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【专题讲义】人教版四年级数学下册
第5讲 三角形的内角和专题精讲（解析版）
知识要点梳理
课程目标 理解并掌握三角形的概念及分类；理解并掌握三角形内角和定理，能运用三角形内角和定理求一般三角形或特殊三角形的内角；能够运用三角形内角和定理解决问题。
课程重点 运用三角形内角和定理求一般三角形或特殊三角形的内角的方法；运用三角形内角和定理解决问题的方法。
课程难点 运用三角形内角和定理求一般三角形或特殊三角形的内角的方法；运用三角形内角和定理解决问题的方法。
教学方法建议 运用三角形内角和定理求内角时，既要考虑三角形内角和定理，又要考虑特殊三角形的性质特征。解决折叠图形问题时，要考虑到折叠前后的图形是一模一样的。
角，从一点引出两条射线所组成的图形。这个点叫做角的顶点，
这两条射线叫角的边。符号<
线段：拉紧的线，有两个端点。
直线：把线段向两端无限延伸。无限长。（其实这个问题涉及宇宙长度问题！！）
射线：只有一个端点。也无限长。。
考点1 三角形内角的认识
每个三角形都有三个内角。
2.三角形按角分类：
（1）三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
（2）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。（直角三角形有两个锐角）
（3）有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。（钝角三角形有两个锐角）
每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。
3.等腰三角形的角有二类，一是顶角【两腰夹角，顶角有一个】，二是底角【腰与底边的夹角，有两个底角，底角相等】；
4.等边三角形三个角都相等。
考点2 三角形的内角和等于180°
1.三角形的内角和与三角形的大小、形状无关，三角形的内角和永远都是180；
2.等边△三个角都相等，且每个角是60度。
3.钝角三角形中最小的锐角一定小于45度；
考点3 等腰三角形两底角相等（2个底角+顶角=180°）；等边三角形三个角都是60°；
考点4 三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
考点5 四边形的内角和是360°
考点6、三角形的内角和综合（折叠问题、三角板拼接问题等）
（一）三角形的内角和等于180°
例1．已知1=40°求3。
答案解析
(1)3=65° （2)3= 70°
(3)3= 100° （4)3=50°
【随堂演练一】【A类】
1.判断并说明理由。
（1）一块三角尺的内角和是180度，用两块完全一样的三角尺拼成一个三角形，这个三角形的内角和是360度。（ ）
（2）三角形越大，它的内角和就越大。（ ）
（3）一个三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是90°。（ ）
（4）有一个三角形，两个内角分别是95°和 91°。（ ）
（5）三角形中最多只有一个直角或只有一个钝角。（ ）
（6）钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和。（ ）
（7）在直角三角形中，两个锐角的和等于90 （ ）
（8）在钝角三角形中，两个锐角的和大于90 （ ）
（9）三角形中有一个角是60 ，那么这个三角形一定是个锐角三角形。（ ）
（10）一个三角形中一定不可能有两个钝角。（ ）
（11）把一个三角形缩小到它原来的，它的内角和也缩小到原来的。（ ）
（12）锐角三角形任意两个锐角之和一定大于90°（ ）
答案解析
（1）× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)× (7)√
(8)× (9)× (10）√ （11）× （12）√
2.求出下面各角的度数。
∠1=（ ） ∠2=（ ） ∠3=（ ）
答案解析
（1）62° （2）38° （3）127°
3.想一想，下列各组角能组成三角形吗？如果不能，请说明理由；如果能，请说明是什么三角形。
（1）80°，95°，5° （2）60°，70°，90°
（3）30°，40°，50° （4）50°，50°，80°
60°，60°，60°
答案解析
（1）能；是钝角三角形；
（2）不能；三角形的内角和应该等于180°；该出题的三个角的和不是180°；
（3）不能；三角形的内角和应该等于180°；该题的三个角的和不是180°；
（4）能；是锐角三角形；（5）能；是等边三角形；
分析
（1）能；是钝角三角形；
（2）不能；三角形的内角和应该等于180°；
60°+70°+90°=220°；该题的三个角的和不是180°；
（3）不能；三角形的内角和应该等于180°；
30°+40°+50°=120°该题的三个角的和不是180°；
能；是锐角三角形；（5）能；是等边三角形；
4.某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带( )去。
答案解析：③
如果一个三角形有两个直角，结果会怎样？那么一个三角形最多有几个直角？
答案解析
如果有两个直角，就不会有3个角，不会组成一个几何体形状，也就不能叫三角形，根据三角形内角和180°定理，只能最多有一个超过或者等于90°的角
【随堂演练一】【B类】
1.一个三角形最小的角是46度，则这个三角形一定是（ ）三角形。
A、锐角 B、直角 C、钝角；
2.一个三角形最大的角是60度，则这个三角形一定是（ ）三角形.
