安徽省蚌埠田家炳中学2019-2020学年高二下学期开学学业检测数学（理）试题 Word版含答案解析

蚌埠田家炳中学2020年春季学期开学学业检测
高二数学理科
满分：150分 ；考试时间：120分钟；
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知等于
A. 1 B. C. 3 D.
2. 曲线在点处切线的斜率等于
A. 2e B. e C. 2 D. 1
3. 若，则等于? ? ?
A. 5 B. 25 C. D.
4. 下列求导运算正确的是
A. B.
C. D.
5. 若函数在上是单调函数，则a的取值范围是
A. B.
C. D.
6. 已知函数的定义域为，且满足是的导函数，则不等式的解集为? ?
A. B. C. D.
7. 已知函数在处有极值10，则等于? ? ?
A. 1 B. 2 C. D.
8. 如图是函数的导函数的图象，下列关于函数的极值和单调性的说法中，正确的个数是

，，都是函数的极值点；
，都是函数的极值点；
函数在区间上是单调的；
函数在区间上是单调的．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.
A. B. C. D.
10. 复数的虚部为
A. B. C. 1 D. 2
11. 极坐标方程表示的曲线是
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
12. 若直线为参数被圆为参数所截的弦长为，则a的值为
A. 1或5 B. 或5 C. 1或 D. 或
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 直线为参数的倾斜角是________．
14. 已知直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为，则点A到直线的l距离为____________．
15. 若复数，则?的虚部为__________．
16. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 选修：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．Ⅰ把的参数方程化为极坐标方程；Ⅱ求与交点的极坐标

18. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为为参数在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是．
求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
设点若直线l与曲线C相交于两点A，B，求的值．

