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第三章 直线与方程检测试卷
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.直线l经过原点和(1，－1)，则l的倾斜角是( )
A.45° B.－45° C.135° D.45°和135°
答案 C
解析 ∵直线l经过坐标原点和点(1，－1)，∴直线l的斜率k＝＝－1，∴直线l的倾斜角α＝135°，故选C.
2.已知过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则|MN|等于( )
A.10 B.180
C.6 D.6
答案 D
解析 kMN＝＝－，解得a＝10，即M(－2,10)，N(10,4)，所以|MN|＝＝6，故选D.
3.设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线过P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )
A.k≥或k≤－4 B.－4≤k≤
C.－≤k≤4 D.以上都不对
答案 A
解析 建立如图所示的直角坐标系.由图可得k≥kPB或k≤kPA.∵kPB＝，kPA＝－4，∴k≥或k≤－4.
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4.若光线从点P(－3,3)射到y轴上，经y轴反射后经过点Q(－1，－5)，则光线从点P到点Q走过的路程为( )
A.10 B.5＋
C.4 D.2
答案 C
解析 Q(－1，－5)关于y轴的对称点为Q1(1，－5)，易知光线从点P到点Q走过的路程为|PQ1|＝＝4.
5.到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程是( )
A.3x－4y－11＝0
B.3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0
C.3x－4y＋9＝0
D.3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0
答案 B
解析 直线3x－4y－11＝0与3x－4y＋9＝0到直线3x－4y－1＝0的距离均为2，
又因为直线3x－4y＋11＝0到直线3x－4y－1＝0的距离为，
故不能选择A，C，D，所以答案为B.
6.过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为( )
A.－ B.－ C. D.2
答案 A
解析 由两点式＝，得y＝2x＋3，
令y＝0，得x＝－，即为在x轴上的截距.
7.若直线mx＋ny＋2＝0平行于直线x－2y＋5＝0，且在y轴上的截距为1，则m，n的值分别为( )
A.1和2 B.－1和2
C.1和－2 D.－1和－2
答案 C
解析 由已知得直线mx＋ny＋2＝0过点(0,1)，则n＝－2，又因为两直线平行，所以－＝，解得m＝1.
8.若直线(2m－3)x－(m－2)y＋m＋1＝0恒过某个点P，则点P的坐标为( )
A.(3,5) B.(－3,5)
C.(－3，－5) D.(3，－5)
答案 C
解析 方程(2m－3)x－(m－2)y＋m＋1＝0可整理得m(2x－y＋1)－(3x－2y－1)＝0，
联立得故P(－3，－5).
9.若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点( )
A.(0,4) B.(0,2)
C.(－2,4) D.(4，－2)
答案 B
解析 ∵l1：y＝k(x－4)过定点M(4,0)，
而点M关于点(2,1)的对称点为N(0,2)，
故直线l2过定点(0,2).
10.直线y＝ax＋的图象可能是( )
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P536.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 B
解析 根据斜截式方程知，斜率与直线在y轴上的纵截距同正负.
11.若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于( )
A.－1 B.1 C. D.－
答案 B
解析 由两直线垂直，得×＝－1，解得m＝1.
12.已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且两者之间的距离是，则m＋n等于( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
答案 B
解析 由题意知，所给两条直线平行，∴n＝－2.
由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，∴m＋n＝0.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.过点(－2，－3)且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为____________.
答案 x＋y＋5＝0或3x－2y＝0
解析 当直线过原点时，所求直线的方程为3x－2y＝0；当直线不过原点时，所求直线的方程为x＋y＋5＝0.
14.过两直线x－y＋1＝0和x＋y－＝0的交点，并且与原点的最短距离为的直线的方程为________.
答案 x＝或x－y＋1＝0
解析 易求得两直线交点的坐标为，
当斜率不存在时，显然直线x＝满足条件.
