON为直径的圆弧 ENF ，
由三余弦定理有 cos?MOF ? cos?MOK cos?HOF，则 cos?MOK 3? ，
3
在Rt△MOK 中， cos?MOK 3 OK? ? ，则OK ? r ? 6 ，又?EOF ? 60?，所以?EKF ? 120?，
3 OM
l ? 2?即 ENF ? ? r ? ?6 ? 4?．故选C．3
考向 4 三视图及截面问题
1．（2020深圳线下调研，文11）已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ，棱长为4， BB1 的中点为M ，过D、M 、C1 三点
的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ）
A．18 B． 6 10 C．12 2 D．36
【答案】A
如图1，设截面为? ，取 AB中点 E，连DE、ME，易证DE，ME ? ? ，又? M ，E为中点，? ME为△ABB1
中位线，易证ME∥C1D .如图2，得 S
1
? ?2 2 ? 4 2 ? ?3 2 ?18 .2
2．（2020湖南金太阳理科11）某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为
A 25?． B 64?． C． 25? D．32?
4 3
【答案】B
由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥 B ? PAC，设外接球的半径为 R，△PAC 2 3的外接圆的半径 r ? ，
3
19
压轴小题
R2 r 2 22 16 64?则 ? ? ? ，所以外接球的表面积 S ? 4?R2 ?
3 3
20
压轴小题
数 列
1 1．（东北三省四市二模，理11）若数列?an?满足 a1 ? ? ，且 a n3 n ? an?1 ? (?2) (n?2) ，若使不等式 an ?? 成立的 an
有且只有三项，则 ?的取值范围为
A ?13 35 ?． ? , ? B
?13 , 35? C ?35． ? ? ． ? ,
61? D ? 35 , 61?．
? 3 3 3 3 3 3 ? ?? ? ? ? ? ? 3 3 ??
【答案】A
若使不等式 an ??
1 11 13 35
成立，则 an ??max ，故只有三项 an满足条件， a1 ? ? ， a ? ， a ? ? ， a ? ，由3 2 3 3 3 4 3
?13 35 ?
通项公式易知，{ an }是单调递增数列，因此 |a3 | ? ? ?| a4 |，故 ?的取值范围为 ? ,? 3 3 ??
2．（湖北八校第二次联考，理11）如图，在杨辉三角中，斜线 l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”
1 1 1 1
数列：1，3，3，4，6，5，10，…，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列?an?，则 ? ? ?? ? ?a1 a2 a3 a2020
2020 2019 4021 4040
A． B． C． D．
2021 2020 2020 2021
【答案】D
n ?n ?1?
根据题意数列?an?中 a1 ?1， a2 ? 3， a3 ? 6， a4 ?10，…，易求得 an ? ，2
1 2 1 1
? ? ? 2? ? ? 4040
an n ?n ?1? ?? n n 1?
，求和得
? ? 2021
3．（东北三省四市二模，理15）数列?an?是等差数列，前 n项和为 Sn ， a1 ? 1， S5 ?15 ，且 a3 ? ?a9 ? a15 ?15，
则实数 ? ?_______.
1
【答案】 ?
3
1
等差数列基本量计算可知 an ? n， a3 ? ?a9 ? a15 ? 3 ? 9? ?15 ?15，解得???3
4．（广东一模，理14）已知数列{an}的前 n项和为 Sn ，且 a1 ?1， an?1 ? 2an，若数列{bn}满足bn ?Sn ?1，则
b1 ?1 b2 ?1 b10 ?1? ??? ? _______.
b1 b2 b10
【答案】 2046
21
压轴小题
1
a ? 2n?1 S 1? (1? 2
n ) 1 b ?1 n +1
由已知得 n ， n ? ? 2
n ?1，所以bn ? n ，则
n = 2 ?11 =2
n，所以
1? 2 2 ?1 bn
2n ?1
b1 ?1 b2 ?1 b ?1? ??? 10 ? 21+22 +?210 ? 2046 .
b1 b2 b10
5．（重庆康德二诊，理15）已知公差不为0的等差数列{an}中，a2 ，a4 ，a8 依次成等比数列，若 a3 ，a6 ，ab a1 ， b2 ，…，
abn ，…成等比数，则 bn =_______.
【答案】3 ? 2n?1 .
设公差为 d ，由题知 a 24 ? (a4 ? 2d)(a4 ? 4d)，即 a4 ? 4d ，?an ? nd ? a3 ? 3d ， a6 ? 6d ，故等比数列?ab 首n ?
n?1
项为 3d ，公比为2，因此 a ? 3d ? 2 ? b d ，故 b ? 3 ?2n?1bn n n .
1
6．（2020宜春模拟，理15）已知数列?an?中，a1 ? 11，an?1 ? an ? n(n 1) ，若对于任意的m??1,4?，任意的 n? N
?
?
使得 a 2n ? t ?mt恒成立，则实数 t的取值范围是_______.
【答案】 ???,?6?? ?3,???
1 1 1
由已知得 an?1 ? an ? ? ?n(n 1) n n 1，? ?
? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1? ?
1
当 n ? 2 时， an ? a1 ? (a2 ? a1) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? ? ? (an ? an?1) ?11? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 ? ，
? 2 ? ? 2 3 ? ? n ?1 n ? n
? a1 ? 11也适合上式，∴ an ?12
1
? ，且数列?an?是递增数列，? n?N?，11? an ? 12 ，n
若对于任意的 n?N?使得 a ? t2n ?mt恒成立，则 t 2 ? mt ?12 ，即 t 2 ?mt ?12 ? 0 ，
?? f (1) ? t2 ? t ?12 ? 0
设 f (m) ? tm ? t2 ?12，则 f (m) ? 0 对于任意的m??1,4?恒成立，? ? 2 ，解得 t ? 3或 t ? ?6 ，?? f (4) ? t ? 4t ?12 ? 0
?实数 t的取值范围是 ???,?6?? ?3,??? .
22
压轴小题
函数与导数
考向 1 函数的图象与性质综合
1．（宁德质检，文11）已知可导函数 f (x)的定义域为R，且满足 f (x + 4)= f (-x)，(x - 2) f ?(x)< 0 ，则对任意
的 x1 < x2 ，“ f (x1)< f (x2)”是“ x1 + x2 < 4 ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
由 f (x + 4)= f (-x)，得函数 f (x)的图象关于直线 x = 2 对称，再由(x - 2) f ?(x)< 0 ，当 x > 2时， f ?(x)< 0，
即函数 f (x)在(2,+?)上单调递减，当 x < 2时， f ?(x)> 0，即函数 f (x)在(-?,2)上单调递增.因为 x1 < x2 ，
且 f (x1)< f (x2)，则 x1 < x2 < 2 或 x1 < 2 < x2 且 2 - x1 > x2 - 2 ，可得 x1 + x2 < 4 ，又当 x1 + x2 < 4 时，若 x1 < x2 < 2 ，
则 f (x1)< f (x2)，若 2 - x1 > x2 - 2 ，则 f (x1)< f (x2)，
综上“ f (x1)< f (x2)”是“ x1 + x2 < 4 ”的充要条件，故选项C正确.
2．（2020梅州5月质检，理11）设函数 f (x) 定义域为全体实数，令 g(x) ? f ? x ? ? f ?x? ．有以下6个论断：
① f (x) 是奇函数时， g (x) 是奇函数；
② f (x) 是偶函数时， g (x) 是奇函数；
③ f (x) 是偶函数时， g (x) 是偶函数；
④ f (x) 是奇函数时， g (x) 是偶函数；
⑤ g (x) 是偶函数；
⑥对任意的实数 x， g(x) ? 0 ．
那么正确论断的编号是
A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤
【答案】A
当 f (x)为奇函数时， f (?x) ? ? f (x) ?g(?x) ? f ( ?x ) ? f (?x) ? f ( x ) ? ? f (x) ? g(x) ，从而 g (x) 为偶函数，因
此①错④对；当 f (x)为偶函数时， f (?x) ? f (x) ? g(?x) ? f ( ?x ) ? f (?x) ? f ( x ) ? f (x) ? g(x) ，从而 g (x) 为偶
函数，因此②错③对；当 f (x) ? x ?1时， g(x) ?| x | ?1? | x ?1|，? g(?1) ? 2 ? 0 ， g(1) ? 0 ，?g(?1) ? g(1) ，所
以 g (x) 不是偶函数，因此⑤错，⑥错．
?
?cos
1 3
?x, x? ?? , ?? 2 2?
3．（2020年山东5月质量检测，12）（多选）对于函数 f ?x? ? ? ? ?? ，下列结论正确的是（ ）
?1 ? 3 ?
? f ?x ? 2? , x?? ,????2 ? 2 ?
A x x ??
1
? ,???．任取 1 ， 2 ? ?，都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 恒成立；? 2 ?
B ? 1 ?．对于一切 x? k ??? ,?? ?，都有 f ?x? ? 2 f ?x ? 2k ?（ k?N ）；? 2 ?
C．函数 y ? f ?x? ? ln ?? x
1
? ??有3个零点；
? 2 ?
D．对于任意 x ? 0 ，不等式 f ?x? k 1? ? ?恒成立，则实数 k 的取值范围是 ,??
x ???2 ?
【答案】ABC
23
压轴小题
作出 f ?x?的大致图象如下：
对于A， f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x? ? f x ? 2max ? ?min ；
对于B， f ?x? 1? f ?x ? 2?，即 f ?x? ? 2 f ?x ? 2? ? 22 f ?x ? 2 ?2? ??? 2k f ?x ? 2k ?；
2
C. ? 1 ? ? 3 ? ? 3 ?再作出 g ?x? ? ln ? x ? ?的图象看交点的个数，注意到 g ?1? ? f ?1?， g ? ? ? f ? ?， g ?2? ? f ?2?，所以它们
? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?
有三个交点。
D. k 1 f ?2? 1 1 f ?x? k取 ? ，当 x ? 2 时， ? ? ，不满足 ? 恒成立，故错误.
2 2 4 x
综上，选ABC.
4．（长郡十五校高三第二次联考，理12）已知函数 f (x) ? aex ? 3x2 (a?R) ，若 x?[0,2]时， f (x) 在 x ? 0 处取得最
大值，则 a的取值范围为（ ）
A 6 12 12 6． a ? B． a ? 2 C． a ? 0 D． 2 ? a ?e e e e
【答案】C
6 1? x
? f ?(x) 6x 6x ? ?? aex ? 6x ? ex ??a ?
?
，令 g ?x? ? ，?g '?x? ? ，
? ex ?? ex ex
? x ?1时， g '(x) ? 0， g ?x?在 ???,1?单调递增; x ? 1时， g '(x) ? 0， g ?x?在 ?1,+??单调递减;
? g ?x? ? g (1) 6? ，?当 a 6? 时， f '(x) ? 0 ，则 f xmax ? ?在R上单调递增，不成立;e e
6 6x
当 a ? 0 时， f (x) 在[0, 2]上单调递减，成立；当 0 ? a ? 时， a ? x ? 0有两个根 xe e 1
， x2 ?0 ? x1 ? x2 ?
? 6x 6x当 x ? x1 时， a ? x ? 0， f ?(x) ? 0 ；当 x1 ? x ? x2 时， a ? x ? 0 ， f ??x? ? 0e e
6x
当 x ? x2 时， a ? x ? 0， f '(x) ? 0 ，? f (x) 在[0, x1],[x2 ,??) 上单调递增，在 [x1, x2 ]上单调递减，显然不成立.e
24
压轴小题
5．（四省名校联考，文12）函数 f ?x?和 g ?x?都是定义在 ???,t?上的单调减函数，且 f ?t ? ? g ?t ? ?M ，若对于任
意 k ? M ，存在 x1 、 x2 ?x1 ? x2 ?，使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? k 成立，则称 g ?x?是 f ?x?在 ???,t?上的“被追逐函数”，
若 f ? x? ? x2 ，下述四个结论：① g ?x? ? ?2x ?1是 f ?x?在 ???,?1?上的“被追逐函数”；②若 g ?x?和函数
h ? x? ? 2x ?1关于 y轴对称，则 g ?x?是 f ?x?在 ???,?1?上的“被追逐函数”；③若 g ?x? ? ln ??x? ?m是 f ?x?在
???,?1? 1上的“被追逐函数”，则m ? 1；④存在m ? 1，使得 g ?x? ? ? m是 f ?x?在 ???,?1?上的“被追逐函数”，
x
其中正确的命题个数为（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
【答案】D
对于①， f ? x? ? x2 和 g ?x? ? ?2x ?1 2在 ???,?1?上单调递减，且 f ??1? ? g ??1? ?1，若 g ?x? ? ?2x ?1是 f ? x? ? x
在 ???,?1?上的“被追逐函数”，则对于任意 k ? 1，存在 x1 ， x2 ? x1 ? x2 ?，使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? k 成立，即
?x1 ? ? k
x2 2x 1 k ? k k ?1? ? ? ? ? ? ? k ? ?k ?1?
2 ?x ?1?2
1 2 ? k ?1 ，此时 ，构造函数 hx 2 ?x? ? x ? ?x ?1?
，则
? ? ? 4 4? 2 2
2
h' ? x? 1 x ?1? ? ? 0 ?x ?1?，则 h ?x?在 ?1,???上单调递减，又 h?1? ? 0，则 h?x? ? 0恒成立，即 ，故对任意
2 x ? 4
k ? 1，存在 x1 ， x2 ? x1 ? x2 ?，使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? k 成立，故①正确；
? 1
x x
? 2 ? 1 ?
对于②，由题意 g ? x? ? ? ? ?1，则 f ? x? ? x 和 g ? x? ? ? ? ?1在 ???,?1?上单调递减，且
? 2 ? ? 2 ?
x
f ??1? ? g ??1? ?1 g ? x? ? 1 ?，若 ? ? ? ?1是 f ? x? ? x2 在 ???,?1?上的“被追逐函数”，则对于任意 k ? 1，存在 x2 1 ，? ?
x2 ?x1 ? ? k
x2 ? x ?
1 ? ?
1 ? x2 ?，使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? k 成立，即 x21 ? ? ? ?1? k? ?
? 2 ? ?x ? log ? k ?1?
，当 k ? 100 时，不存在 x1 ，
2 1
? 2
x2 ? x1 ? x2 ?，使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? k 成立，故②错误
对于③，若 g ?x? ? ln ??x? ?m是 f ? x? ? x2 在 ???,?1?上的“被追逐函数”，此时必有 f ??1? ? g ??1? ?1，解得
m ? 1，当m ? 1时， g ?x? ? ln ??x? ?1 2 2和 f ? x? ? x 在 ???,?1?上单调递减，若 g ?x? ? ln ??x? ?1是 f ? x? ? x 在
???,?1?上的“被追逐函数”，则对于任意 k ? 1，存在 x1 ， x2 ? x1 ? x2 ?，使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? k 成立，即
?x ? ? k
x2 ? ln ??x ? ?1? k? ? 1? ，即 ? k ? ?ek ?1 ? k ? ek ?1 ? k ? e2k ?2 2x?21 2 k 1 ，构造函数 h ? x? ? x ? e ，则
??x
?
2 ? ?e
h' ? x? ?1? 2e2x?2 ? 0，则 h ?x?在 ?1,???上单调递减，又 h?1? ? 0，则 h?x? ? 0恒成立，即 x ? e2x?2 ，故对任意 k ? 1，
存在 x1 ， x2 ? x1 ? x2 ?，使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? k 成立，故③正确；
x????,?1? g ?x? 1? ? m???1? m,m? x????,?1? f ? x? ? x2对于④，当 时， ，而当 时， ?
x
?1,??? 1，由 k 的任意性，不存在m ? 1，使得 g ?x? ? ? m是 f ? x? ? x2 在 ???,?1?上的“被追逐函数”，故④错误；
x
故选D.
a a
6．（2020 11 12四省名校联考，理12）定义矩阵的运算如下： ? a11a22 ? aa a 12
a21 ，已知函数
21 22
? x?1 ?1 ln ??x ?
? , x ? 0
1 ln ??x?
f ?x? ? ?? ，以下命题正确的是（ ）
? x?1 ?1 ln x
? , x ? 0
? 1 ln x
25
压轴小题
①对?x????,0?? ?0,???、都有 f ??x? ? f ?x? ? 0；②若? ?x? ? f ?x?sin x，对?x? R ，总存在非零常数T ，
使得? ?x ?T ? ?? ?x?；③若存在直线 y ? kx与 h?x?的图象无公共点，且使 h?x?的图案位于直线两侧，此直线即
称为函数 h?x? 2的分界线，则 f ?x?的分界线的斜率的取值范围是 ?e ,???；④函数 t ?x? ? f ?x? ? sin x的零点有无
数个
A．①③④ B．①②④ C．②③ D．①④
【答案】D
?ln ??x?
? , x ? 0
由题知 f ?x? ? ?? x ln ??x?，当 x ? 0 时， f ??x? ? ? ? f ?x ?，同理 x ? 0 时， f ??x? ? ? f ?x?，即①正确；
?ln x , x 0 ?x? ?? x
f ??x? 1? ln x当 x ? 0 时， ? 2 ； f ??x? ? 0? 0 ? x ? e ， f ??x? ? 0? x ? e， f ?x?为奇函数，知 f ?x?的增区间为x
??e,0?， ?0,e?，减区间为 ???,?e?， ?e,???，则 f ?x?不存在周期性，所以? ?x?不是周期函数，所以②错误；
1? ln x ln x 1? ln x
当 x ? 0 ，过原点作 f ?x? ? ?的切线，设切点为 ? x
ln x
, 0 ?，则切线斜率 k ?
0
，即 y ? 02 ?
0
2 ? x ? x0 0 ?，
? x x x x0 ? 0 0 0
1
由此直线过原点得 x ? e ，即 k ? ，结合 f ?x?在区间 ?0,e0 ?上单调递增，在区间 ?e,???上单调递减，且2e
x???时， f ?x?? 0 ? 1 ?，且 f ?x? ? 0，可得 x ? 0 时， f ?x?的分界线的斜率的取值范围是 ? ,?? f ?x?
? 2e ?
，又 为
?
? 1 ?
奇函数，可得 x ? 0 时， f ?x?的分界线的斜率的取值范围是 ? ,?? ?，所以分界线的斜率的取值范围是
? 2e ?
? 1
? ,??
?
?，故③错误；
? 2e ?
当 x???时， f ?x?? 0 ，且 f ?x? ? 0， f ?x?在区间 ?e,???上单调递减，所以 f ?x? ? sin x有无数个解，故④
正确；综上，选D
?x
7.（昆明三诊一模，理16）定义域为R的偶函数 f ?x?满足 f ?1? x ?? f ?1? x ?? 0 ，当 x??0,1?时， f ?x? ? sin ，
2
给出下列四个结论：
① f ? x? ? 1；
②若 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0，则 x1 ? x2 ? 0 ；
③函数 f ?x?在 ?0,4?内有且仅有3个零点；
④若 x1 ? x2 ? x3 ，且 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ?，则 x3 ? x1 的最小值为4.
其中，正确结论的序号是_______.
注：本题给出的结论中，有多个符号题目要求.全部选对得5分，不选或或有错选的0分，其他得3分.
【答案】①③
因为偶函数 f ?x?满足 f ?1? x ?? f ?1? x ?? 0 ，则 f ?1? x? ? ? f ?1? x?，? f ?x?的图象关于 ?1,0?对称.
根据题意画出如下示意图：
由图易得选项①③正确，②错误；若 x1 ? x2 ? x3 ，且 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ?， x3 ? x1 的最小值大于4，故选项④
错误.
26
压轴小题
8．（THUSSAT2020年5月诊断，理16）已知定义在实数R上的奇函数 f (x) 满足 f ?(x) ? ?2 ，则不等式
f (x ?1) ? x 2(3 ? 2ln x) ? 3(1? 2x) 的解集为_______.
【答案】 0,1
由奇函数 f (x)满足 f ?(x) ? ?2 知： f ?(x) ? 2 ? 0，
故 F (x) ? f (x) ? 2x为奇函数，且在R上为增函数，且 F (0) ? 0 ，
f (x ?1) ? x 2(3 ? 2ln x) ? 3(1? 2x) 等价于 f (x ?1)+2(x ?1) ? x 2(3? 2ln x) ?1? 4x ，
考虑到 g(x) ? x 2(3 ? 2ln x) ?1? 4x ，
g '(x) x2 ? 2 1 1且 ? ? ??
?
? ? 2x(1? 2ln x) ? 4 ? ?4ln x ? 4
? ? ? ?
在
x ?
0, ?为正， ? ,???为负，
? ? ? e ? ? e ?
?
故 g (x) 在 ?0,
1 ? ? 1
?递增，在 ? ,??
?
?递减，
? e ? ? e ?
考虑到 x? 0时 g (x) 为正， g ?1? ? 0 ，故当且仅当 x??0,1?时 g(x) ? 0 ，
故 x??0,1?时 g(x) ? 0 ， F (x ?1) ? 0 ；当 x??1,???时 g(x) ? 0 .
故原不等式的解集为 ?0,1? .
?2 ? ax, x ? 0
9．（2020南充诊断，理15）已知函数 f ? x? ? ? ，若 f ?x? ? 03 2 恒成立，则实数 a的取值范围是_______．
?2x ? ax ?1, x ? 0
【答案】 ?0,3?
（1）当 x ? 0 时， f ?x? ? 2 ? 0恒成立， a?R ；
（2）当 x ? 0 时， f ?x? ? 0 2 2恒成立，即 2 ? ax ? 0 ，解得 a ? 恒成立，因为 ? ???,0?，所以 a ? 0 ；
x x
（3）当 x ? 0 时， f ?x? ? 0恒成立，即 2x3 ? ax2 ?1? 0 恒成立，即 a ? 2x 1? ，x2
令 g ?x? ? 2x 1? , ?x ? 0?，则 g??x? 2? 2 ?
x2 x3
，所以 g ?x?在 ?0,1?上单调递减；在 ?1,???上单调递增，
所以 g ?x? ? g ?1? ? 3，所以 a ? 3．综上可得 0 ? a ? 3．故答案为 ?0,3?．
考向 2 交点与零点问题
2
1．（莆田市第二次检测，理12）已知函数 f (x) 3x ?1? 3 ，若 g(x) ? f
2 (x) ? (a ? 3) f (x) ? 3a有四个不同的零点，其
x
中恰有一个为负，三个为正，则实数 a的取值范围为（ ）
A． (?2,0)? (0,2) B． (?1,e) C． (0,2) D． (?2,0)
【答案】C
27
压轴小题
设由 g(x) ? 0 得 ( f (x) ? a)( f (x) ? 3) ? 0，则 f (x) ? ?3或 f (x) ? a，又 f (x) ? 3
1 1 t 1? ? 3 ，令 ? ，则 f (t) ? ?t
3 ? 3t，
x x x
图像如下，则 f (t) ? ?3对应一个正解， f (t) ? a对应1个负解，2个正解，结合图像可知 a? (0,2) ，选C.
