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第5章 磁场与回旋加速器
习题课 带电粒子在磁场中的运动
理论储备·基础回顾
条分缕析·夯基固本
典题分类讲练结合
分类讲解·举一反三(共19张PPT)习题课 带电粒子在磁场中的运动
公式、推论
1.特征方程：f洛＝F向.
2.四个基本公式
(1)向心力公式：qvB＝m；
(2)半径公式：r＝；
(3)周期和频率公式：T＝＝；
(4)动能公式：Ek＝mv2＝.
在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ＝60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图所示.不计粒子重力，求：
(1)M、N两点间的电势差UMN；
(2)粒子在磁场中运动的轨道半径r；
(3)粒子从M点运动到P点的总时间t.
[解析] 粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，两者的衔接点是N点的速度.
(1)设粒子过N点时的速度为v，有＝cos θ，v＝2v0.
粒子从M点运动到N点的过程，有qUMN＝mv2－mv，所以UMN＝eq \f(3mv,2q).
(2)如图所示，粒子在磁场中以O′为圆心做匀速圆周运动，半径为O′N，有qvB＝，所以r＝＝.
(3)由几何关系得ON＝rsin θ，设粒子在电场中运动的时间为t1，有ON＝v0t1，所以t1＝＝＝＝.
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝，设粒子在磁场中运动的时间为t2，有
t2＝T＝·＝.
所以t＝t1＋t2＝.
[答案] (1)eq \f(3mv,2q) (2) (3)
1.如图所示，在xOy坐标平面的第一象限内有一沿y轴负方向的匀强电场，在第四象限内有一垂直于平面向里的匀强磁场.现有一质量为m、电荷量为＋q的粒子(重力不计)从坐标原点O以速度大小v0射入磁场，其入射方向与x轴的正方向成30°角.当粒子第一次进入电场后，运动到电场中P点处时，方向与x轴正方向相同，P点坐标为[(2＋1)L，L].(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)粒子运动到P点时速度的大小v；
(2)匀强电场的电场强度E和匀强磁场的磁感应强度B；
(3)粒子从O点运动到P点所用的时间t.
解析：(1)粒子运动轨迹如图所示，OQ段为圆弧，QP段为抛物线，粒子在Q点时的速度大小为v0，根据对称性可知，方向与x轴正方向成30°角，可得：
v＝v0cos 30°
解得：v＝v0.
(2)在粒子从Q运动到P的过程中，由动能定理得
－qEL＝mv2－mv
解得E＝eq \f(mv,8qL)
水平方向的位移为xQP＝v0t1
竖直方向的位移为y＝v0sin 30°t1＝L
可得xQP＝2L，OQ＝xOP－xQP＝L
由于OQ＝2Rsin 30°，故粒子在OQ段做圆周运动的半径R＝L，又qv0B＝meq \f(v,R)，解得B＝.
(3)粒子从O点运动到Q点所用的时间为
t1＝×＝
设粒子从Q到P所用时间为t2，在竖直方向上有
t2＝＝
则粒子从O点运动到P点所用的时间为
t＝t1＋t2＝.
答案：(1)v0 (2)eq \f(mv,8qL) (3)
如图所示，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里，一质量为m、带电荷量为q的微粒以速度v与磁场垂直、与电场成45°角射入复合场中恰能做直线运动，求电场强度E和磁感应强度B的大小.
[解析] 由于带电微粒所受洛伦兹力与v垂直，电场力的方向与电场线平行，所以微粒还要受重力作用才能做直线运动.若微粒带负电，则电场力水平向左，则它所受的洛伦兹力f就应向右下与v垂直，这样粒子就不能做直线运动，所以微粒应带正电荷，画出受力图如图所示.根据合力为零得：
mg＝qvBsin45°①
qE＝qvBcos45°②
由①式得B＝.
由①②联立得E＝.
