中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 点、直线、平面之间的位置关系检测试卷
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.将几何的研究范围由平面拓展到空间后，很多平面几何的结论推广到空间中不一定成立.在空间中，下列说法正确的是( )
A.有两组对边相等的四边形是平行四边形
B.四边相等的四边形是菱形
C.垂直于同一条直线的两条直线平行
D.平行于同一条直线的两条直线平行
答案 D
2.如图所示，平面α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A.点A B.点B
C.点C但不过点M D.点C和点M
答案 D
3.已知平面α与平面β的交线为l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a，b与l均不垂直，则( )
A.a与b可能垂直，但不可能平行
B.a与b可能垂直，也可能平行
C.a与b不可能垂直，但可能平行
D.a与b不可能垂直，也不可能平行
答案 B
4.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 C
解析 如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，
则AC∥A1C1∥DE，
则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角.
由条件可知BD＝DE＝EB＝，
所以∠BDE＝60°.
5.若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则( )
A.b⊥α B.b?α
C.b∥α D.b∥α或b?α
答案 D
解析 当b?α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b⊥α时，a⊥α，则a∥b.所以A错，故选D.
6.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是( )
A.DD1 B.A1D1
C.C1D1 D.A1D
答案 D
解析 ∵A1B1∥DC，A1B1＝DC，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，∵A1D?平面AB1C，B1C?平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C，故选D.
7.已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“若α∥β，且α⊥γ，则β⊥γ”是真命题.若把α，β，γ中的任意两个平面换成直线，另一个保持不变，则在所得的所有新命题中，真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
解析 若α，β换为直线a，b，则命题化为“若a∥b，且a⊥γ，则b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“若a∥β，且a⊥b，则b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“若a∥α，且b⊥α，则a⊥b”，此命题为真命题，故真命题有2个.
8.在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个面与六个对角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案 B
解析 与AA1平行的平面有：平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3个.
9.如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中错误的是( )
A.AE⊥CE
B.BE⊥DE
C.DE⊥平面CEB
D.平面ADE⊥平面BCE
答案 C
解析 由AB是底面圆的直径，则∠AEB＝90°，
即AE⊥EB.
∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，
∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.
∴BE⊥AD，又AD∩AE＝A，AD，AE?平面ADE，
∴BE⊥平面ADE.
同理可得：AE⊥CE，平面BCE⊥平面ADE.
可得A，B，D正确.
而DE⊥平面CEB不正确.
故选C.
10.在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案 A
解析 过点A作AH⊥BD于点H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形.故选A.
11.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A.AB∥m B.AC⊥m
C.AB∥β D.AC⊥β
答案 D
解析 ∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l.
∵AB∥l，∴AB∥m.故A一定正确.
∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m.故B一定正确.
∵A∈α，AB∥l，l?α，∴B∈α.
∴AB?β，l?β，∴AB∥β.故C也正确.
∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，
当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立.
故D不一定成立.
12.如图所示，空间四边形PABC的各边都相等，D，E，F，G分别是AB，BC，CA，AP的中点，下列四个结论中正确的个数为( )
①DF∥平面PBC；
②AB⊥平面PDC；
③平面PEF⊥平面ABC；
④平面PAE⊥平面PBC.
A.3 B.2 C.1 D.0
答案 A
解析 ∵BC∥DF，DF?平面PBC，BC?平面PBC，
∴DF∥平面PBC，故①正确；
∵PD⊥AB，CD⊥AB，PD∩CD＝D，
∴AB⊥平面PDC，故②正确；
∵PE⊥BC，AE⊥BC，PE∩AE＝E，
∴BC⊥平面PAE，
∵BC?平面PBC，
∴平面PAE⊥平面PBC，故④正确.
只有③错误，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.
答案 ②④
14.已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是________.
答案 垂直
解析 ∵PA＝PB＝PC，
∴P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上.又外心在BC上，设为O，则PO⊥平面ABC.