?1? ex , x ? 0
?
2．（2020铜仁市第二次模拟，理12）已知函数 f (x) ? ?1 ，函数 g(x) ? k(x ?1)2 ，若方程 f (x) ? g(x) 恰
? x ? 2x, x ? 0?2
好有三个实数解，则实数 k的取值范围为（ ）
A． ??1? 5,0? B． ?0,1? 5 ? C． ?0,3 ? 5?? D． ?0,3? 5 ?
【答案】D
由题意，作图如图，方程 f (x) ? g(x) 恰好有三个实数解就转化为求曲线 y ? f (x) 与直线 y ? g(x) 恰有三个不同
交点时，求实数 k 的取值范围，直线 y ? g(x) 过点 (1,0)，斜率为 k，当 x ? 0 时， f ?(x) ? x ? 2 ，设直线 y ? g(x)
? 1 2 ? ? 1 2 ?
与曲线 y ? f (x) 相切时切点坐标为 ? x0 , x0 ? 2x0 ?，则切线方程为 y ? ? x0 ? 2x0 ? ? (x0 ? 2)(x ? x0 )，把点 (1,0)
? 2 ? ? 2 ?
代入方程可得 x0 ?1? 5 或 x0 ?1? 5 （舍），此时 k ? 3? 5 ，由图知所求的范围为 (0,3? 5) ，所以选D.
?? log2 x ? 2 ,0 ? x ?1
3．（2020深圳线下调研，文12）已知函数 f ?x? ? ? 若存在互不相等的正实数 x1 ， x2 ， x3 ，满足
??3? x , x ?1
f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ?，其中 x1 ? x2 ? x3 ，则 x3 ? f ?x1 ?的最大值为（ ）
A 1． B．4 C．9 D．36
4
【答案】B
【解法1】（图象＋求导）作图，如图所示，可得 0 ? f ?x3 ?? 2 ，? x3 ? ?1,9?，
? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ?，? x3 ? f ? x1 ? ? x3 ? f ? x3 ? ? x3 ?3? x3 ?，
令 t ? x3 ，?令 g ?x? ? x ? f ?x ?，则 g ?t ? ? x ? f ? x ? ? x ?3? x ? ? ?t33 1 3 1 3 3 ? 3t 2 ， t? ?1,3?，
? g ??t ? ? ?3t 2 ? 6t，?当 t ? 2 时， g ?t ?max ? 4 .
?1 1 ? ? 3
3
?
【解法2】（均值不等式） x3 ? f ? x1 ? ? x3 ?3? x3 ? ? 4 ? x2 3 ? x3 ?3? x3 ?? ? 4? ? ? 4 .? 2 ? ? 3 ?
28
压轴小题
4．（THUSSAT2020年5月诊断，理12）设 f (x) 为定义在[-1,1]上的偶函数，当 x?[0,1]时， f (x) = 1-2x ，则方
2
程 f ( f (x)) x= 的实数解的个数为（ ）
2
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
2
由题： f ( f (x))和 g(x) x= 为偶函数， f ( f (0)) = f (1) =1，g(0) = 0 ，故 0 不是方程的解.下只用考虑 x> 0 的
2
2 2
情形即可：方程 f ( f (x)) = 1- 2 1 x x- 2x = 等价于 2 1- 2x -1= ± ，其中 x> 0 ，
2 2
2 2
数形结合得： y= 2 1- 2x -1 y x y= 2 1- 2x -1 y x与 = 有两个交点， 与 = - 有两个交点，
2 2
2
故方程 f ( f (x)) x= 的实数解的个数为8.
2
ln x ? 2,0 ? x ? 1
5．（石家庄模拟，文12）已知函数 f x
?
( ) 对于任意 x? R ，均满足 f (x) ? f (2 ? x) ，当 x ? 1时，f (x) ? ? x ，
?e , x ? 0
（其中e为自然对数的底数），若存在实数 a， b， c， d（ a ? b ? c ? d ）满足 f (a) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) ，则
(a ? b ? c ? d)b ? ea的取值范围为（ ）
? 4
A. ? ?1,4
? ?4 1, 4 ? ? 4? B. ? ? 2 ? C. ? 2 , 4
? ? 4 ?
e e e e ?
D. 2ln 2 ?1,
? ? ? ? ? ? ?? e2 ??
【答案】D.
由 f ?x? ? f ?2 ? x?知 f ?x?关于 x ? 1对称，如图，因此 a ? d ? b ? c ? 2 ，
所以 a ? b ? c ? d ? 4，又因为 f ?a? ? f ?b?，所以 ea ? lnb ? 2 ，
因此 ?a ? b ? c ? d ?b ? ea ? 4b ? lnb 2 1 1? ，由题意知 2 ? b ? ，e e
令 g ?b? ? 4b ? lnb 1 1? 2?? ? b ?
?
?， g ??b? ? 4
1 4b ?1
? ? ，令 g??b? ? 0 1得 b ? ，
? e2 e ? b b 4
g ?b? ? 1 , 1 ? ? 1 1 ? ? 1 ?故 在 ? 2 ?上单调递减，在 ? ,e 4 4 e ?上单调递增，故 g ?b? ? g ? ? 2ln 2 ?1，? ? ? ? min ? 4 ??
g ? 1 ? 4 g ?1 ? 4 1 g ? 1 ? g ? 1 ? 4 4
2
由 ? 2 ? ? 2 ， ? ? ? ? ，则 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? 1
4 ?e ?4e
? ? 0 ，
? e ? e ? e ? e ? e ? ? e ? e e e2
?
故 g ?b???2ln 2
4
?1, ?
e2 ?
，故选D.
? ?
6．（2020高三石家庄5月模拟，理11）已知函数 f (x) 对于任意 x?R，均满足 f (x) ? f (2 ? x) ，当 x ? 1时，
29
压轴小题
?ln x, 0 ? x ?1
f (x) ? ? （其中 ex 为自然对数的底数），若函数 g(x) ?m x ? 2? f (x) ，下列有关函数 g (x) 的零点个
?e , x ? 0
数问题中正确的为
A．若 g (x) 恰有两个零点，则m ? 0
3
B．若 g (x) 恰有三个零点，则 ? m ? e
2
C．若 g (x) 恰有四个零点，则 0 ? m ? 1
D．不存在m，使得 g (x) 恰有四个零点
【答案】B.
由 f ?x? ? f ?2 ? x?知 f ?x?关于 x ? 1对称，如图，令 g ?x? ? 0 ，即m x ? 2 ? f ?x?，设 h?x? ?m x ? 2，当 x ? 0
ln x ? 2
时，h?x? ? mx ? 2，设 h?x?与 y ? ln x?x ?1?相切时的切点为 P?
1
x0 , ln x0 ?，y?
1 0 ? 1? ，则有
x x0 x
，解得 x0 ? ，
0 e
此时m
1
? ? e，当 h?x?过点 ?2,1x ?
3
时，m ? ，故B选项正确.若 g ?x?恰有两个零点，则m ? 0 或m ? e ，故A选
0 2
3
项错误；若 g ?x?恰有四个零点，则 0 ? m ? ，故C、D选项错误.故选B.
2
7．（THUSSAT2020年5月诊断，文12）已知m，n， p?R，若三次函数 f (x) ? x3 ?mx2 ? nx ? p有三个零点 a，b ，
c，且满足 f (?1) ? f (1) 3? ， f (0) ? f (2) 2 1 1 1? ，则 ? ? 的取值范围是( )
2 a b c
A ? 1 ,1? B ? 1 , 1 ? C ? 1 , 1 ? ? 1 1 ?． ? ? ． ? ? ．3 4 3 ? ?
D． ? , ?
? ? ? ? ? 4 2 ? ? 3 2 ?
【答案】D．
由条件可知 f (x) ? x3 ?mx2 ? nx ? p ? (x ? a)(x ? b)(x ? c)，注意到左右两侧 x与常数项的系数相等，
? ab ? bc ? ca ? n， abc ? ?p（本质是三次方程的韦达定理），由 f (?1) ? f (1) 3? ， f (0) ? f (2) ? 2，可得
2
?1? m ? n ? p ?1? m ? n ? p 3? ， p ? 8 ? 4m ? 2n ? p ? 2 ，解得 n ? ?1，m 3? ? ， 2 ? p ? 3，
2 2
1 1 1 ab ? bc ? ca 1 1 1
? ? ? ? ? ? ? , ?．
a b c abc p ? 3 2 ?? ?
? ln x ,0 ? x ? e
8．（2020届湘赣皖.长郡十五校高三二联，文12）已知函数 f (x) ? ?? ，若存在 0 ? a ? b ? c ，使得
???x ? e ?1, x ? e
f (a) ? f (b) ? f (c)，则 Z ? a ? b ? c 的最小值为（ ）
A． 3 ? ln 3 ?1 ? e ?1 B．1
2
C 5 ?1． 5 ? ln ? e ?1 D．无最小值
2
【答案】C
因为 f (a) ? f (b) ? f (c)，所以 ln | a |? ln | b |? ?c ? e ?1，易知 0 ? a ? 1? b ? e ? c
30
压轴小题
1
所以 ? ln a ? ln b ? ?c ? e ? 1，所以 a ? ， c ? ? ln b ? e ?1，
b
所以 a ? b ? c 1? ? b ? lnb ? e ?1(1? b ? e)，设 g(x) ? x 1? ? ln x ? e ?1(1? x ? e)，则
b x
? 1? 5 ??x x 1? 5
?
?? ? ???? ?2 2 ??
g ?(x) 1 1 1 x ? x ?1? ? ? ? ? ? ??
2 ? ?1,1? 5
? ?1? 5 ?
2 ，所以 g (x) 在 ? ?上递减，在 ? ,e?上递增，x x x2 x2 ? 2 ? ? 2 ?? ? ? ?
? 5 ?1?g(x) g 5 ln 5 ?1所以 min ? ?? ?? ? ? ? e ?1，选C.
? 2 ? 2
??f ?x? ? ?x ?1
2 ? 2, x ? 0
9．（池州五月检测，文12）已知函数 ?
? ? ?
? ，若方程 f ?x? ? a有四个不同的解 x1 ，x2 ，x3 ，
?? log2 x ,?x ? 0?
x 2
1
4 ，且 x1 ? x2 ? x ? x ，则 x3 ? x4 ?3 4 x 23 ?x1 ? x ?
的取值范围是
2
? 7 , 1 ? ? 3 , 7? ? ? ? ? ? 7 1 ? ? 31 3?A． ? ? B． ? C． ? ,?4 2 ?
D． ?? ,?
? ? ? 2 4?? ?? 4 2 ? ? 4 2??
【答案】D
?x1 ? x2 ? ?2
? ?x ? 2?a 1 1 1
由题意得 ?? log2 x ? a?
? 3 ? x 2 ? x ? ? 2?2a ? 2a ? ? 2?a? a ， 3 4 2 ?2a ? ?2a
? log x ? a ??
x4 ? 2 x3 ?x1 ? x2 ? 2 ? ??2? 2 ? 2
? 2 4
?a 1 1 1 1令 2 ? t，由图知1 ? a ? 2 ，所以 ? t ? '，构造函数 h?t ? ? t ? 2 ，求导知 h ?t ? ?1? 3 ? ?，所以 h?t ?在4 2 2t t
1 1 ? 1 1 ? 31 3 1 31 3
? t ? ? ? ? ?单调递增，所以 h?t ???h? ? ,h? ?? ?
?? ,? ? x 2? ?即 3 ? x4 ?
? ?
x 2 ?x ? x ?的范围是 ? ,?4 2 ? ? 4 ? ? 2 ??? ? 4 2? 3 1 2 ? 4 2??
??x,?0 ? x ? 2?
10．（湖北八校第二次联考，理15）已知函数 f ?x? ? ? x? ?，若存在实数 1，
x 满足 0 ? x
2ln x, 2 ? x ? 4 2 1
? x2 ? 4，且
??
f ?x1 ? ? f ?x2 ?，则 x2 ? x1的最大值为_______.
【答案】 e ? 2
x1 ? n x2 ? , ，?0 ? ln x2 ?1，即1? x2 ? e，又 x2 ? 2，?2 ? x2 ? e此时 x2 ? x1=x2 ? 2ln x2，构
造函数 g ?x? ? x ? 2ln x，以判断函数 g ?x?在 x??2,e?上单调递增，即 x2 ? x1=g ?x? ? g ?e? ? e ? 2max
?ex , x ? 0 1
11．（2020马鞍山二模，理15）已知函数 f (x) ? ? ， g(x) ? f (x) ? 2 x ? b（ e为自然对数的底数），若函
?ln x, x ? 0 e
数 g (x) 有且只有三个零点，则实数 b 的值为_______.
3
【答案】
e2
或1
令 g(x) ? 0 ，则 f (x)
1 x 1? 2 ? b，作出 y ? 2 x ? b与 y ? f (x) 的图像如图：e e
31
压轴小题
?
?y1 ? ln x? 1
1
①由图可知，当直线 y
1
? x ?? b过 (0,1) 且与 y ? ln x相切时，满足条件，此时设切点为 (x1, y1) ，则 ?y1 ? 2 x1 ? b，e2 ? e
? 1 1
? ? 2
? x1 e
解得 b ? 1；
?
?y2 ? e
x2
?
y 1 ?
1 3
②当直线 ? 2 x ? b与 y ? e
x 相切时，满足条件，此时设切点为 (x2 , y2 ) ，则 ?y2 ? 2 x2 ? b，解得 b ? 2 .e ? e e
?ex 12? ?? e2
3
综上所述，实数 b 的值为：
e2
或1.
??log2 x,0 ? x ? a12．（宁德质检，文16）已知函数 f ?x? ? ? ，若存在实数m，使得方程 f ?x? ?m ? 02 有两个不相等的??x ? 2x ?1, x ? a
实数根，则 a的取值范围是_________.
【答案】(0,1)?(1,2)
由题意知，即存在实数m，使函数 y = f (x)的图象与直线 y = m有两个不同交点，
如图所示，易知 0 < a <1或1< a < 2符合题意.
13．（2020年济宁5月模拟，16）设 f ?x?是定义在R上的偶函数，?x?R ，都有 f ?2 ? x? ? f ?2 ? x?，且当 x??0,2?
时， f ?x? ? 2x ? 2 .若函数 g ?x? ? f ?x? ? loga ?x ?1?（ a ? 0 且 a ? 1）在区间 ??1,9?内恰有三个不同零点，则实数
a的取值范围是_______.
? 1 1 ?
【答案】 ? , ? ?9 5 ? 3, 7 ?? ?
因为 f ?x? 是定义在 R 上的偶函数，则 f ??x? ? f ?x?，又 f ?2 ? x? ? f ?2 ? x? ，则 f ??x? ? f ?4? x? ，所以
f ?x? ? f ?4? x?，所以函数 f ?x?是以4为周期的函数，作出 y ? f ?x?及 y ? loga ?x ?1?在区间 ??1,9?的图象如图
所示，
? y ? y ?2 ? log 3
（1）当 a ? 1时，此时，恰有三个不同零点，则 A B? ，即
a
? ，解得 3 ? a ? 7 ，
?yD ? yC ?loga 7 ? 2
32
压轴小题
? yA ? y（2）当 0 ? a ? 1 时，此时，恰有三个不同零点，则 B
?log 5 ? ?1 1 1
? ，即
a
? ，解得 ? a ? ，
?yD ? yC ?loga 9 ? ?1 9 5
综上实数 a ? 1 , 1 ?的取值范围是 ? ? ? ? 3, 7 ? .
? 9 5 ?
? xex?1, x ? 0
?
14．（宁德质检，理16） 2如图，已知函数 f ?x? ? ? 2x 若关于 x的不等式 f ?x? ? 2af ?x? ? 2 ? a ? 0的解非空，
? , x ? 0? x2 ?1
且为有限集，则实数 a的取值集合为_________.
【答案】 a ???1,3?
当 x ? 0 时 f ??x? ? ?x ?1?ex?1 ，所以 f ?x?在 ???,?1?上单调递减， ??1,0?上单调递增，
f ? x? 2?
当 x ? 0 时 x ? 1 ，易得
f ?x?在 ?0,1?上单调递增， ?1,+??单调递减.
x
画出 f ?x?草图：
f 2 ?x? ? 2af ?x? ? 2 ? a ? 0， ?=4a2 ? 4a ? 8 ， ? ? 0 ，即 a2 ? a ? 2 ? 0 ，解得 a ? ?1或者 a ? 2 ，
①当 ?=0 时 a ? ?1， a ? 2 ， a : a ? ?1时 f ?x? ? ?1，只有一个解，b : a ? 2 时 f ?x? ? 2 无解，
所以 a ? ?1
②当 ? ? 0解得 a ? ?1， a ? 2 ， a ? a2 ? a ? 2 ? f ?x? ? a ? a2 ? a ? 2 ，
a :当 a ? ?1时 a ? a2 ? a ? 2 ? ?1，要符合题意必有 a ? a2 ? a ? 2 ? ?1无符合要求的解，
b :当 a ? 2 时 a ? a2 ? a ? 2 ? 2 ，要符合题意必要有 a ? a2 ? a ? 2 ?1解得 a ? 3 ，
综上 a ???1,3? .
15．（广东一模，文16）函数 f (x) ? sin ?x ? a cos?x 满足 f (x) ? f ? 1? ? x
?
? ，当 x?
?
?0,
3?
时，方程 f (x) ?m ? 0 恰有
? 3 ? ? 2??
两个不等相等的实数根，则实数m的取值范围为_______.
【答案】 ??2，?1?? ?? 3，2?
33
压轴小题
f (x) ? sin ?x ? a cos?x ? a2 ?1sin(?x ?? )， tan? ? a，
f (x) ? f ? 1 ?由 ? ? x ? 知 f (x) 的对称轴 x
1
? ，又因为 f (x) 在对称轴上取得最值，
? 3 ? 6
所以 f ? 1 ?? ? ? a
2 ?1sin ? 1 ? ?? ? 2 ? ?? ? ? ? a ?1
? ?
，当 sin ? ?? ? ?1时，? ? ，
? 6 ? ? 6 ? ? 6 ? 3
此时 tan? ? a ? 3 2? T 1， f (x)max ? 2 ， f (x)min ? ?2 ，又周期T ? ? 2 ，所以 ? ，? 4 2
1 1 1 2 1 1 1
又对称轴与对称中心的距离最少相差 个周期，所以 ? ? ， ? ? ? ，
4 6 2 3 6 2 3
当 x ? 0 时， f (0) ? a2 1sin ? 3 x 3
3
? ? ? ?，当 ? 时， f 2? ? ? a ?1sin
? 3 ?? ? ? ? ?1
3 2 ? 2 ?? ? 2 3 ??
依题意，可得 f (x) 的大致图像如图，所以，要使得方程 f (x) ?m ? 0 恰有两个不等相等的实数根，即 f (x) 的图
像与 y ? m有两个不同的交点，所以m的取值范围为 ??2,?1?? ?? 3,2? .
考向 3 导数及其应用
x
1．（2020湖南金太阳理科12）已知函数 f ? x? ? ? 1 ?? ? ? x ? m，g ?x? ? x4 ? 2x3 ? x2 ? 2x ? 3，若?x1 ?R ，?x2 ? ?0,1?，
? 2 ?
f ?x2 ?＜g ?x1 ?，则m的取值范围为
A ? 5 ? ? 5?． ???, ? B． ???, ? C． ???,1? D． ???,1?? 2 ? ? 2?
【答案】A
x x
?x1 ?R
1 1
，?x ? ? ? ?2 ? ?0,1?， f ?x2 ?＜g ?x1 ?的问题等价于 f ?x? ＜ g ?x? ， f ? x? ? ? ? ? x ? m中 ? ? 在 ?0,1min min ?上? 2 ? ? 2 ?
x
单调递减， ? x在 ?0,1?上也是单调递减，故 f ? x? 1? ? ?? ? ? x ? m在 ?0,1?上单调递减，即值域为
? 2 ?
?m 1? ,m ?1? , g??x? ? 4x3 ? 6x2 ? 2x ? 2 ? 2?2x3? ? ? 3x2 ? x ?1? ? 2?2x ?1??x2 ? x ?1?，令 g ??x?=0 ，得 g ?x?在
? 2 ?
? 1? 5 ? ? 1 1? 5 ? ?1? 5 1 ? ?1? 5 ? 1? 5
????， ??， ?? ， ??上单调递减，2 2 2 ??
，
2 2 ??
， ?? ，????上单调递增，在 x ? 处取得极小值，
? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2
?1? 5 ? 1 5 2
即最小值， g ?? ??=2 ，所以m ? ＜2，得m＜ ，或 g ?x? ? x
4 ? 2x3 ? x2 ? 2x ? 3= = ? x2 ? x ?12 ? ? 2，当? ? 2 2
? 2x2 ? x ?1? =0时， g ?x?取最小值2
2．（重庆康德二诊，理16）若曲线 y ? ax ? 2cos x上存在两条切线相互垂直，则实数 a的取值范围是_______.
【答案】 ? ? 3, 3?? ? .
34
压轴小题
因为 y? ? a ? 2sin x??a ? 2,a ? 2?，由题知在区间 ?a ? 2,a ? 2?内存在两数之积为 ?1，故只需 ?a ? 2??a ? 2? ? ?1，
即 ? 3 ? a ? 3 ．
3.（芜湖二模，理16）若不等式 a sin x ? sin 3x 1? ? 0对任意 x? ?0,??恒成立，则实数 a的取值范围为_______.
8
? 9 ?
【答案】 ?? ?，?
? 4??
1
当 x ? 0 或 ? 时，原不等式恒成立；当 x? ?0,?? ? sin 3x，可变形得 a ? 8 ? 4sin 2 x 1? ? 3，
sin x 8sin x
2
t ? sin x? ?0.1? g?t? 1? 4t 2 ? ? 3 g '?t? 8t 1 ?4t ?1??16t ? 4t ?1? ? 1 ?令 ， ， ? ? ? t? 0,
8t 2 2
， ? 4 ?
