(共33张PPT)
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
第二章 §2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握空间中线面、面面垂直的性质定理.
2.能够运用线面、面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.
3.理解线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系.
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______
符号语言
图形语言 ?
平行
知识点二 平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，则 垂直于 的直线与另一个平面_____
符号语言 α⊥β，α∩β＝l， ， ?a⊥β
图形语言 ?
一个平面内
交线
垂直
a?α
a⊥l
1.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.( )
2.若平面α⊥平面β，任取直线l?α，则必有l⊥β.( )
3.若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一个平面.( )
4.已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.( )
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
√
×
2
题型探究
PART TWO
例1 如图，已知正方体A1C.
(1)求证：A1C⊥B1D1；
题型一 线面垂直性质定理的应用
证明 如图，连接A1C1.
∵CC1⊥平面A1B1C1D1，
B1D1?平面A1B1C1D1，
∴CC1⊥B1D1.
∵四边形A1B1C1D1是正方形，
∴A1C1⊥B1D1.
又∵CC1∩A1C1＝C1，
A1C1，CC1?平面A1C1C，
∴B1D1⊥平面A1C1C.
又∵A1C?平面A1C1C，
∴B1D1⊥A1C.
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.
证明 连接B1A，AD1.
∵B1C1∥AD，且B1C1＝AD
∴四边形ADC1B1为平行四边形，
∴C1D∥AB1.
∵MN⊥C1D，
∴MN⊥AB1.
又∵MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，
AB1，B1D1?平面AB1D1，
∴MN⊥平面AB1D1.
由(1)知A1C⊥B1D1.
同理可得A1C⊥AB1.
又∵AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1?平面AB1D1，
∴A1C⊥平面AB1D1.
∴A1C∥MN.
反思感悟
证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
跟踪训练1 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a?α，a⊥AB.求证：a∥l.
证明 ∵PA⊥α，l?α，∴PA⊥l.同理PB⊥l.
∵PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a?α，∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.
题型二 面面垂直性质定理的应用
例2 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
证明 如图，在平面PAB内，
作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，
AD?平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.
反思感悟
证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
跟踪训练2 如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
证明 ∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACDE.
又AM?平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值.
解 取AB的中点F，连接CF，EF.
∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，
∴EA⊥平面ABC，
∵CF?平面ABC，∴EA⊥CF.
又AC＝BC，∴CF⊥AB.
∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，
∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角.
垂直关系的综合应用
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
典例 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证：AD⊥PB；
证明 设G为AD的中点，连接PG，BG，如图.
因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
因为G为AD的中点，所以BG⊥AD.
又因为BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.
因为PB?平面PGB，所以AD⊥PB.
(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.
解 当F为PC的中点时，
满足平面DEF⊥平面ABCD.
设F为PC的中点，则在△PBC中，EF∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE，
而PB∩GB＝B，EF∩DE＝E，
所以平面DEF∥平面PGB.
由(1)得，PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD.
素养
评析
以四棱锥为载体，通过对线线、线面、面面垂直关系的论述，使学生掌握推理的基本形式和规则，发现表述论证过程，学会有逻辑地思考问题，提升逻辑推理的数学核心素养.
3
达标检测
PART THREE
1.在空间中，下列哪些命题是正确的
①平行于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③平行于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
A.①③④ B.①④ C.① D.①②③④
1
2
3
4
5
√
2.下列命题正确的是
A.①② B.①③ C.②③ D.①
√
1
2
3
4
5
3.已知平面α⊥平面β，则下列命题中真命题的个数是
①α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线；
②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；
③α内的任意一条直线必垂直于β；
④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α.
A.4 B.3 C.2 D.1
√
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
解析 ①设α∩β＝l，a?α，b?β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；
②β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线，为真命题；
③α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题；
④垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直，为假命题.
4.如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝___.
1
2
3
4
5
6
解析 ∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
∴AF∥DE.
又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，
故EF＝AD＝6.