又PO?平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABC.
15.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于A，B两点)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个结论：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的结论是________.(填序号).
答案 ②④
解析 由题意可知PA在平面MOB内，所以①不正确；因为M为线段PB的中点，OA＝OB，所以OM∥PA，又OM不在平面PAC内，所以MO∥平面PAC，②正确；当OC与AB不垂直时，推不出OC⊥平面PAB，所以③不正确；因为AB是直径，所以BC⊥AC，又PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC，所以BC⊥平面PAC，而BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，所以④正确.综上所述，正确的结论是②④.
16. (2018·台州中学高一段考)如图，在矩形ABCD中，AD＝2，E为AB边上的点，现将△ADE沿DE翻折至△A′DE，使得点A′在平面EBCD上的射影在CD上，且直线A′D与平面EBCD所成的角为30°，则线段AE的长为________.
答案
解析 如图所示，过A′作A′H⊥CD于H，连接EH，由题意，得A′H⊥平面EBCD.因为直线A′D与平面EBCD所成的角为30°，所以∠A′DH＝30°.
又因为A′D＝2，所以A′H＝1，DH＝，
设A′E＝x，则EH＝.
在四边形DAEH中，可得AD2＋(AE－DH)2＝EH2，
所以22＋(x－)2＝x2－1，所以x＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)(1)如图①，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点.证明：EF∥平面PAD；
(2)如图②，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明 (1)E，F分别是PB，PC的中点，
∴EF∥BC.
∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴EF∥AD.
又AD?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
(2)∵点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，
∴MQ∥AD，QN∥PB.∵底面ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴MQ∥BC.
∵MQ∩QN＝Q，PB∩BC＝B，MQ，QN?平面MNQ，PB，BC?平面PBC，
∴平面MNQ∥平面PBC.
18.(12分)如图所示，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点.
求证：(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
证明 (1)∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD.
∵EF?平面ACD，AD?平面ACD，∴直线EF∥平面ACD.
(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F是BD的中点，
∴CF⊥BD.又∵EF∩CF＝F，∴BD⊥平面EFC.
∵BD?平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.
19.(12分)在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且＝＝.
求证：直线EH，BD，FG相交于一点.
证明 如图所示，连接EF，GH.
∵H，G分别是AD，CD的中点，∴GH∥AC，且GH＝AC.
∵＝＝，∴EF∥AC，且EF＝AC.
∴GH∥EF，且GH≠EF.
∴EH与FG相交，设交点为P.
∵EH?平面ABD，∴P∈平面ABD.
同理P∈平面BCD.
又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.
∴直线EH，BD，FG相交于一点.
20.(12分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°.
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
(2)证明：CD⊥平面ABF.
(1)解 因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED，
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角.
因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD，故ED⊥CD.
在Rt△CDE中，因为CD＝1，ED＝2，
所以CE＝＝3，
所以cos∠CED＝＝.
故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.
(2)证明 如图，过点B作BG∥CD交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°.
由∠BAD＝45°可得BG⊥AB，从而CD⊥AB.
又因为CD⊥FA，FA∩AB＝A，FA，AB?平面ABF，
所以CD⊥平面ABF.
21.(12分)如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点.
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)求证：AC⊥平面EBC；
(3)求该五面体的体积.
(1)证明 连接AE.
∵四边形ADEB为正方形，
∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，
∵G是EC的中点，
∴GF∥AC.
又AC?平面ABC，GF?平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)证明 ∵四边形ADEB为正方形，∴EB⊥AB.
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，BE?平面ABED，
∴BE⊥平面ABC，
∴BE⊥AC.∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE＝B，BC，BE?平面EBC，
∴AC⊥平面EBC.
(3)解 取AB的中点N，连接CN.
∵AC＝BC，∴CN⊥AB.
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，CN?平面ABC，
∴CN⊥平面ABED.