3.将一个大三角形分成两个小三角形，这两个小三角形的内角和分别是多少？
答案解析：
1、A
2、等边三角形
3、这两个小三角形的内角和都是180度。
（二）特殊三角形的内角和
例2．已知等腰三角形的风筝，一个底角70°，顶角多少度？
解答
180°-70°×2=180°-140°
=40°
顶角是40°.
故答案为：400
分析：
根据等腰三角形的认识可知，等腰三角形的底角相等，一个底角是70°，两个底角就是140°，用三角形的内角和180度减去两个底角的度数，得到顶角的度数.
【随堂演练二】【A类】
1.如果等腰三角形的一个底角比等边三角形一个内角大20°，等腰三角形的顶角为（ ）。
2.一个等腰三角形，顶角是100°，一个底角是（ ）。
A.100° B. 40° C.55°
3.一个等腰三角形，一个底角是顶角的2倍，这个三角形顶角（ ）度，底角（ ）度。
A. 36° B.72° C.45° D.90°
4.一个三角形，其中任意两个角的度数之和都大于第三个角的度数，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D.无法确定
5.已知一个直角三角形的一个锐角是50°，则它的另一个锐角是（ ）。
6.一个等腰三角形的底角是75°，它的顶角是（ ）°。
答案解析：1、20度 2、B 3、D C 4、A 5、40度 6、30度
【随堂演练二】【B类】
如果等腰三角形中的一个内角是50°，求等腰三角形的其它两个角？
答案解析
如图，AB=AC
∠B=∠C
当底角∠B=50°时，则∠C=50°，
∠A=180°-∠B-∠C=80%
当顶角∠A=50°时
∠B+∠C+∠A=180°，∠B=∠C
∠B=∠C=×（180°-∠A）=650
即其余两角的度数是50°，80°或65°，65°.
故答案为：50°，80°或65°，65？.
分析：
根据等腰三角形的性质推出∠B=∠C，分为两种情况：①当底角∠B=50°时，②当顶角∠A=50°
时，根据∠B=∠C和三角形的内角和定理求出即可.
如果等腰三角形的顶角比底角大15°，求等腰三角形的顶角和底角？
答案解析
（180°-15°）÷3
=165°÷3
=55°
550+15=70°
答：这个三角形的顶角是70°，一个底角是55°。
分析：
利用三角形内角和是180°的性质，和等腰三角形两底角相等的特殊性质列式计算，可得出结果。
4.如果等腰三角形一个底角与顶角的和是140°，求等腰三角形的顶角？
解答
180°-140°=40，
180°-（40°×2）
=180°-80°
=1000答：这个三角形的顶角是100°
分析
三角形的内角和是180°，因为一个底角与一个顶事角的和是140°，所以可以求出另一个底角的度里数，即：180-140=40度，因为等腰三角形两个底角相等，所以另一个底角也是40度，用三角形的内角和减去两个底角的度数的度数和即可得出三角形顶角的度数.
（三）三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
例3．如下图所示，已知AB=AC=BC=CD，求D的度数
解答
因为AB=AC=BC，所以∠1=60°.
180°-60*=120
因为AC=CD，
所以∠2=∠D.
（180°-120）÷2
=60°÷2里
=30°
答：∠D的度数是30°
【随堂演练三】【B类】
1.求图中∠１、 ∠２、 ∠３的度数。
答案解答
180°-120°=60°180°-70°=110°
180°-60°-70°
=120°-70°
=50°
答：∠1、∠2、∠3的度数分别为：60°、110°、50°。
2.求下图中的∠２。
答案解析：∠２＝87度
（四）三角形内角和的综合运用【四边形内角和360°、折叠问题等】
例4．把一个长方形纸折起来，如下图，已知1=30°，2的度数是多少？
答案解析
180°-30°=150°
150°÷2=75°
答：∠2是75度。
解析
本题考查的是角的简单计算；由图可知，折叠部分角的度数等于∠2的度数，也就是2个∠2加上∠1的度数是一个平角；已知平角的度数为180°，则2个∠2的度数为180°-30°=150°，故可得∠2的度数为150°÷2=75°
【随堂演练四】【B类】
求1的度数.