当斜率存在时，设过该点的直线方程为y－＝k，
化为一般式得2kx－2y＋－k＝0，
因为直线与原点的最短距离为，
所以＝，解得k＝，
所以所求直线的方程为x－y＋1＝0.
15.已知直线x－2y－2k＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，则实数k的取值范围是________________.
答案 [－1,0)∪(0,1]
解析 令x＝0，得y＝－k，令y＝0，得x＝2k，
∴三角形的面积S＝|xy|＝k2.
又S≤1，即k2≤1.∴－1≤k≤1.
又当k＝0时，直线过原点，与两坐标轴构不成三角形，故应舍去.
∴实数k的取值范围是[－1,0)∪(0,1].
16.已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________.
答案 －
解析 设P(x,1)，则Q(2－x，－3)，
将点Q的坐标代入x－y－7＝0，得2－x＋3－7＝0.
∴x＝－2，∴P(－2,1)，∴kl＝－.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)已知点M是直线l：x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得直线l′的方程.
解 在x－y＋3＝0中，令y＝0，得x＝－，
即M(－，0).
∵直线l的斜率k＝，∴其倾斜角θ＝60°.
若直线l绕点M逆时针方向旋转30°，
则直线l′的倾斜角为60°＋30°＝90°，
此时斜率不存在，故其方程为x＝－.
若直线l绕点M顺时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝，
故其方程为y＝(x＋)，即x－y＋＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋＝0或x－y＋＝0.
18.(12分)已知直线l经过点(0，－2)，其倾斜角的大小是60°.
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
解 (1)由直线的点斜式方程得直线l的方程为y＋2＝tan 60°·x，即x－y－2＝0.
(2)设直线l与x轴、y轴的交点分别为A，B，
令y＝0得x＝；令x＝0得y＝－2.
所以S△AOB＝|OA|·|OB|＝××2＝，
故所求三角形的面积为.
19.(12分)已知直线l1的方程为x＋2y－4＝0，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2.
(1)求直线l1与l2的交点坐标；
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程.
解 (1)设l2的方程为2x－y＋m＝0，
因为l2在x轴上的截距为，
所以3－0＋m＝0，m＝－3，
即l2：2x－y－3＝0.
联立得
直线l1与l2的交点坐标为(2,1).
(2)当l3过原点时，l3的方程为y＝x.
当l3不过原点时，设l3的方程为＋＝1(a≠0)，
又直线l3经过l1与l2的交点，
所以＋＝1，得a＝，
l3的方程为2x＋y－5＝0.
综上，l3的方程为x－2y＝0或2x＋y－5＝0.
20.(12分)已知点A(5,1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，关于原点的对称点为C(x2，y2).
(1)求△ABC中过AB，BC边上中点的直线方程；
(2)求△ABC的面积.
解 (1)∵点A(5,1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，∴B(5，－1)，
又∵点A(5,1)关于原点的对称点为C(x2，y2)，
∴C(－5，－1)，
∴AB的中点坐标是(5,0)，BC的中点坐标是(0，－1).过(5,0)，(0，－1)的直线方程是＝，
整理得x－5y－5＝0.
(2)易知|AB|＝|－1－1|＝2，|BC|＝|－5－5|＝10，AB⊥BC，
∴△ABC的面积S＝|AB|·|BC|＝×2×10＝10.
21.(12分)已知直线l1：y＝－k(x－a)和直线l2在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线l1过点P(－3,3).如果点Q(2,2)到直线l2的距离为1，求l2的方程.
解 由题意，可设直线l2的方程为y＝k(x－a)，
即kx－y－ak＝0，
∵点Q(2,2)到直线l2的距离为1，∴＝1，①
又∵直线l1的方程为y＝－k(x－a)，
且直线l1过点P(－3,3)，∴ak＝3－3k.②
由①②得＝1，两边平方整理得12k2－25k＋12＝0，
解得k＝或k＝.