， g '?t ? ? 0 ， g ?t ? ?；
8t 8t ? ?
t ? 1? ?? ,1?，g '?t ? ? 0 g ?t ? g?t?? g
? 1 ? 9? ? a g?t? 9 ?? 2 1 ?， ；故 ? ? ， ? min ，?a ? ? ，另解：a ? ?4sin x ? ? 3? ，? 4 ? ? 4 ? 4 4 ? 8sin x ?min
1
4sin2 x 1 3 4sin2 x 1 1 3 1 1 9? ? ? ? ? ? ? 33 4sin2 x ? ? ? 3 ? ? ，（当且仅当 sin x ? 时
8sin x 16sin x 16sin x 16sin x 16sin x 4 4
取得）.
1
4．（2020宜春模拟，理16） x ? m ln x ? ? xm已知不等式 x 对 x? (1,??) 恒成立，则实数m的最小值为_________.e
【答案】 ?e
m
不等式 x ? m ln x ? x ? x 对 x? (1,??)
1 m
恒成立，即 x ? x ? x ?m ln x ? x
m ? ln xm对 x? (1,??) 恒成立，
e e
即 e? x ? ln e? x ? xm ? ln xm 对 x? (1,??) 恒成立，设函数 f (x) ? x ? ln x ，则 f ?(x) 1
1 x ?1
? ? ? ，
x x
当 0 ? x ? 1， f ?(x) ? 0 ， f (x) 在 (0,1) 上单调递减；当 x ? 1时， f ?(x) ? 0 ， f (x) 在 (1,??)上单调递增.
1
所以 f (e?x ) ? f (xm )对 x? (1,??) ?x
? ?
恒成立，当 x ? 1时， e ??0, e ?
，由题易知m ? 0 ，
? ?
? xm ?(0,1) ，?要使 f (e?x ) ? f (xm )对 x? (1,??) 恒成立，只需 e? x ? xm ，
?x
不等式两边同取以 e为底的对数，可得 ?x ? m ln x，? m ? 对 x? (1,??) 恒成立，
ln x
1? ln x
设函数 g(x)
?x
? ，则 g ?(x) ?
ln x (ln x)2
，
当 x??1,e?时， g?(x) ? 0， g (x) 在 ?1,e?上单调递增；当 x??e,???时， g?(x) ? 0， g (x) 在 ?e,???上单调递减，
? g (x)max ? g (e) ? ?e ，? m ? ?e ，即m的最小值为 ?e .
35
压轴小题
考向 4 构造函数
1．（池州5月检测，理12）已知定义在R上的函数 f ?x?，其导函数为 f '?x?，若 f ?x? ? f ?? x?? 2sin x .且当 x ? 0 时，
f ??x? ? cos x ? 0 ? ? ?，则不等式 f ? x ? ? ? f ?x? ? sin x ? cos x的解集为（ ）
? 2 ?
A ? ??? ? B ? ? ? ?． ? ， ? ． ? ，? ?
? C ?? ． ? ??，?
? D ?． ? ? ??，
? 2 ? ? 2 ? ? 4 ? ? 4 ?? ? ?
【答案】C
令 g ?x? ? f ?x?? sin x， g '?x? ? f '?x?? cos x ? 0 ，所以 g ?x? ? f ?x?? sin x在R上单调递减，
f ?? x
?
? ?? ? f ?x? ? sin x ? cos x ? g
?
? x
?
? ?? ? g ??x? ? x
? ?
? ? ?x? x ? ?
? 2 ? ? 2 ? 2 4
? ? ? ? ? ?
所以不等式 f ? x ? ? ? f ?x? ? sin x ? cos x的解集为 ? ??，? ?，故选C.
? 2 ? ? 4 ?
? ?
2．（2020马鞍山二模，文12）已知函数 f ?x?的定义域为 ? ? ,
? ?
?， f ' ?x?是 f ?x?2 2 的导函数，若? ?
f ??x?cos x ? f ?x?sin x ? 0 ，则关于 x的不等式 f ? x? ?? 2 f ? ?? ?cos x的解集为（ ）
? 4 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
A． ? ? , ? B． ? ? , ? C． ? , ? D． ? ? , ? ,
? 2 4 ? ? 4 4 ? ? 4 2 ? ? 2 4 ? ?? ? 4 2 ??
【答案】C
? f ??x?cos x ? f ?x?sin x ? 0 f ? x? ? ? ? ? ?，?构造函数 g ? x? ? ，? g x ?， f ? x? ? 2 f ? ? ? cos x，
cos x ? 4 ?
? ? ? ? ? ?
f ?x? f ? ? f ? ?
? ? 4 ? ? ? 4 ? g ? x ? ? g ? ? ?，即 ? ?，? x
? ? , ?? ?
cos x 2 cos ?
? ?
? 4 ? ? 4 2 ?
2 4
3 ? ? ? ? ? ? ?．（广东一模，理12）已知 f (x) 是定义在 ?? , ?上的奇函数， f (1) ? 0，且当 x??0, ?时， f (x) ? f ?(x) tan x ? 0 ，
? 2 2 ? ? 2 ?
则不等式 f (x) ? 0的解集为（ ）
A． (?1,0) ? ?1, ? ?? ? B． (?1,0)? (0,1)
? 2 ?
C ? ? , 1?? ?1, ? ?． ?? ?
? ? ?
? ? ? D． ?? ,?1?? (0,1)
? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?
【答案】D
构造函数 F (x) ? f (x)sin x， F ?(x) ? f ?(x)sin x ? f (x)cos x ? cos x? f ?(x) tan x ?? f (x)? ? ?.当 x??0, ?时，因为
? 2 ?
cos x ? 0，f (x) ? f ?(x) tan x ? 0 ，所以 F ?(x) ? 0 ，F (x)单调递增.又 F (1) ? f (1)sin1? 0 ，则当 x? (0,1) 时，F (x) ? 0 ，
x ?1, ?? ?当 ? ?时，F (x) ? 0 ；而 f (x)
? ? ? ?
是定义在 ?? , ?上的奇函数，所以 F (x) ? f (x)sin x
? ? ? ?
在
2 2 2 ?
? , ?上是偶函数，
? ? ? ? ? 2 2 ?
? ? F (x) ? 0 F (x) ? 0
所以当 x??? ,?1
?
?时， F (x) ? 0，当 x? (?1,0)时， F (x) ? 0
? ?
. f (x)
F(x)
? ? 0 ? 或
2 x ?sin x ? 0 ? x
，解得
? ? sin ? ?sin ? 0
x?? ??? ,?1
?
? ? (0,1) ，故选项D正确.
? 2 ?
36
压轴小题
解析几何
考向 1 离心率问题
1．（东北三省四市二模，理12）设椭圆C的两焦点为 F1 ， F2 ，焦距为 2c，过点 F1 的直线与椭圆C交于 P，Q两
点，若 PF2 ? 2c
4
，且 PF1 ? QF1 ，则椭圆C的离心率为（ ）3
A 1． B 3 5 2． C． D．
2 4 7 3
【答案】C
利用椭圆定义构造三角形解形，设 |QF1 |? 3k，则 | PF1 |? 4k ，PF2 ? 2c，|QF2 |? 2a ? 3k ，过点 F2 作 F2H ? PQ，
则 PH ? 2k，双勾股定理，得 (2a ? 3k)2 ? (5k)2 ? (2c)2 ? (2k)2 ，点 P在椭圆上，故 | PF1 | ? | PF2 |? 4k ? 2c ? 2a，
5
联立方程解得椭圆C的离心率为
7
2．（宁德质检，文12）已知双曲线C的两个顶点分别为 A1， A2 ，若C的渐近线上存在点 P，使得 PA1 ? 2 PA2 ，
则C的离心率的取值范围是
A． ?1,3? B． ?3,??? C． ?1,2? D． ?2,???
【答案】A
设点 P x, y ，由 PA1 ? 2 PA2 得，(x + a)2 + y 2 = 2(x - a)2 + 2y 2 ，即 x2 - 6ax + y2 + a2 = 0 ，又点 P在C的渐近
y b
3ab
线上，由对称性，不妨取 = x，则直线与圆有公共点，所以 ? 2 2a
a 2 2
，得9b2 ? 8c2 ，即 c2 ? 9a2 ，所
a +b
以1< e ? 3，故选项A正确.
x2 2 2
3．（湖北八校联考，文12）已知椭圆C : ? y21 ?1和双曲线C :
x y
4 2 2 ? 2 ?1(a ? 0,b ? 0)
，点 P是椭圆上任意一点，
a b
且点 P到双曲线C2 的两条渐近线的距离的平方和为定值，则双曲线C2 的离心率为
A 5． B． 5 C． 3 D．2
2
【答案】A
37
压轴小题
b
【解法1】设 P(x, y)，双曲线的两条渐近线方程为 y ? ? x，设点 P到这两条渐近线的距离的距离分别为 d
a 1
，d2 ，
2?b2 2 2 ? 12 2 2?b2x2 ? a2 y2 ? ? x ? a ?1? x
2 ?? ? 2 1 2 2 2 ?
则 2 2 ? bx ? ay ? ? bx ? ay ?
?? 2? (b ? a )x ? a4 ?
d ? d ? ? ? ? ? ? ??? ? 4 ?1 2 ? ? ? ?2 2 2 2 a2 ? b2 c2? a ? b ? ? a ? b ? c
2
1 c b22 2 1 5
要使得上式为定值，则必须 x2 的系数为0，故 b ? a ，所以4 e ? ? 1? ? 1? ?a a2 4 2
【解法2】特值法，分别取点 P为椭圆的右顶点 (2,0)和上顶点 (0,1)，
2 2
? 2b ? ? 2b ? 8b2 8b2
当点 P为 (2,0)时， d 2 21 ? d2 ? ? ? ? ? ? ? ? ；
? a2
2 2 2
? b2 ? ? a2 ? b2 ? a ? b c
2 2
? ? ? ?
(0,1) 2 2 a ad d 2a
2 2a2
当点 P为 时， 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ;
? a2 ? b2 ? ? a2 ? b2 ? a ? b c
8b2 2a2 2 1 c b22 1 5
依题意， ? ，故 b ? a2 2 ，所以4 e ? ? 1? 2 ? 1? ?
.
c c a a 4 2
2 2
4．（长郡十五校高三第二次联考，理11）已知 F1(?c,0)、F2 (c,0) C :
x y
是双曲线 2 ? 2 ?1的左、右焦点， Fa b 1
关于双
曲线的一条渐近线的对称点为 P，且点 P在抛物线 y2 ? 4cx上，则双曲线的离心率为（ ）
A． 2 ?1 B 2 C 5 D 5+1． ． ．
2
【答案】D
△F1PF
b a
2 中， PF1 ? 2b, PF2 ? 2a， tan?F1F2P ? ，?cos?F1F2P ? ，?F1F2 ? PF2 ? PF2 cos?F1F P，a c 2
? 2c ? 2a ? 2acos?FF P，?e2 e 1 0 e 5 ?11 2 ? ? ? ，? ? 2
2 2
5 x y．（宁德质检，理12）双曲线C : 2 ? 2 ?1?a ? b ? 0 ?的左右焦点分别为 F1， F2 ，O为坐标原点， P为曲线C右a b
?????? ?????
支上一点，点M 在?F1PF2 外角平分线上，且 F2M ?PM ? 0 ，若△OF2M 恰为顶角为120
?的等腰三角形，则双
曲线的离心率为（ ）
A 2 3 B 4 3． ． C． 2 D． 3
3
【答案】D
38
压轴小题
由题意可得 PF2 ? PN， PF1 ? PF2 ? 2a，又△OF2M 恰为顶角为120?的等腰三角形，所以OM ? 3OF2 ? 3c，
又O为 F1F2 中点M 为 NF2 中点，所以 F1N ? 2 3c ? PF1 ? PF2 ，所以 PF1 ? 3c ? a，PF2 ? 3c ? a，?PF1F2 ? 30
?，
3 ?
2
3c ? a ? ? 4c 2 ? ? 23c ? a ?
在△PF1F2 由余弦定理可得 = ，解得 c ? 3a，所以2 ? ? e ? 32 3c ? a ?2c ?
x2 y26．（莆田市第二次检测，理 11）已知双曲线C : 2 ? 2 ?1(a ? 0,b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，过双曲线C 上a b
8 ? 1
3
?
任意一点 P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为 A，B， | PA | ? | PB |? ， | F1F |等于 29 2 ?
2x ? ? 展开式
? x ?
的常数项，则双曲线C的离心率为
A．3 B 3 2 3 2 3 2．3 或 C． D． 2 2 或
4 4 4
【答案】B
设 P(x0 , y0 )，P到渐近线 bx ? ay 0 PA
| bx0 ? ay0 | | bx ? ay |? 的距离 | |? ，P到渐近线 bx ? ay ? 0 的距离 | PB |? 0 0 ，
c c
b2x2 2 2 2 2
则 | PA | ? | PB 0 ? a y| a b 8 ab 2 2? 0 ? ? ，则 ? ，又 2c ? C 23 ?2 ? 6 ， c ? 32 2 ， ab ? 2 2 ，又 a
2 ? b2 ? c2，解
c c 9 c 3
3 2
得 a ? 2 2 或 1，故 e ? 或 3，选 B.
4
2 2
7．（池州五月检测，文11）已知椭圆 E : x y? ?1?a ? 0,b ? 0 ?的左右焦点分别为 F ， F ，若在椭圆上存在点 P，
a2 b2 1 2
使得 PF ? PF ，则椭圆的离心率的取值范围为1 2
? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?A． ? ,1?? B． ??0, C
1
． ? ?
2 2 ?? ?
,1?? D． ? ,1
? ? ? ? ? 2 2
?
? ? ?
【答案】A
? 2 ?
由 PF1 ? PF 得2 OP ? F1F2 ? c ? b，所以2 c
2 ? a2 ? c2 易得 e?? ,1
? 2 ?
?
?
2 2
8．（2020深圳线下调研，理16）已知点 F ， F ，分别为双曲线1 2 C :
x y
2 ? 2 ?1（ a ? 0 ， b ? 0 ）左、右焦点，点a b
M ?x0 , y0 ? (x ? 0) 为C的渐近线与圆 x2 ? y2 ? a2 的一个交点，O为坐标原点，若直线0 FM 与C的右支交于点1 N，
且 MN ? NF2 ? OF2 ，则双曲线C的离心率为_______.
39
压轴小题
5
【答案】
4
直线 FM 与圆相切于点M ，且1 F1M ? b
由双曲线定义可知： 2a ? NF1 ? NF2 ? MN ? MF1 ? NF2 ? MF1 ? OF2 ? b ? c
c 5
又 b2 ? c2 ? a2 ，所以双曲线的离心率 e ? ?a 4
.
2 2
9 x y．（2020深圳线下调研，文16）设 F 为双曲线C： ? ? 1（ a ? 0 ，b ? 0 ）的左焦点，过 F 作圆 x2 ? y2 ? a2
a2 b2
M y b的切线，切点为 ，切线与渐近线 ? x相交于点 N，若 MN ? 2 MF ，则C的离心率为_______.
a
【答案】 3
MN
【解法1】（离心率几何意义求解，速解）设 ?MOF ? ? ，则 ?MON ? ? ? 2? ，? tan?MON ? ，即
OM
tan ?? ? 2? ? 2b? ，? 2a2 ? b2 ，∴ e ? 3 .
a
【解法2】（找关系求解，一般解法）设?MFO ?? ，? OF ? c， OM ? a，? MF ? b， MN ? 2b .
b a 3b2 ? c2? cos? ? ， sin? 3ab? ，? x
c c N
? ， yN ? .c c
b
又点 N在直线 y ? x上，?整理得3a2 ? c2 ，又? e ?1，? e ? 3 .
a
考向 2 轨迹问题
1．（2020佛山二模，理12）双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布 ?伯努利用来描述他所发现的曲线，在平面直
角坐标系 xOy 中，把到定点 F1(?a,0) ， F
2
2 (a,0) 距离之积等于 a (a ? 0) 的点的轨迹称为双钮线 C ，已知点
P(x0 , y0 )是双钮线C上一点，下列说法中正确的有（ ）
a a
①双钮线C关于原点O中心对称； ② ? ? y0 ? ；2 2
③双钮线C上满足 | PF1 |?| PF2 |的点 P有两个；④ | PO |的最大值为 2a .
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③
【答案】B.
在曲线C上任取一点 P(x, y)，则由题意得 | PA | ? | PB |? a2 ，即 | PA |2 ? | PB |2? a4 ，所以
??x ? a?2? ? y
2 ?
????(x ? a)
2 ? y2 ?? ? a
4 ，整理得： x4 ? (2y2 ? 2a2 )x2 ? y4 ? 2a2 y2 ? 0 （1），化为极坐标方程得：
? 2 ? 2a2 cos 2? （2）.
（思路一）：由方程（1）知①正确，排除C,由方程（2）知④正确，排除A、D，故选B.
40
压轴小题
（思路二）：①：在（1）式中同时将 x换成 ?x，将 y换成 ?y，方程不变，所以曲线关于原点O中心对称，
故①正确；
2
②: a a a（解法一）在（1）中，由 ? ? (2y2 ? 2a2 )2 ? 4(y4 ? 2a2 y2 ) ? 4a4 ?16a2 y2 ? 0 ，得 y2 ? ，? ? ? y ? ，
4 2 2
故②正确；
（解法二）? S 1△PF F ? | F F ?| y |
1
? | PF |?| PF sin?F PF
1 2 2 1 2 0 2 1 2 1 2
2
| y | a sin?F PF a? ? 1 20 ? sin?F1PF
a ? a y a? ， ? ? ? ,故②正确；
2a 2 2 2 2
③:满足 | PF1 |?| PF2 |的点 P都在 y轴上，在（1）中，令 x ? 0 ，得 y
4 ? 2a2 y2 ? 0 ，解得 y ? 0 ，即 P(0,0) ，所以
③错误；
④:由方程（2）知④正确.
2．（湖北八校联考，文16）如图， AB是平面? 的斜线段， A为斜足，点C满足 BC =? AC ?? ? 0?，且在平面?
内运动，则有以下几个命题：
①当 ? ?1时，点C的轨迹是抛物线；
②当 ? ?1时，点C的轨迹是一条直线；
③当 ? ? 2时，点C的轨迹是圆；
④当 ? ? 2时，点C的轨迹是椭圆；
⑤当 ? ? 2时，点C的轨迹是双曲线；
其中正确的命题是_______.（将所有正确的命题序号填到横线上）
【答案】②③
当 ? ?1时，由 BC =? AC 可得 BC = AC ，所以点C的轨迹为线段 AB的中垂面（即经过线段 AB的中点且与
线段 AB垂直的平面）? 上.同时又由于点C在平面? 内，所以点C为平面? 与平面 ? 的公共点，所以点C的轨
迹为平面? 与平面 ? 的交线.
【解法1】当 ? ? 2时，由 BC =? AC 可得 BC =2 AC ，
设 B在平面? 内的射影为D，连接 BD，CD .
设 BD ? h，CD ? 2a，则 BC ? CD 2 ? h2 ，在平面? 内，以 AD所在直线为 x轴，以 AD的中点为坐标原点建
立平面直角坐标系，设C(x, y) ，则CA ? (x ? a)2 ? y2 ，CD ? (x ? a)2 ? y2 ，CB ? (x ? a)2 ? y2 ? h2 ；
2 2
所以 5 16 h(x ? a)2 ? y2 ? h2 ? 2 (x ? a)2 ? y2 ，化简可得 ? x ? a? ? y2 ? a2? ? ? ，所以点C的轨迹是圆.
? 3 ? 9 3
41
压轴小题
【解法2】当 ? ? 2时，由 BC =? AC 可得 BC =2 AC ，由阿波罗尼斯圆的定义可得，点C的轨迹是球，又由
于点C在平面? 内，所以点C为平面? 与球的公共点，所以点C的轨迹为平面? 与球的截面圆.
考向 3 解析几何综合
1．（2020宜春模拟，理12）已知抛物线C的方程为 x2 ? 4y， F 为其焦点，过点 F 的直线 l与抛物线交于 A，B两
点，且抛物线在 A， B两点处的切线分别交 x轴于 P，Q两点，则 AP ? BQ 的取值范围为( )
A． ? 1 ?? ,??? B． ?2,??? C． ?2,??? D． ?0,2?
? 2 ?
【答案】B
x2 2
设 A? x , 1 ?， B
x
? x , 2
?y ? kx ?1
1 2 ?，联立 ? ，得 2 ， ， ，4 4 2 x ? 4kx ? 4 ? 0
? x1 ? x2 ? 4k x1x2 ? ?4
? ? ? ? ?x ? 4y
1 2
抛物线C的方程可化为 y ? x2
1
，则 y? 1 x 1? ，?直线 PA : y x x
?
? 1 ? 1 ?x ? x ?，令 y ? 0 ，解得 x ? x ，1 ? P ? x1,0
?
?，4 2 4 2 1 2 ? 2 ?
? PA 1? x2 (4 ? x2 ) ，同理可得， BQ 1? x21 1 2 (4? x
2 ) ，
4 4 2
1
? AP ? BQ ? (x x 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ，
16 1 2
) (4? x1 )(4? x2 ) ? (x1x2 ) ??16? 4(x1 ? x2 )? (x16 1
x2 ) ?? ? 2 1? k ? 2
? AP ? BQ 的取值范围为 ?2,??? .
2 2
2. x y（芜湖二模，理11）已知双曲线C : 2 ? 2 ?1?a ? 0,b ? 0 ?的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，过 F1 的直线MN 与C的a b
?????? ?????? ????? ????? ??????左支交于M ,N 两点，若 F2F1 ? F2M ? ?MF1 ? 0 ， F2N ? 2 F2M ，则C的渐近线方程为
A 3． y ? ? x B． y ? ? 3x C． y 2? ? x D． y ? ? 2x
3 2
【答案】B
????? ?????? ????? ????? ?????? ????? ????? ?????
如图，设 F2F1 ? F2M ? F2P，连接 F2P交MF1于点Q，由 ?F2F1 ? F2M ? ?MF1 ? 0 ，可得 F2P ?MF1 ? 0，即 PF2 ?MF1 ，
????? ??????
四边形 F1F2MP为菱形， F2N ? 2 F2M ，所以 MF2 ? F1F2 ? 2c ， F2N ? 4c，由定义可得， MF1 ? 2c ? 2a ，
NF1 ? 4c ? 2a， MQ ? c ? a， NQ ? 5c ? 3a，由勾股定理可得：
4c2 ? ?c 1? a ?2 ?16c2 ? ?5c ? 3a ?2 ? 3c2 ? 7ac ? 2a2 ? 0 ? 3e2 ? 7e ? 2 ? 0 ， e ? 2（ e ? 舍），由
3
2
e 1 ? b b? ? ?? ? ? 2? ? 3 ，所以所求C的渐近线方程为 y ? ? 3x，故选B.
