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第1章 机械振动
第2节 振动的描述
第1章 机械振动
平衡位置
强弱
最大值
矢量
同一位置
全振动
振动快慢
慢
快
1 s
振动快慢
快
本身的性质
固有周期
固有频率
慢
振幅
时间
相对平衡位置的位移
位移
正弦(或余弦)
预习导学新知探究
梳理知识·夯实基础
振幅相位
aC=Asin(ot +o)
圆频率初相
偏离平衡位置的位移
多维课堂,师生互动
突破疑难·讲练提升
疑难突破·思维升华
以例说法·触类旁通
-n1
e第2节 振动的描述
1．如图所示，弹簧振子以O为平衡位置在B、C间做简谐运动，则( )
A．从B→O→C为一次全振动
B．从O→B→O→C为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．从D→C→O→B→O为一次全振动
解析：选C.由全振动的定义可得，选项C正确．
2．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝10sin cm，则下列关于质点运动的说法中正确的是( )
A．质点做简谐运动的振幅为5 cm
B．质点做简谐运动的周期为4 s
C．在t＝4 s时质点的速度最大
D．在t＝4 s时质点的位移最大
解析：选C.由x＝10sin cm可知，A＝10 cm，ω＝＝ rad/s，得T＝8 s．t＝4 s时，x＝0，说明质点在平衡位置，此时质点的速度最大、位移为0，所以只有选项C正确．
3．弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B之间的距离为8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s，则( )
A．振子的振动周期是2 s，振幅是8 cm
B．振子的振动频率是2 Hz
C．振子完成一次全振动通过的路程是16 cm
D．从振子通过O点时开始计时，3 s内通过的路程为36 cm
解析：选C.由题意知，振子做简谐运动的振幅A＝ cm＝4 cm，周期T＝ s＝2 s，选项A错误；振动的频率f＝＝ Hz＝0.5 Hz，选项B错误；完成一次全振动通过的路程s＝4A＝4×4 cm＝16 cm，选项C正确；3 s内通过的路程s′＝6A＝6×4 cm＝24 cm，选项D错误．
4．(多选)如图所示是一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象(x－t图)．由图对该振动系统推断正确的是( )
A．在t1和t3时刻具有相同的速度
B．在t3和t4时刻具有相同的速度
C．在t4和t6时刻具有相同的位移
D．在t1和t6时刻具有相同的速度
解析：选BCD.t1与t3两时刻振子经同一位置向相反方向运动，速度不相同，A错误；t3与t4两时刻振子经过关于平衡位置的对称点，速度大小相等、方向相同，B正确；t4与t6两时刻振子的位移都是－2 cm，C正确；t1和t6两时刻振子经过对称点向正方向运动，速度相同，D正确．
[课时作业]
一、单项选择题
1．质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，下列说法正确的是( )
A．当质点再次经过此位置时，经过的时间为一个周期
B．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期
C．当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时，经过的时间为一个周期
D．当质点经过的路程为振幅的2倍时，经过的时间为半个周期
解析：选D.质点连续两次经过同一位置经过的时间一般不是一个周期，选项A错误；质点同向经过关于平衡位置对称的两点速度相同，但经过的时间不为一个周期，选项B错误；质点连续两次经过同一位置时，加速度相同，但经历的时间一般不等于一个周期，选项C错误；质点在任何半周期内通过的路程一定是振幅的2倍，选项D正确．
2．一个物体做简谐运动时，周期是T，振幅是A，那么物体( )
A．在任意内通过的路程一定等于A
B．在任意内通过的路程一定等于2A
C．在任意内通过的路程一定等于3A
D．在任意T内通过的路程一定等于2A
解析：选B.物体做简谐运动，是变加速直线运动，在任意内通过的路程不一定等于A，故A错误；物体做简谐运动，在任意内通过的路程一定等于2A，故B正确；物体做简谐运动，在任意内通过的路程不一定等于3A，故C错误；物体做简谐运动，在一个周期内完成一次全振动，位移为零，路程为4A，故D错误．
3.一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s(如图所示)．过B点后再经过t＝0.5 s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是( )
A．0.5 s B．1.0 s
C．2.0 s D．4.0 s
解析：选C.根据题意，由振动的对称性可知：A、B的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，如图所示．质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB＝×0.5 s＝0.25 s．质点从B向右到达右方最大位移处(设为D)的时间tBD＝×0.5 s＝0.25 s．所以，质点从O到D的时间tOD＝T＝0.25 s＋0.25 s＝0.5 s．所以T＝2.0 s.
