2020北师大版八年级下册因式分解单元复习测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是
A． B．
C．a2-4ab+4b2=（a-2b）2 D．ax+ay+a=a（x+y）
【答案】C
【解析】
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可.
【详解】
解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C、是因式分解，故本选项正确；
D、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
故选C.
【点睛】
本题考查了因式分解的知识，解答本题的关键是掌握因式分解的定义.
2．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67
【答案】B
【解析】
【分析】
248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解．
【详解】
解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1）
＝（224+1）（212+1）×65×63，
故选：B．
【点睛】
此题考察多项式的因式分解，将248﹣1利用平方差公式因式分解得到（224+1）（212+1）×65×63，即可得到答案
3．方程的解是x＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵ ，
∴提取公因式，得
，
将方程变形，得
，
提取公因式，得
，
移项，合并同类项，得
，
系数化为1，得
x=.
故选C.
4．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
把已知的式子化成[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．
【详解】
原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）
=[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]
=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]
=×（1+4+1）
=3，
故选D.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键．
5．已知（ ）.
A．3 B．-3 C．5 D．-5
【答案】A
【解析】
【分析】
观察已知m2-m-1=0可转化为m2-m=1，再对m4-m3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m2-m作为一个整体代入，逐次降低m的次数，使问题得以解决．
【详解】
∵m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴m4-m3-m+2=m2 (m2-m)-m+2=m2-m+2=1+2=3，
故选A．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将m2-m作为一个整体出现，逐次降低m的次数.
6．已知a+b=,ab=2,则3a2b+3ab2的值为（ ）
A． B． C．6+ D．2+
【答案】A
【解析】
试题分析：根据题意先因式分解（提公因式）可得3a2b+3ab2=3ab（a+b），整体代入可得原式=3×2×=6.
故选：A.
点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）.
7．已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【解析】
解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A．
点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解．
8．如果多项式能用公式法分解因式，那么k的值是( )
A．3 B．6 C． D．
【答案】D
【解析】
由于可以利用公式法分解因式，所以它是一个完全平方式，所以.
故选D.
评卷人得分
二、填空题
9．若a-b=1，则的值为____________．
【答案】1
【解析】
【分析】
先局部因式分解，然后再将a-b=1代入，最后在进行计算即可.
【详解】
解：
=（a+b）（a-b）-2b
=a+b-2b
=a-b
=1
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，弄清题意、并根据灵活进行局部因式分解是解答本题的关键.
10．若多项式可化为的形式，则单项式可以是__________．
【答案】或或或
【解析】
【分析】
根据完全平方公式展开式的首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同；中间项是首末两项的底数的积的2倍，对多项式进行分类讨论，分别求出k即可．
【详解】
解：①当和作为平方项，作为乘积项，则多项式可化为：
，即，
∴；
②当和作为平方项，作为乘积项，则多项式可化为：
，即，
∴，解得：；
③当和作为平方项，作为乘积项，则多项式可化为：
，即，
∴，解得：；
故答案为：或或或．
【点睛】
此题考查了运用完全平方公式分解因式．掌握完全平方公式和分类讨论是解此题的关键．
11．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：______．
【答案】．
【解析】
【分析】
根据图形中的正方形和长方形的面积，以及整体图形的面积进而得出恒等式．
【详解】
解：由面积可得：．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确利用面积得出等式是解题关键．
12．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．
【答案】a2+2ab+b2=（a+b）2
【解析】
试题分析：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，
所以a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2．
点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．
13．如图，如果甲图中的阴影面积为S1，乙图中的阴影面积为S2，那么=________.（用含a、b的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】
左边阴影部分用大正方形面积减小正方形的面积，右边阴影部分的面积等于长乘以宽，据此列出式子，再因式分解、约分可得
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查因式分解的应用及分式的化简，根据图示列出面积比的算式是解题的关键．
评卷人得分
三、解答题
14．分解因式：.
【答案】
【解析】
【分析】
变形为（2x2-3x+1）2-22x2+33x-1=（2x2-3x+1）2-11（2x2-3x+1）+10，设设A=2x2-3x+1，再利用“十字相乘法”即可得出．
【详解】
（2x2-3x+1）2-22x2+33x-1
设A=2x2-3x+1，则
原式=A2-11A+10=（A-1）(A-10),
∴原式=[（2x2-3x+1）-1][( 2x2-3x+1)-10]
=(2x2-3x)(2x2-3x-9)
.