? a ? a
3．（2020高三石家庄5月模拟，理12）已知抛物线C :
压轴小题
2020-5-20
压轴小题
目录
三角函数与解三角形........................................................................................................................................1
考向 1 三角函数的图象与性质................................................................................................................1
考向 2 三角函数中?的范围问题............................................................................................................ 2
考向 3 解三角形........................................................................................................................................3
考向 4 综合应用........................................................................................................................................5
立体几何............................................................................................................................................................7
考点 1 与空间角有关的计算....................................................................................................................7
考点 2 空间几何体的外接球、内切球....................................................................................................8
考向 3 动点问题......................................................................................................................................17
考向 4 三视图及截面问题......................................................................................................................19
数 列..............................................................................................................................................................21
函数与导数......................................................................................................................................................23
考向 1 函数的图象与性质综合..............................................................................................................23
考向 2 交点与零点问题..........................................................................................................................27
考向 3 导数及其应用..............................................................................................................................34
考向 4 构造函数......................................................................................................................................36
解析几何..........................................................................................................................................................37
考向 1 离心率问题..................................................................................................................................37
考向 2 轨迹问题......................................................................................................................................40
考向 3 解析几何综合..............................................................................................................................41
概率与统计综合..............................................................................................................................................47
向量综合..........................................................................................................................................................49
压轴小题
三角函数与解三角形
考向 1 三角函数的图象与性质
1．（2020深圳线下调研，理11）已知定义在R上的函数 f (x) ? sin(?x ??) （? ? 0 ， ?
?
? ）在 ?1,2?上有且仅有3
2
1 1 1 2
个零点，其图象关于 ? ?? ，0?和直线 x ? ? 对称，给出下列结论：① f
? ? ? ；②函数 f (x) 在 ?0,1?上有且仅
? 4 ? 4 ?? 2 ?? 2
3 3 5有 个极值点；③函数 f (x) 在 ? ?? ? ,? 上单调递增；④函数 f (x) 的最小正周期是2.其中所有正确命题的编号是
? 2 4 ??
（ ）
A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②
【答案】A
1? ? k 1由题意得： ? ? 1?， ? ? ?? ? k
?
? ? ， ，
4 4 2
k k
2 1 2
?Z
?? ? ?2(k1 ? k2 ) ?1?? ，?? ? (2n?1)?， n?Z
2? 2 1 4? ?又 ?
?
? ? ? ，?2? ?? ? 4?，?? ? 3?，? ? ， f (x) ? sin ?3?x ?
?
? ? 4 ? 4 ??
故结论①④错误；结论②③正确；故应选A.
2．（2020湖南金太阳，文 12）已知函数 f ?x? ? 1? 4sin x cos x ，现有下述四个结论：
① f ?x? ?的最小正周期为 ?；②曲线 y ? f ?x ?关于直线 x ? ? 对称；
4
③ f ?x? ? ? 5? ?在 ? ， ?上单调递增；④方程 f ?x? ? 2 在 ???,??上有 4 个不同的实根.
? 4 12 ?
其中所有正确结论的编号是（ ）
A.②④ B.①③④ C.②③④ D.①②④
【答案】D
?
?1? 2sin 2x,sin 2x
1
＜
f ?x? ? 1? 4sin x cos x = ? 2? 作出 f ?x?在 ???,??上的图像，如图所示，可知①②④正确，选择
?2sin 2x ?1,sin 2x 1?
?? 2
D 选项.
3．（2020南充诊断，理 11）已知函数 f ?x? ? cos ?2x ?? ??0 ? ? ? ? ? ?关于直线 x ? 对称，函数 g ?x? ? sin ?2x ?? ?，
6
1
压轴小题
则下列四个命题中，真命题有（ ）
?
① y ? g ?x ?的图象关于点 ?? ,0
?
?成中心对称；
? 3 ?
②若对?x?R，都有 g ?x1 ? ? g ?x ? ? g ?x2 ?，则 x1 ? x2 的最小值为 ?；
③将 y ? g ?x ? 5?的图象向左平移 个单位，可以得到 y ? f ?x ?的图象；
12
④ ?x ?R，使得0 f ?x0 ? ? g ?x
1
0 ? ? ．2
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】C
因为 f ?x? ? cos ?2x ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? ? ? ?关于直线 x ? 对称，所以 2? ?? ? k? ， k?Z，即? ? ? ? k?， k?Z，
6 6 3
又? ? ?0, ? 2 2?? ，故? ? ?，所以 g ?x? ? sin ??2x ?
?
?，故①对；若对?x?R，都有 g ?x1 ? ? g ?x ? ? g ?x3 3 2 ?
，则 x1 ? x2
? ?
? 2?
的最小值为半个周期 ，故②错； y ? g ?x ?的图象向左平移 个单位，可以得到
2 3
y sin ?2? x 2? ? 2?? sin ?2x 2?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?的图象，故③错；对于④，
? ? 3 ? 3 ? ? 3 ?
f ?x0 ? g ?x ? cos?2x
2?
? ?0 ? ? 0 ? ? ? sin
?2x 2? ? 1? 0 ? ? ? ? cos2x
3
0 ? sin 2x
1
0 ? sin 2x
3
0 ? cos2x
? 3 0? ? 3 ? 2 2 2 2
6 ? 2 ? ? ? ?
? sin 2x 6 ? 2 1 6 ? 2
2 0
??0, ， ?2 ? 2 ?
0, ? ，故④对．故选C．
? ? ? 2 ?
考向 2 三角函数中?的范围问题
1 ? ?．（2020宜春模拟，理 11）已知定义在 ? ??0, ?上的函数 f (x) ? sin
?
??x ?
?
?(? ? 0)
?
的最大值为 ，则正实数?的
? 6 ? ? 6 ? 5
取值个数最多为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
? 0, f (x) ? ? ? x ?0, ?0 1 ? ? ?? ?定义在 ? ?上的函数 的最大值为 ，? ? ? ，? 0 ?? ? 5 ， ?
?
? ?，? ? ??x ? ? ? ，? 6 ? 5 5 ? 6 ? 6 6 6 6
?? ? ?
①当 ? ? ，即 0 ?? ? 4时， f (x)max ? sin
??? ?? ?
?
? g( ?? ??) ? sin ? ? ??0 ?? ? 4? h(?) ?，令 ， ? ，
6 6 2 ? ? ? ?? 6 6 ? 5 ? 6 6 ? 5
?? ? ?
由 g(?) 与 h(?) 的图象易知，存在唯一的?? ?0,4?，使得 sin ?? ?
? ? ；
? 6 6 ?? 5
2
压轴小题
?? ? ? ?
②当 ? ? ，即 4 ?? ? 5 时， f (x)max ? ?1，∴? ? 5；6 6 2 5
综上，正实数?的取值个数最多为2个.
2．（池州 5月检测，理 16）已知函数 f ?x? ? sin ??x ? ? ? ?? ? 0 ? f ? ? ? ??1 f ? ? ? ? ? ?满足 ? ，4 ? ? ? ? 0 且 f ?x?在区间 ? , 上? ? ? 2 ? ? 4 3 ??
单调，则?取值范围的个数有_______个.
【答案】3
f ? ? ? ? ? ? ? ? T nT由 ? 4 ?
?1， f ? ? ? 0 可得， ? ? ? ?n?N? ?? ? 4n ? 2，
? ? ? 2 ? 2 4 4 2
f ?x? ? ? , ? ? ? ? T在区间 ? ?上单调可得 ? ? ? 0 ? ? ? 12，
? 4 3 ? 3 4 2
故可知?可以取 2，6，10 三个值.
考向 3 解三角形
1．（重庆二诊康德，理11）已知△ABC的面积为1，角 A， B，C的对边分别为 a， b， c，若
， cosB cosC 3 2asin A? bsinB ? 2csinB ? csinC ? ，则 a ?（ ）
5
A． 5 B． 10 C． 5 D． 10
2 2
3
由正弦定理得： 2asin A? bsinB ? 2csinB ? csinC? a2 ? b2 ? 2bc ? c2 ，由余弦定理得：cos A ? ? ，A ? ?，
2 4
?cos A ? ?cos ?B ?C ? ? sin BsinC ? cosBcosC ， sin BsinC 2? ? ，
10
又?S 1? absinC ? 2R2 sin Asin B sinC ?1，
2 ?R ? 5
， a ? 2Rsin A ? 10 ，故选D.
2 THUSSAT2020 5 11 ABC A B C a b c a b．（ 年 月诊断，文 ）已知△ 的内角 、 、 的对边分别为 ， ， ．若 ? ? 4cosC，
b a
且 cos ?A ? B? 1? ，则 cosC ?（ ）
6
A 2 B 3 C 2 3． ． ． 或 ? D．不存在
3 4 3 4
【答案】A．
a b a2 ? b2 a2 ? b2 ? c2
由 ? ? 4cosC，得 ? 2 ? a2 ? b2 ? 2c2 ，
b a ab ab
3
压轴小题
2 2 2 2
cosC a ? b ? c sin C 2sin
2 C 2sin2 C cosC 2所以 ? ? ? ? ，解得 ? ．
2ab sin Asin B cos(A ?B) ?cos(A ?B) 1 ? cosC 3
6
3．（2020莆田市高中毕业班教学质量第二次检测，文12）已知锐角△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，
c，且 b ? 2 ，17sin B(acosC ? ccos A) ?16 ，△ABC的面积为2，则△ABC的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B.
将 a cosC ? ccos A ? b， b ? 2 代入17sin B(acosC ? ccos A) ?16 ，可解得 sin B 8? ，
17
?△ABC为锐角三角形，? cosB 15? ，?△ABC 1 1的面积为2，? acsin B ? ac 8 2 ac 17? ? ，有 ?
17 2 2 17 2
又? b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cosB，? 4 a2 c2 2ac 15 ac 17? ? ? ? ，将 ? 代入化简有 a2 ? c2 ? 19
17 2
故 (a ? c)2 ? a2 ? c2 ? 2ac ?19 ?17 ? 36 ，? a ? c ? 6 ，所以△ABC的周长为8.故选B.
4．（广东一模，文11）在△ABC中，已知 A ? 60?，D是边 BC上一点，且 BD ? 2DC， AD ? 2 ，则△ABC的面积
的最大值为（ ）
A 3 B 3 3 C 2 3 D 5． ． ． ． 3
2 2
【答案】B
在△ADC中，令?ADC ?? ， BD ? 2m， DC ? m，有 b2 ? 22 ?m2 ? 2 ? 2 ?m cos? ①
在△ADB中，有 c2 ? 22 ? (2m)2 ? 2 ? 2 ? 2mcos(? ? ?) ，即 c2 ? 4 ? 4m2 ? 8mcos? ②
联立①②得， 2b2 ? c2 ?12 ? 6m2 ③
在△ABC中，有 b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (3m)2 ④，由③④消去m2 得 4b2 ? c2 ? 2bc ? 36 ，
又 36 ? 4b2 ? c2 ? 2bc ? (2b)2 ? c2 ? 2bc ? 2 ?2b ? c ? 2bc ，解得 bc ? 6
1 1 3 3 3
所以 S ? bc sin A ? ? 6? ? .
2 2 2 2
5．（宁德质检，文15）在平面四边形 ABCD中， BC ?CD ，?B ? 135? ， AB ? 3 2 ， AC ? 3 5 ， CD ? 5 ，则
AD ? ________．
【答案】 2 10
AC AB 3 5 3 2
在△ABC中，由正弦定理，得 ? ，得
? ，则 sin ACB 5? ? ，因为 BC ?CD，则
sin B sin?ACB 2 sin?ACB 5
2
cos?ACD ? sin 5?ACB ? ，在△ACD中，由余弦定理，得
5
AD2 ? AC 2 ?CD2 ? 2AD ?CD ? cos?ACD ? 45? 25? 2 ? 3 5 ? 5 5? ? 40 ，所以 AD ? 2 10 .
5
6．（湖北八校联考，文15）已知在钝角三角形△ABC中，角 A， B，C的对边分别为 a，b， c，若 a ? 4，且
sin A ? 2sin B cosC，则实数 b的取值范围为_______.
【答案】 ?2,2 2 ?
【解法1】因为 sin A ? 2sin B cosC，所以 sin(B ?C) ? 2sin BcosC ，即 sin BcosC ? cosBsinC ? 2sin BcosC ，所
以 sin B cosC ? cosB sinC ? 0，即 sin(B ?C) ? 0 ，因为 B,C? (0,?) ，所以 B ? C，所以 b ? c进而可以得到 A为
钝角，所以 ?1? cos A ? 0 .由余弦定理知道，所以 b? (2,2 2)
【解法2】数形结合
4
压轴小题
? ? ?
取 BC边中点 ? ?D，连 AD，记?CAD ? ? ，则?A ? ?CAB ? 2? ?? ,??，所以? ?
?
? ,
?
2 4 2 ?
，
? ? ? ?
? ?
故 sin? 2??? ,1
CD 2
?? .在Rt△ADC中， b ? ? ? 2,2 2 .
? 2 ? sin? sin?
? ?
考向 4 综合应用
1.（昆明三诊一模，理12）如图，某公园内有一半圆形湖面，O为圆心，半径为1千米，现规划在△OCD区域种荷
花，在△OBD区域建水上项目，若?AOC ? ?COD，且使四边形OCBD面积最大，则 cos?AOC ?（ ）
A． 17 ?1 B． 33 ?1 C． 17 ?1 D． 33 ?1
8 8 6 6
【答案】B
记?AOC ? ?COD ? x，则?BOD ? ? ? x，并设四边形OCBD面积为 S (x) ，考虑该面积可以分为△OCD和
S(x) 1OC OD sin COD 1△OBD计算得： ? ? ? ? ? OB ?OD ?sin?BOD
1
? (sin x ? sin 2x) ，其中 x ? 0 且 ? ? 2x ? 0 ，
2 2 2
0 x ?故 ? ? ．其导函数 S' (x) 1? (2cos 2x ? cos x) 1? (4cos x2 ? cos x ? 2) ? 0，0 ? cos x ?1，解得 cos x 33 ?1? ，
2 2 2 8
验证 cos x 33 ?1? 为唯一的极（最）大值点，故所求 cos AOC cos x 33 ?1? ? ? ，故本题选B．
8 8
2．（THUSSAT2020年5月诊断，理12）已知当 x??0,1?时，不等式 x2 cos? ? x(1? x) ?(1? x)2 sin? ? 0 恒成立，则?
的取值范围为（ ）
A k ? ? k 5? ? 5?． ? ? ? ? ? ? ( k为任意整数) B． k? ? ?? ? k? ? ( k为任意整数)
12 12 6 6
C． 2k ? 5? ? 5?? ? ?? ? 2k? ? ( k为任意整数) D． 2k? ? ? ? ? 2k? ? ( k为任意整数)
12 12 6 6
【答案】C
解法一：由于 x?[0,1]， x2 cos? ? x(1? x) ? (1? x)2 sin? ? 0 恒成立，
?
取 x ? 0 ， sin x ? 0 ， x ?1， cos? ? 0 ? ?得：? ??0,
? 2 ??
x cos? 1? x进一步将上式化为： ? sin? ?1恒成立，
1? x x
x
由 cos 1? x? ? sin? ? 2 x cos 1? x? ? sin? ? 2 cos? ?sin?
1? x x 1? x x
2 cos sin 1 sin 2 1 2 ? ? , 5? ? 5?只需 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 ? ?
?? ?? , ?
? 6 6 ? ?12 12 ?
5
压轴小题
? ? 5?
考虑到周期性，原题中? ??2k? ? , 2k? ?
?
? .
? 12 12 ?
将不等式 x2 cos? ? x(1? x) ? (1? x)2 sin? ? 0 ，整理得： (sin? ? cos? ?1) x2 ? (2sin? ?1) x ? sin? ? 0 ，
构造 f (x) ? (sin? ? cos? ?1)x 2 ? (2sin? ?1)x ? sin? ，首先 f (0) ? 0， f (1) ? 0得： sin? ? 0且 cos? ? 0 ，
f (x) x 2sin? ?1则 的图象开口向上，且对称轴 ? ? (0,1) 的抛物线，
2(sin? ? cos? ?1)
?sin? ? 0
由题，若使不等式 x2 cos? ? x(1? x) ? (1? x)2 sin? ? 0 在 x?[0,1] ?恒成立则只需 ?cos? ? 0 ，所以
?
?? ?1? 4sin? cos? ? 0
?2k ? , 2k 5?? ? ?? ? ? ? ?12 12 ?
， k?Z，故选C.
? ?
3．（2020重庆康德二诊，文11）在锐角△ABC中，角 A， B，C的对边分别为 a， b， c，9a2 ? 9b2 ?19c2 ，则
tan A tan B
?（ ）
tanC(tan A ? tan B)
A 4 5 2 7． B． C． D．
9 9 3 9
【答案】B
sin A sin B
tan A tan B ?cos A cosB sin Asin BcosC sin Asin BcosC abcosC? ? ? ?
tanC(tan A ? tan B) sinC ( sin A sin B? ) sinC sin(A ? B) sin
2C c 2
cosC cos A cosB
又 9a2 ? 9b2 ?19c2 ，所以 2abcosC
10 5
? a2 ? b2 ? c2 ? c2 ，所以原式 ? ，故选B.
9 9
6
压轴小题
立体几何
考点 1 与空间角有关的计算
1．（2020大连一模，理16）如图，在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中，点O为线段 BD的中点.设点 P在线段CC1 上，二
面角 A1 ? BD ? P的平面角为? ，用图中字母表示角? 为_______； sin? 的最小值是_______．
【答案】?A1OP
6
； .
3
由 PC ? BD，OC ? BD， PC ?OC ?C，可得 BD ?平面OCP，所以OP ? BD；
同理可证： AO ? BD，所以?AOP是二面角1 1 A1 ? BD ? P的平面角.即? ? ?A1OP .假设OP ? tCC （1 0 ? t ?1），
不妨令CC ? 2 ，则1 tan?A1OP ? tan ?? ??COP ??AOA1 ?? ? tan ??COP ? ?AOA1 ?
tan?COP ? tan?AOA
? ? 1
1? tan?COP ? tan?AOA1
2
2 ? 2t 2 ，
? ? ? ? 2
1? 2t 2 2t ?1
1 ?
当 t ? 时，无意义，此时?A1OP ? ， sin? ?1；2 2
1
当 t??? ,1
?
?时，单调递减且 tan? ? 0，故当 t ?1时， tan? 最小，此时 sin? 最小，即 sin?
2 2
? ；
? 2 ? 3
当 t???0,
1 ?
?时，单调递减且 tan? ? 0，故当 t ? 0 时， tan? 最大，此时 sin? 最小，即 sin?
6
? .
? 2 ? 3
综上， sin? 的最小值是 6 .
3
7
压轴小题
考点 2 空间几何体的外接球、内切球
1．（湖北八校联考，文11）如右图所示，三棱锥 P ? ABC的外接球的半径为 R，且 PA过球心，△PAB围绕棱 PA
旋转 60?后恰好与△PAC重合，若?PAB ? 60?，且三棱锥 P ? ABC的体积为 3 ，则 R ?（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】D
依题意△PAB ?△PAC，过点 B作 BD ? PA于D，连接CD，则CD ? PA ,所以?CDB为二面角 B ? PA ?C 的
平面角，?BDC ? 60?，进而可以得到△BCD为等边三角形.同时，因为CD ? PA， BD ? PA，CD? BD ? D，
所以 PA?平面CBD .在Rt△PBA中，?PAB ? 60?，所以 BD PB ? AB 3R ?R 3R? ? ? .所以
PA 2R 2
2
V 1 1 3
? 3 ? 3 3 ，解得 .
P?ABC ?VP?BCD ?VA?BCD ? S△BCD ? AP ? ? ? ?3 3 4 ?
R ?? ? 2R ? R ? 3 R ? 2
? 2 ? 8
2．（昆明三诊一模，理11）已知正四棱锥 P ? ABCD的高为2， AB ? 2 2 ，过该棱锥高的中点且平行于底面 ABCD
的平面截该正四棱锥所得截面为 ABC D ，若底面 ABCD与截面 ABC D 的顶点在同一球面上，则该球的表面1 1 1 1 1 1 1 1
积为（ ）
A． 20? B
20? 4?
． C． 4? D．
3 3
【答案】A
由题易知，球心O在该正四棱锥的高上，记O到底面 ABCD的距离为 d ，则O到截面 A1B1C1D 的距离为 ，1 d ?1
球半径为 R，由 R2 ?OA2 ?OA2 可得 d 21 ? 2
2 ? (d ?1)2 ?12 ，解得 d ?1，R2 ? 5 ，故球的表面积为 S ? 4?R2 ? 20?，
故本题选A.
8
压轴小题
3．（宁德质检，理11）如图，四边形 ABCD为正方形，四边形 EFGB为矩形，且平面 ABCD与平面 EFBD相互垂
16
直，若多面体 ABCDEF 的体积为 ，则该多面体外接球表面积的最小值为（ ）
3
A．16? B．12? C．8? D． 6?
【答案】B.
1 16
由题意可得：VABCDEF ? 2VC?BDEF ? 2? ? 2 2a? BF ? 2a ?3 3
8
所以 BF ? 2 ，令外接圆半径为 R，球心为 BDEF的几何中心，a
2
? 4 ? a2 16 a2 a2 16 a2 a2
所以易得 R= ? 2 ? ? ? 4 ? ? ? 33 4 ? ? ? 3 （当且仅当 a ? 2时取等号）? a ? 2 a 4 4 a 4 4
所以 R ? 3 外接球的表面积最小值为12?
4．（池州5月检测，理11）在正三棱锥 P ? ABC中，M、N 分别是 PC、BC 中点， AM ? MN，PA ? 2 3 ，则三棱
锥 P ? ABC的外接球的表面积为
A．12? B． 9 3? C． 36? D．36 3?
【答案】C
M、N 分别是 PC、BC 中点，可得MN / /PB ， AM ? MN ? PB ? AM 由正三棱锥引理可知对棱互相垂直，
?PB ? AM
?
?PB ? AC ? PB ?平面 PAC ? PB ? PA,PB ? PC
?
?AM ? AC ? A
?PA ? PB
?
再由 ?PA ? BC ? PA ?平面 PBC ， PA ? PC，有此可得正三棱锥 P ? ABC为正方体的一角，
?
?PB ? BC ? B
R 3 a 3? ? ? 2 3 ? 3， S ? 4?R2 ? 36?，故选C.
2 2
5.（芜湖二模，理12）已知棱长为 g ?x?的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中， E为?中点， F 在线段 f '(x) ? 0 上运动，则
三棱锥 f ?x?的外接球的表面积最小值为
A．14 B 9 C 545 D 525? ． ? ． ? ． ?
