高中数学人教B版必修三：向量数量积的概念课件（113+46张ppt）

(共46张PPT)
高一年级 数学
向量数量积的概念（第二课时）
复习回顾：
向量的数量积
当a与b都是非零向量时， a · b = |a| |b| cos.
当a与b至少有一个是零向量时， a · b = 0.
向量的运算
数量积运算
复习回顾：
减法运算
数乘运算
加法运算
向量的运算
数量积运算
复习回顾：
减法运算
数乘运算
加法运算
几何意义
向量的运算
数量积运算
复习回顾：
减法运算
数乘运算
加法运算
几何意义
几何意义？
学习重点：
向量数量积的几何意义.
1.向量的投影
如下图所示，设非零向量 =a，过A，B分别作直线
l的垂线，垂足分别为 ， ，则称向量 为向量a在
直线l上的投影向量或投影.
a
1.向量的投影
类似地，给定平面内的一个非零向量b，设b所在的直
线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影.
a
b
练习
分别说出向量a，b，c，d，e，f，g在 上的投影.
a
b
c
d
e
f
g
1.向量的投影
可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定
与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有
可能相反，那么投影向量的方向是受什么因素影响的呢？
1.向量的投影
可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定
与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有
可能相反，那么投影向量的方向是受什么影响的呢？
两向量夹角大小
如果a ，b都是非零向量，且a在b上的投影为 ，
那么向量 的方向、长度与有什么关联？
尝试与发现
当 时，
与b方向相同
当 时，
与b方向相同
当 时，
为零向量
当 时，
与b方向相同
当 时，
为零向量
当 时，
与b方向相反
2.投影的数量
一般地，如果a ，b都是非零向量，则称
为向量a在向量b上的投影的数量.
练习
说出a，b，c，d，e，f，g在 上的投影的数量.
a
b
c
d
e
f
g
3.数量积的几何意义
3.数量积的几何意义
两个非零向量的数量积，等于其中一个向量在另一个
向量上投影的数量与另一个向量的模的乘积.
3.数量积的几何意义
两个非零向量的数量积，等于其中一个向量在另一个
向量上投影的数量与另一个向量的模的乘积.
任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在该单
位向量上的投影的数量.
例题
如图所示，求下列向量的数量积.
（1）
（2）
（3）
例题
如图所示，求下列向量的数量积.
（1）
（2）
（3）
（1）（方法一）
解
由图可知
例题
如图所示，求下列向量的数量积.
（1）
（2）
（3）
（1）（方法二）
解
由图可知向量b在向量a上投影的数量为1，且a为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知
例题
如图所示，求下列向量的数量积.
（1）
（2）
（3）
（2）由图可知
解
所以
例题
如图所示，求下列向量的数量积.
（1）
（2）
（3）
（2）由图可知
解
（3）由图可知向量d在向量a上投影的数量为-1，
且a为单位向量，因此根据向量数量积的几
何意义可知
所以
如果a ，b都是非零向量
小结
定义
几何意义
②
①
思考
如果向量a，b，c为非零向量，且 ，
那么向量b，c一定相等吗？
思考
如果向量a，b，c为非零向量，且 ，
那么向量b，c一定相等吗？
思考
如果向量a，b，c为非零向量，且 ，
那么向量b，c一定相等吗？
向量b与向量c在向量a上的投影的数量相等.
A
B
C
D
P
如图，在等腰梯形ABCD中，
AB//CD，AB=4,CD=2,点P为线
段CD上一动点（含端点）.则
的最小值为 ，
最大值为 .
例题
A
B
C
D
P
D1
如图，在等腰梯形ABCD中，
AB//CD，AB=4,CD=2,点P为线
段CD上一动点（含端点）.则
的最小值为 ，
最大值为 .
例题
A
B
C
D
P
D1
如图，在等腰梯形ABCD中，
AB//CD，AB=4,CD=2,点P为线
段CD上一动点（含端点）.则
的最小值为 ，
最大值为 .
4
例题
A
B
C
D
P
C1
D1
如图，在等腰梯形ABCD中，
AB//CD，AB=4,CD=2,点P为线
段CD上一动点（含端点）.则
的最小值为 ，
最大值为 .
例题
4
A
B
C
D
P
C1
D1
如图，在等腰梯形ABCD中，
AB//CD，AB=4,CD=2,点P为线
段CD上一动点（含端点）.则
的最小值为 ，
最大值为 .
12
4
例题
小结
练习
（1）已知 ， ，则 .
（3）已知 ， ，则 .
（2）已知 ， ，则 .
练习
（1）已知 ， ，则 .
（3）已知 ， ，则 .
（2）已知 ， ，则 .
4
练习
（1）已知 ， ，则 .
（3）已知 ， ，则 .
（2）已知 ， ，则 .
4
2
练习
（1）已知 ， ，则 .
（3）已知 ， ，则 .
（2）已知 ， ，则 .
4
2
2
例题
如图，在直角三角形ABC中，
,则AC = ；
AB的取值范围为 .
A
B
C
例题
A
B
C
如图，在直角三角形ABC中，
,则AC = ；
AB的取值范围为 .
由图可知，向量 在向量
上投影的数量等于边AC的长
例题
如图，在直角三角形ABC中，
,则AC = ；
AB的取值范围为 .
2
由图可知，向量 在向量
上投影的数量等于边AC的长
A
B
C
例题
如图，在直角三角形ABC中，
,则AC = ；
AB的取值范围为 .
2
A
B
C
如果a ，b都是非零向量
Ⅱ
Ⅰ
②
①
课堂小结
课后作业
1.已知|a|=3，|b|=5，且=45°，求a在b上的投影的数量.
2.如图所示，求出下列向量的数量积.
a
b
c
d
e
（1）
（2）
（3）
（4）
再见(共113张PPT)
高一年级 数学
向量数量积的概念(第一课时)
向量的运算
复习回顾
向量的线性运算
向量的加法、减法运算
向量的数乘运算
向量的运算
向量的线性运算
向量的加法、减法运算
向量的数乘运算
向量的数量积
复习回顾