【点睛】
此题主要考查了运用公式法分解因式，本题没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑用拆项法制造分组分解的条件.拆项法是因式分解中一种技巧性较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，
15．分解因式：
【答案】
【解析】
【分析】
首先分组利用多项式乘法求出，进而设设x2+8x=y利用换元法以及十字相乘法分解因式即可．
【详解】
解：[（x+1）（x+7）][（x+3）（x+5）]+15
=（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15
设x2+8x=y，
则：原式=（y+7）（y+15）+15=y2+22y+120=（y+10）（y+12），
所以原式=（x2+8x+10）（x2+8x+12）=（x2+8x+10）（x+2）（x+6）
【点睛】
此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
16．分解因式：
【答案】
【解析】
【分析】
首先重新分组，分别利用提公因式法以及公式法分解因式进而提公因式再继续求解得出答案．
【详解】
解：
，
，
【点睛】
此题主要考查了分组分解法分解因式，分组后可继续提公因式、正确应用公式法分解因式是解题关键．
17．分解因式
（1）20a3-30a2
（2）25（x+y）2-9（x-y）2
【答案】（1）10a2（2a﹣3）（2）4(4x+y)(x+4y)
【解析】
分析：（1）利用提公因式法，找到并提取公因式10a2即可；
（2）利用平方差公式进行因式分解，然后整理化简即可.
详解：（1）解：20a3﹣30a2=10a2（2a﹣3）
（2）解：25（x+y）2﹣9（x﹣y）2
=[5（x+y）+3（x﹣y）][5（x+y）﹣3（x﹣y）]
=（8x+2y）（2x+8y）；
=4(4x+y)(x+4y) .
点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）.
18．把下列各式因式分解：
（1）
（2）
【答案】；．
【解析】
【分析】
利用平方差公式计算得出答案；
将原式分解因式进而提取公因式得出答案．
【详解】
（1）
；
（2）
=
=
．
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
19．请把下列各式分解因式
（1）x(x-y)-y(y-x) （2）-12x3+12x2y-3xy2
（3）(x+y)2+mx+my （4）a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y)
（5）15×（a-b）2-3y（b-a） （6）（a-3）2-（2a-6）
（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）
【答案】（1）(x-y)(x+y)；（2）-3x(2x-y)2；（3）(x+y)(x+y+m)；（4）(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)；（5）3（a-b）（5ax-5bx+y）；（6）（a-3）（a-5）；（7）-2q（m+n）
【解析】试题分析：（1）运用提取公因式法因式分解即可；
（2）运用提取公因式法因式分解即可，注意先提取负号；
（3）先分组，提公因式，再利用整体法运用提取公因式法因式分解即可；
（4）运用提取公因式法因式分解即可，注意整体思想的应用；
（5）根据a-b与b-a互为相反数，利用整体法提取公因式法因式分解即可；
（6）运用提取公因式法因式分解即可；
（7）运用提取公因式法因式分解即可，注意符号变化.
试题解析：（1）x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y)
（2）-12x3+12x2y-3xy2=-3x(4x2-4xy+y2)=-3x(2x-y)2
（3）(x+y)2+mx+my=(x+y)2+m(x+y)=(x+y)(x+y+m)
（4）a(x-a)(x+y)2－b(x-a)2(x+y)=(x-a)(x+y)［a(x+y)-b(x-a)］=(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)
（5）15x（a-b）2-3y（b-a）=15x（a-b）2+3y（a-b）=3（a-b）（5ax-5bx+y）；
（6）（a-3）2-（2a-6）=（a-3）2-2（a-3）=（a-3）（a-5）；
（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）=（m+n）（p-q-q-p）=-2q（m+n）
20．分解因式：
（1）； （2）；
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析：（1）直接提取公因式3（a-b）即可；
（2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式继续分解因式即可．
详解：（1）原式=3x（a-b）+6y（a-b）=3（a-b）（x+2y）．
（2）81x4-72x2y2+16y4，
=（9x2-4y2）2，
=（3x+2y）2（3x-2y）2．
点睛：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
21．观察下列因式分解的过程：
（1）x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
（2）a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
①
②
（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．
【答案】（1）①（d﹣c）（a﹣b）；②（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）；（2）（1+x）n+1
【解析】
【分析】
（1）①利用分组后直接提公因式分解；
②利用分组后直接运用公式分解；
（2）把添加括号，利用分组后直接提取公因式，反复运算得结论．
【详解】
解：（1）①原式
②原式
（2）原式
【点睛】
本题主要考查了多项式因式分解的分组分解法．掌握分组后直接提起公因式和分组后直接运用公式，是解决本题的关键．
22．材料1：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．例如：，都是因式分解．因式分解也可称为分解因式．
材料2：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程称作一元二次方程．一元二次方程的般形式是：（其中，，为常数且）．“转化”是一种重要的数学思想方法，我们可以利用因式分解把部分一元二次方程转化为一元一次方程求解．
例如解方程；
或
原方程的解是，
∴原方程的解是，
又如解方程：
原方程的解是
请阅读以上材料回答以下问题：
（1）若，则_______；_______；
（2）请将下列多项式因式分解：
_______，________；
（3）在平面直角坐标系中，已知点，，其中是一元二次方程的解，为任意实数，求长度的最小值．
【答案】（1），；（2），；（3）.