4.如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子由A到B的时间为0.1 s，则下列说法中正确的是( )
A．振子在A、B两点时，弹簧弹力大小相等
B．振子由A到O的时间比振子由O到B的时间短
C．振子完成一次全振动通过的路程为20 cm
D．若使振子在AB＝10 cm间振动，则振子由A到B的时间仍为0.1 s
解析：选D.在A、B两点，弹力大小并不相等，但回复力相等，故A错．据对称性，振子从A到O和从O到B时间相同，B错．一次全振动的路程为4A＝40 cm，C错．D选项中振幅、周期不变，仍为0.2 s，A到B仍用时0.1 s，D对．
5．如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，其振动图象如图乙所示．由振动图象可以得知( )
A．振子的振动周期等于t1
B．在t＝0时刻，振子的位置在a点
C．在t＝t1时刻，振子的速度为零
D．从t1到t2，振子正从O点向b点运动
解析：选D.由题图可直接读出其周期T＝2t1，选项A错误；t＝0时刻振子在O点，选项B错误；在t＝t1时刻，振子的速度最大，选项C错误．从t1到t2，振子正从平衡位置向正最大位移处运动，即从O点向b点运动，选项D正确．
6．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝8·sin (cm)，则( )
A．质点的振幅为16 cm
B．质点的振动周期为2 s
C．在0～1 s内，质点的速度逐渐减小
D．在1～2 s内，质点的动能逐渐减小
解析：选C.根据简谐运动的表达式x＝Asin 可知振幅A＝8 cm，周期T＝＝4 s，选项A、B错误；根据简谐运动的表达式可画出质点的振动图象，如图所示，由图可知，在0～1 s内，质点由平衡位置向正的最大位移处运动，速度逐渐减小，在1～2 s内，质点由正的最大位移向平衡位置运动，速度逐渐增大，动能逐渐增大，选项C正确，D错误．
二、多项选择题
7．下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是( )
A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率的乘积是一个常数
C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
解析：选BD.振幅A是标量，A错误；周期与频率互为倒数，即T·f＝1，B正确；简谐运动的周期与振幅没有关系，振子周期的长短由系统本身决定，这就是固有周期，C错误，D正确．
8．有两个振动，其表达式分别是：x1＝3sin cm，x2＝6sin cm，下列说法正确的是( )
A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同
C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致
解析：选BC.由两振动的表达式可知，它们的振幅分别为3 cm和6 cm，振幅不同，A错误；它们的周期T1＝ s＝0.02 s＝T2，B正确；它们的相位差Δφ＝φ2－φ1＝－＝－为一常数，故C正确；振动步调不一致，D错误．
9．一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图所示，由图可知( )
A．质点振动的频率是4 Hz
B．质点振动的振幅是2 cm
C．t＝3 s时，质点的速度最大
D．t＝3 s时，质点的振幅为零
解析：选BC.由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，所以选项A错误，B正确．t＝3 s时，质点经过平衡位置，速度最大，所以选项C正确．振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移大小，与质点的位移有着本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，所以选项D错误．
10.如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt) m．t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度的大小g＝10 m/s2.以下判断正确的是( )
A．h＝1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程为0.2 m
D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
解析：选AB.由物块简谐运动的表达式y＝0.1·sin(2.5πt) m知，ω＝2.5π rad/s，T＝＝ s＝0.8 s，选项B正确；t＝0.6 s时，y＝－0.1 m，对小球：h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，选项A正确；物块0.6 s内路程为0.3 m，t＝0.4 s时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同．故选项C、D错误．
三、非选择题
11．如图所示是弹簧振子的振动图象，请回答下列问题．
(1)振子的振幅、周期、频率分别为多少；
(2)振子在5 s内通过的路程；
(3)根据振动图象写出该简谐运动的表达式．
解析：(1)由图象可知，振幅A＝2 cm；周期T＝0.8 s；频率f＝＝1.25 Hz.
(2)在5 s内通过的路程
s＝×4A＝×4×2 cm＝50 cm.
(3)由图象可知，振子的初相为0，ω＝2πf＝2.5π rad/s，表达式为x＝2sin(2.5πt) cm.