F
F
s
物理情境：
图1

F
F
s
物理情境：
图1

F
F
s

F
F
s
物理情境：
图1
图2

F
F
s

F
F
s
物理情境：
图1
图2

F
F
s

F
F
s
物理情境：
图1
图2

F
F
s

F
F
s
物理情境：
图1
图2
1.两个向量的夹角
a
b
a
b
a
O
A
1.两个向量的夹角
a
b
a
b
O
A
B
1.两个向量的夹角
给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点O，作
则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的
a
b
a
b
O
A
B
夹角，记作
1.两个向量的夹角
a
b
e
d
c
图3
a
b
e
d
c
a
O
A
图3
a
b
e
d
c
a
b
O
A
B
两个向量的位置关系
a与b方向相同
图3
a
b
e
d
c
a
b
O
A
B
两个向量的位置关系
a与b方向相同
图3
夹角
a
b
e
d
c
a
b
O
A
B
两个向量的位置关系
a与b方向相同
图3
夹角
a
b
e
d
c
a
b
c
O
A
B
C
夹角
图3
两个向量的位置关系
a与b方向相同
a与c方向相反
a
b
e
d
c
a
b
c
O
A
B
C
夹角
图3
两个向量的位置关系
a与b方向相同
a与c方向相反
a
b
e
d
c
a
b
c
O
A
B
C
夹角
图3
两个向量的位置关系
a与b方向相同
a与c方向相反
几何关系
两个向量所在的直线平行或重合
a
b
e
d
c
a
b
c
O
A
B
C
夹角
图3
两个向量的位置关系
a与b方向相同
a与c方向相反
几何关系
两个向量所在的直线平行或重合
a
b
e
d
c
a
b
d
c
O
A
B
C
D
图3
夹角
两个向量的位置关系
a与b方向相同
a与c方向相反
几何关系
两个向量所在的直线平行或重合
a
b
e
d
c
a
b
d
c
O
A
B
C
D
图3
夹角
两个向量的位置关系
a与b方向相同
a与c方向相反
几何关系
两个向量所在的直线平行或重合
a
b
e
d
c
a
b
d
c
O
A
B
C
D
图3
夹角
两个向量的位置关系
a与b方向相同
a与c方向相反
几何关系
两个向量所在的直线平行或重合
a与d不共线
a
b
e
d
c
a
b
d
c
O
A
B
C
D
图3
夹角
两个向量的位置关系
a与b方向相同
a与c方向相反
几何关系
两个向量所在的直线平行或重合
a与d不共线
a与d所在的直线相交
a
b
e
d
c
a
b
e
d
c
O
A
B
C
D
E
图3
夹角
两个向量的位置关系
a与b方向相同
a与c方向相反
几何关系
两个向量所在的直线平行或重合
a与d不共线
a与d所在的直线相交
a
b
e
d
c
a
b
e
d
c
O
A
B
C
D
E
图3
称向量a与向量e垂直，记作a⊥e.
当
时，
a
b
e
d
c
a
b
e
d
c
O
A
B
C
D
E
图3
夹角
两个向量的位置关系
a与b方向相同
a与c方向相反
几何关系
两个向量所在的直线平行或重合
a与d不共线
a与d所在的直线相交
a与e垂直
a与e所在的直线垂直
给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点O，作
则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的
注意：判断两个非零向量的夹角必须将其平移到同一个起点.
1.两个向量的夹角
夹角，记作
给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点O，作
