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点、直线、平面之间的位置关系章末复习
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.在空间中，下列命题正确的是( )
A.若平面α内有无数条直线与直线l平行，则l∥α
B.若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥β
C.若平面α内有无数条直线与直线l垂直，则l⊥α
D.若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则α⊥β
答案 D
解析 对于A，若平面α内有无数条直线与直线l平行，则l可能在平面α内，故错；
对于B，若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α与β可能相交，故错；
对于C，若平面α内有无数条直线与直线l垂直，则l与α可能斜交，故错；
对于D，若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则平面α经过平面β的垂线，则α⊥β，故正确.故选D.
2.在正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 取CD的中点P，连接AP，BP，
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可证得CD⊥平面PAB，从而可得CD⊥AB.
取AC的中点M，连接ME，MF，
则ME∥CD，ME＝CD，
MF∥AB，MF＝AB，
∴∠MEF即为异面直线EF与CD所成的角(或其补角).
在△MEF中，∠EMF＝，ME＝MF.
∴∠MEF＝.
∴异面直线EF与CD所成的角为.
3.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论：
①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④直线B1D1与BC所成的角为45°.其中正确结论的个数为( )
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A.4 B.3 C.2 D.1
答案 A
解析 在①中，由正方体的性质得，BD∥B1D1，
BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，
∴BD∥平面CB1D1，故①正确；
在②中，由正方体的性质得AC⊥BD，CC1⊥BD，
又AC∩CC1＝C，
∴BD⊥平面ACC1，∴AC1⊥BD，故②正确；
在③中，由正方体的性质得BD∥B1D1，
由②知，AC1⊥BD，∴AC1⊥B1D1，
同理可证AC1⊥CB1，
故AC1⊥平面CB1D1内的两条相交直线，
∴AC1⊥平面CB1D1，故③正确；
在④中，异面直线B1D1与BC所成的角就是直线BC与BD所成的角，
故∠CBD为异面直线B1D1与BC所成的角，
在等腰直角△BCD中，∠CBD＝45°，
故直线B1D1与BC所成的角为45°，故④正确.
故选A.
4.空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是________.
答案 45°
解析 如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.
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因为AB＝AD，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO?平面ABD，所以AO⊥平面BCD.
因此，∠ACO即为AC与平面BCD所成的角.
由于∠BAD＝90°＝∠BCD，所以AO＝OC＝BD，
又AO⊥OC，所以∠ACO＝45°.
5.如图，在棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
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求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明 (1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，
所以DE∥PA.
又因为PA?平面DEF，DE?平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.
6.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
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解 当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接BD与AC交于点O，连接FO，则PF＝PB.
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∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，∴OF∥PD.
又OF?平面PMD，PD?平面PMD，
∴OF∥平面PMD.又MA∥PB且MA＝PB，
∴PF∥MA且PF＝MA，
∴四边形AFPM是平行四边形，
∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
7.如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.
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(1)求证：AC⊥平面BCE；
(2)求证：AD⊥AE.
证明 (1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
(2)因为AF⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF?平面ABEF，AB?平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF.
又AE?平面ABEF，所以AD⊥AE.
8.如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
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(1)AO与A′C′所成角的大小；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.
解 (1)∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，
∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B，
AB，BO?平面ABO，
∴OC⊥平面ABO.
又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°.
即AO与A′C′所成角为30°.
(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE.
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∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE?平面BC′，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.
在Rt△OAE中，OE＝，AE＝ ＝，
∴tan∠OAE＝＝.
即AO与平面ABCD所成角的正切值为.
(3)由(1)可知OC⊥平面AOB.
又∵OC?平面AOC，
∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.
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点、直线、平面之间的位置关系章末复习
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.在空间中，下列命题正确的是( )
A.若平面α内有无数条直线与直线l平行，则l∥α
B.若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥β
C.若平面α内有无数条直线与直线l垂直，则l⊥α
D.若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则α⊥β
2.在正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为( )
A. B. C. D.
3.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论：
①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④直线B1D1与BC所成的角为45°.其中正确结论的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是________.