[答案]
2.如图所示，在正交的匀强电场和匀强磁场中，一带电粒子在竖直平面内做匀速圆周运动，则粒子带电性质和环绕方向分别是( )
A．带正电，逆时针
B．带正电，顺时针
C．带负电，逆时针
D．带负电，顺时针
解析：选C．粒子在复合场中做匀速圆周运动，所以粒子所受重力与电场力二力平衡，所以电场力方向向上，粒子带负电，根据左手定则，负电荷运动方向向上时受向左的作用力做逆时针运动，选项C正确.
如图所示，一对平行极板长为x，极板间距离为y，极板间有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场.一质量为m、电荷量为e的电子，从左侧边界线的中点处，沿平行于极板且垂直磁感线的方向射入磁场.欲使电子不飞出匀强磁场区，它的速率v应满足什么条件？
[解析] 根据左手定则知电子只能向下偏转.电子在磁场中做匀速圆周运动，可能从下极板左侧飞出，也可能从下极板右侧飞出.
若电子恰从左侧飞出，运动轨迹如图甲所示，此时轨迹与下极板相切.由几何关系得r1＝，根据半径公式r1＝得v1＝＝.
若电子恰从右侧飞出，运动轨迹如图乙所示，此时轨迹与极板右侧边缘相交.作入射速度的垂线和入射点与出射点连线的中垂线，交点O′即为圆心，连接圆心O′与下极板右侧边缘的点，即为圆周运动的另一条半径，由图中几何关系得r＝x2＋，
r2＝，根据轨道半径公式r2＝解得
v2＝，故为使电子不飞出磁场区域，
必满足＜v＜.
[答案] ＜v＜
3.如图甲所示，MN为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示.有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场.已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力.求：
(1)磁感应强度B0的大小；
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值.
解析：设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向.
(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力
B0qv0＝eq \f(mv,R)
而v0＝
由两式得磁感应强度B0＝.
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有R＝
做匀速圆周运动的周期T0＝
当两板之间正离子运动n个周期，即nT0时，
有R＝(n＝1，2，3…)
联立求解，得正离子的速度的可能值为
v0＝＝(n＝1，2，3…).
答案：(1) (2)(n＝1，2，3…)
1.如图所示，重力不计的带电粒子水平向右进入匀强磁场，对该带电粒子进入磁场后的运动情况，以下判断正确的是( )
A．粒子向上偏转 B．粒子向下偏转
C．粒子不偏转 D．粒子很快停止运动
解析：选A．根据左手定则，让磁感线垂直穿过手心，四指指向正粒子运动方向，则拇指指向为粒子受到的洛伦兹力方向，故受到向上的洛伦兹力，所以粒子向上偏转，故A正确.
2.如图所示，A板发出的电子(重力不计)经加速后，水平射入水平放置的两平行金属板M、N间，M、N之间有垂直纸面向里的匀强磁场，电子通过磁场后最终打在荧光屏P上，关于电子的运动，下列说法中正确的是( )
A．当滑动触头向右移动时，电子打在荧光屏的位置下降
B．当滑动触头向右移动时，电子通过磁场区域所用时间不变
C．若磁场的磁感应强度增大，则电子打在荧光屏上的速度大小不变
D．若磁场的磁感应强度增大，则电子打在荧光屏上的速度变大
解析：选C．当滑动触头向右移动时，电场的加速电压增大，加速后电子动能增大，进入磁场的初速度增大，向下偏转程度变小，位置上升，选项A错误.由于在磁场中运动对应的圆心角变小，运动时间变短，选项B错误.电子在磁场中运动速度大小不变，选项C正确，D错误.
3.(多选)如图为一“速度选择器”装置的示意图.a、b为水平放置的平行金属板，一束具有各种不同速率的电子沿水平方向经小孔O进入a、b两板之间.为了选取具有某种特定速率的电子，可在a、b间加上电压，并沿垂直于纸面的方向加一匀强磁场，使所选电子仍能够沿水平直线OO′运动，由O′射出，不计重力作用.可能达到上述目的的办法是( )
A．使a板电势高于b板，磁场方向垂直纸面向里
B．使a板电势低于b板，磁场方向垂直纸面向里
C．使a板电势高于b板，磁场方向垂直纸面向外
D．使a板电势低于b板，磁场方向垂直纸面向外
解析：选AD．要使电子沿直线OO′运动，则电子在竖直方向所受电场力和洛伦兹力平衡，若a板电势高于b板，则电子所受电场力方向竖直向上，其所受洛伦兹力方向必向下，由左手定则可判定磁场方向垂直纸面向里，故A选项正确.同理可判断D选项正确.