答案：见解析
12．A、B两人先后观察同一弹簧振子在竖直方向上下振动的情况．
(1)A开始观察时，振子正好在平衡位置并向下运动，试在图甲中画出A观察到的弹簧振子的振动图象．已知经过1 s后，振子第一次回到平衡位置，振子振幅为5 cm(设平衡位置上方为正方向，时间轴上每格代表0.5 s)．
(2)B在A观察3.5 s后，开始观察并记录时间，试在图乙中画出B观察到的弹簧振子的振动图象．
解析：(1)由题意知，振子的振动周期T＝2 s，振幅A＝5 cm.根据正方向的规定，A观察时，振子从平衡位置向－x方向运动，经t＝0.5 s，达到负向最大位移．画出的A观察到的振子的振动图象如图A所示．
(2)因为t＝3.5 s＝1T，根据振动的重复性，这时振子的状态跟经过时间t′＝T的状态相同，所以B开始观察时，振子正好处于正向最大位移处．画出的B观察到的振子的振动图象如图B所示．
答案：见解析
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7第2节 振动的描述
1.知道什么是振幅、周期、频率，理解固有周期和固有频率，知道周期和频率的关系．(重点)
2．掌握简谐运动的位移—时间图象，了解图象在实际生活中的应用．(重点＋难点)
3．知道简谐运动的公式表示x＝Asin ωt，知道其中各符号的含义及有关关系．
一、振动特征的描述
1．振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，反映了振动的强弱．振幅是标量，振幅与位移的最大值在数值上相等，但二者不同，因为位移是矢量．
2．全振动：振子以相同的速度相继两次通过同一位置所经历的过程．
3．周期：做简谐运动的物体完成一次全振动经历的时间叫做振动的周期．它是表示振动快慢的物理量，周期越长，表示物体振动越慢；周期越短，表示物体振动越快．
4．频率：振动物体在1__s内完成全振动的次数叫做振动的频率．它是表示振动快慢的物理量，频率越大，表示物体振动越快；频率越小，表示物体振动越慢．
周期与频率的关系是T＝或 f＝．
5．在自由状态下，物体振动的周期(或频率)只由振动物体本身的性质决定，与振幅的大小无关．物体在自由状态下的振动周期(或频率)，叫做固有周期(或固有频率)．
1．(1)振幅就是指振子的位移．( )
(2)振幅就是指振子的路程．( )
(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程．( )
提示：(1)× (2)× (3)×
二、简谐运动的图象及公式表达
1．简谐运动的图象
(1)坐标系的建立：以横轴t表示简谐运动物体的运动时间，以纵轴x表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移．
(2)图象的意义：表示简谐运动的物体在各时刻相对于平衡位置的位移．即表示简谐运动的物体偏离平衡位置的位移随时间的变化关系．
(3)简谐运动图象的特点：一条正弦(或余弦)曲线，如图所示．
2．简谐运动的公式
(1)表达式：x＝Asin ωt＝Asint或x＝Asin(ωt＋φ0)．
(2)公式中各符号的含义
(3)圆频率ω与周期(或频率)的关系：ω＝＝2πf．
2．(1)弹簧振子的x－t图象的曲线就是它的运动轨迹．( )
(2)弹簧振子的位移是总以平衡位置为起点的位移．( )
(3)图象中弹簧振子的位移－5 cm小于1 cm.( )
(4)简谐运动的表达式不能用余弦函数表示．( )
提示：(1)× (2)√ (3)× (4)×
对振动的理解
1．全振动的判断方法
(1)振动特征：一个完整的振动过程．
(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)第一次同时与初始状态相同．
(3)时间特征：历时一个周期．
(4)路程特征：振幅的4倍．
(5)相位特征：增加2π.
2．振幅与振动中几个常见量的关系
(1)振幅与位移的关系：振动中的位移是矢量，振幅是标量，在数值上，振幅与某一时刻位移的大小可能相等，但同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．
(2)振幅与路程的关系
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．其中常用的定量关系是：
①一个周期内的路程为振幅的4倍；
②半个周期内的路程为振幅的2倍；
③若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，周期内的路程等于振幅；
④若从一般位置开始计时，周期内路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅．
(3)振幅与周期(或频率)的关系：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．
(4)振幅和振动系统的能量关系：对一个确定的振动系统来说，系统的能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统的能量就越大．
(1)振子以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，也是一次全振动．
(2)振动物体的周期(或频率)是固有的，而振幅不是固有的，因为振幅的大小，除跟弹簧振子有关外还跟使它起振时外力对振子做功的多少有关．
弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，B、C相距20 cm，某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点，求：
(1)振子的振幅；
(2)振子的周期和频率；
(3)振子在5 s内通过的路程及5 s末位移的大小．
[思路点拨] 对弹簧振子做简谐运动而言，离平衡位置最远的两个点关于平衡位置对称，其距离为2A.一个全振动的时间叫做周期，周期和频率互为倒数关系．简谐运动的位移是振子离开平衡位置的距离．要注意各物理量之间的区别与联系．
[解析] (1)振幅设为A，则有2A＝BC＝20 cm，所以A＝10 cm.