19. 已知复数是z的共轭复数，求的值；计算是虚数单位．

20. 已知函数为自然对数的底数Ⅰ当时，试求的单调区间；Ⅱ若函数在上有三个不同的极值点，求实数a的取值范围．

21. 已知函数．Ⅰ求曲线在点处的切线方程；Ⅱ求的单调区间；Ⅲ若对于任意，都有，求实数a的取值范围．

22. 求曲线?x与直线，，所围成图形的面积如图．



蚌埠田家炳中学2020年春季学期开学学业检测
答案和解析
【答案】
1. C 2. C 3. B 4. D 5. B 6. D 7. B
8. C 9. D 10. B 11. D 12. A
13. ??
14. 1??
15. ??
16. ??
17. 解：Ⅰ曲线的参数方程式为参数，
得即为圆的普通方程，
即．
将，代入上式，得．
，此即为的极坐标方程；Ⅱ曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程为：，
由，解得或．
与交点的极坐标分别为，??
18. 解：已知直线l的参数方程为为参数．
转换为直角坐标方程为：．
曲线C的极坐标方程是，
即，
转换为直角坐标方程为：，
整理得：，
将直线l的参数方程为为参数，
代入．
得到：，
化简得：，
所以：，，和为A、B对应的参数．
故：．??
19. 解：因为，
所以．
解：原式
．??
20. 解：Ⅰ易知，函数的定义域为，
，
当时，对于，恒成立，
所以若，，若，，
所以单调增区间为，单调减区间为；Ⅱ由条件可知在上有三个不同的根，
即在有不为1的两个不同的根，且，
令，，
则时单调递增，时单调递减，
，，，
，
．??
21. 解：Ⅰ因为函数，
所以，
，又因为，则所求切线斜率为1，切点坐标为，
所以在点处的切线方程为；Ⅱ函数的定义域为，
由Ⅰ可知，，
由，解得，
由，解得，
所以的单调递增区间是，
的单调递减区间是；Ⅲ当时，恒成立，
等价于恒成立，
令，，
，．
当时，，
所以在区间单调递减；
当时，，
所以在区间单调递增．
而，
．
所以在区间上的最大值为，
所以当时，对于任意，都有．
实数a的取值范围为．??
22. 解：?
???xdx
???
．??
【解析】
1. 【分析】
考查导数的定义，属于基础题．
根据导数的定义可将原式变成：，根据的值求解即可．
【解答】
解：
故选C．
2. 【分析】
本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．
求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．
【解答】
解：函数的导数为，
当时，，
即曲线在点处切线的斜率．
故选C．
3. 【分析】
本题主要考查求函数的导数，二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．
把所给的等式两边对x求导，可得，再令，可得?的值．
【解答】
解：对于，
两边对x求导，可得，
再令，可得．
故选：B．
4. 【分析】
本题考查了导数的运算法则，掌握基本导数公式是关键，属于基础题．
解题时根据导数的运算法则求导即可判断．
【解答】
解：对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选D．
5. 【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
求出，由题意可得：或在上恒成立，分类讨论进行求解即可．
【解答】
解：由题意得，，
因为在上是单调函数，
所以或在上恒成立，
当时，则在上恒成立，
即：当时，恒成立，
设，，
因为，所以，
当时，取到最大值，
所以；
当时，则在上恒成立，
即：当时，恒成立，
设，
因为，所以，
当时，取到最小值，
所以，
综上可得，或，
所以实数a的取值范围是，
故选B．
6. 【分析】
本题主要考查不等式的求解，考查利用导数判断函数的单调性，属于中档题．
根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．
【解答】
解：设，则，
，
，即在上为增函数，
，
不等式等价于，
即，
即，
在上为增函数，
，解得，即，
故不等式的解集为．
故选D．
7. 【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题．
由函数在处有极值为10，列出方程组可求出a和b，由此能求出．
【解答】
解：，
，
函数在处有极值为10，
解得，，经检验满足条件，
，
．
故选B．
8. 【分析】
本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，数形结合思想，是一道基础题．
结合函数的图象，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点．
【解答】
解：由图象得：
在递增，在递减，在递增，
故，都是函数的极值点，
故正确，
故选C．
9. 【分析】
本题考查定积分的几何意义及性质，同时考查定积分的几何意义和微积分基本定理，利用定积分的几何意义及微积分基本定理即可求解．
【解答】
解：?，
，
由定积分的几何意义可知表示圆心在原点半径为2的圆与x轴围成的半圆的面积，
?，
?．
故选D．
10. 【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．
按照复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：
，
复数的虚部为．
故选B．
11. 【分析】
本题主要考查将极坐标方程化为直角坐标方程，属基础题．
将极坐标方程化为直角坐标方程，研究直角坐标方程为双曲线方程，进而求得答案．
【解答】
解：极坐标方程可化为：，
，即，它表示中心在的双曲线．
极坐标方程表示的曲线是双曲线．
故选D．
12. 【分析】
本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．
把参数方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式、弦长公式求得a的值．
【解答】
解：直线为参数，
即，
圆为参数，
即，
表示以为圆心、半径等于2的圆．
圆心到直线的距离为，
再根据弦长公式可得，
求得或，
故选A．
13. 【分析】?
本题重点考查了直线的参数方程和普通方程的互化、直线的倾斜角和斜率之间的关系等知识，掌握三角函数的诱导公式是解题的关键．本题属于中档题．
首先，将所给的直线的参数方程化为普通方法，然后，求解其斜率，再确定其倾斜角即可．
【解答】
解：根据直线为参数，
得，
，
该直线的斜率，
该直线的倾斜角为，
故答案为．
14. 【分析】
本题考查极坐标与直角坐标的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．利用两角差的正弦函数展开方程，把极坐标方程化为普通方程，求出A的直角坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】
解：因为可化为：
，
直线z的直角坐标方程为：，
点A的极坐标为，它的直角坐标，
则A到直线的距离为：
故答案为1．
15. 【分析】
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数，属于基础题．
【解答】
解：，
则，
则，
故的虚部为．
故答案为．
16. 【分析】
本题考查导数与函数单调性的关系，考查函数的图象，属于中档题．
由函数的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而得出不等式的解集．
【解答】
解：由的图象特征可得，
在和上大于或等于0，在上小于0，
或或，
的解集为．
故答案为．
17. 本题主要考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化．熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键．Ⅰ对于曲线利用三角函数的平方关系式即可得到圆的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到的极坐标方程；Ⅱ先求出曲线的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出与交点的极坐标．
18. 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
利用一元二次方程的应用求出结果．
19. 本题考查复数的相关概念和四则运算，属于基础题．
先化简复数z，求其共轭复数，利用乘法运算即可求解；
结合的周期性特点，运算即可求解．
20. 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．Ⅰ求出函数的导数，再求出函数的单调区间即可；Ⅱ转化为在有不为1的两个不同的根，且，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．
21. 本题考查了利用导数求曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性及利用导数研究恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．Ⅰ求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；Ⅱ求出函数的导数，根据导数和函数单调的关系，求出函数的单调区间即可；Ⅲ问题等价于“”构造函数，利用导数求出函数的最值，从而求出a的范围即可．
22. 利用定积分，即可得出结论．
本题考查了定积分的几何意义及其求法，属于基础题．