4.(多选)如图所示，在竖直平面内放一个光滑绝缘的半圆形轨道，水平方向的匀强磁场与半圆形轨道所在的平面垂直.一个带正电荷的小滑块由静止开始从半圆轨道的最高点M滑下，则下列说法中正确的是( )
A．滑块经过最低点时的速度比磁场不存在时大
B．滑块从M点滑到最低点所用的时间比磁场不存在时短
C．滑块经过最低点时的速度与磁场不存在时相等
D．滑块从M点滑到最低点所用的时间与磁场不存在时相等
解析：选CD．因为洛伦兹力不做功，小滑块从最高点M滑至最低点过程中，不管磁场存在与否，都是只有重力做功，由动能定理判知，经过最低点时的速度相等，故C对，A错；由于f⊥v，不改变v的大小，故两种情况下滑时间相等，故B错，D对.
5.如图，空间某一区域内存在着相互垂直的匀强电场和匀强磁场，一个带电粒子以某一初速度由A点进入这个区域沿直线运动，从C点离开此区域；如果这个区域只有电场，则粒子从B点离开场区；如果这个区域只有磁场，则粒子从D点离开场区；设粒子在上述三种情况下，从A到B点、A到C点和A到D点所用的时间分别是t1、t2和t3，比较t1、t2和t3的大小，则有(粒子重力忽略不计)( )
A．t1＝t2＝t3 B．t2C．t1＝t2t2
解析：选C．在复合场中沿直线运动时，带电粒子速度大小和方向都不变；只有电场时，粒子沿初速度方向的分速度不变，故t1＝t2.只有磁场时，粒子做匀速圆周运动，速度大小不变，方向时刻改变，沿初速度方向的分速度不断减小，故t1＝t26.(多选)如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个电荷量绝对值相同、质量相同的正、负粒子(不计重力)，从O点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则正、负粒子在磁场中( )
A．运动时间相同
B．运动轨迹的半径相同
C．重新回到边界时速度大小和方向相同
D．重新回到边界时与O点的距离相等
解析：选BCD．两偏转轨迹的圆心都在射入速度方向的垂线上，可假设它们的半径为某一长度，从而画出两偏转轨迹，如图所示.由此可知它们的运动时间分别为：t1＝，t2＝；轨迹半径R＝相等；射出速度方向都与边界成θ角且偏向相同；射出点与O点距离相等，为d＝2R·sinθ.故B、C、D正确.
7.如图所示，一束电子的电荷量为e，以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，穿过磁场时的速度方向与原来电子入射方向的夹角是30°，则
(1)电子的质量是多少？
(2)电子穿过磁场的时间又是多少？
解析：(1)电子在磁场中运动时，只受洛伦兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分.又因为洛伦兹力与速度v垂直，故圆心应在电子穿入和穿出时所受洛伦兹力延长线的
交点上.从图中可以看出，AB弧所对的圆心角θ＝30°＝，OB即为半径r，由几何关系可得r＝＝2D．由半径公式r＝得m＝＝.
(2)带电粒子通过AB弧所用的时间，即穿过磁场的时间为
t＝T＝×T＝×＝＝.
答案：(1) (2)
8.如图所示，两块长度均为5d的金属板，相距d平行放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场，一束宽为d的电子束从两板左侧垂直磁场方向射入两板间.设电子电荷量为e，质量为m，入射速度为v0.要使电子不会从两板间射出，则匀强磁场的磁感应强度B应满足什么条件？
解析：磁感应强度B取最小值和最大值时，最上层电子的半径分别为r1、r2(如图).
B最小时，由几何关系得r1＝13d
代入Bev0＝eq \f(mv,r1)得B最小＝，B最大时，r2＝
代入Bev0＝eq \f(mv,r2)得B最大＝.
答案：≤B≤
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