∴当k＝时，代入②得a＝－，此时直线l2的方程为4x－3y＋3＝0；
当k＝时，代入②得a＝1，此时直线l2的方程为3x－4y－3＝0.
综上所述，直线l2的方程为4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0.
22.(12分)已知直线l：y＝4x和点P(6,4)，点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴的正半轴于点B，
(1)当OP⊥AB时，求AB所在直线的方程；
(2)求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时点B的坐标.
解 (1)∵点P(6,4)，∴kOP＝.
又∵OP⊥AB，∴kAB＝－.
∵AB过点P(6,4)，∴直线AB的方程为y－4＝－(x－6)，化为一般式可得3x＋2y－26＝0.
(2)设点A(a,4a)，a>0，点B的坐标为(b,0)，b>0，当直线AB的斜率不存在时，a＝b＝6，此时△OAB的面积S＝×6×24＝72.当直线AB的斜率存在时，
有＝，解得b＝，
故点B的坐标为，故△OAB的面积S＝··4a＝，即10a2－Sa＋S＝0.①
由题意可得方程10a2－Sa＋S＝0有解，
故判别式Δ＝S2－40S≥0，∴S≥40，
故S的最小值为40，此时①为a2－4a＋4＝0，解得a＝2.
综上可得，△OAB面积的最小值为40，
当△OAB面积取最小值时，点B的坐标为(10,0).
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第三章 直线与方程检测试卷
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.直线l经过原点和(1，－1)，则l的倾斜角是( )
A.45° B.－45° C.135° D.45°和135°
2.已知过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则|MN|等于( )
A.10 B.180
C.6 D.6
3.设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线过P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )
A.k≥或k≤－4 B.－4≤k≤
C.－≤k≤4 D.以上都不对
4.若光线从点P(－3,3)射到y轴上，经y轴反射后经过点Q(－1，－5)，则光线从点P到点Q走过的路程为( )
A.10 B.5＋
C.4 D.2
5.到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程是( )
A.3x－4y－11＝0
B.3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0
C.3x－4y＋9＝0
D.3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0
6.过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为( )
A.－ B.－ C. D.2
7.若直线mx＋ny＋2＝0平行于直线x－2y＋5＝0，且在y轴上的截距为1，则m，n的值分别为( )
A.1和2 B.－1和2
C.1和－2 D.－1和－2
8.若直线(2m－3)x－(m－2)y＋m＋1＝0恒过某个点P，则点P的坐标为( )
A.(3,5) B.(－3,5)
C.(－3，－5) D.(3，－5)
9.若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点( )
A.(0,4) B.(0,2)
C.(－2,4) D.(4，－2)
10.直线y＝ax＋的图象可能是( )
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11.若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于( )
A.－1 B.1 C. D.－
12.已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且两者之间的距离是，则m＋n等于( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.过点(－2，－3)且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为____________.
14.过两直线x－y＋1＝0和x＋y－＝0的交点，并且与原点的最短距离为的直线的方程为________.
15.已知直线x－2y－2k＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，则实数k的取值范围是________________.
16.已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)已知点M是直线l：x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得直线l′的方程.
18.(12分)已知直线l经过点(0，－2)，其倾斜角的大小是60°.
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
19.(12分)已知直线l1的方程为x＋2y－4＝0，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2.
(1)求直线l1与l2的交点坐标；
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程.
20.(12分)已知点A(5,1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，关于原点的对称点为C(x2，y2).
(1)求△ABC中过AB，BC边上中点的直线方程；
(2)求△ABC的面积.
21.(12分)已知直线l1：y＝－k(x－a)和直线l2在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线l1过点P(－3,3).如果点Q(2,2)到直线l2的距离为1，求l2的方程.
22.(12分)已知直线l：y＝4x和点P(6,4)，点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴的正半轴于点B，
(1)当OP⊥AB时，求AB所在直线的方程；
(2)求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时点B的坐标.
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