64 64
9
压轴小题
【答案】C
有两个平面互相垂直的外接球半径求法：
如上图，三棱锥 A ? BCD中，平面 ABD ?平面 BCD，平面 ABD?平面 BCD ?CD，设 BD ? l，O1 与O2 分别
2
为△BCD与△ABD的外心， R l为三棱锥 x1 ? x ? x2 的外接球半径，则此外接球半径为 R ? R
2 ? R 21 2 ? .4
证明：因为外接球在每个面内的投影为每个面所在三角形的外心，如上图所示，取 x ? x2 的中点 E，则有四边
f x [0, x ],[x , ) [x , x ] R R 2 R 2 l
2
形?为矩形， ( ) ， 1 2 ?? ，在 1 2 中，有勾股定理可得 ，即 ? 1 ? 2 ? .设△ADE ，△DEF4
的外接圆半径分别为 R1与 R2，三棱锥 F ? ADE的外接球半径为 R，
2
DE ? l，则有 R2 ? R 21 ? R
2 l 5
2 ? ，易得 R1 ? ，故当 R2最小时， R最小，易知当以 DE为弦的圆与D1C1 相切4 2
R cos DF 'E 15 sin DF 'E 8 2R DE R 17时，此时 2最小，经计算可得 ? ? ，? ? ? ? ? ? ? ，17 17 2 sin?DF 'E 2 16
R2 5 289 1 545 545? ? ? ? ? ， S ? 4?R2 ? ?，故选C.
4 256 4 256 64
6．（2020佛山二模，理11）已知 A，B，C是球O的球面上的三点，若?AOB ? ?AOC ? 60?，三棱锥O ? ABC 体
积的最大值为1，则球O的表面积为（ ）
A． ?? B． ?? C．??? D． ???
【答案】C
思路一：△AOB与△AOC都是边长为 R的等边三角形，显然当平面 AOB ?平面 AOC时，三棱锥O ? ABC 的
1 ? 3 ? 3 1
体积取得最大值.最大值为 ? 2?? R ??? R ? R
3 ?1，? R ? 2
3 ? 4 ? 2 8
10
压轴小题
思路二：△AOB与△AOC都是边长为 R的等边三角形，取OA的中点D，连接 BD,CD，则 BD ? OA，CD ? OA，
? ? ? 3
设?BDC ?? ?0 ?? ? ?，则点 B到平面 AOC的距离 h ? BD?sin? ? R sin? ，
? 2 ? 2
?V V 1 3? ? ? R 2 3? R ? sin? 1? R 3O?ABC B?AOC ? 1，3 4 2 8
?三棱锥O ? ABC 的体积最大时， R ? 2
思路三：(这个思路最不可取，考试中有学生用，列上)：设球O的半径为 R，由题知OA ?OB ?OC ? AB ? AC ? R ，
R
设△ABC的外接圆半径为 r，?ABC ? ? ，由正弦定理得： 2r ? ，则三棱锥O ? ABC 底面 ABC上的高
sin?
h R2 ( R 1? ? )2 ? R 1? ,
2sin? 4sin 2?
3
又 S△ABC ? R
2 sin? cos 1 1? ，所以V 3O?ABC ? ?S△ABC ?h ? R sin? cos 1
1 1
? ? ? R3 ?(cos2 3 9 R? ? )2 ? ? ?1，
3 3 4sin2? 3 8 64 8
所以三棱锥O ? ABC 的体积最大时， R ? 2 ，所以选C.
7．（重庆康德二诊，理12）已知 A，B，C，D四点均在球O的球面上，△ABC是边长为6的等边三角形，点D在
平面 ABC上的射影为△ABC的中心， E为线段 AD的中点，若 BD ? CE，则球O的表面积为（ ）
A．36? B． 42? C． 54? D． 24 6?
【 】D.
设△ABC的中心为G ，延长 BG 交 AC 于 F ，则 F 为 AC 中点，连接DF .由题知 DG ?平面 ABC, AC ?GB，
由三垂线定理得 AC ? BD，又 BD ? CE，?BD ?平面 ACD，又D ? ABC为正三棱锥，故DA， DB， DC两
两垂直，故三棱锥 D ? ABC可看作以DA，DB，DC为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由 AB ? 6
得DA ? 3 2 ，故正方体外接球直径为 3 2 ? 3 ? 3 6 ，所以球O的表面积为 4?R2 ? 54?，故选C.
8．（2020马鞍山二模，理12）梯形 ABCD中，AD//BC，?DAB ?120?，AC ? BC，BC ? 2AD ? 2，现将△ABC沿
AC折起，使得 B ? AC ? D二面角的大小为120?，若 A，B，C，D四点在同一个球面上，则该球的表面积为
（ ）
A 16? B 40? C 64? D 76?． ． ． ．
3 3 3 3
【答案】C
由 AD//BC，?DAB ?120?， AC ? BC， BC ? 2AD ? 2可得?BAC ? 30? ， AB ? 2BC ? 4 , AC ? 2 3 ，
在平面 ABC内作矩形 ACBE，即 AE ? AC ，而 AD ? AC ，则?EAD为二面角 B ? AC ? D的平面角，即
?EAD ?120?，过点D作DF ?平面 ABC于 F ，则?DAF ? 60? ，? DF ? AD ? sin 60?
3 3
? 1? ? ，
2 2
AF ? AD ? cos60? 1? ，?FAB ? 120?，取 AB中点O?，由三角形 ABC为直角三角形，O?为三角形 ABC外接圆2
1
的圆心，? r ? O?A ? ? AB ? 2 ，则O?F ? AF 2 ? AO?2 ? 2AF ? AO? ?cos?FAC 1? ? 4 ? 2 1 1 21? ?2(? ) ? ，过
2 4 2 2 2
O?作O?O ?平面 ABC，则OO?//DF ，取OA ?OB ?OC ?OD ? R ，过O作OH ? DF 于H，则 HFO?O为矩形，
11
压轴小题
OO? ? HF，OH ? O?F ，在三角形 DHO中，OD2 ? R2 ? (DF ?OO ?)2 ?O ?F 2 ? ( 3 ?OO ?)2 21? ①，在三角形
2 4
OO?B中， R2 ?OO?2 ? r 2 ?OO?2
16 64?
? 4②，由①②可得 R2 ? ，则外接球的表面积为 S ? 4?R2 ? ，故选：C.3 3
9．（广东一模，理11）已知三棱锥 P ? ABC满足 PA ? PB ? PC ? AB ? 2 ， AC ? BC，则该三棱锥外接球的体积为
（ ）
A 32． 3? B 32 32 16． ? C． 3? D． ?
27 3 9 3
【答案】A
设 AC、AB中点为分别D、M ，连结 PD，DM ，PM ，则 AC ? PD，PM ? AB，由 AC ? BC知 AC ? DM ,
且 PD?DM ? D，故 AC ?面 PDM ，故 AC ? PM ，故 PM ?面 ABC，所以球心在直线 PM 上，设为O（如
2
图2），易知CM ?1， PM ? 3 ，设球半径为 R，在Rt△PCM 中，由勾股定理可得 R2 ? ? 3 ? R? ?12 ，解得
R 2 3? ，体积V 4? ?R3 32 3? ? .
3 3 27
10．（东北三省四市二模，理16）在四棱锥 P ? ABCD中，底面 ABCD为正方形， AB ? 2 ，△PAD为等边三角形，
线段 BC的中点为 E，若 PE ?1，则此四棱锥的外接球的表面积为_______.
28?
【答案】
3
设 AD中点为 F ，则 AD ? PF，EF ? AD，故 AD ?面 PEF，故面 ABCD ?面 PEF，过点 P作 PI ? EF于点 K，
3
则 PI ?面 ABCD，PK ? ，过底面外心 ABCD点 J 作OJ / /PI ，可构造直角三角形解球半径，设OJ=h，则
2
2 2
? 2 ?2 ? h2 ? ? 1 ? ? ?h 3 h 3 7 28?? ? ? ?? ? ?? ，解得 ? ，设球半径为 R， R2 ? ，表面积为? 2 ? ? 2 ? 3 3 3
12
压轴小题
l211． （长郡十五校高三第二次联考，理16）已知 R ? R 2 ? R 21 2 ? 、B、R1、 R2四点都在表面积为100?的球 R4
2
的表面上，若 BC ? 4 3 ，?BAC ?120?．则球 R2 R 2 R 2 l R 5? 1 ? 2 ? 内接三棱锥 1 ? 的体积的最大值为_______.4 2
32 3
【答案】 .
3
设球的半径为 R 100? 4 3，△ABC的外接圆的半径为 r，则 R ? ? 5 ， 2r ? 0 ? 8 ，即 r ? 4，?点D到底面4? sin120
ABC的最大距离为 h ? 5 ? 52 ? 42 ? 8 ，? BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? AB ? AC ? 3AB ? AC ，? AB ? AC ?16，
? S 1?ABC ? AB ? AC ? sin?BAC
1 1 32 3
? 4 3 ，?V ? S?ABC ?h ? ? 4 3? 8?2 3 3 3
12．（石家庄模拟，文15）如图，在四棱锥 P ? ABCD中，底面 ABCD为正方形，AB ? AP ? 2，?PAB ? ?PAD ? 60?，
则该四棱锥的外接球的表面积为_______.
【答案】8? .
过点 P作 PE ?平面 ABCD，连结 BE,DE，因为 AB ? AP ? AD，?PAB ? ?PAD ? 60? ，所以 PB ? PD，故
ED ? EB，因此△ABE ?△ADE，?BAE ? ?DAE，因此 E在 AC上.过 E作 EH ? AB，连结 PH ，因为 AB ? PE，
AB ? HE，PE ?HE ? E，故 AB ?平面 PEH ，故 AB ? PH，所以 AH ?1，PH ? 3 ，在Rt△AEH 中，AE ? 2 ，
EH ?1，因此 E为 AC中点，即也为 BD中点.在Rt△PEH 中， PE ? PH 2 ? EH 2 ? 2 .所以 E为四棱锥
P ? ABCD的外接球球心，半径为 2 ，球的表面积为8? .
13．（石家庄模拟，理15）如图，在四棱锥 P ? ABCD中，底面 ABCD为正方形，AB ? 2AP ? 4，?PAB ? ?PAD ? 60?，
则_______；四棱锥 P ? ABCD的外接球的表面积为_______．（第一个空2分，第二个空3分）
13
压轴小题
?
【答案】 ； 40? .
4
作 PE ?平面 ABCD，由?PAB ? ?PAD ? 60? ，知点 E在线段 AC 上，过 E作 EH ? AB，
连结 PH ，因为 AB ? EH，AB ? PE，EH ? PE ? E故 AB ?平面 PEH ，故 AB ? PH .在Rt△PAH 中，AH ?1，
?
PH ? 3 ；在Rt△EAH 中，AE ? 2 ，EH ?1；在Rt△PEH 中，PE ? 2 ，因此 tan?PAE ?1，故?PAE ? ；4
取M 为 AC中点，设该四棱锥的外接球的球心为O，半径为 R，OM ?平面 ABCD，设OM ? d ，作 PF ? OM ，
?R2 ? d 2 ? 8 ??d ? 2
易知四边形 ?PFME为正方形.则有 ? 2 ，解得 ? ，故外接球表面积为 22 ? ? S ? 4?R ? 40?
.
??R ? d ? 2 ? 2 ??R ? 10
14．（2020届湘赣皖长郡十五校高三二联，文16）已知在直角梯形 ABCD中，AB / /CD，?DAB ? 90?，满足DC ? 2，
AB ?1， AD ? 3 沿 BD将三角形 BDC折起，把C折到 P点，使平面 PBD ?平面 ABD，则 P ? ABD的外接球
的表面积为_______.
16?
【答案】
3
在直角梯形 ABCD中，?ADB ? 30? ，??BDC ? 60?，因为 BD ? CD ? 2，所以△BDC为正三角形，在三棱锥
P ? ABD中，取 BD的中点 E，连接 PE ，则 PE ? 平面 ABD，取 O为 PE 三等分点， PO ? 2OE ，所以
OA ?OB ?OD 2 3 16?OP，所以O为三棱锥 P ? ABD的外接球的球心，所以 R ?OB ? ，所以 S ? ? .
3 3
15．（池州五月检测，文16）在正三棱锥 P ? ABC中，M ,N 分别是 PC,BC中点，且 AM ?MN ,PA ? 2 3 ，则三棱
锥 P ? ABC外接球的表面积为_______.
【答案】36?
设底面△ABC三边中线交于点H，则点H为△ABC的中心，连接 PH 易得 PH ?平面 ABC，所以 PH ? BC 由
三线合一知 AN ? BC，又因为 PH ? AN ? H ，所以 BC ?平面 PNA，所以 BC ? PA，同理证明 AB ? PC，
AC ? PB，即正三棱锥对棱垂直，由中位线定理得MN / /PB，又因为 AM ? MN，所以 AM ? PB，因为 AC ? PB，
BC ? PA，所以 PB ?平面 PAC ，所以 PB ? PA，PB ? PC，因为 PB ? PA，BC ? PA，所以 PA?平面 PBC ，
所以 PA ? PC，故正三棱锥 P ? ABC三条侧棱两两垂直，等价看做从正方体一个顶点出发的三条棱.所以
14
压轴小题
2 2 2
?2R?2 ? ?2 3 ? ? ?2 3 ? ? ?2 3 ? 则外接球表面积 S ? 4?R2 ? 36?
16．（2020莆田市高中毕业班教学质量第二次检测，文15）已知四棱锥 P ? ABCD的底面 ABCD为矩形， AC ? 4 ，
PA ? 2 3 ，当四棱锥 P ? ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为______.
【答案】 28π .
因为 PA ? 2 3 为定值，所以对于每一个给定的矩形 ABCD，当 PA?底面 ABCD时，四棱锥 P ? ABCD的体积
1 2 3
最大，此时V
四棱锥P?ABCD ? ?S ?PA ? ?S ，连结 BD，设 BD? AC ?O，则3 矩形ABCD 3 矩形ABCD
S ABCD ? 2OA ?OB ?sin?AOB ? 2OA ?OB ? 8 ，此时矩形 ABCD为正方形，且正方形边长为 2 2 .故矩形
V 2 3 16 3P?ABCD ? ?S ABCD ? ，当底面为正方形且 PA?底面 ABCD时取最大值.体积最大时，将四棱锥四棱锥 3 矩形 3
P ? ABCD补成长方体，则四棱锥的外接球即为该长方体的外接球，外接球的表面积为
?(2 2)2 ? (2 2)2 ? (2 3)2 ?π=28π .
17．（广东一模，文15）如图，已知三棱锥 P ? ABC满足 PA ? PB ? PC ? AB ? 2 ， AC ? BC ，则该三棱锥外接球
的体积为_______.
32 3?
【答案】
27
设△ABC的外接圆圆心为O?，因为 AC ? BC，所以O?为 AB 1中点，设其半径为 r ? AB ? 1，
2
依题意， PA ? PB，知球心O在 PO?上，所以 PO? ? 22 ?12 ? 3 ，又 R2 ?OO?2 ? r 2 ? (PO? ? R)2 ?12 ，
3
2 4 4 ? 2 3 ? 32 3?
解得 R ? 3 ，所以三棱锥外接球体积为V ? ?R3 ? ??? ?? ? .3 3 3 ? 3 ? 27
18．（2020大连一模，文16）已知矩形 ABCD中， AB ? 8 ， AD ? 6 ，沿对角线 BD折叠成空间四边形 ABCD，则
15
压轴小题
空间四边形 ABCD的外接球的表面积为_______．
【答案】100? .
取 BD的中点O，连OA，OB，OC ，OD，则OA ?OB ?OC ?OD ? 5，故O为空间四边形 ABCD的外接球的
球心，且 r ? 5，所以 S ? 4?r 2 ?100? .
19．（莆田市第二次检测，理16）已知四棱锥 P ? ABCD的底面 ABCD为矩形，AC ? 4 ，PA ? 2 3 .当四棱锥 P ? ABCD
的体积最大时，其外接球球心O到平面 PBD的距离为_______.
【答案】 3
当四棱锥 P ? ABCD的体积最大时，即 PA?面 ABCD，且底面为正方形时，此时外接球球心即为 PC中点，
V 1 1 1 1 2 6 4 3 1
3
O?PBD ?VB?POD ? VB?PCD ? ? ? ? 2 2? 2 5? ? ，又 S PBD ? ? 4? 4 ? 8，故 h ? .2 2 3 2 5 3 △ 2 2
20．（2020年山东5月质量检测，15）已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2 3 ，其内有2个不同的小球，球O1 与
三棱锥 A ? CB1D1 的四个面都相切，球 O2 与三棱锥 A ? CB1D1 的三个面和球 O1 都相切，则球O1 的体积等于
_______，球O2 的表面积等于_______.
4?
【答案】 ； ?
3
作出两球的截面如图所示：
2 2
由题意可得，正四面体 A ? CB1D1 的棱长为 ?2 3 ? ? ?2 3 ? ? 2 6 ，高 AF ? 4，设球O1 的半径为 R，
1 3
则由等体积法 ?S△AB D ? S△AB C ? S△ACD ? S△?CB D ?R ? ?2 3 ? ?VB?AB C ?VC ?D B C ?V ?V ,3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D?AD1C A1?AB1D1
1 ? 1 3 ? 1
即 ? 4??? ? 2 6 ? 2 6 ? ??R ? ?2 3?
3
R 1 4，解得 ? ，所以O1B1 ? O1A ? 3，所以球O1 的体积为 ；3 ? 2 2 ? 3 3
r O G O对于球O ，设其半径为 ，如图可得 2 ? 2B1 r 3? r ? R 2 ? r r 12 ，即 ? ，所以 ? ，得 r ? ，所以球O2 的表O1F O1B1 R 3 3 1 2
16
压轴小题
1 2
面积为 4?r 2 ? 4?? ? ?? ? ? ? .
? 2 ?
考向 3 动点问题
1．（2020深圳线下调研，理12）将边长为5的菱形 ABCD沿对角线 AC折起，顶点 B 移动 B ?至，在以 B?,A,C,D为
顶点的四面体 AB?CD中，棱 AC，B ?D 的中点分别为 E，F ，若 AC ? 6，且四面体 AB?CD的外接球球心落在
四面体内部，则线段 EF 长度的取值范围为
? 14 ? ? 14 ?
A． ?? ， 2 32 ?? B
． ?? ， 42 ?? C
． ? 3， 2 3? D． ? 3， 4?
? ? ? ?
【答案】A
如图，显然 AC ? B?E，且 AC ? DE，所以 AC ?平面B?ED，又 E 是 AC的中点，所以到点 A，C的距离相等
的点位于平面 B?ED内，同理可知，到点 B ?，D的距离相等的点位于平面 ACF 内，球心O到点 A， B ?，C，
D的距离都相等，所以球心O位于平面 B?ED与平面 ACF 的交线上，即直线 EF 上，依题意可知，球心O落在
7
线段 EF 上（不含端点）.由 EF B?D OE ? ? EF EF 14? ，易知 ，即 ? ，又 EF ? EB? ? 4 ，故应选B.
2EF 2
2.（池州5月检测，理10）已知MN 是正方形内切球的一条直径，点 P在正方形表面上运动，正方体的棱长是 2 ，则
PM ?PN的取值范围为
A． ?0,4? B． ?0,2? C． ?1,4? D． ?1, 2?
【答案】B
2 2 2
设球心为O，由极化恒等式可得 P?M???? PN ? PO ????O?M ? PO ?1 ???? ????
易知当点 P在正方体面的中心时 PO 取得最小 PO ?1，在正方体顶点时 PO 取得最大 PO ? 3 ，所以
min max
PM ?PN的取值范围为 ?0,2? .
3．（湖北八校第二次联考，理12）已知，如图正三棱锥 P ? ABC 中，侧棱长为 2 ，底面边长为 2 ，D为 AC中点，
E 为 AB 中点，M 是 PD上的动点， N是平面 PCE 上的动点，则 AM ? MN 最小值是（ ）
17
压轴小题
A 2 ? 6 B 1? 3 6 3． ． C． D．
4 2 4 2
【答案】B
要求 AM ? MN 最小，即求MN 最小，可得MN ⊥平面 PCE ,又可证明MN∥DF ;再把平面 POD绕 PD旋转，与
1 1 1 1 1 OD 1
PDA共面；又可证得?POD ? 90?，?PD ? AC，DO ? DF ? ? AB ? ，?sin?OPD ? ? 即2 2 2 2 2 PD 2
6 ? 2 3 ?1
?OPD ? 30?，??APN ? 45? ? 30? ? 30?，可得 sin 75? ? ， ?AM ?MN ? ? AN ? PA ? sin 75?= .
4 min 2
4．（2020梅州 5月质检，理 12）在空间直角坐标系O ? xyz中，四面体OABC 各顶点坐标分别为O ?0,0,0?， A?0,0,2?，
?
B 2 3
? ? ?
?? ,0,0
2 3
??，C ??0, ,0??．假设蚂蚁窝在O点，一只蚂蚁从O点出发，需要在 AB， AC 上分别任意选择一
? 3 ? ? 3 ?
点留下信息，然后再返回O点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是
A． 2 2 B． 11? 21 C． 5 ? 21 D． 2 3
【答案】C.
如图，将四面体的侧面OAB与侧面OAC 沿着边 AB 与 AC 在平面 ABC 内展开．如图所示，在直角△BOC中，
BC 2 6
3 ?
? ，在△BAC中，由余弦定理得 cos?BOC ? ，?BAO ? ?CAO1 ? ，在△AOO1 中，因为3 4 6
cos ??OAO1 ? cos
?
??BAC ?
?