【解析】
【分析】
（1）等式右边展开整理，根据多项式相等，对应项的系数也相等即可求得m，n；
（2）分别用提公因式法和公式法分别因式分解即可；
（3）先通过因式分解法求得方程的解，得到m的值，从而得到的坐标，再利用平面上两点间的距离公式得到PQ长度的表达式，从而得到PQ的最小值.
【详解】
解：（1）∵
∴，
解得：；
∴，.
（2），；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据平面上两点间的距离公式有：
∴
故当n=8时，长度有最小值为
【点睛】
本题考查了因式分解在解一元二次方程中的应用.将一元二次方程通过因式分解转化为一次方程求解，这种转化的思想是数学中重要的解决问题的思考方法.
23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0.试判断三角形的形状.
【答案】是等边三角形.
【解析】
试题分析:先将a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0的两边同时乘以2,可得2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0,即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0,根据完全平方公式因式分解可得: (a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0,因为(a－b)2≥0,(b－c)2≥0,(a－c)2≥0,所以a－b＝0,b－c＝0,a－c＝0,根据三边的关系可判定三角形形状.
试题解析:∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0,
∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0,
即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0,
∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0,
又∵(a－b)2≥0,(b－c)2≥0,(a－c)2≥0,
∴a－b＝0,b－c＝0,a－c＝0,
即a＝b＝c,∴△ABC为等边三角形.
24．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
【答案】(1)9；（2）△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.
【解析】
试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案；
（2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案；
（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．
试题解析：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8．
25．阅读材料：常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
分解因式；
三边a，b，c满足，判断的形状．
【答案】 ；的形状为等腰三角形．
【解析】
【分析】
应用分组分解法，把分解因式即可．
首先应用分组分解法，把分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出的形状即可．
【详解】
或
的形状为等腰三角形．
【点睛】
此题主要考查了因式分解的方法和应用，要熟练掌握，注意分组分解法的应用
26．当x、y为何值时，代数式x2＋y2＋4x－6y＋15有最小值？并求出最小值．
【答案】=－2，y=3时，代数式有最小值为2.
【解析】试题分析：本题将待求式变形为(x+2)2+(y?3)2+2,进而利用完全平方式的特征,问题即可迎刃而解.
试题解析：对代数式变形,得：(x2+4x+4)+(y2?6y+9)+2
由完全平方公式,得：(x+2)2+(y?3)2+2
观察上式发现：(x+2)2≥0，(y?3)2≥0
所以当x=-2,y=3时,待求式有最小值,最小值是2.
点睛：此题考查了因式分解-运用公式法以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
27．根据多项式乘法法则，因此，这种因式分解的方法称为十字相乘法，按照上面方法对下列式子进行因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】(1) (x+2)(x+5)；(2) (x+9)(x-2)；(3) (2x-1)(x-2)；(4) (2y+1)(3y-2)；(5)(x-2y+1)(x-y-3).
【解析】
【分析】
(1)观察可知10=2×5，7=2+5，由此进行因式分解即可；
(2)观察可知—18=-2×9，7=-2+9，由此进行因式分解即可；
(3)观察可知二次项系数2=1×2，常数项2=(-1)×(-2)，一次项系数-5=1×(-1)+2×(-2)，据此进行因式分解即可；
(4)观察可知二次项系数6=2×3，常数项-2=1×(-2)，一次项系数-1=2×(-2)+3×1，据此进行因式分解即可；
(5)原式前三项利用材料中的方法进行分解，然后变形为(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3，据此利用提公因式法继续进行分解即可得.