5.如图，在棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
6.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
7.如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.
(1)求证：AC⊥平面BCE；
(2)求证：AD⊥AE.
8.如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的大小；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.
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章末复习
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1
知识梳理
PART ONE
一、网络构建
_____
_____
二、要点归纳
1.四个公理
公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2：过 的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有________________
.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 .
2.直线与直线的位置关系
不在一条直线上
两点
一条过该点的公
共直线
平行
共面直线
平行
相交
异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点
任何
3.判定线线平行的方法
(1)利用定义：证明线线共面且无公共点.
(2)利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：
a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.
(4)利用面面平行的性质定理：
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.
(5)利用线面垂直的性质定理：
a⊥α，b⊥α?a∥b.
4.判定线面平行的方法
(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点，往往借助反证法.
(2)利用直线和平面平行的判定定理：
a?α，b?α，a∥b?a∥α.
(3)利用面面平行的性质的推广：
α∥β，a?β?a∥α.
5.判定面面平行的方法
(1)利用面面平行的定义：两个平面没有公共点.
(2)利用面面平行的判定定理：
a?α，b?α，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行，
即a⊥α，a⊥β?α∥β.
(4)平行于同一个平面的两个平面平行，
即α∥γ，β∥γ?α∥β.
6.证明直线与平面垂直的方法
(1)利用线面垂直的定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面.
符号表示：?a?α，l⊥a?l⊥α.(其中“?”表示“任意的”)
(2)利用线面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
符号表示：l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m∩n＝P?l⊥α.
(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
符号表示：a∥b，a⊥α?b⊥α.
(4)利用面面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.
符号表示：α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l?m⊥β.
7.证明平面与平面垂直的方法
(1)利用平面与平面垂直的定义：若两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.
符号表示：α∩β＝l，O∈l，OA?α，OB?β，OA⊥l，OB⊥l，∠AOB＝90°?α⊥β.
(2)利用平面与平面垂直的判定定理：若一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直.
符号表示：l⊥α，l?β?α⊥β.
8.空间中的三类角
(1)异面直线所成的角，范围：0°<α≤90°.
(2)直线与平面所成的角，范围：0°≤θ≤90°.
(3)二面角，范围：0°≤θ≤180°.
2
题型探究
PART TWO
例1 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
题型一 空间中的平行关系
解 当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接BD与AC交于点O，连接FO，则PF＝ PB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，∴OF∥PD.
又OF?平面PMD，PD?平面PMD，
∴OF∥平面PMD.又MA∥PB且MA＝ PB，
∴PF∥MA且PF＝MA，
∴四边形AFPM是平行四边形，
∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
反思感悟
(1)判断线面平行的两种常用方法
面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：
①利用线面平行的判定定理.
②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.
(2)判断面面平行的常用方法
①利用面面平行的判定定理.
②面面平行的传递性(α∥β，β∥γ?α∥γ).
③利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β?α∥β).
跟踪训练1 如图，四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，G是AE，DF的交点，H，R分别是BE，AD的中点，求证：平面GHR∥平面CDE.
证明 ∵G是AE，DF的交点，四边形ADEF是正方形，
∴G是AE，DF的中点.
又H是BE的中点，∴GH∥AB.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，∴GH∥CD.
又CD?平面CDE，GH?平面CDE，
∴GH∥平面CDE.
又R为AD的中点，∴GR∥ED.
又GR?平面CDE，ED?平面CDE，
∴GR∥平面CDE.
∵GH∩GR＝G，且GH?平面GHR，GR?平面GHR，
∴平面GHR∥平面CDE.
题型二 空间中的垂直关系
例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
证明 因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA?平面PAD，PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.
(2)BE∥平面PAD；
证明 因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.
又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，所以AP⊥CD.
又因为AP∩AD＝A，AP，AD?平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE?平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
反思感悟
(1)判定线面垂直的方法
①线面垂直定义(一般不易验证任意性).
②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α).
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α?a⊥α).
④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α).
⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β).
⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ).