∵△ABC是等腰直角三角形，∴CN＝AB＝.
∵五面体C－ABED是四棱锥，
∴V四棱锥C－ABED
＝S四边形ABED·CN＝×1×＝.
22.(12分)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.
(1)求证：AD′⊥BE；
(2)求四棱锥D′－ABCE的体积；
(3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.
(1)证明 根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，∴∠DEA＝∠CEB＝45°，
∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE.
∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，BE?平面ABCE，
∴BE⊥平面D′AE，∵AD′?平面D′AE，
∴AD′⊥BE.
(2)解 取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE.
∵平面D′AE⊥平面ABCE，
且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，D′F?平面D′AE，
∴D′F⊥平面ABCE，
∴VD′－ABCE＝S四边形ABCE·D′F＝××(1＋2)×1×＝.
(3)解 如图所示，连接AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，使得D′B∥平面PAC，连接PQ.
∵D′B?平面D′BE，
平面D′BE∩平面PAC＝PQ，∴D′B∥PQ，
∴在△EBD′中，＝.
∵在梯形ABCE中，＝＝，
∴＝＝，即EP＝ED′，
∴在棱ED′上存在一点P，且EP＝ED′，使得D′B∥平面PAC.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 点、直线、平面之间的位置关系检测试卷
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.将几何的研究范围由平面拓展到空间后，很多平面几何的结论推广到空间中不一定成立.在空间中，下列说法正确的是( )
A.有两组对边相等的四边形是平行四边形
B.四边相等的四边形是菱形
C.垂直于同一条直线的两条直线平行
D.平行于同一条直线的两条直线平行
2.如图所示，平面α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A.点A B.点B
C.点C但不过点M D.点C和点M
3.已知平面α与平面β的交线为l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a，b与l均不垂直，则( )
A.a与b可能垂直，但不可能平行
B.a与b可能垂直，也可能平行
C.a与b不可能垂直，但可能平行
D.a与b不可能垂直，也不可能平行
4.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则( )
A.b⊥α B.b?α
C.b∥α D.b∥α或b?α
6.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是( )
A.DD1 B.A1D1
C.C1D1 D.A1D
7.已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“若α∥β，且α⊥γ，则β⊥γ”是真命题.若把α，β，γ中的任意两个平面换成直线，另一个保持不变，则在所得的所有新命题中，真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个面与六个对角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
9.如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中错误的是( )
A.AE⊥CE
B.BE⊥DE
C.DE⊥平面CEB
D.平面ADE⊥平面BCE
10.在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
11.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A.AB∥m B.AC⊥m
C.AB∥β D.AC⊥β
12.如图所示，空间四边形PABC的各边都相等，D，E，F，G分别是AB，BC，CA，AP的中点，下列四个结论中正确的个数为( )
①DF∥平面PBC；
②AB⊥平面PDC；
③平面PEF⊥平面ABC；
④平面PAE⊥平面PBC.
A.3 B.2 C.1 D.0
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.
14.已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是________.
15.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于A，B两点)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个结论：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的结论是________.(填序号).
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P477.TIF" \* MERGEFORMAT
16. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2，E为AB边上的点，现将△ADE沿DE翻折至△A′DE，使得点A′在平面EBCD上的射影在CD上，且直线A′D与平面EBCD所成的角为30°，则线段AE的长为________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)(1)如图①，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点.证明：EF∥平面PAD；
(2)如图②，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，求证：平面MNQ∥平面PBC.
18.(12分)如图所示，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点.
求证：(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
19.(12分)在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且＝＝.
求证：直线EH，BD，FG相交于一点.
20.(12分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°.
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
(2)证明：CD⊥平面ABF.
21.(12分)如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点.
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)求证：AC⊥平面EBC；
(3)求该五面体的体积.
22.(12分)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.
(1)求证：AD′⊥BE；
(2)求四棱锥D′－ABCE的体积；
(3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
