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第5章 磁场与回旋加速器
本章优化总结
磁场与回旋加速器
磁场的产生
磁场的描述
磁场的作用
磁磁铁的电流的流磁场磁感磁通|磁感应|安培力
洛伦兹力
场磁场磁场」的判断线量强度
大方应大方圆周回旋加质谱
小向用[小向运动速器‖仪
知识体系网络构建
宏观把握·理清脉络
专题归纳·整合提升
归纳整合·深度升华本章优化总结
安培力作用下的平衡和加速问题
1.在安培力作用下的物体平衡，与力学、电学中的物体平衡一样，利用物体平衡条件解题.
2.与闭合电路欧姆定律相结合的题目，主要应用的知识：
(1)闭合电路欧姆定律；
(2)安培力求解公式F＝ILB及左手定则；
(3)物体平衡条件、牛顿第二定律、运动学公式.
3.(1)在安培力作用下的物体平衡问题的解题步骤和前面学习的共点力平衡问题相似，一般也是先进行受力分析，再根据共点力平衡的条件列出平衡方程，其中重要的是在受力分析过程中不要漏掉了安培力.
(2)安培力作用下的加速问题也与之前学习动力学问题一样，关键是做好受力分析，据牛顿第二定律求出加速度，再据运动学公式求解.
4.安培力作为通电导体所受的外力参与受力分析，产生了通电导体在磁场中的平衡、加速及做功问题，这类问题与力学知识联系很紧密，解题时把安培力等同于重力、弹力、摩擦力等性质力；对物体进行受力分析时，注意安培力大小和方向的确定；求解时注意运用力学中静力学、动力学及功和能等有关知识.
如图所示，在与水平方向夹角为60°的光滑金属导轨间有一电源，在相距1 m的平行导轨上放一质量为m＝0.3 kg的金属棒ab，通以从b→a，I＝3 A的电流，磁场方向竖直向上，这时金属棒恰好静止.(g＝10 m/s2)求：
(1)匀强磁场磁感应强度的大小；
(2)ab棒对导轨的压力.
[解析] 金属棒ab中电流方向由b→a，它所受到的安培力水平向右，它还受竖直向下的重力，垂直斜面向上的支持力，三力合力为零，由此可以求出安培力，从而求出磁感应强度B．再求出ab对导轨的压力.
(1)ab棒静止，受力情况如图所示，沿斜面方向受力平衡，则mgsin θ＝BILcos θ.B＝＝ T＝1.73 T.
(2)对导轨的压力为：N′＝N＝＝ N＝6 N.
[答案] (1)1.73 T (2)6 N
带电粒子在有界磁场中的运动
1.有界磁场的常见类型
有界磁场是指在局部空间存在匀强磁场，带电粒子从外界垂直磁场方向入射，经历一段时间后又离开磁场，通常有如下几种类型(如图所示)：
2.解此类问题的基本方法
解决此类问题时，找到粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心位置、半径大小，以及与半径相关的几何关系是关键.解决此类问题时应注意下列结论：
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹与边界相切.
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长.
(3)当荷质比相同，速率v变化时，在匀强磁场中运动的圆心角越大的，运动时间越长.
如图所示，一带电荷量为q＝＋2×10－9 C、质量为m＝1.8×10－16 kg的粒子，在直线上一点O处沿与直线成30°角的方向垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经历t＝1.5×10－6 s后到达直线上另一点P.求：
(1)粒子做圆周运动的周期T；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)若OP的距离为0.1 m，则粒子的运动速度v多大？
[解析] 粒子进入磁场后，受洛伦兹力的作用，重力很小可忽略.粒子做匀速圆周运动的轨迹如图所示.
(1)由几何关系可知弦OP对应的圆心角θ＝60°，粒子由O沿大圆弧到P
所对应圆心角为300°，则有＝＝，
解得T＝＝ s＝1.8×10－6 s.
(2)由粒子做圆周运动所需向心力为洛伦兹力，有
qvB＝m，2πR＝vT，
则有B＝＝ T＝0.314 T.
(3)轨道半径R＝OP＝0.1 m，粒子的速度
v＝＝ m/s＝3.49×105 m/s.
[答案] (1)1.8×10－6 s (2)0.314 T
(3)3.49×105 m/s
带电粒子在复合场中的运动
1.弄清复合场的组成.一般有磁场、电场的复合，磁场、重力场的复合，磁场、电场、重力场三者的复合.
2.正确受力分析，除重力、弹力、摩擦力外要特别注意静电力和磁场力的分析.