5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SDC⊥平面SBC.
1
2
3
4
5
证明 因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD，
平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，
所以BC⊥平面SDC.
又因为BC?平面SBC，
所以平面SDC⊥平面SBC.
1
2
3
4
5
1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：
课堂小结
KE TANG XIAO JIE中小学教育资源及组卷应用平台
2.3.3 直线与平面垂直的性质~ 2.3.4 平面与平面垂直的性质
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( )
A.平行 B.相交
C.垂直 D.互为异面直线
答案 C
2.已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：
①?n∥α； ②?m∥n；
③?α∥β； ④?m∥n.
其中正确命题的序号是( )
A.②③ B.③④
C.①② D.①②③④
答案 A
解析 ①中n，α可能平行或n在平面α内；②③正确；④两直线m，n平行或异面，故选A.
3.设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A.直线a必垂直于平面β
B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β
D.过a的平面与过b的平面垂直
答案 C
解析 当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.
4.已知l⊥平面α，直线m?平面β.有下面四个命题：
①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.
其中正确的两个命题是( )
A.①② B.③④
C.②④ D.①③
答案 D
解析 ∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m?β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m?β，∴α⊥β，故③正确.
5.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
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A.EF⊥平面α
B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE
D.PQ⊥FH
答案 B
解析 因为EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
6.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在( )
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A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线AC上
D.△ABC内部
答案 A
解析 在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.
又∵AC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，
D在平面ABC内的射影H必在直线AB上.故选A.
7.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α；
④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 ①正确；③正确.
8.在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )
A.2 B.2 C.4 D.4
答案 B
解析 连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.
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二、填空题
9.a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是________.
答案 平行
解析 由线面垂直的性质定理可得.
10.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________.
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答案 6
解析 ∵CA＝CB，O为AB的中点，
∴CO⊥AB.
又平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，CO?平面ABC，∴CO⊥平面ABD.
∵OD?平面ABD，∴CO⊥OD，
∴△COD为直角三角形.
∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个.
11.已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面有四个命题：
①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；
②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β；
③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；
④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β.
其中所有真命题的序号是________.
答案 ①④
三、解答题
12.如图，三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC，
求证：平面PAB⊥平面PBC.
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证明 ∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，PA?平面PAC，
∴PA⊥平面ABC.又BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB，
PA?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.
又BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.
13.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
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求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明 (1)在平面ABD内，
因为AB⊥AD，EF⊥AD，
则AB∥EF.
又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AD?平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，
BC?平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC?平面ABC，
所以AD⊥AC.
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14.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________.
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答案 ∶2
解析 由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cos α＝＝，cos β＝，所以cos α∶cos β＝∶2.
15.如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.
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证明 设AC∩BD＝O，
连接EO，则EO∥PC.
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∵PC＝CD＝a，PD＝a，
∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又EO?平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.
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2.3.3 直线与平面垂直的性质~ 2.3.4 平面与平面垂直的性质
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( )
A.平行 B.相交
C.垂直 D.互为异面直线
2.已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：
①?n∥α； ②?m∥n；
③?α∥β； ④?m∥n.
其中正确命题的序号是( )
A.②③ B.③④
C.①② D.①②③④
3.设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A.直线a必垂直于平面β
B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β
D.过a的平面与过b的平面垂直
4.已知l⊥平面α，直线m?平面β.有下面四个命题：
①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.
其中正确的两个命题是( )
A.①② B.③④
C.②④ D.①③
5.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A.EF⊥平面α
B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE
D.PQ⊥FH
6.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在( )
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线AC上
D.△ABC内部
7.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α；
④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )
A.2 B.2 C.4 D.4
二、填空题
9.a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是________.
10.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________.
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11.已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面有四个命题：
①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；
②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β；
③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；
④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β.
其中所有真命题的序号是________.
三、解答题
12.如图，三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC，
求证：平面PAB⊥平面PBC.
13.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
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14.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________.
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15.如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.
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