专题08 平方差公式及完全平方公式
知识框架
重难突破
一、平方差公式
1、代数表述平方差公式：
2、文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
备注：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
例1．（2019·浙江省初一期中）计算：______．
练习1.（2018·绍兴市元培中学初一期中）下列整式的运算可以运用平方差公式计算的有（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2．（2019·山东省初一期中）__________．
练习1．（2018·绍兴市元培中学初一期中）=______．
例3．（2019·河北省初一期中）如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
练习1．（2020·石家庄市第四十一中学初三其他）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长（ ）
A． B． C． D．9
二、完全平方公式
1、代数表述完全平方公式：
2、文字表述：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
备注：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
三、补充公式
；；
；.
例1．（2019·山东省初一期中）运用乘法公式计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
练习1．（2018·安徽省初一期中）填空：（2a+b）（_______）＝4a2+4ab+b2．
例2（2018·安徽省初一期中）若x2+mxy+y2是完全平方式，则常数m的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．±
练习1．（2020·江苏省初二月考）已知多项式，多项式．
（1）若多项式是完全平方式，则________；
（2）已知时，多项式的值为-1，则时，该多项式的值为多少？
（3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由．
例3．（2020·湖南省初一月考）已知，，则＝____．
练习1．（2018·绍兴市元培中学初一期中）阅读：已知，，求的值．
解：∵，，
∴．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知，，求的值．
（2）已知，求的值．
例4．（2020·江苏省初一期中）先化简，再求值：（2a＋b）2－（3a－b）2＋5a（a－b），其中a =1，b＝—1．
练习1．（2020·江苏省初一期中）先化简，再求值：，其中．
例5．（2020·淄博市淄川区城南镇第一中学初一期中）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：
问题一：，
（1）则________，________；
（2）计算：；
问题二：已知，
（1）则________，________；
（2）已知长和宽分别为，的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值．
练习1．（2020·南京市金陵中学河西分校初一期中）（阅读理解）“若满足，求的值”．
解：设，，则，
，
（解决问题）
（1）若满足，则的值为________；
（2）若满足，则的值为________；
（3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．专题08 平方差公式及完全平方公式
知识框架
重难突破
一、平方差公式
1、代数表述平方差公式：
2、文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
备注：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
例1．（2019·浙江省初一期中）计算：______．
【答案】
【解析】∵，
故答案为：．
练习1.（2018·绍兴市元培中学初一期中）下列整式的运算可以运用平方差公式计算的有（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①一个数相同，一个数相反，可以运用平方差公式运算，
②两个数相反，不可以运用平方差公式运算，
③两个数相反，不可以运用平方差公式运算，
④一个数相同，一个数相反，可以运用平方差公式运算．
所以可以运用平方差公式计算的有2个，
故选：B．
例2．（2019·山东省初一期中）__________．
【答案】
【解析】解：=
而
故答案为：．
练习1．（2018·绍兴市元培中学初一期中）=______．
【答案】．
【解析】
例3．（2019·河北省初一期中）如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
【答案】A
【解析】图1阴影部分面积：a2﹣b2，
图2阴影部分面积：（a+b）（a﹣b），
由此验证了等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：A．
练习1．（2020·石家庄市第四十一中学初三其他）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长（ ）
A． B． C． D．9
【答案】A
【解析】拼成的长方形的面积，
，
，
∵拼成的长方形一边长为，
∴另一边长是．
故选：A．
二、完全平方公式
1、代数表述完全平方公式：
2、文字表述：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
备注：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
三、补充公式
；；
；.
例1．（2019·山东省初一期中）运用乘法公式计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：=
故选C．
练习1．（2018·安徽省初一期中）填空：（2a+b）（_______）＝4a2+4ab+b2．
【答案】2a+b．
【解析】解：4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，
∴（2a+b）（2a+b）＝4a2+4ab+b2，
故答案为2a+b．
例2（2018·安徽省初一期中）若x2+mxy+y2是完全平方式，则常数m的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．±
【答案】C
【解析】解：∵完全平方公式有两个，
∴，
∴m＝±5；
故选C．
练习1．（2020·江苏省初二月考）已知多项式，多项式．
（1）若多项式是完全平方式，则________；
（2）已知时，多项式的值为-1，则时，该多项式的值为多少？
（3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由．
【答案】（1）1或-1；（2）；（3），理由见解析
【解析】解：（1）∵多项式是完全平方式，
∴，
∴n的值为1或－1
（2）当时，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴时，多项式的值为
（3）
理由如下：
∵，
∴
∴
例3．（2020·湖南省初一月考）已知，，则＝____．
【答案】13
【解析】解：对a+b=-5两边同时平方，得到：
(a+b)2=25，展开后得到：
a2+b2+2ab=25，再将ab=6代入，得到：
a2+b2+12=25
∴a2+b2=13.
故答案为：13
练习1．（2018·绍兴市元培中学初一期中）阅读：已知，，求的值．
解：∵，，
∴．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知，，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）5；（2）76．
【解析】解：（1）因为（a-b）2=（-3）2，
所以a2-2ab+b2=9，
又∵ab=-2
∴a2+b2=9-4=5.
（2）∵（m-n-p）2=（-10）2=100，
即[（m-p）-n]2=100，
∴（m-p）2-2n（m-p）+n2=100，
∴（m-p）2+n2=100+2n（m-p）
=100+2×（-12）
=76．
例4．（2020·江苏省初一期中）先化简，再求值：（2a＋b）2－（3a－b）2＋5a（a－b），其中a =1，b＝—1．
【答案】5ab，-5．
【解析】解：原式=4a2+4ab+b2 – 9a2+6ab– b2 +5a2– 5ab=5ab
当a =1，b= – 1时，
原式=5×1×（– 1）= – 5．
练习1．（2020·江苏省初一期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】；0
【解析】解：
=
=
当时，原式=．
例5．（2020·淄博市淄川区城南镇第一中学初一期中）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：
问题一：，
（1）则________，________；
（2）计算：；
问题二：已知，
（1）则________，________；
（2）已知长和宽分别为，的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值．
【答案】问题一：（1），；（2）；问题二：（1），；（2）的值为39．
【解析】问题一：（1）
可变形为：
则，
故答案为：，；
（2）
；
问题二：（1）
则
则
故答案为：，；
（2）由题意得：
整理得：
则
将，代入得：原式
故的值为39．
练习1．（2020·南京市金陵中学河西分校初一期中）（阅读理解）“若满足，求的值”．
解：设，，则，
，
（解决问题）
（1）若满足，则的值为________；
（2）若满足，则的值为________；
（3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
【答案】（1）140；（2）10；（3）1056．
【解析】解：（1）设，，
则，，
∴；
故答案为：140；
（2）设，，
则，，
∴；
故答案为：10；
（3）由题意得：，，
∴，
设，，
则，，
∵四边形和都是正方形，
∴，，
∴．