(2)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义.
②面面垂直的判定定理.
跟踪训练2 如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.
(1)求证：AC⊥平面BCE；
证明 在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
(2)求证：AD⊥AE.
证明 因为AF⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF?平面ABEF，AB?平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF.
又AE?平面ABEF，所以AD⊥AE.
题型三 空间角的求法
例3 如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的大小；
解 ∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，
∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B，
AB，BO?平面ABO，
∴OC⊥平面ABO.
又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.
∴∠OAC＝30°.
即AO与A′C′所成角为30°.
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
解 如图，作OE⊥BC于E，连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE?平面BC′，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.
(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.
解 由(1)可知OC⊥平面AOB.
又∵OC?平面AOC，
∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.
反思感悟
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).
(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).
(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法.
跟踪训练3 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且CD＝2AB.
(1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小；
解 ∵AB⊥AD，CD∥AB，∴CD⊥AD，
又PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角.
又直线PB与CD所成的角为45°，
∴∠PBA＝45°，PA＝AB.
∴在Rt△PAD中，PA＝AD，∴∠PDA＝45°，
即二面角P－CD－B的大小为45°.
解 当点E在线段PC上，且满足PE∶EC＝1∶2时，
平面EBD⊥平面ABCD.理由如下：
连接AC交BD于点O，连接EO.
由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO，
∴PE∶EC＝AO∶CO＝1∶2，∴PA∥EO.
∵PA⊥底面ABCD，∴EO⊥底面ABCD.
又EO?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面ABCD.
(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由.
3
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PART THREE
1.在空间中，下列命题正确的是
A.若平面α内有无数条直线与直线l平行，则l∥α
B.若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥β
C.若平面α内有无数条直线与直线l垂直，则l⊥α
D.若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则α⊥β
1
2
3
4
5
√
解析 对于A，若平面α内有无数条直线与直线l平行，则l可能在平面α内，故错；
对于B，若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α与β可能相交，故错；
对于C，若平面α内有无数条直线与直线l垂直，则l与α可能斜交，故错；
对于D，若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则平面α经过平面β的垂线，则α⊥β，故正确.故选D.
1
2
3
4
5
2.在正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为
√
1
2
3
4
5
解析 取CD的中点P，连接AP，BP，
可证得CD⊥平面PAB，从而可得CD⊥AB.
取AC的中点M，连接ME，MF，
∴∠MEF即为异面直线EF与CD所成的角(或其补角).
1
2
3
4
5
3.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论：
①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④直线B1D1与BC所成的角为45°.其中正确结论的个数为
A.4 B.3 C.2 D.1
√
1
2
3
4
5
解析 在①中，由正方体的性质得，BD∥B1D1，
BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，
∴BD∥平面CB1D1，故①正确；
在②中，由正方体的性质得AC⊥BD，CC1⊥BD，
又AC∩CC1＝C，
∴BD⊥平面ACC1，∴AC1⊥BD，故②正确；
在③中，由正方体的性质得BD∥B1D1，
由②知，AC1⊥BD，∴AC1⊥B1D1，
同理可证AC1⊥CB1，
故AC1⊥平面CB1D1内的两条相交直线，
∴AC1⊥平面CB1D1，故③正确；
1
2
3
4
5
在④中，异面直线B1D1与BC所成的角就是直线BC与BD所成的角，
故∠CBD为异面直线B1D1与BC所成的角，
在等腰直角△BCD中，∠CBD＝45°，
故直线B1D1与BC所成的角为45°，故④正确.
故选A.
4.空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是____.
1
2
3
4
5
45°
解析 如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.
因为AB＝AD，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO?平面ABD，所以AO⊥平面BCD.
因此，∠ACO即为AC与平面BCD所成的角.
又AO⊥OC，所以∠ACO＝45°.
1
2
3
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5.如图，在棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
证明 因为D，E分别为棱PC，AC的中点，
所以DE∥PA.
又因为PA?平面DEF，DE?平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
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(2)平面BDE⊥平面ABC.
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又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.
证明 因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，