则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的
规定：在讨论垂直问题时，零向量和任意向量垂直.
注意：判断两个非零向量的夹角必须将其平移到同一个起点.
1.两个向量的夹角
夹角，记作
给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点O，作
则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的
规定：在讨论垂直问题时，零向量和任意向量垂直.
结论：
注意：判断两个非零向量的夹角必须将其平移到同一个起点.
≤
≤
1.两个向量的夹角
夹角，记作
2.向量数量积的定义
一般地，当 都是非零向量时，称
为向量 的数量积（也称为内积），记作 即
练习
1. 已知
2. 已知
3. 已知
练习
1. 已知
解 由已知可得
练习
1. 已知
解 由已知可得
2. 已知
练习
解 由已知可得
2. 已知
练习
解 由已知可得
3. 已知
练习
解 由已知可得
3. 已知
练习
解 由已知可得
3. 已知
练习
解 由已知可得
练习
向量的数量积
向量a的模长
两个向量夹角余弦值
向量b的模长
四个量可“知三求一”
一般地，当 都是非零向量时，称
为向量 的数量积（也称为内积），记作 即
注意：(1)两个非零向量的数量积是一个实数.
2.向量数量积的定义
一般地，当 都是非零向量时，称
为向量 的数量积（也称为内积），记作 即
注意：(1)两个非零向量的数量积是一个实数.
圆点“·”连接，不能用“×” 连接，也不能省略.
(2)两个非零向量的数量积在书写时， 之间用实心
2.向量数量积的定义
a
图4
b
a
b
图4
a
b
≤
图4
a
b
图4
≤
a
b
图4
a
b
图4
a
b
图4
≤
a
b
(3)两个非零向量的数量积既可以是正数，也可以是零，还可以是负数，符号由两个向量夹角决定.
2.向量数量积的定义
≤
≤
图4
a
b
≤
≤
规定：零向量与任意向量的数量积为0.
2.向量数量积的定义
(3)两个非零向量的数量积既可以是正数，也可以是零，还可以是负数，符号由两个向量夹角决定.
图4
3.向量数量积的性质
设a和b都是非零向量.
向量a与b共线且方向相同
(1)
3.向量数量积的性质
设a和b都是非零向量.
向量a与b共线且方向相同
向量a与b共线且方向相反
(1)
3.向量数量积的性质
设a和b都是非零向量.
向量a与b共线且方向相同
向量a与b共线且方向相反
(1)
3.向量数量积的性质
设a和b都是非零向量.
向量a与b共线且方向相同
向量a与b共线且方向相反
(1)
3.向量数量积的性质
设a和b都是非零向量.
向量a与b共线且方向相同
向量a与b共线且方向相反
(1)
应用：求向量的模长.
3.向量数量积的性质
设a和b都是非零向量.
设a和b都是非零向量.
3.向量数量积的性质
设a和b都是非零向量.
由向量的数量积可知
3.向量数量积的性质
设a和b都是非零向量.
由向量的数量积可知
因为0
≤
≤
π，
3.向量数量积的性质
设a和b都是非零向量.
由向量的数量积可知
因为0
≤
≤
π，
3.向量数量积的性质
≤
≤
1，
所以-1
设a和b都是非零向量.
由向量的数量积可知
因为0
≤
≤
π，
≤
1，
所以
3.向量数量积的性质
≤
≤
1，
所以-1
设a和b都是非零向量.
由向量的数量积可知
因为0
≤
≤
π，
≤
1，
所以
3.向量数量积的性质
≤
≤
1，
所以-1
设a和b都是非零向量.
由向量的数量积可知
因为0
≤
≤
π，
≤
1，
所以
3.向量数量积的性质
≤
≤
1，
所以-1
设a和b都是非零向量.
由向量的数量积可知
因为0
≤
≤
π，
≤
1，
所以
3.向量数量积的性质
