第三章 直线与方程 单元检测试卷(原卷版+解析版)

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名称 第三章 直线与方程 单元检测试卷(原卷版+解析版)
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文件大小 407.3KB
资源类型 试卷
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2020-05-22 14:07:56

文档简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第三章 直线与方程检测试卷
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.直线l经过原点和(1,-1),则l的倾斜角是(  )
A.45° B.-45° C.135° D.45°和135°
答案 C
解析 ∵直线l经过坐标原点和点(1,-1),∴直线l的斜率k==-1,∴直线l的倾斜角α=135°,故选C.
2.已知过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率为-,则|MN|等于(  )
A.10 B.180
C.6 D.6
答案 D
解析 kMN==-,解得a=10,即M(-2,10),N(10,4),所以|MN|==6,故选D.
3.设点A(2,-3),B(-3,-2),直线过P(1,1)且与线段AB相交,则l的斜率k的取值范围是(  )
A.k≥或k≤-4 B.-4≤k≤
C.-≤k≤4 D.以上都不对
答案 A
解析 建立如图所示的直角坐标系.由图可得k≥kPB或k≤kPA.∵kPB=,kPA=-4,∴k≥或k≤-4.
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4.若光线从点P(-3,3)射到y轴上,经y轴反射后经过点Q(-1,-5),则光线从点P到点Q走过的路程为(  )
A.10 B.5+
C.4 D.2
答案 C
解析 Q(-1,-5)关于y轴的对称点为Q1(1,-5),易知光线从点P到点Q走过的路程为|PQ1|==4.
5.到直线3x-4y-1=0的距离为2的直线方程是(  )
A.3x-4y-11=0
B.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0
C.3x-4y+9=0
D.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0
答案 B
解析 直线3x-4y-11=0与3x-4y+9=0到直线3x-4y-1=0的距离均为2,
又因为直线3x-4y+11=0到直线3x-4y-1=0的距离为,
故不能选择A,C,D,所以答案为B.
6.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为(  )
A.- B.- C. D.2
答案 A
解析 由两点式=,得y=2x+3,
令y=0,得x=-,即为在x轴上的截距.
7.若直线mx+ny+2=0平行于直线x-2y+5=0,且在y轴上的截距为1,则m,n的值分别为(  )
A.1和2 B.-1和2
C.1和-2 D.-1和-2
答案 C
解析 由已知得直线mx+ny+2=0过点(0,1),则n=-2,又因为两直线平行,所以-=,解得m=1.
8.若直线(2m-3)x-(m-2)y+m+1=0恒过某个点P,则点P的坐标为(  )
A.(3,5) B.(-3,5)
C.(-3,-5) D.(3,-5)
答案 C
解析 方程(2m-3)x-(m-2)y+m+1=0可整理得m(2x-y+1)-(3x-2y-1)=0,
联立得故P(-3,-5).
9.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2过定点(  )
A.(0,4) B.(0,2)
C.(-2,4) D.(4,-2)
答案 B
解析 ∵l1:y=k(x-4)过定点M(4,0),
而点M关于点(2,1)的对称点为N(0,2),
故直线l2过定点(0,2).
10.直线y=ax+的图象可能是(  )
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答案 B
解析 根据斜截式方程知,斜率与直线在y轴上的纵截距同正负.
11.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m等于(  )
A.-1 B.1 C. D.-
答案 B
解析 由两直线垂直,得×=-1,解得m=1.
12.已知直线x-2y+m=0(m>0)与直线x+ny-3=0互相平行,且两者之间的距离是,则m+n等于(  )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 B
解析 由题意知,所给两条直线平行,∴n=-2.
由两条平行直线间的距离公式,得d===,解得m=2或m=-8(舍去),∴m+n=0.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.过点(-2,-3)且在x轴,y轴上的截距相等的直线方程为____________.
答案 x+y+5=0或3x-2y=0
解析 当直线过原点时,所求直线的方程为3x-2y=0;当直线不过原点时,所求直线的方程为x+y+5=0.
14.过两直线x-y+1=0和x+y-=0的交点,并且与原点的最短距离为的直线的方程为________.
答案 x=或x-y+1=0
解析 易求得两直线交点的坐标为,