答案解析：（1）1=120度 （2）、1=65度
2.下图是由一副三角板拼成的，求1、2、3的度数。
答案解析
1=105度、2=75度、3=135度
3.如下图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，将正方形的A、B折起，使得顶点A、B都与线段EF上和点G重合，求GMD的度数。
答案解析
GMD=75度
【A类】
一．填空：
1.在△ABC中， ∠A＝40°，∠B＝∠C，则∠C＝ ．
2.在一个直角三角形中，已知一个锐角是30°，另一个锐角是（ ）。
3.等边三角形的一个内角是（ ）。
4.等腰直角三角形的一个锐角是（ ）。
5.如果等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是（ ）。
6.在一个三角形ABC中，∠A＝∠B＝45°，则△ABC是（ ）三角形。
7.△ABC中，若∠A＝350,∠B＝650,则∠C＝（ ）；若∠A＝1200,∠B＝2∠C，则∠C（ ）。
8.三角形三个内角中, 最多有（ ）个直角,最多有（ ）个钝角,最多有（ ）个锐角,至少有（ ）个锐角。
9.三角形按角的不同分类，可分为（ ）三角形，（ ）三角形和（ ）三角形。
10.∠2+55°的和是一个平角，∠2=（ ）。
11.已知一个角是15°，用2倍的放大镜看这个角是（ ）°.
答案解析
（1）70度 （2）60度 （3）60度 （4）45度 （5）100度
等腰直角三角形 （7）80度，20度 （8）一个，一个，三个，两个
（9）锐角，直角，钝角 （10)125度 (11)15度
二．判断题。
1.有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形。 （ ）
2.一个等腰三角形的顶角是80°，它的两个底角都是60°。 （ ）
3.两个内角和是90°的三角形是直角三角形。 （ ）
4.一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角。 （ ）
5.在锐角三角形中，任意的两个锐角之和一定要大于90°。 （ ）
6.一个三角形，已知两个内角分别是85°和25°，这个三角形一定是钝角三角形。（ ）
答案解析：（1）√（2）（3）√（4）√（5）(6)
【B类】
1.在三角形ABC中，∠A=60°，∠B比∠A小15°，∠C是多少度？
∠C=180°-60°-450
=75°.
答：∠C的度数是750。
分析
本题考查了三角形的内角和定理；首先依据∠B与∠A的关系：∠B=∠A-150，结合∠A的度数，求出∠B的度数：∠A-150=450；再依据三角形的内角和是180°，∠C=180°-600-450，求出∠C的度数是750。
2.一个等腰三角形的顶角是46°，它的一个底角是多少度？
答案解析
180°-46°=134°
134°÷2=67°
答：它的一个底角是67°
解析
根据三角形内角和是180°求解。
3.三角形的第一个角是第二个角的2倍，第三个角是第一个角的3倍，这个三角形是什么三角形
答案解析
根据三角形的内角和是180°，∠1=2个∠2；∠3=3个∠2
这个三角形一共有2+1+3=6个∠2
所以∠2是：1800÷60=300
∠1是：300×2=600故答案为：60°；30°；90°.
解析
根据题目的意思可以知道要求三个内角，根据三角形的内角和是180°，∠1=2个∠2，∠3=3个∠2，这个三角形一共有2+1+3=6个∠2，180°÷6=30°，30°×2=60°，30×3=90°，依此解答即可。本题主要考查了学生关于三角形内角和是180°的灵活运用的相关知识，先利角之间的倍数关系求出角2是解答此题的关键，要求学生在深入了解、掌握相关知识的前提下，做到对此类题目的熟练地分析和解答.