≤
≤
1，
所以-1
≤
设a和b都是非零向量.
(2)
≤
由向量的数量积可知
因为0
≤
≤
π，
≤
1，
所以
≤
所以
3.向量数量积的性质
≤
≤
1，
所以-1
≤
应用：主要用于与不等式有关的问题中.
(1)
(2)
≤
3.向量数量积的性质
设a和b都是非零向量.
(1)
(2)
≤
注意：当a和b至少有一个是零向量时，数量积的性质（1）和（2）还都成立.
3.向量数量积的性质
设a和b都是非零向量.
当a和b都是非零向量时，
3.向量数量积的性质
当a和b都是非零向量时，
3.向量数量积的性质
当a和b都是非零向量时，
3.向量数量积的性质
当a和b都是非零向量时，
3.向量数量积的性质
当a和b都是非零向量时，
3.向量数量积的性质
当a和b都是非零向量时，
3.向量数量积的性质
当a和b都是非零向量时，
3.向量数量积的性质
当a和b至少有一个是零向量时，
当a和b都是非零向量时，
因为在讨论垂直问题时，零向量与任意一个向量垂直，所以有
3.向量数量积的性质
当a和b至少有一个是零向量时，
当a和b都是非零向量时，
因为在讨论垂直问题时，零向量与任意一个向量垂直，所以有
因为零向量模长为0，所以有
3.向量数量积的性质
当a和b至少有一个是零向量时，
(3)
当a和b都是非零向量时，
因为在讨论垂直问题时，零向量与任意一个向量垂直，所以有
因为零向量模长为0，所以有
3.向量数量积的性质
当a和b至少有一个是零向量时，
例1 (1)已知
(2)已知
；
4.例题讲解
例1 (1)已知
(2)已知
解(1)由已知可得
4.例题讲解
；
例1 (1)已知
(2)已知
解(1)由已知可得
4.例题讲解
；
例1 (1)已知
(2)已知
解(2) 由
可知
4.例题讲解
；
例1 (1)已知
(2)已知
4.例题讲解
；
解(2) 由
可知
例1 (1)已知
(2)已知
因此
4.例题讲解
；
解(2) 由
可知
例1 (1)已知
(2)已知
因此
从而可知
4.例题讲解
；
解(2) 由
可知
例1 (1)已知
(2)已知
应用：求两个向量的夹角.
由例1（2）可以得到如果a，b都是非零向量，则
4.例题讲解
；
的符号与
一致
≤
≤
如果a，b都是非零向量，则
的符号与
一致
≤
≤
如果a，b都是非零向量，则
例2 在△ABC中，
(1)若
，试判断△ABC的形状；
4.例题讲解
(2)若
求
4.例题讲解
例2 在△ABC中，
(1)若
思路分析：
A
B
C
，试判断△ABC的形状；
4.例题讲解
例2 在△ABC中，
(1)若
思路分析：
A
B
C
判断△ABC的形状
，试判断△ABC的形状；
4.例题讲解
例2 在△ABC中，
(1)若
思路分析：
A
B
C
判断△ABC的形状
△ABC最大内角的范围
，试判断△ABC的形状；
4.例题讲解
例2 在△ABC中，
(1)若
思路分析：
A
B
C
判断△ABC的形状
△ABC最大内角的范围
与△ABC内角的关系
，试判断△ABC的形状；
4.例题讲解
例2 在△ABC中，
(1)若
思路分析：
A
B
C
判断△ABC的形状
△ABC最大内角的范围
与△ABC内角的关系
，试判断△ABC的形状；
4.例题讲解
例2 在△ABC中，
(1)若
思路分析：
A
B
C
判断△ABC的形状
△ABC最大内角的范围
与△ABC内角的关系
，试判断△ABC的形状；
4.例题讲解
例2 在△ABC中，
(1)若
思路分析：
A
B
C
判断△ABC的形状
△ABC最大内角的范围
与△ABC内角的关系
，试判断△ABC的形状；
4.例题讲解
例2 在△ABC中，
(1)若
解 (1)由
可得
因为
所以
所以
为钝角.
所以△ABC为钝角三角形.
，试判断△ABC的形状；
例2 在△ABC中，