? =
3? 21
，所以由余弦定理可得
? 3 ? 8
OO 2 2 21 ?OA ?O1A ? 2OA ?O1A ?cos?OAO1 ? 5 ? 21，又因为OM ? MN ? MO ? OO1 1 ，因此最短路径长度为
5 ? 21 ，当且仅当O、M 、 N、O1 四点共线时取等号．
5．（2020南充诊断，理 12）已知三条射线OA，OB ，OC两两所成的角都是 60?，点M 在OA上，点 N在?BOC
内运动，且MN ? OM ? 6 3 ，则点 N的轨迹长度为（ ）
A． 2π B． 3π C． 4π D． 5π
18
压轴小题
【答案】C
根据题意可知， OM ? MN ，?EOM ? ?FOM ? ?EOF ? 60?，可知M ? OEF 为正四面体，
设M 在底面的投影为 K， N点的轨迹为以 K为圆心，ON为直径的圆弧 ENF ，
由三余弦定理有 cos?MOF ? cos?MOK cos?HOF，则 cos?MOK 3? ，
3
在Rt△MOK 中， cos?MOK 3 OK? ? ，则OK ? r ? 6 ，又?EOF ? 60?，所以?EKF ? 120?，
3 OM
l ? 2?即 ENF ? ? r ? ?6 ? 4?．故选C．3
考向 4 三视图及截面问题
1．（2020深圳线下调研，文11）已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ，棱长为4， BB1 的中点为M ，过D、M 、C1 三点
的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ）
A．18 B． 6 10 C．12 2 D．36
【答案】A
如图1，设截面为? ，取 AB中点 E，连DE、ME，易证DE，ME ? ? ，又? M ，E为中点，? ME为△ABB1
中位线，易证ME∥C1D .如图2，得 S
1
? ?2 2 ? 4 2 ? ?3 2 ?18 .2
2．（2020湖南金太阳理科11）某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为
A 25?． B 64?． C． 25? D．32?
4 3
【答案】B
由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥 B ? PAC，设外接球的半径为 R，△PAC 2 3的外接圆的半径 r ? ，
3
19
压轴小题
R2 r 2 22 16 64?则 ? ? ? ，所以外接球的表面积 S ? 4?R2 ?
3 3
20
压轴小题
数 列
1 1．（东北三省四市二模，理11）若数列?an?满足 a1 ? ? ，且 a n3 n ? an?1 ? (?2) (n?2) ，若使不等式 an ?? 成立的 an
有且只有三项，则 ?的取值范围为
A ?13 35 ?． ? , ? B
?13 , 35? C ?35． ? ? ． ? ,
61? D ? 35 , 61?．
? 3 3 3 3 3 3 ? ?? ? ? ? ? ? 3 3 ??
【答案】A
若使不等式 an ??
1 11 13 35
成立，则 an ??max ，故只有三项 an满足条件， a1 ? ? ， a ? ， a ? ? ， a ? ，由3 2 3 3 3 4 3
?13 35 ?
通项公式易知，{ an }是单调递增数列，因此 |a3 | ? ? ?| a4 |，故 ?的取值范围为 ? ,? 3 3 ??
2．（湖北八校第二次联考，理11）如图，在杨辉三角中，斜线 l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”
1 1 1 1
数列：1，3，3，4，6，5，10，…，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列?an?，则 ? ? ?? ? ?a1 a2 a3 a2020
2020 2019 4021 4040
A． B． C． D．
2021 2020 2020 2021
【答案】D
n ?n ?1?
根据题意数列?an?中 a1 ?1， a2 ? 3， a3 ? 6， a4 ?10，…，易求得 an ? ，2
1 2 1 1
? ? ? 2? ? ? 4040
an n ?n ?1? ?? n n 1?
，求和得
? ? 2021
3．（东北三省四市二模，理15）数列?an?是等差数列，前 n项和为 Sn ， a1 ? 1， S5 ?15 ，且 a3 ? ?a9 ? a15 ?15，
则实数 ? ?_______.
1
【答案】 ?
3
1
等差数列基本量计算可知 an ? n， a3 ? ?a9 ? a15 ? 3 ? 9? ?15 ?15，解得???3
4．（广东一模，理14）已知数列{an}的前 n项和为 Sn ，且 a1 ?1， an?1 ? 2an，若数列{bn}满足bn ?Sn ?1，则
b1 ?1 b2 ?1 b10 ?1? ??? ? _______.
b1 b2 b10
【答案】 2046
21
压轴小题
1
a ? 2n?1 S 1? (1? 2
n ) 1 b ?1 n +1
由已知得 n ， n ? ? 2
n ?1，所以bn ? n ，则
n = 2 ?11 =2
n，所以
1? 2 2 ?1 bn
2n ?1
b1 ?1 b2 ?1 b ?1? ??? 10 ? 21+22 +?210 ? 2046 .
b1 b2 b10
5．（重庆康德二诊，理15）已知公差不为0的等差数列{an}中，a2 ，a4 ，a8 依次成等比数列，若 a3 ，a6 ，ab a1 ， b2 ，…，
abn ，…成等比数，则 bn =_______.
【答案】3 ? 2n?1 .
设公差为 d ，由题知 a 24 ? (a4 ? 2d)(a4 ? 4d)，即 a4 ? 4d ，?an ? nd ? a3 ? 3d ， a6 ? 6d ，故等比数列?ab 首n ?
n?1
项为 3d ，公比为2，因此 a ? 3d ? 2 ? b d ，故 b ? 3 ?2n?1bn n n .
1
6．（2020宜春模拟，理15）已知数列?an?中，a1 ? 11，an?1 ? an ? n(n 1) ，若对于任意的m??1,4?，任意的 n? N
?
?
使得 a 2n ? t ?mt恒成立，则实数 t的取值范围是_______.
【答案】 ???,?6?? ?3,???
1 1 1
由已知得 an?1 ? an ? ? ?n(n 1) n n 1，? ?
? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1? ?
1
当 n ? 2 时， an ? a1 ? (a2 ? a1) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? ? ? (an ? an?1) ?11? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 ? ，
? 2 ? ? 2 3 ? ? n ?1 n ? n
? a1 ? 11也适合上式，∴ an ?12
1
? ，且数列?an?是递增数列，? n?N?，11? an ? 12 ，n
若对于任意的 n?N?使得 a ? t2n ?mt恒成立，则 t 2 ? mt ?12 ，即 t 2 ?mt ?12 ? 0 ，
?? f (1) ? t2 ? t ?12 ? 0
设 f (m) ? tm ? t2 ?12，则 f (m) ? 0 对于任意的m??1,4?恒成立，? ? 2 ，解得 t ? 3或 t ? ?6 ，?? f (4) ? t ? 4t ?12 ? 0
?实数 t的取值范围是 ???,?6?? ?3,??? .
22
压轴小题
函数与导数
考向 1 函数的图象与性质综合
1．（宁德质检，文11）已知可导函数 f (x)的定义域为R，且满足 f (x + 4)= f (-x)，(x - 2) f ?(x)< 0 ，则对任意
的 x1 < x2 ，“ f (x1)< f (x2)”是“ x1 + x2 < 4 ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
由 f (x + 4)= f (-x)，得函数 f (x)的图象关于直线 x = 2 对称，再由(x - 2) f ?(x)< 0 ，当 x > 2时， f ?(x)< 0，
即函数 f (x)在(2,+?)上单调递减，当 x < 2时， f ?(x)> 0，即函数 f (x)在(-?,2)上单调递增.因为 x1 < x2 ，
且 f (x1)< f (x2)，则 x1 < x2 < 2 或 x1 < 2 < x2 且 2 - x1 > x2 - 2 ，可得 x1 + x2 < 4 ，又当 x1 + x2 < 4 时，若 x1 < x2 < 2 ，
则 f (x1)< f (x2)，若 2 - x1 > x2 - 2 ，则 f (x1)< f (x2)，
综上“ f (x1)< f (x2)”是“ x1 + x2 < 4 ”的充要条件，故选项C正确.
2．（2020梅州5月质检，理11）设函数 f (x) 定义域为全体实数，令 g(x) ? f ? x ? ? f ?x? ．有以下6个论断：
① f (x) 是奇函数时， g (x) 是奇函数；
② f (x) 是偶函数时， g (x) 是奇函数；
③ f (x) 是偶函数时， g (x) 是偶函数；
④ f (x) 是奇函数时， g (x) 是偶函数；
⑤ g (x) 是偶函数；
⑥对任意的实数 x， g(x) ? 0 ．
那么正确论断的编号是
A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤
【答案】A
当 f (x)为奇函数时， f (?x) ? ? f (x) ?g(?x) ? f ( ?x ) ? f (?x) ? f ( x ) ? ? f (x) ? g(x) ，从而 g (x) 为偶函数，因
此①错④对；当 f (x)为偶函数时， f (?x) ? f (x) ? g(?x) ? f ( ?x ) ? f (?x) ? f ( x ) ? f (x) ? g(x) ，从而 g (x) 为偶
函数，因此②错③对；当 f (x) ? x ?1时， g(x) ?| x | ?1? | x ?1|，? g(?1) ? 2 ? 0 ， g(1) ? 0 ，?g(?1) ? g(1) ，所
以 g (x) 不是偶函数，因此⑤错，⑥错．
?
?cos
1 3
?x, x? ?? , ?? 2 2?
3．（2020年山东5月质量检测，12）（多选）对于函数 f ?x? ? ? ? ?? ，下列结论正确的是（ ）
?1 ? 3 ?
? f ?x ? 2? , x?? ,????2 ? 2 ?
A x x ??
1
? ,???．任取 1 ， 2 ? ?，都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 恒成立；? 2 ?
B ? 1 ?．对于一切 x? k ??? ,?? ?，都有 f ?x? ? 2 f ?x ? 2k ?（ k?N ）；? 2 ?
C．函数 y ? f ?x? ? ln ?? x
1
? ??有3个零点；
? 2 ?
D．对于任意 x ? 0 ，不等式 f ?x? k 1? ? ?恒成立，则实数 k 的取值范围是 ,??
x ???2 ?
【答案】ABC
23
压轴小题
作出 f ?x?的大致图象如下：
对于A， f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x? ? f x ? 2max ? ?min ；
对于B， f ?x? 1? f ?x ? 2?，即 f ?x? ? 2 f ?x ? 2? ? 22 f ?x ? 2 ?2? ??? 2k f ?x ? 2k ?；
2
C. ? 1 ? ? 3 ? ? 3 ?再作出 g ?x? ? ln ? x ? ?的图象看交点的个数，注意到 g ?1? ? f ?1?， g ? ? ? f ? ?， g ?2? ? f ?2?，所以它们
? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?
有三个交点。
D. k 1 f ?2? 1 1 f ?x? k取 ? ，当 x ? 2 时， ? ? ，不满足 ? 恒成立，故错误.
2 2 4 x
综上，选ABC.
4．（长郡十五校高三第二次联考，理12）已知函数 f (x) ? aex ? 3x2 (a?R) ，若 x?[0,2]时， f (x) 在 x ? 0 处取得最
大值，则 a的取值范围为（ ）
A 6 12 12 6． a ? B． a ? 2 C． a ? 0 D． 2 ? a ?e e e e
【答案】C
6 1? x
? f ?(x) 6x 6x ? ?? aex ? 6x ? ex ??a ?
?
，令 g ?x? ? ，?g '?x? ? ，
? ex ?? ex ex
? x ?1时， g '(x) ? 0， g ?x?在 ???,1?单调递增; x ? 1时， g '(x) ? 0， g ?x?在 ?1,+??单调递减;
? g ?x? ? g (1) 6? ，?当 a 6? 时， f '(x) ? 0 ，则 f xmax ? ?在R上单调递增，不成立;e e
6 6x
当 a ? 0 时， f (x) 在[0, 2]上单调递减，成立；当 0 ? a ? 时， a ? x ? 0有两个根 xe e 1
， x2 ?0 ? x1 ? x2 ?
? 6x 6x当 x ? x1 时， a ? x ? 0， f ?(x) ? 0 ；当 x1 ? x ? x2 时， a ? x ? 0 ， f ??x? ? 0e e
6x
当 x ? x2 时， a ? x ? 0， f '(x) ? 0 ，? f (x) 在[0, x1],[x2 ,??) 上单调递增，在 [x1, x2 ]上单调递减，显然不成立.e
24
压轴小题
5．（四省名校联考，文12）函数 f ?x?和 g ?x?都是定义在 ???,t?上的单调减函数，且 f ?t ? ? g ?t ? ?M ，若对于任
意 k ? M ，存在 x1 、 x2 ?x1 ? x2 ?，使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? k 成立，则称 g ?x?是 f ?x?在 ???,t?上的“被追逐函数”，
若 f ? x? ? x2 ，下述四个结论：① g ?x? ? ?2x ?1是 f ?x?在 ???,?1?上的“被追逐函数”；②若 g ?x?和函数
h ? x? ? 2x ?1关于 y轴对称，则 g ?x?是 f ?x?在 ???,?1?上的“被追逐函数”；③若 g ?x? ? ln ??x? ?m是 f ?x?在
???,?1? 1上的“被追逐函数”，则m ? 1；④存在m ? 1，使得 g ?x? ? ? m是 f ?x?在 ???,?1?上的“被追逐函数”，
x
其中正确的命题个数为（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
【答案】D
对于①， f ? x? ? x2 和 g ?x? ? ?2x ?1 2在 ???,?1?上单调递减，且 f ??1? ? g ??1? ?1，若 g ?x? ? ?2x ?1是 f ? x? ? x
在 ???,?1?上的“被追逐函数”，则对于任意 k ? 1，存在 x1 ， x2 ? x1 ? x2 ?，使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? k 成立，即
?x1 ? ? k
x2 2x 1 k ? k k ?1? ? ? ? ? ? ? k ? ?k ?1?
2 ?x ?1?2
1 2 ? k ?1 ，此时 ，构造函数 hx 2 ?x? ? x ? ?x ?1?
，则
? ? ? 4 4? 2 2
2
h' ? x? 1 x ?1? ? ? 0 ?x ?1?，则 h ?x?在 ?1,???上单调递减，又 h?1? ? 0，则 h?x? ? 0恒成立，即 ，故对任意
2 x ? 4
k ? 1，存在 x1 ， x2 ? x1 ? x2 ?，使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? k 成立，故①正确；
? 1
x x
? 2 ? 1 ?
对于②，由题意 g ? x? ? ? ? ?1，则 f ? x? ? x 和 g ? x? ? ? ? ?1在 ???,?1?上单调递减，且
? 2 ? ? 2 ?
x
f ??1? ? g ??1? ?1 g ? x? ? 1 ?，若 ? ? ? ?1是 f ? x? ? x2 在 ???,?1?上的“被追逐函数”，则对于任意 k ? 1，存在 x2 1 ，? ?
x2 ?x1 ? ? k
x2 ? x ?
1 ? ?
1 ? x2 ?，使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? k 成立，即 x21 ? ? ? ?1? k? ?
? 2 ? ?x ? log ? k ?1?
，当 k ? 100 时，不存在 x1 ，
2 1
? 2
x2 ? x1 ? x2 ?，使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? k 成立，故②错误
对于③，若 g ?x? ? ln ??x? ?m是 f ? x? ? x2 在 ???,?1?上的“被追逐函数”，此时必有 f ??1? ? g ??1? ?1，解得
m ? 1，当m ? 1时， g ?x? ? ln ??x? ?1 2 2和 f ? x? ? x 在 ???,?1?上单调递减，若 g ?x? ? ln ??x? ?1是 f ? x? ? x 在
???,?1?上的“被追逐函数”，则对于任意 k ? 1，存在 x1 ， x2 ? x1 ? x2 ?，使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? k 成立，即
?x ? ? k
x2 ? ln ??x ? ?1? k? ? 1? ，即 ? k ? ?ek ?1 ? k ? ek ?1 ? k ? e2k ?2 2x?21 2 k 1 ，构造函数 h ? x? ? x ? e ，则
??x
?
2 ? ?e
h' ? x? ?1? 2e2x?2 ? 0，则 h ?x?在 ?1,???上单调递减，又 h?1? ? 0，则 h?x? ? 0恒成立，即 x ? e2x?2 ，故对任意 k ? 1，
存在 x1 ， x2 ? x1 ? x2 ?，使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? k 成立，故③正确；
x????,?1? g ?x? 1? ? m???1? m,m? x????,?1? f ? x? ? x2对于④，当 时， ，而当 时， ?
x
?1,??? 1，由 k 的任意性，不存在m ? 1，使得 g ?x? ? ? m是 f ? x? ? x2 在 ???,?1?上的“被追逐函数”，故④错误；
x
故选D.
a a
6．（2020 11 12四省名校联考，理12）定义矩阵的运算如下： ? a11a22 ? aa a 12
a21 ，已知函数
21 22
? x?1 ?1 ln ??x ?
? , x ? 0
1 ln ??x?
f ?x? ? ?? ，以下命题正确的是（ ）
? x?1 ?1 ln x
? , x ? 0
? 1 ln x
25
压轴小题
①对?x????,0?? ?0,???、都有 f ??x? ? f ?x? ? 0；②若? ?x? ? f ?x?sin x，对?x? R ，总存在非零常数T ，
使得? ?x ?T ? ?? ?x?；③若存在直线 y ? kx与 h?x?的图象无公共点，且使 h?x?的图案位于直线两侧，此直线即
称为函数 h?x? 2的分界线，则 f ?x?的分界线的斜率的取值范围是 ?e ,???；④函数 t ?x? ? f ?x? ? sin x的零点有无
数个
A．①③④ B．①②④ C．②③ D．①④
【答案】D
?ln ??x?
? , x ? 0
由题知 f ?x? ? ?? x ln ??x?，当 x ? 0 时， f ??x? ? ? ? f ?x ?，同理 x ? 0 时， f ??x? ? ? f ?x?，即①正确；
?ln x , x 0 ?x? ?? x
f ??x? 1? ln x当 x ? 0 时， ? 2 ； f ??x? ? 0? 0 ? x ? e ， f ??x? ? 0? x ? e， f ?x?为奇函数，知 f ?x?的增区间为x
??e,0?， ?0,e?，减区间为 ???,?e?， ?e,???，则 f ?x?不存在周期性，所以? ?x?不是周期函数，所以②错误；
1? ln x ln x 1? ln x
当 x ? 0 ，过原点作 f ?x? ? ?的切线，设切点为 ? x
ln x
, 0 ?，则切线斜率 k ?
0
，即 y ? 02 ?
0
2 ? x ? x0 0 ?，
? x x x x0 ? 0 0 0
1
由此直线过原点得 x ? e ，即 k ? ，结合 f ?x?在区间 ?0,e0 ?上单调递增，在区间 ?e,???上单调递减，且2e
x???时， f ?x?? 0 ? 1 ?，且 f ?x? ? 0，可得 x ? 0 时， f ?x?的分界线的斜率的取值范围是 ? ,?? f ?x?
? 2e ?
，又 为
?
? 1 ?
奇函数，可得 x ? 0 时， f ?x?的分界线的斜率的取值范围是 ? ,?? ?，所以分界线的斜率的取值范围是
? 2e ?
? 1
? ,??
?
?，故③错误；
? 2e ?
当 x???时， f ?x?? 0 ，且 f ?x? ? 0， f ?x?在区间 ?e,???上单调递减，所以 f ?x? ? sin x有无数个解，故④
正确；综上，选D
?x
7.（昆明三诊一模，理16）定义域为R的偶函数 f ?x?满足 f ?1? x ?? f ?1? x ?? 0 ，当 x??0,1?时， f ?x? ? sin ，
2
给出下列四个结论：
① f ? x? ? 1；
②若 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0，则 x1 ? x2 ? 0 ；
③函数 f ?x?在 ?0,4?内有且仅有3个零点；
④若 x1 ? x2 ? x3 ，且 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ?，则 x3 ? x1 的最小值为4.
其中，正确结论的序号是_______.
注：本题给出的结论中，有多个符号题目要求.全部选对得5分，不选或或有错选的0分，其他得3分.
【答案】①③
因为偶函数 f ?x?满足 f ?1? x ?? f ?1? x ?? 0 ，则 f ?1? x? ? ? f ?1? x?，? f ?x?的图象关于 ?1,0?对称.
根据题意画出如下示意图：
由图易得选项①③正确，②错误；若 x1 ? x2 ? x3 ，且 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ?， x3 ? x1 的最小值大于4，故选项④
错误.
26
压轴小题
8．（THUSSAT2020年5月诊断，理16）已知定义在实数R上的奇函数 f (x) 满足 f ?(x) ? ?2 ，则不等式
f (x ?1) ? x 2(3 ? 2ln x) ? 3(1? 2x) 的解集为_______.
【答案】 0,1
由奇函数 f (x)满足 f ?(x) ? ?2 知： f ?(x) ? 2 ? 0，
故 F (x) ? f (x) ? 2x为奇函数，且在R上为增函数，且 F (0) ? 0 ，
f (x ?1) ? x 2(3 ? 2ln x) ? 3(1? 2x) 等价于 f (x ?1)+2(x ?1) ? x 2(3? 2ln x) ?1? 4x ，
考虑到 g(x) ? x 2(3 ? 2ln x) ?1? 4x ，
g '(x) x2 ? 2 1 1且 ? ? ??
?
? ? 2x(1? 2ln x) ? 4 ? ?4ln x ? 4
? ? ? ?
在
x ?
0, ?为正， ? ,???为负，
? ? ? e ? ? e ?
?
故 g (x) 在 ?0,
1 ? ? 1
?递增，在 ? ,??
?
?递减，
? e ? ? e ?
考虑到 x? 0时 g (x) 为正， g ?1? ? 0 ，故当且仅当 x??0,1?时 g(x) ? 0 ，
故 x??0,1?时 g(x) ? 0 ， F (x ?1) ? 0 ；当 x??1,???时 g(x) ? 0 .
故原不等式的解集为 ?0,1? .
?2 ? ax, x ? 0
9．（2020南充诊断，理15）已知函数 f ? x? ? ? ，若 f ?x? ? 03 2 恒成立，则实数 a的取值范围是_______．
?2x ? ax ?1, x ? 0
【答案】 ?0,3?
（1）当 x ? 0 时， f ?x? ? 2 ? 0恒成立， a?R ；
（2）当 x ? 0 时， f ?x? ? 0 2 2恒成立，即 2 ? ax ? 0 ，解得 a ? 恒成立，因为 ? ???,0?，所以 a ? 0 ；
x x
（3）当 x ? 0 时， f ?x? ? 0恒成立，即 2x3 ? ax2 ?1? 0 恒成立，即 a ? 2x 1? ，x2
令 g ?x? ? 2x 1? , ?x ? 0?，则 g??x? 2? 2 ?
x2 x3
，所以 g ?x?在 ?0,1?上单调递减；在 ?1,???上单调递增，
所以 g ?x? ? g ?1? ? 3，所以 a ? 3．综上可得 0 ? a ? 3．故答案为 ?0,3?．
考向 2 交点与零点问题
2
1．（莆田市第二次检测，理12）已知函数 f (x) 3x ?1? 3 ，若 g(x) ? f
2 (x) ? (a ? 3) f (x) ? 3a有四个不同的零点，其
x
中恰有一个为负，三个为正，则实数 a的取值范围为（ ）
A． (?2,0)? (0,2) B． (?1,e) C． (0,2) D． (?2,0)
【答案】C
27
压轴小题
设由 g(x) ? 0 得 ( f (x) ? a)( f (x) ? 3) ? 0，则 f (x) ? ?3或 f (x) ? a，又 f (x) ? 3
1 1 t 1? ? 3 ，令 ? ，则 f (t) ? ?t
3 ? 3t，
x x x
图像如下，则 f (t) ? ?3对应一个正解， f (t) ? a对应1个负解，2个正解，结合图像可知 a? (0,2) ，选C.