【详解】
(1)原式=(x+2)(x+5)；
(2)原式=(x+9)(x-2)；
(3)原式=(2x-1)(x-2)；
(4)原式=(2y+1)(3y-2)；
(5)原式=(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3
=(x-2y)(x-y)+(x-y)-(3x-6y+3)
=(x-y)(x-2y+1)-3(x-2y+1)
=(x-2y+1)(x-y-3).
【点睛】
本题考查了十字相乘法分解因式，分组分解法分解因式，提公因式法分解因式，其中第(5)小题有一定的难度，读懂材料中的解题方法是解题的关键.
28．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多．
十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），如：将式子和分解因式，如图：
；
．
请你仿照以上方法，探索解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：．
【答案】（1）（x﹣3）（x﹣4）；（2）（x﹣1）（3x+1）．
【解析】
【分析】
（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案；
（2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的结果.
【详解】
（1）y2﹣7y+12=（x﹣3）（x﹣4）；
（2）3x2﹣2x﹣1=（x﹣1）（3x+1）.
【点睛】
此题考查十字相乘法分解因式，将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘，交叉相乘的结果相加得到一次项的系数，能准确分解因数是解题的关键.
29．先阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
(1)分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：ax+by+bx+ay＝(ax+bx)+(ay+by)
＝x(a+b)+y(a+b)
＝(a+b)(x+y)
2xy+y2﹣1+x2
＝x2+2xy+y2﹣1
＝(x+y)2﹣1
＝(x+y+1)(x+y﹣1)
(2)拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣4
＝(x+1)2﹣22
＝(x+1+2)(x+1﹣2)
＝(x+3)(x﹣1)
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
(2)分解因式：x2﹣6x﹣7；
(3)分解因式：a2+4ab﹣5b2．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
试题分析：（1）仿照例（1）将前两项和后两项分别分作一组，然后前两项利用平方差公式分解，然后提出公因式(a-b)即可；
（2）仿照例（2）将-7拆成9-16，然后前三项利用完全平方公式分解后，再用平方差公式分解即可；
（3）仿照例（2）将-5b2拆成4b2-9b2，然后前三项利用完全平方公式分解后，再用平方差公式分解即可．
试题解析：
解：（1）==；
（2）原式=
===；
（3）原式=
===.
点睛：本题考查了因式分解的综合应用，熟悉因式分解的方法和读懂例题是解决此题的关键．
30．先阅读下面的村料，再分解因式．
要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得
．
这时，由于中又有公困式，于是可提公因式，从而得到，因此有
．
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．
请用上面材料中提供的方法因式分解：
请你完成分解因式下面的过程
______
；
.
【答案】(1);(2) （m+x）（m-n）；(3) （y-2）（x2y-4）．
【解析】
【分析】
如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解.依此即可求解．
【详解】
（1）ab-ac+bc-b2
=a（b-c）-b（b-c）
=（a-b）（b-c）；
故答案为（a-b）（b-c）．
（2）m2-mn+mx-nx
=m（m-n）+x（m-n）
=（m+x）（m-n）；
（3）x2y2-2x2y-4y+8
=x2y（y-2）-4（y-2）
=（y-2）（x2y-4）．
【点睛】
考查了因式分解-提公因式法，因式分解-分组分解法，本题采用两两分组的方式．
31．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ；
（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片 张；
（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于打纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是 ；
（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2= 画出拼图．
【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）2，3；（3）（a+2b）?（a+b）；（4）（a+2b）（a+3b），画图见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用图②的面积可得出这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2，
（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，即可得出答案，
（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）?（a+b），利用面积得出a2+3ab+2b2=（a+2b）?（a+b），
（4）先分解因式，再根据边长画图即可．
【详解】
解：（1）这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张；
故答案为：2，3；
（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）?（a+b），所以a2+3ab+2b2=（a+2b）?（a+b），
故答案为：（a+2b）?（a+b）；
（4）a2+5ab+6b2=（a+2b）（a+3b），
如图，
故答案为：（a+2b）（a+3b）．
【点睛】
本题考查因式分解的应用．
32．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
（1）请直接用含a，b的代数式表示S1＝______，S2＝_____；
（2）写出利用图形的面积关系所揭示的公式：_______；
（3）利用这个公式说明216﹣1既能被15整除，又能被17整除．
【答案】（1）a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）图1用大正方形的面积去掉小正方形的面积，图2用长方形的面积计算公式；
（2）因为两个图形的阴影部分面积相等，可以根据第（1）问列出等式；
（3）利用所得到的平方差公式分解因式后进行说明．
【详解】
（1）图1用大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，故阴影部分面积为a2﹣b2，图2用长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），故阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）；
（2）观察图1和图2中阴影部分面积是相等的，故a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；
（3）216﹣1=（28﹣1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=15×17×（28+1）
因为28+1是整数，故216﹣1既能被15整除，又能被17整除．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，利用图形面积的表示方法得出乘法公式，整除问题一般都是通过因式分解进行说明的．
试卷第1页，总3页
试卷第1页，总3页2020北师大版八年级下册因式分解单元复习测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是
A． B．
C．a2-4ab+4b2=（a-2b）2 D．ax+ay+a=a（x+y）
2．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67
3．方程的解是x＝（ ）
A． B． C． D．
4．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知（ ）.