当斜率不存在时,显然直线x=满足条件.
当斜率存在时,设过该点的直线方程为y-=k,
化为一般式得2kx-2y+-k=0,
因为直线与原点的最短距离为,
所以=,解得k=,
所以所求直线的方程为x-y+1=0.
15.已知直线x-2y-2k=0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1,则实数k的取值范围是________________.
答案 [-1,0)∪(0,1]
解析 令x=0,得y=-k,令y=0,得x=2k,
∴三角形的面积S=|xy|=k2.
又S≤1,即k2≤1.∴-1≤k≤1.
又当k=0时,直线过原点,与两坐标轴构不成三角形,故应舍去.
∴实数k的取值范围是[-1,0)∪(0,1].
16.已知直线l与直线y=1,x-y-7=0分别相交于P,Q两点,线段PQ的中点坐标为(1,-1),那么直线l的斜率为________.
答案 -
解析 设P(x,1),则Q(2-x,-3),
将点Q的坐标代入x-y-7=0,得2-x+3-7=0.
∴x=-2,∴P(-2,1),∴kl=-.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知点M是直线l:x-y+3=0与x轴的交点,将直线l绕点M旋转30°,求所得直线l′的方程.
解 在x-y+3=0中,令y=0,得x=-,
即M(-,0).
∵直线l的斜率k=,∴其倾斜角θ=60°.
若直线l绕点M逆时针方向旋转30°,
则直线l′的倾斜角为60°+30°=90°,
此时斜率不存在,故其方程为x=-.
若直线l绕点M顺时针方向旋转30°,则直线l′的倾斜角为60°-30°=30°,此时斜率为tan 30°=,
故其方程为y=(x+),即x-y+=0.
综上所述,所求直线方程为x+=0或x-y+=0.
18.(12分)已知直线l经过点(0,-2),其倾斜角的大小是60°.
(1)求直线l的方程;
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
解 (1)由直线的点斜式方程得直线l的方程为y+2=tan 60°·x,即x-y-2=0.
(2)设直线l与x轴、y轴的交点分别为A,B,
令y=0得x=;令x=0得y=-2.
所以S△AOB=|OA|·|OB|=××2=,
故所求三角形的面积为.
19.(12分)已知直线l1的方程为x+2y-4=0,若l2在x轴上的截距为,且l1⊥l2.
(1)求直线l1与l2的交点坐标;
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求l3的方程.
解 (1)设l2的方程为2x-y+m=0,
因为l2在x轴上的截距为,
所以3-0+m=0,m=-3,
即l2:2x-y-3=0.
联立得
直线l1与l2的交点坐标为(2,1).
(2)当l3过原点时,l3的方程为y=x.
当l3不过原点时,设l3的方程为+=1(a≠0),
又直线l3经过l1与l2的交点,
所以+=1,得a=,
l3的方程为2x+y-5=0.
综上,l3的方程为x-2y=0或2x+y-5=0.
20.(12分)已知点A(5,1)关于x轴的对称点为B(x1,y1),关于原点的对称点为C(x2,y2).
(1)求△ABC中过AB,BC边上中点的直线方程;
(2)求△ABC的面积.
解 (1)∵点A(5,1)关于x轴的对称点为B(x1,y1),∴B(5,-1),
又∵点A(5,1)关于原点的对称点为C(x2,y2),
∴C(-5,-1),
∴AB的中点坐标是(5,0),BC的中点坐标是(0,-1).过(5,0),(0,-1)的直线方程是=,
整理得x-5y-5=0.
(2)易知|AB|=|-1-1|=2,|BC|=|-5-5|=10,AB⊥BC,
∴△ABC的面积S=|AB|·|BC|=×2×10=10.
21.(12分)已知直线l1:y=-k(x-a)和直线l2在x轴上的截距相等,且它们的倾斜角互补,又知直线l1过点P(-3,3).如果点Q(2,2)到直线l2的距离为1,求l2的方程.
解 由题意,可设直线l2的方程为y=k(x-a),
即kx-y-ak=0,
∵点Q(2,2)到直线l2的距离为1,∴=1,①
又∵直线l1的方程为y=-k(x-a),
且直线l1过点P(-3,3),∴ak=3-3k.②
由①②得=1,两边平方整理得12k2-25k+12=0,
解得k=或k=.
∴当k=时,代入②得a=-,此时直线l2的方程为4x-3y+3=0;
当k=时,代入②得a=1,此时直线l2的方程为3x-4y-3=0.
综上所述,直线l2的方程为4x-3y+3=0或3x-4y-3=0.
22.(12分)已知直线l:y=4x和点P(6,4),点A为第一象限内的点且在直线l上,直线PA交x轴的正半轴于点B,
(1)当OP⊥AB时,求AB所在直线的方程;
(2)求△OAB面积的最小值,并求当△OAB面积取最小值时点B的坐标.
解 (1)∵点P(6,4),∴kOP=.
又∵OP⊥AB,∴kAB=-.
∵AB过点P(6,4),∴直线AB的方程为y-4=-(x-6),化为一般式可得3x+2y-26=0.
(2)设点A(a,4a),a>0,点B的坐标为(b,0),b>0,当直线AB的斜率不存在时,a=b=6,此时△OAB的面积S=×6×24=72.当直线AB的斜率存在时,
有=,解得b=,
故点B的坐标为,故△OAB的面积S=··4a=,即10a2-Sa+S=0.①
由题意可得方程10a2-Sa+S=0有解,
故判别式Δ=S2-40S≥0,∴S≥40,
故S的最小值为40,此时①为a2-4a+4=0,解得a=2.
综上可得,△OAB面积的最小值为40,
当△OAB面积取最小值时,点B的坐标为(10,0).