?1? ex , x ? 0
?
2．（2020铜仁市第二次模拟，理12）已知函数 f (x) ? ?1 ，函数 g(x) ? k(x ?1)2 ，若方程 f (x) ? g(x) 恰
? x ? 2x, x ? 0?2
好有三个实数解，则实数 k的取值范围为（ ）
A． ??1? 5,0? B． ?0,1? 5 ? C． ?0,3 ? 5?? D． ?0,3? 5 ?
【答案】D
由题意，作图如图，方程 f (x) ? g(x) 恰好有三个实数解就转化为求曲线 y ? f (x) 与直线 y ? g(x) 恰有三个不同
交点时，求实数 k 的取值范围，直线 y ? g(x) 过点 (1,0)，斜率为 k，当 x ? 0 时， f ?(x) ? x ? 2 ，设直线 y ? g(x)
? 1 2 ? ? 1 2 ?
与曲线 y ? f (x) 相切时切点坐标为 ? x0 , x0 ? 2x0 ?，则切线方程为 y ? ? x0 ? 2x0 ? ? (x0 ? 2)(x ? x0 )，把点 (1,0)
? 2 ? ? 2 ?
代入方程可得 x0 ?1? 5 或 x0 ?1? 5 （舍），此时 k ? 3? 5 ，由图知所求的范围为 (0,3? 5) ，所以选D.
?? log2 x ? 2 ,0 ? x ?1
3．（2020深圳线下调研，文12）已知函数 f ?x? ? ? 若存在互不相等的正实数 x1 ， x2 ， x3 ，满足
??3? x , x ?1
f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ?，其中 x1 ? x2 ? x3 ，则 x3 ? f ?x1 ?的最大值为（ ）
A 1． B．4 C．9 D．36
4
【答案】B
【解法1】（图象＋求导）作图，如图所示，可得 0 ? f ?x3 ?? 2 ，? x3 ? ?1,9?，
? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ?，? x3 ? f ? x1 ? ? x3 ? f ? x3 ? ? x3 ?3? x3 ?，
令 t ? x3 ，?令 g ?x? ? x ? f ?x ?，则 g ?t ? ? x ? f ? x ? ? x ?3? x ? ? ?t33 1 3 1 3 3 ? 3t 2 ， t? ?1,3?，
? g ??t ? ? ?3t 2 ? 6t，?当 t ? 2 时， g ?t ?max ? 4 .
?1 1 ? ? 3
3
?
【解法2】（均值不等式） x3 ? f ? x1 ? ? x3 ?3? x3 ? ? 4 ? x2 3 ? x3 ?3? x3 ?? ? 4? ? ? 4 .? 2 ? ? 3 ?
28
压轴小题
4．（THUSSAT2020年5月诊断，理12）设 f (x) 为定义在[-1,1]上的偶函数，当 x?[0,1]时， f (x) = 1-2x ，则方
2
程 f ( f (x)) x= 的实数解的个数为（ ）
2
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
2
由题： f ( f (x))和 g(x) x= 为偶函数， f ( f (0)) = f (1) =1，g(0) = 0 ，故 0 不是方程的解.下只用考虑 x> 0 的
2
2 2
情形即可：方程 f ( f (x)) = 1- 2 1 x x- 2x = 等价于 2 1- 2x -1= ± ，其中 x> 0 ，
2 2
2 2
数形结合得： y= 2 1- 2x -1 y x y= 2 1- 2x -1 y x与 = 有两个交点， 与 = - 有两个交点，
2 2
2
故方程 f ( f (x)) x= 的实数解的个数为8.
2
ln x ? 2,0 ? x ? 1
5．（石家庄模拟，文12）已知函数 f x
?
( ) 对于任意 x? R ，均满足 f (x) ? f (2 ? x) ，当 x ? 1时，f (x) ? ? x ，
?e , x ? 0
（其中e为自然对数的底数），若存在实数 a， b， c， d（ a ? b ? c ? d ）满足 f (a) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) ，则
(a ? b ? c ? d)b ? ea的取值范围为（ ）
? 4
A. ? ?1,4
? ?4 1, 4 ? ? 4? B. ? ? 2 ? C. ? 2 , 4
? ? 4 ?
e e e e ?
D. 2ln 2 ?1,
? ? ? ? ? ? ?? e2 ??
【答案】D.
由 f ?x? ? f ?2 ? x?知 f ?x?关于 x ? 1对称，如图，因此 a ? d ? b ? c ? 2 ，
所以 a ? b ? c ? d ? 4，又因为 f ?a? ? f ?b?，所以 ea ? lnb ? 2 ，
因此 ?a ? b ? c ? d ?b ? ea ? 4b ? lnb 2 1 1? ，由题意知 2 ? b ? ，e e
令 g ?b? ? 4b ? lnb 1 1? 2?? ? b ?
?
?， g ??b? ? 4
1 4b ?1
? ? ，令 g??b? ? 0 1得 b ? ，
? e2 e ? b b 4
g ?b? ? 1 , 1 ? ? 1 1 ? ? 1 ?故 在 ? 2 ?上单调递减，在 ? ,e 4 4 e ?上单调递增，故 g ?b? ? g ? ? 2ln 2 ?1，? ? ? ? min ? 4 ??
g ? 1 ? 4 g ?1 ? 4 1 g ? 1 ? g ? 1 ? 4 4
2
由 ? 2 ? ? 2 ， ? ? ? ? ，则 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? 1
4 ?e ?4e
? ? 0 ，
? e ? e ? e ? e ? e ? ? e ? e e e2
?
故 g ?b???2ln 2
4
?1, ?
e2 ?
，故选D.
? ?
6．（2020高三石家庄5月模拟，理11）已知函数 f (x) 对于任意 x?R，均满足 f (x) ? f (2 ? x) ，当 x ? 1时，
29
压轴小题
?ln x, 0 ? x ?1
f (x) ? ? （其中 ex 为自然对数的底数），若函数 g(x) ?m x ? 2? f (x) ，下列有关函数 g (x) 的零点个
?e , x ? 0
数问题中正确的为
A．若 g (x) 恰有两个零点，则m ? 0
3
B．若 g (x) 恰有三个零点，则 ? m ? e
2
C．若 g (x) 恰有四个零点，则 0 ? m ? 1
D．不存在m，使得 g (x) 恰有四个零点
【答案】B.
由 f ?x? ? f ?2 ? x?知 f ?x?关于 x ? 1对称，如图，令 g ?x? ? 0 ，即m x ? 2 ? f ?x?，设 h?x? ?m x ? 2，当 x ? 0
ln x ? 2
时，h?x? ? mx ? 2，设 h?x?与 y ? ln x?x ?1?相切时的切点为 P?
1
x0 , ln x0 ?，y?
1 0 ? 1? ，则有
x x0 x
，解得 x0 ? ，
0 e
此时m
1
? ? e，当 h?x?过点 ?2,1x ?
3
时，m ? ，故B选项正确.若 g ?x?恰有两个零点，则m ? 0 或m ? e ，故A选
0 2
3
项错误；若 g ?x?恰有四个零点，则 0 ? m ? ，故C、D选项错误.故选B.
2
7．（THUSSAT2020年5月诊断，文12）已知m，n， p?R，若三次函数 f (x) ? x3 ?mx2 ? nx ? p有三个零点 a，b ，
c，且满足 f (?1) ? f (1) 3? ， f (0) ? f (2) 2 1 1 1? ，则 ? ? 的取值范围是( )
2 a b c
A ? 1 ,1? B ? 1 , 1 ? C ? 1 , 1 ? ? 1 1 ?． ? ? ． ? ? ．3 4 3 ? ?
D． ? , ?
? ? ? ? ? 4 2 ? ? 3 2 ?
【答案】D．
由条件可知 f (x) ? x3 ?mx2 ? nx ? p ? (x ? a)(x ? b)(x ? c)，注意到左右两侧 x与常数项的系数相等，
? ab ? bc ? ca ? n， abc ? ?p（本质是三次方程的韦达定理），由 f (?1) ? f (1) 3? ， f (0) ? f (2) ? 2，可得
2
?1? m ? n ? p ?1? m ? n ? p 3? ， p ? 8 ? 4m ? 2n ? p ? 2 ，解得 n ? ?1，m 3? ? ， 2 ? p ? 3，
2 2
1 1 1 ab ? bc ? ca 1 1 1
? ? ? ? ? ? ? , ?．
a b c abc p ? 3 2 ?? ?
? ln x ,0 ? x ? e
8．（2020届湘赣皖.长郡十五校高三二联，文12）已知函数 f (x) ? ?? ，若存在 0 ? a ? b ? c ，使得
???x ? e ?1, x ? e
f (a) ? f (b) ? f (c)，则 Z ? a ? b ? c 的最小值为（ ）
A． 3 ? ln 3 ?1 ? e ?1 B．1
2
C 5 ?1． 5 ? ln ? e ?1 D．无最小值
2
【答案】C
因为 f (a) ? f (b) ? f (c)，所以 ln | a |? ln | b |? ?c ? e ?1，易知 0 ? a ? 1? b ? e ? c
30
压轴小题
1
所以 ? ln a ? ln b ? ?c ? e ? 1，所以 a ? ， c ? ? ln b ? e ?1，
b
所以 a ? b ? c 1? ? b ? lnb ? e ?1(1? b ? e)，设 g(x) ? x 1? ? ln x ? e ?1(1? x ? e)，则
b x
? 1? 5 ??x x 1? 5
?
?? ? ???? ?2 2 ??
g ?(x) 1 1 1 x ? x ?1? ? ? ? ? ? ??
2 ? ?1,1? 5
? ?1? 5 ?
2 ，所以 g (x) 在 ? ?上递减，在 ? ,e?上递增，x x x2 x2 ? 2 ? ? 2 ?? ? ? ?
? 5 ?1?g(x) g 5 ln 5 ?1所以 min ? ?? ?? ? ? ? e ?1，选C.
? 2 ? 2
??f ?x? ? ?x ?1
2 ? 2, x ? 0
9．（池州五月检测，文12）已知函数 ?
? ? ?
? ，若方程 f ?x? ? a有四个不同的解 x1 ，x2 ，x3 ，
?? log2 x ,?x ? 0?
x 2
1
4 ，且 x1 ? x2 ? x ? x ，则 x3 ? x4 ?3 4 x 23 ?x1 ? x ?
的取值范围是
2
? 7 , 1 ? ? 3 , 7? ? ? ? ? ? 7 1 ? ? 31 3?A． ? ? B． ? C． ? ,?4 2 ?
D． ?? ,?
? ? ? 2 4?? ?? 4 2 ? ? 4 2??
【答案】D
?x1 ? x2 ? ?2
? ?x ? 2?a 1 1 1
由题意得 ?? log2 x ? a?
? 3 ? x 2 ? x ? ? 2?2a ? 2a ? ? 2?a? a ， 3 4 2 ?2a ? ?2a
? log x ? a ??
x4 ? 2 x3 ?x1 ? x2 ? 2 ? ??2? 2 ? 2
? 2 4
?a 1 1 1 1令 2 ? t，由图知1 ? a ? 2 ，所以 ? t ? '，构造函数 h?t ? ? t ? 2 ，求导知 h ?t ? ?1? 3 ? ?，所以 h?t ?在4 2 2t t
1 1 ? 1 1 ? 31 3 1 31 3
? t ? ? ? ? ?单调递增，所以 h?t ???h? ? ,h? ?? ?
?? ,? ? x 2? ?即 3 ? x4 ?
? ?
x 2 ?x ? x ?的范围是 ? ,?4 2 ? ? 4 ? ? 2 ??? ? 4 2? 3 1 2 ? 4 2??
??x,?0 ? x ? 2?
10．（湖北八校第二次联考，理15）已知函数 f ?x? ? ? x? ?，若存在实数 1，
x 满足 0 ? x
2ln x, 2 ? x ? 4 2 1
? x2 ? 4，且
??
f ?x1 ? ? f ?x2 ?，则 x2 ? x1的最大值为_______.
【答案】 e ? 2
x1 ? n x2 ? , ，?0 ? ln x2 ?1，即1? x2 ? e，又 x2 ? 2，?2 ? x2 ? e此时 x2 ? x1=x2 ? 2ln x2，构
造函数 g ?x? ? x ? 2ln x，以判断函数 g ?x?在 x??2,e?上单调递增，即 x2 ? x1=g ?x? ? g ?e? ? e ? 2max
?ex , x ? 0 1
11．（2020马鞍山二模，理15）已知函数 f (x) ? ? ， g(x) ? f (x) ? 2 x ? b（ e为自然对数的底数），若函
?ln x, x ? 0 e
数 g (x) 有且只有三个零点，则实数 b 的值为_______.
3
【答案】
e2
或1
令 g(x) ? 0 ，则 f (x)
1 x 1? 2 ? b，作出 y ? 2 x ? b与 y ? f (x) 的图像如图：e e
31
压轴小题
?
?y1 ? ln x? 1
1
①由图可知，当直线 y
1
? x ?? b过 (0,1) 且与 y ? ln x相切时，满足条件，此时设切点为 (x1, y1) ，则 ?y1 ? 2 x1 ? b，e2 ? e
? 1 1
? ? 2
? x1 e
解得 b ? 1；
?
?y2 ? e
x2
?
y 1 ?
1 3
②当直线 ? 2 x ? b与 y ? e
x 相切时，满足条件，此时设切点为 (x2 , y2 ) ，则 ?y2 ? 2 x2 ? b，解得 b ? 2 .e ? e e
?ex 12? ?? e2
3
综上所述，实数 b 的值为：
e2
或1.
??log2 x,0 ? x ? a12．（宁德质检，文16）已知函数 f ?x? ? ? ，若存在实数m，使得方程 f ?x? ?m ? 02 有两个不相等的??x ? 2x ?1, x ? a
实数根，则 a的取值范围是_________.
【答案】(0,1)?(1,2)
由题意知，即存在实数m，使函数 y = f (x)的图象与直线 y = m有两个不同交点，
如图所示，易知 0 < a <1或1< a < 2符合题意.
13．（2020年济宁5月模拟，16）设 f ?x?是定义在R上的偶函数，?x?R ，都有 f ?2 ? x? ? f ?2 ? x?，且当 x??0,2?
时， f ?x? ? 2x ? 2 .若函数 g ?x? ? f ?x? ? loga ?x ?1?（ a ? 0 且 a ? 1）在区间 ??1,9?内恰有三个不同零点，则实数
a的取值范围是_______.
? 1 1 ?
【答案】 ? , ? ?9 5 ? 3, 7 ?? ?
因为 f ?x? 是定义在 R 上的偶函数，则 f ??x? ? f ?x?，又 f ?2 ? x? ? f ?2 ? x? ，则 f ??x? ? f ?4? x? ，所以
f ?x? ? f ?4? x?，所以函数 f ?x?是以4为周期的函数，作出 y ? f ?x?及 y ? loga ?x ?1?在区间 ??1,9?的图象如图
所示，
? y ? y ?2 ? log 3
（1）当 a ? 1时，此时，恰有三个不同零点，则 A B? ，即
a
? ，解得 3 ? a ? 7 ，
?yD ? yC ?loga 7 ? 2
32
压轴小题
? yA ? y（2）当 0 ? a ? 1 时，此时，恰有三个不同零点，则 B
?log 5 ? ?1 1 1
? ，即
a
? ，解得 ? a ? ，
?yD ? yC ?loga 9 ? ?1 9 5
综上实数 a ? 1 , 1 ?的取值范围是 ? ? ? ? 3, 7 ? .
? 9 5 ?
? xex?1, x ? 0
?
14．（宁德质检，理16） 2如图，已知函数 f ?x? ? ? 2x 若关于 x的不等式 f ?x? ? 2af ?x? ? 2 ? a ? 0的解非空，
? , x ? 0? x2 ?1
且为有限集，则实数 a的取值集合为_________.
【答案】 a ???1,3?
当 x ? 0 时 f ??x? ? ?x ?1?ex?1 ，所以 f ?x?在 ???,?1?上单调递减， ??1,0?上单调递增，
f ? x? 2?
当 x ? 0 时 x ? 1 ，易得
f ?x?在 ?0,1?上单调递增， ?1,+??单调递减.
x
画出 f ?x?草图：
f 2 ?x? ? 2af ?x? ? 2 ? a ? 0， ?=4a2 ? 4a ? 8 ， ? ? 0 ，即 a2 ? a ? 2 ? 0 ，解得 a ? ?1或者 a ? 2 ，
①当 ?=0 时 a ? ?1， a ? 2 ， a : a ? ?1时 f ?x? ? ?1，只有一个解，b : a ? 2 时 f ?x? ? 2 无解，
所以 a ? ?1
②当 ? ? 0解得 a ? ?1， a ? 2 ， a ? a2 ? a ? 2 ? f ?x? ? a ? a2 ? a ? 2 ，
a :当 a ? ?1时 a ? a2 ? a ? 2 ? ?1，要符合题意必有 a ? a2 ? a ? 2 ? ?1无符合要求的解，
b :当 a ? 2 时 a ? a2 ? a ? 2 ? 2 ，要符合题意必要有 a ? a2 ? a ? 2 ?1解得 a ? 3 ，
综上 a ???1,3? .
15．（广东一模，文16）函数 f (x) ? sin ?x ? a cos?x 满足 f (x) ? f ? 1? ? x
?
? ，当 x?
?
?0,
3?
时，方程 f (x) ?m ? 0 恰有
? 3 ? ? 2??
两个不等相等的实数根，则实数m的取值范围为_______.
【答案】 ??2，?1?? ?? 3，2?
33
压轴小题
f (x) ? sin ?x ? a cos?x ? a2 ?1sin(?x ?? )， tan? ? a，
f (x) ? f ? 1 ?由 ? ? x ? 知 f (x) 的对称轴 x
1
? ，又因为 f (x) 在对称轴上取得最值，
? 3 ? 6
所以 f ? 1 ?? ? ? a
2 ?1sin ? 1 ? ?? ? 2 ? ?? ? ? ? a ?1
? ?
，当 sin ? ?? ? ?1时，? ? ，
? 6 ? ? 6 ? ? 6 ? 3
此时 tan? ? a ? 3 2? T 1， f (x)max ? 2 ， f (x)min ? ?2 ，又周期T ? ? 2 ，所以 ? ，? 4 2
1 1 1 2 1 1 1
又对称轴与对称中心的距离最少相差 个周期，所以 ? ? ， ? ? ? ，
4 6 2 3 6 2 3
当 x ? 0 时， f (0) ? a2 1sin ? 3 x 3
3
? ? ? ?，当 ? 时， f 2? ? ? a ?1sin
? 3 ?? ? ? ? ?1
3 2 ? 2 ?? ? 2 3 ??
依题意，可得 f (x) 的大致图像如图，所以，要使得方程 f (x) ?m ? 0 恰有两个不等相等的实数根，即 f (x) 的图
像与 y ? m有两个不同的交点，所以m的取值范围为 ??2,?1?? ?? 3,2? .
考向 3 导数及其应用
x
1．（2020湖南金太阳理科12）已知函数 f ? x? ? ? 1 ?? ? ? x ? m，g ?x? ? x4 ? 2x3 ? x2 ? 2x ? 3，若?x1 ?R ，?x2 ? ?0,1?，
? 2 ?
f ?x2 ?＜g ?x1 ?，则m的取值范围为
A ? 5 ? ? 5?． ???, ? B． ???, ? C． ???,1? D． ???,1?? 2 ? ? 2?
【答案】A
x x
?x1 ?R
1 1
，?x ? ? ? ?2 ? ?0,1?， f ?x2 ?＜g ?x1 ?的问题等价于 f ?x? ＜ g ?x? ， f ? x? ? ? ? ? x ? m中 ? ? 在 ?0,1min min ?上? 2 ? ? 2 ?
x
单调递减， ? x在 ?0,1?上也是单调递减，故 f ? x? 1? ? ?? ? ? x ? m在 ?0,1?上单调递减，即值域为
? 2 ?
?m 1? ,m ?1? , g??x? ? 4x3 ? 6x2 ? 2x ? 2 ? 2?2x3? ? ? 3x2 ? x ?1? ? 2?2x ?1??x2 ? x ?1?，令 g ??x?=0 ，得 g ?x?在
? 2 ?
? 1? 5 ? ? 1 1? 5 ? ?1? 5 1 ? ?1? 5 ? 1? 5
????， ??， ?? ， ??上单调递减，2 2 2 ??
，
2 2 ??
， ?? ，????上单调递增，在 x ? 处取得极小值，
? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2
?1? 5 ? 1 5 2
即最小值， g ?? ??=2 ，所以m ? ＜2，得m＜ ，或 g ?x? ? x
4 ? 2x3 ? x2 ? 2x ? 3= = ? x2 ? x ?12 ? ? 2，当? ? 2 2
? 2x2 ? x ?1? =0时， g ?x?取最小值2
2．（重庆康德二诊，理16）若曲线 y ? ax ? 2cos x上存在两条切线相互垂直，则实数 a的取值范围是_______.
【答案】 ? ? 3, 3?? ? .
34
压轴小题
因为 y? ? a ? 2sin x??a ? 2,a ? 2?，由题知在区间 ?a ? 2,a ? 2?内存在两数之积为 ?1，故只需 ?a ? 2??a ? 2? ? ?1，
即 ? 3 ? a ? 3 ．
3.（芜湖二模，理16）若不等式 a sin x ? sin 3x 1? ? 0对任意 x? ?0,??恒成立，则实数 a的取值范围为_______.
8
? 9 ?
【答案】 ?? ?，?
? 4??
1
当 x ? 0 或 ? 时，原不等式恒成立；当 x? ?0,?? ? sin 3x，可变形得 a ? 8 ? 4sin 2 x 1? ? 3，
sin x 8sin x
2
t ? sin x? ?0.1? g?t? 1? 4t 2 ? ? 3 g '?t? 8t 1 ?4t ?1??16t ? 4t ?1? ? 1 ?令 ， ， ? ? ? t? 0,
8t 2 2
， ? 4 ?
， g '?t ? ? 0 ， g ?t ? ?；
8t 8t ? ?
t ? 1? ?? ,1?，g '?t ? ? 0 g ?t ? g?t?? g
? 1 ? 9? ? a g?t? 9 ?? 2 1 ?， ；故 ? ? ， ? min ，?a ? ? ，另解：a ? ?4sin x ? ? 3? ，? 4 ? ? 4 ? 4 4 ? 8sin x ?min
1
4sin2 x 1 3 4sin2 x 1 1 3 1 1 9? ? ? ? ? ? ? 33 4sin2 x ? ? ? 3 ? ? ，（当且仅当 sin x ? 时
8sin x 16sin x 16sin x 16sin x 16sin x 4 4
取得）.