3.确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合.
4.对于粒子连续通过几个不同情况的场的问题，要分阶段进行处理.
5.画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律.
(1)当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解.
(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，应用牛顿运动定律结合圆周运动规律求解.
(3)当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解.
(4)对于临界问题，注意挖掘隐含的条件.
如图所示，在直角坐标系的第Ⅰ、Ⅱ象限内有垂直于纸面的匀强磁场，第Ⅲ象限有沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限内无电场和磁场.质量为m、带电荷量为q的粒子从M点以速度v0沿x轴负方向进入电场，不计粒子的重力，粒子经N、P最后又回到M点.设OM＝L，ON＝2L.求：
(1)电场强度E的大小；
(2)匀强磁场的方向；
(3)磁感应强度B的大小.
[解析] 如图所示，带电粒子从M点进入第Ⅲ象限做类平抛运动，－x方向上为匀速直线运动，＋y方向上为匀加速直线运动，粒子带负电；从N点进入第Ⅰ、Ⅱ象限内的匀强磁场区域做匀速圆周运动；从P回到M点是匀速直线运动.
(1)带电粒子在第Ⅲ象限：L＝t2，且2L＝v0t，则E＝eq \f(2mv,qL).
(2)粒子带负电，由左手定则可知匀强磁场的方向为垂直纸面向里.
(3)设粒子到达N点的速度为v，如图所示，设运动方向与x轴负方向的夹角为θ，由动能定理得： qEL＝mv2－mv，将上式中的E 代入可得v＝v0，所以θ＝45°，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，经过P点时速度方向也与x轴负方向成45°角.则OP＝OM＝L，NP＝NO＋OP＝3L，半径为r＝NPcos45°＝ L，又r＝，解得：B＝.
[答案] (1)eq \f(2mv,qL) (2)垂直纸面向里 (3)
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- 4 -章末过关检测(五)
(时间：60分钟，满分：100分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确)
1.如图所示，一束离子沿水平方向平行飞过小磁针上方时，小磁针的S极向纸外偏转，这一离子束可能是( )
A．向左飞行的正离子束或负离子束
B．向右飞行的正离子束或负离子束
C．向左飞行的正离子束
D．向右飞行的正离子束
解析：选D．向右飞行的正离子束形成的电流方向向右，根据安培定则可知，正离子束在下方产生的磁场方向向里，则N极转向里，S极转向外，因此可以是正离子束向右飞行，也可以负离子束向左飞行，A、B、C错误，D正确.
2.如图所示，美国物理学家安德森在研究宇宙射线时，在云雾室里观察到有一个粒子的径迹和电子的径迹弯曲程度相同，但弯曲方向相反，从而发现了正电子，获得了诺贝尔物理学奖.云雾室中磁场方向可能是( )
A．垂直纸面向外 B．垂直纸面向里
C．沿纸面向上 D．沿纸面向下
解析：选B．由图可知，向下运动的正电荷受到的洛伦兹力的方向向右，由左手定则可知，磁场的方向垂直于纸面向里.故选B．
3.如图所示，一水平放置的矩形闭合线圈abcd，在细长磁铁的N极附近竖直下落，保持bc边在纸外，ad边在纸内，从图中位置1经过位置2到位置3，位置1、3都很靠近2，在这个过程中，下列对穿过线圈磁通量的说法中正确的是( )
A．穿过线圈的磁通量越来越大
B．穿过线圈的磁通量越来越小
C．在位置2穿过线圈的磁通量最小
D．在位置2穿过线圈的磁通量最大
解析：选C．因为在位置2线圈与磁感线平行，没有磁感线穿过，故穿过线圈的磁通量最小，等于零，C对，D错；由于位置1、3都很靠近2，故从位置1到位置3穿过线圈的磁通量先变小再变大，A、B错.
4.如图所示，为演示电流对磁极作用力的实验，图中所示的小磁针跟它上方的导线平行.当闭合开关时可观察到的现象是( )
A．小磁针N极垂直纸面向里偏转
B．小磁针N极垂直纸面向外偏转
C．小磁针N极向上偏转
D．小磁针N极向下偏转
解析：选A．根据安培定则，导线下方的磁场方向是垂直纸面向里的，所以小磁针N极垂直纸面向里偏转，选项A正确.