4.例题讲解
(2)若
求
例2 在△ABC中，

4.例题讲解
(2)若
求
思路分析：
A
B
C
求
例2 在△ABC中，

4.例题讲解
(2)若
求
思路分析：
A
B
C
求
例2 在△ABC中，

4.例题讲解
(2)若
求
思路分析：
A
B
C
求
例2 在△ABC中，

4.例题讲解
(2)若
求
思路分析：
A
B
C
D
求
例2 在△ABC中，

4.例题讲解
(2)若
求
思路分析：
A
B
C
D
求
与△ABC内角的关系
例2 在△ABC中，

4.例题讲解
(2)若
求
思路分析：
A
B
C
D
求
与△ABC内角的关系
例2 在△ABC中，

4.例题讲解
(2)若
求
解 (2)由
得
5.课堂小结
研究路径：
运算性质
功
向量数量积的定义
应用
5.课堂小结
研究路径：
研究内容：
运算性质
功
向量数量积的定义
应用
向量的数量积
两个向量的夹角
定义
运算性质
定义：给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点O，作
则称[0，π]内
∠AOB为向量a与向量b
记作
的夹角，
作用：刻画两个非零向量的位置关系.
定义：一般地，当a与b都是非零向量时，称
为向量
a与b的数量积
（也向称
为内积），记作
即
规定：零向量与任意
向量的数量积为0.
规定：在讨论垂直问题时，零向量与
任意向量垂直.
≤
(3)
(1)
(2)
应用：求向量的模长，不等式问题，判断垂直关系.
即
1. (1)已知
(2)已知
；
2. 已知△ABC中是边长为2的等边三角形，求
作业：
1. (1)已知
(2)已知
；
解(1)由已知可得
作业：
作业：
1. (1)已知
(2)已知
；
解(2)由
可知
因此
从而可知
2. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，求
解 (1)因为△ABC中是边长为2的等边三角形，
所以
作业：
因为
所以