1
4．（2020宜春模拟，理16） x ? m ln x ? ? xm已知不等式 x 对 x? (1,??) 恒成立，则实数m的最小值为_________.e
【答案】 ?e
m
不等式 x ? m ln x ? x ? x 对 x? (1,??)
1 m
恒成立，即 x ? x ? x ?m ln x ? x
m ? ln xm对 x? (1,??) 恒成立，
e e
即 e? x ? ln e? x ? xm ? ln xm 对 x? (1,??) 恒成立，设函数 f (x) ? x ? ln x ，则 f ?(x) 1
1 x ?1
? ? ? ，
x x
当 0 ? x ? 1， f ?(x) ? 0 ， f (x) 在 (0,1) 上单调递减；当 x ? 1时， f ?(x) ? 0 ， f (x) 在 (1,??)上单调递增.
1
所以 f (e?x ) ? f (xm )对 x? (1,??) ?x
? ?
恒成立，当 x ? 1时， e ??0, e ?
，由题易知m ? 0 ，
? ?
? xm ?(0,1) ，?要使 f (e?x ) ? f (xm )对 x? (1,??) 恒成立，只需 e? x ? xm ，
?x
不等式两边同取以 e为底的对数，可得 ?x ? m ln x，? m ? 对 x? (1,??) 恒成立，
ln x
1? ln x
设函数 g(x)
?x
? ，则 g ?(x) ?
ln x (ln x)2
，
当 x??1,e?时， g?(x) ? 0， g (x) 在 ?1,e?上单调递增；当 x??e,???时， g?(x) ? 0， g (x) 在 ?e,???上单调递减，
? g (x)max ? g (e) ? ?e ，? m ? ?e ，即m的最小值为 ?e .
35
压轴小题
考向 4 构造函数
1．（池州5月检测，理12）已知定义在R上的函数 f ?x?，其导函数为 f '?x?，若 f ?x? ? f ?? x?? 2sin x .且当 x ? 0 时，
f ??x? ? cos x ? 0 ? ? ?，则不等式 f ? x ? ? ? f ?x? ? sin x ? cos x的解集为（ ）
? 2 ?
A ? ??? ? B ? ? ? ?． ? ， ? ． ? ，? ?
? C ?? ． ? ??，?
? D ?． ? ? ??，
? 2 ? ? 2 ? ? 4 ? ? 4 ?? ? ?
【答案】C
令 g ?x? ? f ?x?? sin x， g '?x? ? f '?x?? cos x ? 0 ，所以 g ?x? ? f ?x?? sin x在R上单调递减，
f ?? x
?
? ?? ? f ?x? ? sin x ? cos x ? g
?
? x
?
? ?? ? g ??x? ? x
? ?
? ? ?x? x ? ?
? 2 ? ? 2 ? 2 4
? ? ? ? ? ?
所以不等式 f ? x ? ? ? f ?x? ? sin x ? cos x的解集为 ? ??，? ?，故选C.
? 2 ? ? 4 ?
? ?
2．（2020马鞍山二模，文12）已知函数 f ?x?的定义域为 ? ? ,
? ?
?， f ' ?x?是 f ?x?2 2 的导函数，若? ?
f ??x?cos x ? f ?x?sin x ? 0 ，则关于 x的不等式 f ? x? ?? 2 f ? ?? ?cos x的解集为（ ）
? 4 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
A． ? ? , ? B． ? ? , ? C． ? , ? D． ? ? , ? ,
? 2 4 ? ? 4 4 ? ? 4 2 ? ? 2 4 ? ?? ? 4 2 ??
【答案】C
? f ??x?cos x ? f ?x?sin x ? 0 f ? x? ? ? ? ? ?，?构造函数 g ? x? ? ，? g x ?， f ? x? ? 2 f ? ? ? cos x，
cos x ? 4 ?
? ? ? ? ? ?
f ?x? f ? ? f ? ?
? ? 4 ? ? ? 4 ? g ? x ? ? g ? ? ?，即 ? ?，? x
? ? , ?? ?
cos x 2 cos ?
? ?
? 4 ? ? 4 2 ?
2 4
3 ? ? ? ? ? ? ?．（广东一模，理12）已知 f (x) 是定义在 ?? , ?上的奇函数， f (1) ? 0，且当 x??0, ?时， f (x) ? f ?(x) tan x ? 0 ，
? 2 2 ? ? 2 ?
则不等式 f (x) ? 0的解集为（ ）
A． (?1,0) ? ?1, ? ?? ? B． (?1,0)? (0,1)
? 2 ?
C ? ? , 1?? ?1, ? ?． ?? ?
? ? ?
? ? ? D． ?? ,?1?? (0,1)
? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?
【答案】D
构造函数 F (x) ? f (x)sin x， F ?(x) ? f ?(x)sin x ? f (x)cos x ? cos x? f ?(x) tan x ?? f (x)? ? ?.当 x??0, ?时，因为
? 2 ?
cos x ? 0，f (x) ? f ?(x) tan x ? 0 ，所以 F ?(x) ? 0 ，F (x)单调递增.又 F (1) ? f (1)sin1? 0 ，则当 x? (0,1) 时，F (x) ? 0 ，
x ?1, ?? ?当 ? ?时，F (x) ? 0 ；而 f (x)
? ? ? ?
是定义在 ?? , ?上的奇函数，所以 F (x) ? f (x)sin x
? ? ? ?
在
2 2 2 ?
? , ?上是偶函数，
? ? ? ? ? 2 2 ?
? ? F (x) ? 0 F (x) ? 0
所以当 x??? ,?1
?
?时， F (x) ? 0，当 x? (?1,0)时， F (x) ? 0
? ?
. f (x)
F(x)
? ? 0 ? 或
2 x ?sin x ? 0 ? x
，解得
? ? sin ? ?sin ? 0
x?? ??? ,?1
?
? ? (0,1) ，故选项D正确.
? 2 ?
36
压轴小题
解析几何
考向 1 离心率问题
1．（东北三省四市二模，理12）设椭圆C的两焦点为 F1 ， F2 ，焦距为 2c，过点 F1 的直线与椭圆C交于 P，Q两
点，若 PF2 ? 2c
4
，且 PF1 ? QF1 ，则椭圆C的离心率为（ ）3
A 1． B 3 5 2． C． D．
2 4 7 3
【答案】C
利用椭圆定义构造三角形解形，设 |QF1 |? 3k，则 | PF1 |? 4k ，PF2 ? 2c，|QF2 |? 2a ? 3k ，过点 F2 作 F2H ? PQ，
则 PH ? 2k，双勾股定理，得 (2a ? 3k)2 ? (5k)2 ? (2c)2 ? (2k)2 ，点 P在椭圆上，故 | PF1 | ? | PF2 |? 4k ? 2c ? 2a，
5
联立方程解得椭圆C的离心率为
7
2．（宁德质检，文12）已知双曲线C的两个顶点分别为 A1， A2 ，若C的渐近线上存在点 P，使得 PA1 ? 2 PA2 ，
则C的离心率的取值范围是
A． ?1,3? B． ?3,??? C． ?1,2? D． ?2,???
【答案】A
设点 P x, y ，由 PA1 ? 2 PA2 得，(x + a)2 + y 2 = 2(x - a)2 + 2y 2 ，即 x2 - 6ax + y2 + a2 = 0 ，又点 P在C的渐近
y b
3ab
线上，由对称性，不妨取 = x，则直线与圆有公共点，所以 ? 2 2a
a 2 2
，得9b2 ? 8c2 ，即 c2 ? 9a2 ，所
a +b
以1< e ? 3，故选项A正确.
x2 2 2
3．（湖北八校联考，文12）已知椭圆C : ? y21 ?1和双曲线C :
x y
4 2 2 ? 2 ?1(a ? 0,b ? 0)
，点 P是椭圆上任意一点，
a b
且点 P到双曲线C2 的两条渐近线的距离的平方和为定值，则双曲线C2 的离心率为
A 5． B． 5 C． 3 D．2
2
【答案】A
37
压轴小题
b
【解法1】设 P(x, y)，双曲线的两条渐近线方程为 y ? ? x，设点 P到这两条渐近线的距离的距离分别为 d
a 1
，d2 ，
2?b2 2 2 ? 12 2 2?b2x2 ? a2 y2 ? ? x ? a ?1? x
2 ?? ? 2 1 2 2 2 ?
则 2 2 ? bx ? ay ? ? bx ? ay ?
?? 2? (b ? a )x ? a4 ?
d ? d ? ? ? ? ? ? ??? ? 4 ?1 2 ? ? ? ?2 2 2 2 a2 ? b2 c2? a ? b ? ? a ? b ? c
2
1 c b22 2 1 5
要使得上式为定值，则必须 x2 的系数为0，故 b ? a ，所以4 e ? ? 1? ? 1? ?a a2 4 2
【解法2】特值法，分别取点 P为椭圆的右顶点 (2,0)和上顶点 (0,1)，
2 2
? 2b ? ? 2b ? 8b2 8b2
当点 P为 (2,0)时， d 2 21 ? d2 ? ? ? ? ? ? ? ? ；
? a2
2 2 2
? b2 ? ? a2 ? b2 ? a ? b c
2 2
? ? ? ?
(0,1) 2 2 a ad d 2a
2 2a2
当点 P为 时， 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ;
? a2 ? b2 ? ? a2 ? b2 ? a ? b c
8b2 2a2 2 1 c b22 1 5
依题意， ? ，故 b ? a2 2 ，所以4 e ? ? 1? 2 ? 1? ?
.
c c a a 4 2
2 2
4．（长郡十五校高三第二次联考，理11）已知 F1(?c,0)、F2 (c,0) C :
x y
是双曲线 2 ? 2 ?1的左、右焦点， Fa b 1
关于双
曲线的一条渐近线的对称点为 P，且点 P在抛物线 y2 ? 4cx上，则双曲线的离心率为（ ）
A． 2 ?1 B 2 C 5 D 5+1． ． ．
2
【答案】D
△F1PF
b a
2 中， PF1 ? 2b, PF2 ? 2a， tan?F1F2P ? ，?cos?F1F2P ? ，?F1F2 ? PF2 ? PF2 cos?F1F P，a c 2
? 2c ? 2a ? 2acos?FF P，?e2 e 1 0 e 5 ?11 2 ? ? ? ，? ? 2
2 2
5 x y．（宁德质检，理12）双曲线C : 2 ? 2 ?1?a ? b ? 0 ?的左右焦点分别为 F1， F2 ，O为坐标原点， P为曲线C右a b
?????? ?????
支上一点，点M 在?F1PF2 外角平分线上，且 F2M ?PM ? 0 ，若△OF2M 恰为顶角为120
?的等腰三角形，则双
曲线的离心率为（ ）
A 2 3 B 4 3． ． C． 2 D． 3
3
【答案】D
38
压轴小题
由题意可得 PF2 ? PN， PF1 ? PF2 ? 2a，又△OF2M 恰为顶角为120?的等腰三角形，所以OM ? 3OF2 ? 3c，
又O为 F1F2 中点M 为 NF2 中点，所以 F1N ? 2 3c ? PF1 ? PF2 ，所以 PF1 ? 3c ? a，PF2 ? 3c ? a，?PF1F2 ? 30
?，
3 ?
2
3c ? a ? ? 4c 2 ? ? 23c ? a ?
在△PF1F2 由余弦定理可得 = ，解得 c ? 3a，所以2 ? ? e ? 32 3c ? a ?2c ?
x2 y26．（莆田市第二次检测，理 11）已知双曲线C : 2 ? 2 ?1(a ? 0,b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，过双曲线C 上a b
8 ? 1
3
?
任意一点 P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为 A，B， | PA | ? | PB |? ， | F1F |等于 29 2 ?
2x ? ? 展开式
? x ?
的常数项，则双曲线C的离心率为
A．3 B 3 2 3 2 3 2．3 或 C． D． 2 2 或
4 4 4
【答案】B
设 P(x0 , y0 )，P到渐近线 bx ? ay 0 PA
| bx0 ? ay0 | | bx ? ay |? 的距离 | |? ，P到渐近线 bx ? ay ? 0 的距离 | PB |? 0 0 ，
c c
b2x2 2 2 2 2
则 | PA | ? | PB 0 ? a y| a b 8 ab 2 2? 0 ? ? ，则 ? ，又 2c ? C 23 ?2 ? 6 ， c ? 32 2 ， ab ? 2 2 ，又 a
2 ? b2 ? c2，解
c c 9 c 3
3 2
得 a ? 2 2 或 1，故 e ? 或 3，选 B.
4
2 2
7．（池州五月检测，文11）已知椭圆 E : x y? ?1?a ? 0,b ? 0 ?的左右焦点分别为 F ， F ，若在椭圆上存在点 P，
a2 b2 1 2
使得 PF ? PF ，则椭圆的离心率的取值范围为1 2
? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?A． ? ,1?? B． ??0, C
1
． ? ?
2 2 ?? ?
,1?? D． ? ,1
? ? ? ? ? 2 2
?
? ? ?
【答案】A
? 2 ?
由 PF1 ? PF 得2 OP ? F1F2 ? c ? b，所以2 c
2 ? a2 ? c2 易得 e?? ,1
? 2 ?
?
?
2 2
8．（2020深圳线下调研，理16）已知点 F ， F ，分别为双曲线1 2 C :
x y
2 ? 2 ?1（ a ? 0 ， b ? 0 ）左、右焦点，点a b
M ?x0 , y0 ? (x ? 0) 为C的渐近线与圆 x2 ? y2 ? a2 的一个交点，O为坐标原点，若直线0 FM 与C的右支交于点1 N，
且 MN ? NF2 ? OF2 ，则双曲线C的离心率为_______.
39
压轴小题
5
【答案】
4
直线 FM 与圆相切于点M ，且1 F1M ? b
由双曲线定义可知： 2a ? NF1 ? NF2 ? MN ? MF1 ? NF2 ? MF1 ? OF2 ? b ? c
c 5
又 b2 ? c2 ? a2 ，所以双曲线的离心率 e ? ?a 4
.
2 2
9 x y．（2020深圳线下调研，文16）设 F 为双曲线C： ? ? 1（ a ? 0 ，b ? 0 ）的左焦点，过 F 作圆 x2 ? y2 ? a2
a2 b2
M y b的切线，切点为 ，切线与渐近线 ? x相交于点 N，若 MN ? 2 MF ，则C的离心率为_______.
a
【答案】 3
MN
【解法1】（离心率几何意义求解，速解）设 ?MOF ? ? ，则 ?MON ? ? ? 2? ，? tan?MON ? ，即
OM
tan ?? ? 2? ? 2b? ，? 2a2 ? b2 ，∴ e ? 3 .
a
【解法2】（找关系求解，一般解法）设?MFO ?? ，? OF ? c， OM ? a，? MF ? b， MN ? 2b .
b a 3b2 ? c2? cos? ? ， sin? 3ab? ，? x
c c N
? ， yN ? .c c
b
又点 N在直线 y ? x上，?整理得3a2 ? c2 ，又? e ?1，? e ? 3 .
a
考向 2 轨迹问题
1．（2020佛山二模，理12）双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布 ?伯努利用来描述他所发现的曲线，在平面直
角坐标系 xOy 中，把到定点 F1(?a,0) ， F
2
2 (a,0) 距离之积等于 a (a ? 0) 的点的轨迹称为双钮线 C ，已知点
P(x0 , y0 )是双钮线C上一点，下列说法中正确的有（ ）
a a
①双钮线C关于原点O中心对称； ② ? ? y0 ? ；2 2
③双钮线C上满足 | PF1 |?| PF2 |的点 P有两个；④ | PO |的最大值为 2a .
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③
【答案】B.
在曲线C上任取一点 P(x, y)，则由题意得 | PA | ? | PB |? a2 ，即 | PA |2 ? | PB |2? a4 ，所以
??x ? a?2? ? y
2 ?
????(x ? a)
2 ? y2 ?? ? a
4 ，整理得： x4 ? (2y2 ? 2a2 )x2 ? y4 ? 2a2 y2 ? 0 （1），化为极坐标方程得：
? 2 ? 2a2 cos 2? （2）.
（思路一）：由方程（1）知①正确，排除C,由方程（2）知④正确，排除A、D，故选B.
40
压轴小题
（思路二）：①：在（1）式中同时将 x换成 ?x，将 y换成 ?y，方程不变，所以曲线关于原点O中心对称，
故①正确；
2
②: a a a（解法一）在（1）中，由 ? ? (2y2 ? 2a2 )2 ? 4(y4 ? 2a2 y2 ) ? 4a4 ?16a2 y2 ? 0 ，得 y2 ? ，? ? ? y ? ，
4 2 2
故②正确；
（解法二）? S 1△PF F ? | F F ?| y |
1
? | PF |?| PF sin?F PF
1 2 2 1 2 0 2 1 2 1 2
2
| y | a sin?F PF a? ? 1 20 ? sin?F1PF
a ? a y a? ， ? ? ? ,故②正确；
2a 2 2 2 2
③:满足 | PF1 |?| PF2 |的点 P都在 y轴上，在（1）中，令 x ? 0 ，得 y
4 ? 2a2 y2 ? 0 ，解得 y ? 0 ，即 P(0,0) ，所以
③错误；
④:由方程（2）知④正确.
2．（湖北八校联考，文16）如图， AB是平面? 的斜线段， A为斜足，点C满足 BC =? AC ?? ? 0?，且在平面?
内运动，则有以下几个命题：
①当 ? ?1时，点C的轨迹是抛物线；
②当 ? ?1时，点C的轨迹是一条直线；
③当 ? ? 2时，点C的轨迹是圆；
④当 ? ? 2时，点C的轨迹是椭圆；
⑤当 ? ? 2时，点C的轨迹是双曲线；
其中正确的命题是_______.（将所有正确的命题序号填到横线上）
【答案】②③
当 ? ?1时，由 BC =? AC 可得 BC = AC ，所以点C的轨迹为线段 AB的中垂面（即经过线段 AB的中点且与
线段 AB垂直的平面）? 上.同时又由于点C在平面? 内，所以点C为平面? 与平面 ? 的公共点，所以点C的轨
迹为平面? 与平面 ? 的交线.
【解法1】当 ? ? 2时，由 BC =? AC 可得 BC =2 AC ，
设 B在平面? 内的射影为D，连接 BD，CD .
设 BD ? h，CD ? 2a，则 BC ? CD 2 ? h2 ，在平面? 内，以 AD所在直线为 x轴，以 AD的中点为坐标原点建
立平面直角坐标系，设C(x, y) ，则CA ? (x ? a)2 ? y2 ，CD ? (x ? a)2 ? y2 ，CB ? (x ? a)2 ? y2 ? h2 ；
2 2
所以 5 16 h(x ? a)2 ? y2 ? h2 ? 2 (x ? a)2 ? y2 ，化简可得 ? x ? a? ? y2 ? a2? ? ? ，所以点C的轨迹是圆.
? 3 ? 9 3
41
压轴小题
【解法2】当 ? ? 2时，由 BC =? AC 可得 BC =2 AC ，由阿波罗尼斯圆的定义可得，点C的轨迹是球，又由
于点C在平面? 内，所以点C为平面? 与球的公共点，所以点C的轨迹为平面? 与球的截面圆.
考向 3 解析几何综合
1．（2020宜春模拟，理12）已知抛物线C的方程为 x2 ? 4y， F 为其焦点，过点 F 的直线 l与抛物线交于 A，B两
点，且抛物线在 A， B两点处的切线分别交 x轴于 P，Q两点，则 AP ? BQ 的取值范围为( )
A． ? 1 ?? ,??? B． ?2,??? C． ?2,??? D． ?0,2?
? 2 ?
【答案】B
x2 2
设 A? x , 1 ?， B
x
? x , 2
?y ? kx ?1
1 2 ?，联立 ? ，得 2 ， ， ，4 4 2 x ? 4kx ? 4 ? 0
? x1 ? x2 ? 4k x1x2 ? ?4
? ? ? ? ?x ? 4y
1 2
抛物线C的方程可化为 y ? x2
1
，则 y? 1 x 1? ，?直线 PA : y x x
?
? 1 ? 1 ?x ? x ?，令 y ? 0 ，解得 x ? x ，1 ? P ? x1,0
?
?，4 2 4 2 1 2 ? 2 ?
? PA 1? x2 (4 ? x2 ) ，同理可得， BQ 1? x21 1 2 (4? x
2 ) ，
4 4 2
1
? AP ? BQ ? (x x 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ，
16 1 2
) (4? x1 )(4? x2 ) ? (x1x2 ) ??16? 4(x1 ? x2 )? (x16 1
x2 ) ?? ? 2 1? k ? 2
? AP ? BQ 的取值范围为 ?2,??? .
2 2
2. x y（芜湖二模，理11）已知双曲线C : 2 ? 2 ?1?a ? 0,b ? 0 ?的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，过 F1 的直线MN 与C的a b
?????? ?????? ????? ????? ??????左支交于M ,N 两点，若 F2F1 ? F2M ? ?MF1 ? 0 ， F2N ? 2 F2M ，则C的渐近线方程为
A 3． y ? ? x B． y ? ? 3x C． y 2? ? x D． y ? ? 2x
3 2
【答案】B
????? ?????? ????? ????? ?????? ????? ????? ?????
如图，设 F2F1 ? F2M ? F2P，连接 F2P交MF1于点Q，由 ?F2F1 ? F2M ? ?MF1 ? 0 ，可得 F2P ?MF1 ? 0，即 PF2 ?MF1 ，
????? ??????
四边形 F1F2MP为菱形， F2N ? 2 F2M ，所以 MF2 ? F1F2 ? 2c ， F2N ? 4c，由定义可得， MF1 ? 2c ? 2a ，
NF1 ? 4c ? 2a， MQ ? c ? a， NQ ? 5c ? 3a，由勾股定理可得：
4c2 ? ?c 1? a ?2 ?16c2 ? ?5c ? 3a ?2 ? 3c2 ? 7ac ? 2a2 ? 0 ? 3e2 ? 7e ? 2 ? 0 ， e ? 2（ e ? 舍），由
3
2
e 1 ? b b? ? ?? ? ? 2? ? 3 ，所以所求C的渐近线方程为 y ? ? 3x，故选B.
? a ? a
3．（2020高三石家庄5月模拟，理12）已知抛物线C :
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