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第三章 直线与方程检测试卷
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.直线l经过原点和(1,-1),则l的倾斜角是(  )
A.45° B.-45° C.135° D.45°和135°
2.已知过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率为-,则|MN|等于(  )
A.10 B.180
C.6 D.6
3.设点A(2,-3),B(-3,-2),直线过P(1,1)且与线段AB相交,则l的斜率k的取值范围是(  )
A.k≥或k≤-4 B.-4≤k≤
C.-≤k≤4 D.以上都不对
4.若光线从点P(-3,3)射到y轴上,经y轴反射后经过点Q(-1,-5),则光线从点P到点Q走过的路程为(  )
A.10 B.5+
C.4 D.2
5.到直线3x-4y-1=0的距离为2的直线方程是(  )
A.3x-4y-11=0
B.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0
C.3x-4y+9=0
D.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0
6.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为(  )
A.- B.- C. D.2
7.若直线mx+ny+2=0平行于直线x-2y+5=0,且在y轴上的截距为1,则m,n的值分别为(  )
A.1和2 B.-1和2
C.1和-2 D.-1和-2
8.若直线(2m-3)x-(m-2)y+m+1=0恒过某个点P,则点P的坐标为(  )
A.(3,5) B.(-3,5)
C.(-3,-5) D.(3,-5)
9.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2过定点(  )
A.(0,4) B.(0,2)
C.(-2,4) D.(4,-2)
10.直线y=ax+的图象可能是(  )
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11.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m等于(  )
A.-1 B.1 C. D.-
12.已知直线x-2y+m=0(m>0)与直线x+ny-3=0互相平行,且两者之间的距离是,则m+n等于(  )
A.-1 B.0 C.1 D.2
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.过点(-2,-3)且在x轴,y轴上的截距相等的直线方程为____________.
14.过两直线x-y+1=0和x+y-=0的交点,并且与原点的最短距离为的直线的方程为________.
15.已知直线x-2y-2k=0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1,则实数k的取值范围是________________.
16.已知直线l与直线y=1,x-y-7=0分别相交于P,Q两点,线段PQ的中点坐标为(1,-1),那么直线l的斜率为________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知点M是直线l:x-y+3=0与x轴的交点,将直线l绕点M旋转30°,求所得直线l′的方程.

18.(12分)已知直线l经过点(0,-2),其倾斜角的大小是60°.
(1)求直线l的方程;
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.

19.(12分)已知直线l1的方程为x+2y-4=0,若l2在x轴上的截距为,且l1⊥l2.
(1)求直线l1与l2的交点坐标;
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求l3的方程.



20.(12分)已知点A(5,1)关于x轴的对称点为B(x1,y1),关于原点的对称点为C(x2,y2).
(1)求△ABC中过AB,BC边上中点的直线方程;
(2)求△ABC的面积.





21.(12分)已知直线l1:y=-k(x-a)和直线l2在x轴上的截距相等,且它们的倾斜角互补,又知直线l1过点P(-3,3).如果点Q(2,2)到直线l2的距离为1,求l2的方程.



22.(12分)已知直线l:y=4x和点P(6,4),点A为第一象限内的点且在直线l上,直线PA交x轴的正半轴于点B,
(1)当OP⊥AB时,求AB所在直线的方程;
(2)求△OAB面积的最小值,并求当△OAB面积取最小值时点B的坐标.

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