4.直角三角形的一个锐角是另一个角的5倍，求这二个角？
答案解析
90÷（5+1）=90÷6=15（度）
15×5=75（度）
答：这两个锐角分别是15度，75度。
解析本题属于和倍问题，关键是先求出表示一份的数；三角形的内角和是180度，直角是90度，可以求出两个锐角的和；如果把一个角看作1份，那么另一个角就是5份，可以根据总度数；总份数=一份的度数求出一个角的度数，再根据一份×5=5份的度数，求出另一个锐角的度数。
5.直角三角形的一个锐角比另一个锐角大20度，求这二个角？
答案解析
设一个角为x，则另一个角为x+20，
根据题意得，x+x+20°=90°
解得x=350，X+20°=55.
所以这两个锐角分别为35°，55°.
故答案为：35°，55°
解析
设出这两个角，然后根据直角三角形的两锐角互余列式及已知条件：“一个锐角比另一个锐角大20°，”进行计算即可得解。
【资料介绍】该资料结合三角形的内角和的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
模块一
知识讲解
模块二
课堂精讲
2
30°
35°
1
3
23°
83°
52°
模块三
小结
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【专题讲义】人教版四年级数学下册
第5讲 三角形的内角和专题精讲（学生版）
知识要点梳理
课程目标 理解并掌握三角形的概念及分类；理解并掌握三角形内角和定理，能运用三角形内角和定理求一般三角形或特殊三角形的内角；能够运用三角形内角和定理解决问题。
课程重点 运用三角形内角和定理求一般三角形或特殊三角形的内角的方法；运用三角形内角和定理解决问题的方法。
课程难点 运用三角形内角和定理求一般三角形或特殊三角形的内角的方法；运用三角形内角和定理解决问题的方法。
教学方法建议 运用三角形内角和定理求内角时，既要考虑三角形内角和定理，又要考虑特殊三角形的性质特征。解决折叠图形问题时，要考虑到折叠前后的图形是一模一样的。
角，从一点引出两条射线所组成的图形。这个点叫做角的顶点，
这两条射线叫角的边。符号<
线段：拉紧的线，有两个端点。
直线：把线段向两端无限延伸。无限长。（其实这个问题涉及宇宙长度问题！！）
射线：只有一个端点。也无限长。。
考点1 三角形内角的认识
每个三角形都有三个内角。
2.三角形按角分类：
（1）三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
（2）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。（直角三角形有两个锐角）
（3）有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。（钝角三角形有两个锐角）
每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。
3.等腰三角形的角有二类，一是顶角【两腰夹角，顶角有一个】，二是底角【腰与底边的夹角，有两个底角，底角相等】；
4.等边三角形三个角都相等。
考点2 三角形的内角和等于180°
1.三角形的内角和与三角形的大小、形状无关，三角形的内角和永远都是180；
2.等边△三个角都相等，且每个角是60度。
3.钝角三角形中最小的锐角一定小于45度；
考点3 等腰三角形两底角相等（2个底角+顶角=180°）；等边三角形三个角都是60°；
考点4 三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
考点5 四边形的内角和是360°
考点6、三角形的内角和综合（折叠问题、三角板拼接问题等）
（一）三角形的内角和等于180°
例1．已知1=40°求3。
【随堂演练一】【A类】
1.判断并说明理由。
（1）一块三角尺的内角和是180度，用两块完全一样的三角尺拼成一个三角形，这个三角形的内角和是360度。（ ）
（2）三角形越大，它的内角和就越大。（ ）
（3）一个三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是90°。（ ）
（4）有一个三角形，两个内角分别是95°和 91°。（ ）
（5）三角形中最多只有一个直角或只有一个钝角。（ ）
（6）钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和。（ ）
（7）在直角三角形中，两个锐角的和等于90 （ ）
（8）在钝角三角形中，两个锐角的和大于90 （ ）
（9）三角形中有一个角是60 ，那么这个三角形一定是个锐角三角形。（ ）
（10）一个三角形中一定不可能有两个钝角。（ ）
（11）把一个三角形缩小到它原来的，它的内角和也缩小到原来的。（ ）
（12）锐角三角形任意两个锐角之和一定大于90°（ ）
2.求出下面各角的度数。
∠1=（ ） ∠2=（ ） ∠3=（ ）
3.想一想，下列各组角能组成三角形吗？如果不能，请说明理由；如果能，请说明是什么三角形。
（1）80°，95°，5° （2）60°，70°，90°
（3）30°，40°，50° （4）50°，50°，80°
60°，60°，60°
4.某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带( )去。
如果一个三角形有两个直角，结果会怎样？那么一个三角形最多有几个直角？
【随堂演练一】【B类】
1.【2014年中大附】一个三角形最小的角是46度，则这个三角形一定是（ ）三角形。
A、锐角 B、直角 C、钝角；
2.一个三角形最大的角是60度，则这个三角形一定是（ ）三角形.