5.弹簧测力计下挂一条形磁铁，其中条形磁铁N极一端位于未通电的螺线管正上方，如图所示，下列说法正确的是( )
A．若将a接电源正极，b接电源负极，弹簧测力计示数将不变
B．若将a接电源正极，b接电源负极，弹簧测力计示数将增大
C．若将b接电源正极，a接电源负极，弹簧测力计示数将减小
D．若将b接电源正极，a接电源负极，弹簧测力计示数将增大
解析：选D．通电后的螺线管可等效为一个条形磁铁.若将a接电源正极，b接电源负极，由安培定则可判断，螺线管上端为N极，根据同名磁极相斥，弹簧测力计下挂的条形磁铁受到向上的斥力，弹簧测力计的示数将减小，A、B错；同理可判断C错D对.
6.一不计重力的带电粒子垂直射入自左向右逐渐增强的磁场中，由于周围气体的阻碍作用，其运动轨迹恰为一段圆弧，则从图中可以判断( )
A．粒子从A点射入，速率逐渐减小
B．粒子从A点射入，速率逐渐增大
C．粒子从B点射入，速率逐渐减小
D．粒子从B点射入，速率逐渐增大
解析：选A．由于周围气体的阻碍作用，带电粒子的速度逐渐减小，而其运动轨迹仍为一段圆弧，即半径的大小不变，由公式r＝可知带电粒子从磁场强的地方运动到磁场弱的地方，故选A．
7.如图所示，两根相互平行的长直导线分别通有方向相反的电流I1和I2，且I1>I2；a、b、c、d为导线某一横截面所在平面内的四点，且a、b、c与两导线共面；b点在两导线之间，b、d的连线与导线所在平面垂直.磁感应强度可能为零的点是( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
解析：选C．由于I1>I2，且a点离I1近，所以I1比I2在a点产生的磁场强，虽然I1、I2在a点形成的磁场方向相反，但合场强不可能为零；根据安培定则，I1、I2在b点形成的磁场方向相同，磁感应强度不可能为零；I1、I2在c点处形成的磁场方向相反，I1>I2，但I2离c更近，二者在c处形成的磁感应强度大小相等时，合磁场的磁感应强度可能为零；I1、I2在d处形成磁场有一夹角，合磁场磁感应强度不可能为零.综上所述只有选项C正确，A、B、D均错误.
8.半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)从A点以速度v0垂直磁场方向射入磁场中，并从B点射出，∠AOB＝120°，如图所示，则该带电粒子在磁场中运动的时间为( )
A．2π/(3v0) B．2πr/(3v0)
C．πr/(3v0) D．πr/(3v0)
解析：选D．从所对圆心角θ＝60°知t＝T＝，但题中已知条件不够，没有此项选择，只有另想办法找规律表示t.由匀速圆周运动得t＝，又R＝r，得＝R·θ＝r×＝πr，则t＝＝.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有错选或不答的得0分)
9.电磁轨道炮工作原理如图所示.待发射弹体可在两平行轨道之间自由移动，并与轨道保持良好接触.电流I从一条轨道流入，通过导电弹体后从另一条轨道流回.轨道电流可形成在弹体处垂直于轨道的磁场(可视为匀强磁场)，磁感应强度的大小与I成正比.通电的弹体在轨道上受到安培力的作用而高速射出.现欲使弹体的出射速度增加至原来的2倍，理论上可采用的办法是( )
A．只将轨道长度L变为原来的2倍
B．只将电流I增加至原来的2倍
C．只将弹体质量减至原来的一半
D．将弹体质量减至原来的一半，轨道长度L变为原来的2倍，其他量不变
解析：选BD．由题意可知B＝kI，F＝BId＝kI2D．由动能定理可得 F·L＝mv，v0＝ ，v0＝，v0∝I，要使v0加倍，则B、D正确，A、C错误.
10.设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，已知一粒子在电场力和洛伦兹力的作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C点是运动的最低点，忽略重力，以下说法正确的是( )
A．粒子必带负电荷
B．A点和B点位于同一高度
C．粒子在C点时速度最大
D．粒子到达B点后，将沿原曲线返回A点
解析：选BC．粒子由A至C洛伦兹力不做功，电场力做正功，故粒子带正电，A错误，又不计重力，由动能定理可知B、C正确，粒子到达B点后向右继续重复的运动，如图所示，故D错误.