A．3 B．-3 C．5 D．-5
6．已知a+b=,ab=2,则3a2b+3ab2的值为（ ）
A． B． C．6+ D．2+
7．已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
8．如果多项式能用公式法分解因式，那么k的值是( )
A．3 B．6 C． D．
评卷人得分
二、填空题
9．若a-b=1，则的值为____________．
10．若多项式可化为的形式，则单项式可以是__________．
11．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：______．
12．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．
13．如图，如果甲图中的阴影面积为S1，乙图中的阴影面积为S2，那么=________.（用含a、b的代数式表示）
评卷人得分
三、解答题
14．分解因式：.
15．分解因式：
16．分解因式：
21．观察下列因式分解的过程：
（1）x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
（2）a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
①
②
（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．
22．材料1：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．例如：，都是因式分解．因式分解也可称为分解因式．
材料2：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程称作一元二次方程．一元二次方程的般形式是：（其中，，为常数且）．“转化”是一种重要的数学思想方法，我们可以利用因式分解把部分一元二次方程转化为一元一次方程求解．
例如解方程；
或
原方程的解是，
∴原方程的解是，
又如解方程：
原方程的解是
请阅读以上材料回答以下问题：
（1）若，则_______；_______；
（2）请将下列多项式因式分解：
_______，________；
（3）在平面直角坐标系中，已知点，，其中是一元二次方程的解，为任意实数，求长度的最小值．
23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0.试判断三角形的形状.
24．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
25．阅读材料：常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
分解因式；
三边a，b，c满足，判断的形状．
26．当x、y为何值时，代数式x2＋y2＋4x－6y＋15有最小值？并求出最小值．
27．根据多项式乘法法则，因此，这种因式分解的方法称为十字相乘法，按照上面方法对下列式子进行因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
28．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多．
十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），如：将式子和分解因式，如图：
；
．
请你仿照以上方法，探索解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：．
29．先阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
(1)分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：ax+by+bx+ay＝(ax+bx)+(ay+by)
＝x(a+b)+y(a+b)
＝(a+b)(x+y)
2xy+y2﹣1+x2
＝x2+2xy+y2﹣1
＝(x+y)2﹣1
＝(x+y+1)(x+y﹣1)
(2)拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣4
＝(x+1)2﹣22
＝(x+1+2)(x+1﹣2)
＝(x+3)(x﹣1)
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
(2)分解因式：x2﹣6x﹣7；
(3)分解因式：a2+4ab﹣5b2．
30．先阅读下面的村料，再分解因式．
要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得
．
这时，由于中又有公困式，于是可提公因式，从而得到，因此有
．
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．
请用上面材料中提供的方法因式分解：
请你完成分解因式下面的过程
______
；
.
31．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ；
（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片 张；
（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于打纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是 ；
（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2= 画出拼图．
32．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
（1）请直接用含a，b的代数式表示S1＝______，S2＝_____；
（2）写出利用图形的面积关系所揭示的公式：_______；
（3）利用这个公式说明216﹣1既能被15整除，又能被17整除．
试卷第1页，总3页
试卷第1页，总3页