(2)从B首次到C的时间为周期的一半，
因此T＝2t1＝1 s；
再根据周期和频率的关系可得f＝＝1 Hz.
(3)振子一个周期通过的路程为4A＝40 cm，即一个周期运动的路程为40 cm，故振子在5 s内通过的路程为
s＝×4A＝5×40 cm＝200 cm，
5 s的时间为5个周期，又回到原始点B，故5 s末位移的大小为10 cm.
[答案] (1)10 cm (2)1 s 1 Hz (3)200 cm 10 cm
振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅；在半个周期内的路程一定为两个振幅；在个周期内的路程可能等于一个振幅，可能大于一个振幅，还可能小于一个振幅．只有当振动物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，个周期内的路程才等于一个振幅.
如图所示，弹簧振子在BC间做简谐运动，O点为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是( )
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
解析：选D.振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm.振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动中通过的路程为40 cm，3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm.
简谐运动的理解与应用
1.图象的建立：用横坐标表示振动物体运动的时间t，纵坐标表示振动物体运动过程中相对平衡位置的位移x，建立坐标系，如图甲所示．
甲
2．图象意义：反映了振动物体相对平衡位置的位移x随时间t变化的规律．
3．位移：通常以平衡位置为位移起点．所以位移的方向总是背离平衡位置．如图甲所示，在x－t图象中，某时刻质点位置在t轴上方，表示位移为正(如图中t1、t2时刻)，某时刻质点位置在t轴下方，表示位移为负(如图中t3、t4时刻)．
4．图象的用途
(1)确定振动物体在任一时刻的位移．如图乙中，对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝＋7 cm，x2＝－5 cm.
(2)确定振动的振幅．图中最大位移的值就是振幅，如图乙表示振动的振幅是10 cm.
(3)确定振动的周期和频率．振动图象上一个完整的正弦(或余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期．
乙
由图乙可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期，T＝0.2 s，频率f＝＝5 Hz.
两个相邻的最大值之间是一个周期，如A、E之间的时间是一个周期．
(4)确定各时刻质点的振动方向，例如在图乙中的t1时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动．
(5)比较不同时刻质点加速度的大小和方向．例如在图乙中t1时刻质点的位移x1为正，则加速度a1为负，t2时刻x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1|>|x2|，所以|a1|>|a2|.
(多选)弹簧振子做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．在第5秒末，振子的速度最大且沿＋x方向
B．在第5秒末，振子的位移最大且沿＋x方向
C．在第5秒末，振子的加速度最大且沿－x方向
D．在0到5秒内，振子通过的路程为8 cm
[解析] 由题图可知第5秒末时，振子处于正的最大位移处，此时有负方向的最大加速度，速度为零，故B、C正确，A错误；在0到5 s内，振子先从平衡位置到正的最大位移，再经平衡位置到负的最大位移，最后从负的最大位移经平衡位置到正的最大位移整个过程路程为10 cm，故D错误．
[答案] BC
典型问题——简谐运动的多解性
1．周期性造成的多解问题：简谐运动是一种周期性的运动，其运动过程中每一个物理量都随时间周期性变化．因此，物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同， 也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题．
2．对称性造成的多解问题：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题．
(多选)一弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过O点时开始计时，经过0.3 s，第一次到达M点，再经过0.2 s第二次到达M点，则弹簧振子的周期为( )
A．0.53 s B．0.14 s
C．1.6 s D．3 s
[思路点拨] 振子通过O点的速度方向有两种可能，一种是从O指向M，另一种是背离M.再利用简谐运动的对称性找出周期与运动时间的关系．
[解析] 如图甲所示，O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子从O→C所需时间为.因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故＝0.3 s＋＝0.4 s，解得T＝1.6 s.
如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向B运动，设M′与M关于O点对称，则振子从M′经B到M′所用的时间与振子从M经C到M所需时间相等，即0.2 s．振子从O到M′和从M′到O及从O到M所需时间相等，为＝ s，故周期为T＝ s＝ s≈0.53 s.
[答案] AC
求解这类问题，要认真分析题意，画出振子运动的过程示意图，防止漏解．也可画出物体的x－t图象，根据图象分析求解.
一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则( )
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子振动的加速度一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等
解析：选C.本题可以结合弹簧振子的运动示意图和振动图象进行分析．如图所示，图中的a、b、c三点位移大小相等、方向相同，显然Δt不等于T的整数倍，故选项A是错误的；图中的a、d两点的位移大小相等、方向相反，Δt<，故选项B是错误的；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必相等，选项C是正确的；相隔的两个时刻，振子的位移大小相等，方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度并不相等，选项D是错误的．
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