11.如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a(0，L).一质量为m、电荷量为e的电子从a点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场，此时速度方向与x轴正方向的夹角为60°.下列说法中正确的是( )
A．电子在磁场中运动的时间为
B．电子在磁场中运动的时间为
C．磁场区域的圆心坐标为
D．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为(0，－L)
解析：选BD．对于电子在磁场中的运动情况分析如图甲所示，在图甲中离开磁场的速度方向与x轴正向夹角为60°，则弧ab所对应的圆心角为60°，弦ab与x轴夹角为30°，由几何关系得Ob长为L，且ab与x轴夹角为30°，则OO′＝L，D对；在图乙中，作弦Oa与弦Ob的垂直平分线，交点O″为磁场区域的圆心，C错；电子在磁场中运动的半径r＝＝2L，周期T＝＝，则运动时间t＝T＝，B对.
三、非选择题(本题共4小题，共45分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)
12.(10分)把一根长为L＝10 cm的直导线垂直磁感线方向放入如图所示的匀强磁场中.
(1)当导线中通以I1＝2 A的电流时，导线受到的安培力大小为1.0×10－7 N，试求该磁场的磁感应强度的大小B．
(2)若该导线中通以I2＝3 A的电流，试求此时导线所受安培力大小F，并判断安培力的方向.
解析：(1)根据F＝BIL
得B＝＝5×10－7 T.
(2)当导线中电流变化时，导线所在处的磁场不变，则F＝BI2L＝1.5×10－7 N
方向：根据左手定则，导线所受安培力方向垂直于导线向上.
答案：(1)5×10－7 T (2)1.5×10－7 N 方向垂直于导线向上
13.(10分)在直径为d的圆形区域内存在着匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于圆面指向纸外.一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，从磁场区域的一条直径AC上的A点沿纸面射入磁场，其速度方向与AC成α＝15°角，如图所示.若此粒子在磁场区域运动过程中速度的方向一共改变了90°，重力可忽略不计，求：
(1)该粒子在磁场区域内运动所用的时间t；
(2)该粒子射入时的速度大小v.
解析：(1)粒子在匀强磁场中运动，有qvB＝m，运动周期T＝，得轨道半径r＝，周期T＝.
粒子的速度方向改变了90°，所用的时间t＝＝.
(2)粒子的运动情况如图所示.
△AOD是等腰直角三角形，
AD＝r，∠OAD＝45°；
在△CAD中，∠CAD＝90°－α－∠OAD＝30°，
AD＝dcos∠CAD＝dcos30°，
即r＝dcos30°，
解得半径r＝d，
因此粒子射入时的速度大小v＝＝.
答案：(1) (2)
14.(10分)质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示.离子源S产生的各种不同正离子束(速度可看做为零)，经加速电场(加速电场极板间的距离为d、电势差为U)加速，然后垂直进入磁感应强度为B的有界匀强磁场中做匀速圆周运动，最后到达记录它的照相底片P上.设离子在P上的位置与入口处S1之间的距离为x.
(1)求该离子的荷质比.
(2)若离子源产生的是带电量为q、质量为m1和m2的同位素离子(m1>m2)，它们分别到达照相底片上的p1、p2位置(图中末画出)，求p1、p2间的距离Δx.
解析：(1)离子在电场中加速，由动能定理得：
qU＝mv2①
离子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
qvB＝m②
x＝2r③
由①②③式可得： ＝.
(2)由①②③式可得粒子m1在磁场中的运动半径是r1，则：r1＝
对离子m2，同理得： r2＝
故照相底片上p1、p2间的距离：Δx＝2(r1－r2)＝(－).
答案：(1) (2)(－)
15.(15分)如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B，方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴.一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点水平向右抛出，经x轴上M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，MN之间的距离为L，小球过M点时的速度方向与x轴正方向夹角为θ.不计空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)电场强度E的大小和方向；
(2)小球从A点抛出时初速度v0的大小；
(3)A点到x轴的高度h.
解析：(1)小球在电场、磁场中恰能做匀速圆周运动，其所受电场力必须与重力平衡，有
qE＝mg①
得：E＝②
重力的方向是竖直向下的，电场力的方向则应为竖直向上，由于小球带正电，所以电场强度方向竖直向上.
(2)小球做匀速圆周运动，O′为圆心，MN为弦长，
∠MO′P＝θ，如图所示.设半径为r，由几何关系知
＝sin θ③
小球做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，设小球做圆周运动的速率为v，
有qvB＝④
由速度的合成与分解知＝cos θ⑤
由③④⑤式得v0＝cot θ⑥
(3)设小球到M点时的竖直分速度为vy，它与水平分速度的关系为vy＝v0tan θ⑦
由匀变速直线运动规律得v＝2gh⑧
由⑥⑦⑧式得h＝.
答案：(1) 竖直向上 (2)·cot θ (3)
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章末过关检测(五)
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