3.将一个大三角形分成两个小三角形，这两个小三角形的内角和分别是多少？
（二）特殊三角形的内角和
例2．已知等腰三角形的风筝，一个底角70°，顶角多少度？
【随堂演练二】【A类】
1.如果等腰三角形的一个底角比等边三角形一个内角大20°，等腰三角形的顶角为（ ）。
2.一个等腰三角形，顶角是100°，一个底角是（ ）。
A.100° B. 40° C.55°
3.一个等腰三角形，一个底角是顶角的2倍，这个三角形顶角（ ）度，底角（ ）度。
A. 36° B.72° C.45° D.90°
4.一个三角形，其中任意两个角的度数之和都大于第三个角的度数，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D.无法确定
5.已知一个直角三角形的一个锐角是50°，则它的另一个锐角是（ ）。
6.一个等腰三角形的底角是75°，它的顶角是（ ）°。
【随堂演练二】【B类】
如果等腰三角形中的一个内角是50°，求等腰三角形的其它两个角？
如果等腰三角形的顶角比底角大15°，求等腰三角形的顶角和底角？
4.如果等腰三角形一个底角与顶角的和是140°，求等腰三角形的顶角？
（三）三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
例3．如下图所示，已知AB=AC=BC=CD，求D的度数
【随堂演练三】【B类】
1.求图中∠１、 ∠２、 ∠３的度数。
2.求下图中的∠２。
（四）三角形内角和的综合运用【四边形内角和360°、折叠问题等】
例4．把一个长方形纸折起来，如下图，已知1=30°，2的度数是多少？
【随堂演练四】【B类】
求1的度数.
2.下图是由一副三角板拼成的，求1、2、3的度数。
3.如下图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，将正方形的A、B折起，使得顶点A、B都与线段EF上和点G重合，求GMD的度数。
【A类】
一．填空：
1.在△ABC中， ∠A＝40°，∠B＝∠C，则∠C＝ ．
2.在一个直角三角形中，已知一个锐角是30°，另一个锐角是（ ）。
3.等边三角形的一个内角是（ ）。
4.等腰直角三角形的一个锐角是（ ）。
5.如果等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是（ ）。
6.在一个三角形ABC中，∠A＝∠B＝45°，则△ABC是（ ）三角形。
7.△ABC中，若∠A＝350,∠B＝650,则∠C＝（ ）；若∠A＝1200,∠B＝2∠C，则∠C（ ）。
8.三角形三个内角中, 最多有（ ）个直角,最多有（ ）个钝角,最多有（ ）个锐角,至少有（ ）个锐角。
9.三角形按角的不同分类，可分为（ ）三角形，（ ）三角形和（ ）三角形。
10.∠2+55°的和是一个平角，∠2=（ ）。
11.已知一个角是15°，用2倍的放大镜看这个角是（ ）°.
二．判断题。
1.有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形。 （ ）
2.一个等腰三角形的顶角是80°，它的两个底角都是60°。 （ ）
3.两个内角和是90°的三角形是直角三角形。 （ ）
4.一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角。 （ ）
5.在锐角三角形中，任意的两个锐角之和一定要大于90°。 （ ）
6.一个三角形，已知两个内角分别是85°和25°，这个三角形一定是钝角三角形。（ ）
【B类】
1.在三角形ABC中，∠A=60°，∠B比∠A小15°，∠C是多少度？
2.一个等腰三角形的顶角是46°，它的一个底角是多少度？
3.三角形的第一个角是第二个角的2倍，第三个角是第一个角的3倍，这个三角形是什么三角形
4.直角三角形的一个锐角是另一个角的5倍，求这二个角？
5.直角三角形的一个锐角比另一个锐角大20度，求这二个角？
【资料介绍】该资料结合三角形的内角和的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
模块一
知识讲解
模块二
课堂精讲
2
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1
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23°
83°
52°
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