专题07 幂的运算及整式乘法
知识框架
重难突破
一、幂的运算
1、同底数幂的乘法性质
(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
备注：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
2、幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
备注：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
3、积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
备注：（1）公式的推广： (为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
4、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
例1．计算a4?a的结果等于_______．
【答案】a5
【解析】解：a4?a=a4+1= a5.
故答案为：a5.
练习1．如果，那么_______．
【答案】2
【解析】解：∵
∴x+3=5,即x=2
故答案为2.
例2．若＝8，＝4，则＝（ ）
A．12 B．4 C．32 D．2
【答案】C
【解析】解：，
故选：C．
练习1．已知那么的值等于( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：，
故选B．
例3．（2020·浙江锦绣育才教育科技集团有限公司初一月考）已知4m＝x，8n＝y，其中m，n为正整数，则22m+6n＝（ ）
A．xy2 B．x+y2 C．x2y2 D．x2+y2
【答案】A
【解析】解：∵4m＝22m＝x，8n＝23n＝y，
∴22m+6n＝22m·26n＝22m?(23n)2＝xy2．
故选：A．
练习1．（2018·山东省初一期中）已知，，则的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．9
【答案】D
【解析】∵，，
∴
故选D．
例4.下列各式，运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A：，错误；
B：，正确；
C：，错误；
D：，错误．
所以答案选B．
练习1．计算(a4)2的结果为( )
A．a8 B．a6 C．a2 D．a16
【答案】A
【解析】(a4)2= a8
故选A.
例5．计算的结果是 （ ）
A． B．-2 C．2 D．-1
【答案】B
【解析】解：
=
=
=
=
故选B．
练习1．a与b互为倒数，则a2016?（﹣b）2015的值是（ ）
A．a B．b C．﹣b D．﹣a
【答案】D
【解析】解：∵a与b互为倒数，
∴ab＝1，
∴a2016?（﹣b）2015
=
=﹣a，
故选：D．
例5．计算（﹣x2y）2的结果是____．
【答案】x4y2
【解析】解：（﹣x2y）2=x4y2．
故答案为：x4y2．
练习1．若x3 =8a3b6，求x的值
【答案】2ab2
【解析】试题分析：根据积的乘方法则可完成此题.
试题解析：8a3b6=(2ab2)3 ，
∵x3 =8a3b6，
∴x的值为2ab2
二、整式乘法
1、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
备注：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
2、单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
备注：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
3、多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
备注：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
例1．（2020·全国初一课时练习）（2x3y）2·（5xy2）·x7 等于（ ）
A．-20x6y4 B．10xyy4 C．-20x7y4 D．20x14y4
【答案】D
【解析】解：（2x3y）2·（5xy2）·x7 =20x14y4，故选D．
练习1．（2020·无锡市东林中学初一期中）若□·3xy=27x3y4 ， 则□内应填的单项式是（ ）
A．3x3y4 B．9x2y2 C．3x2y3 D．9x2y3
【答案】D
【解析】因为9x2y3·3xy=27x3y4，则□内应填的单项式是9x2y3，
故选：D．
例2．（2020·山东省昌乐第一中学初一月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写( )
A．3xy B．-3xy C．-1 D．1
【答案】A
【解析】解：∵左边=-3xy（4y-2x-1）=-12xy2+6x2y+3xy
右边=-12xy2+6x2y+□，
∴□内上应填写3xy
故选：A．
练习1．（2019·陕西省初一期中）某同学在计算乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是( )
A． B．
C． D．无法确定
【答案】C
【解析】解：∵
∴
故选：C
例3．（2020·浙江省初一月考）如果中不含的一次项，那么的值为_________．
【答案】-1
【解析】∵=，且不含的一次项，
∴m+1=0，解得：m=-1．
故答案是：-1．
练习1．（2020·南京市金陵中学河西分校初一期中）若的结果中不含关于字母的一次项，则________．
【答案】﹣2
【解析】解：，
由结果中不含关于字母的一次项，可得：，解得：．
故答案为：﹣2．
例4．（2019·河北省初一期中）若，，则的结果是（ ）．
A．5 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】解：原式=
=，
把，代入上式得：，
故选B.
例5．（2019·河南省初二期中）若是一个单项式，且，则__．
【答案】．
【解析】解：，
．
故答案为：．
练习1．（2020·利辛县阚疃金石中学初一期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）原式．
．
（2）原式．
．
例6．（2019·甘州中学初一月考）先化简，再求值：（x﹣2y）（x+3y）﹣（2x﹣y）（x﹣4y），其中x＝﹣1，y＝2．
【答案】﹣x2+10xy﹣10y2，-61
【解析】解：原式＝x2+3xy﹣2xy﹣6y2﹣（2x2﹣8xy﹣xy+4y2）
＝x2+3xy﹣2xy﹣6y2﹣2x2+8xy+xy﹣4y2
＝﹣x2+10xy﹣10y2．
当x＝﹣1，y＝2时，原式＝﹣1﹣20﹣40＝﹣61．
例7．（2020·陕西省榆林十二中初一期中）你能求（x一1）（x99+x98+x97+…+x+1）的值吗?
遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形人手，分别计算下列各式的值．
（1）（x－1）（x+1） =_____________；
（2）（x—1）（ x2+x+1） =_____________；
（3）（x－1）（x3+ x2+x+1） =____________；
…
由此我们可以得到：
（4）（x一1）（ x99+x98+x97+…+x+1） =___________，
请你利用上面的结论，完成下列的计算：
（5）299+298+297+…+2+1；
【答案】（1） ； （2）； （3）；（4）；（5）．
【解析】
解：（1）（x－1）（x+1） = ；
（2）（x—1）（ x2+x+1） =；
（3）（x－1）（x3+ x2+x+1） =；
(4) （x一1）（ x99+x98+x97+…+x+1）=
(5) 299+298+297+…+2+1
=（2-1）(299+298+297+…+2+1)
=．
例8．（2020·四川省北大附中成都为明学校初二月考）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得
则
．
解得：，
另一个因式为，m的值为
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
【答案】 20.
【解析】
解：设另一个因式为，得
则
解得：，
故另一个因式为，k的值为专题07 幂的运算及整式乘法
知识框架
重难突破
一、幂的运算
1、同底数幂的乘法性质
(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
备注：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
2、幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
备注：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
3、积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
备注：（1）公式的推广： (为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
4、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
例1．计算a4?a的结果等于_______．
练习1．如果，那么_______．
例2．若＝8，＝4，则＝（ ）
A．12 B．4 C．32 D．2
练习1．已知那么的值等于 ( )
A． B． C． D．
例3．（2020·浙江锦绣育才教育科技集团有限公司初一月考）已知4m＝x，8n＝y，其中m，n为正整数，则22m+6n＝（ ）
A．xy2 B．x+y2 C．x2y2 D．x2+y2
练习1．（2018·山东省初一期中）已知，，则的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．9
例4.下列各式，运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
练习1．计算(a4)2的结果为( )
A．a8 B．a6 C．a2 D．a16
例5．计算的结果是 （ ）
A． B．-2 C．2 D．-1
练习1．a与b互为倒数，则a2016?（﹣b）2015的值是（ ）
A．a B．b C．﹣b D．﹣a
例5．计算（﹣x2y）2的结果是____．
练习1．若x3 =8a3b6，求x的值
二、整式乘法
1、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
备注：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
2、单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
备注：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
3、多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
备注：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
例1．（2020·全国初一课时练习）（2x3y）2·（5xy2）·x7 等于（ ）
A．-20x6y4 B．10xyy4 C．-20x7y4 D．20x14y4
练习1．（2020·无锡市东林中学初一期中）若□·3xy=27x3y4 ， 则□内应填的单项式是（ ）
A．3x3y4 B．9x2y2 C．3x2y3 D．9x2y3
例2．（2020·山东省昌乐第一中学初一月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写( )
A．3xy B．-3xy C．-1 D．1
练习1．（2019·陕西省初一期中）某同学在计算乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是( )
A． B．
C． D．无法确定
例3．（2020·浙江省初一月考）如果中不含的一次项，那么的值为_________．
练习1．（2020·南京市金陵中学河西分校初一期中）若的结果中不含关于字母的一次项，则________．
例4．（2019·河北省初一期中）若，，则的结果是（ ）．
A．5 B． C．3 D．
例5．（2019·河南省初二期中）若是一个单项式，且，则__．
练习1．（2020·利辛县阚疃金石中学初一期中）计算：
（1）；
（2）．
例6．（2019·甘州中学初一月考）先化简，再求值：（x﹣2y）（x+3y）﹣（2x﹣y）（x﹣4y），其中x＝﹣1，y＝2．
例7．（2020·陕西省榆林十二中初一期中）你能求（x一1）（x99+x98+x97+…+x+1）的值吗?
遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形人手，分别计算下列各式的值．
（1）（x－1）（x+1） =_____________；
（2）（x—1）（ x2+x+1） =_____________；
（3）（x－1）（x3+ x2+x+1） =____________；
…
由此我们可以得到：
（4）（x一1）（ x99+x98+x97+…+x+1） =___________，
请你利用上面的结论，完成下列的计算：
（5）299+298+297+…+2+1；
例8．（2020·四川省北大附中成都为明学校初二月考）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得
则
．
解得：，
另一个因式为，m的值为
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
